analisi matematica1_modalita` e date degli esami

A.A. 2015/16
CORSO DI ANALISI MATEMATICA 1
PER I CORSI DI LAUREA IN
MATEMATICA E FISICA
I° semestre, 12 crediti
Teoria: 9 crediti, tenuti da me
Esercitazioni: 3 crediti, tenuti dal Dott. Bruno Scardamaglia
COMMISSIONE D’ESAME
Presidente: Prof. Giuseppe MARINO
Membri: Dott. Bruno Scardamaglia e Dott.ssa Filomena Cianciaruso
MODALITA’ E DATE DEGLI ESAMI
In conformità al Calendario Accademico del Dipartimento di Matematica e Informatica, e al
Calendario Accademico del Dipartimento di Fisica, gli appelli d’esame si svolgeranno nei seguenti
periodi:
Primo Appello Ordinario di fine semestre RISERVATO SOLO AI MATEMATICI:
LUNEDI 25 GENNAIO ORE 9.00 AULA MT1
Primo Appello Ordinario di fine semestre RISERVATO SOLO AI FISICI:
LUNEDI 1 FEBBRAIO ORE 9.00 AULA CF3
Secondo appello Ordinario di fine semestre PER TUTTI, MATEMATICI E FISICI:
LUNEDI 15 FEBBRAIO ORE 9.00 AULA CF3
CI SARANNO POI TRE APPELLI DI RECUPERO, UNO IN GIUGNO, UNO IN LUGLIO
E UNO IN SETTEMBRE, CON DATE DA STABILIRSI IN SEGUITO.
Per poter sostenere gli esami e’ obbligatoria la prenotazione col sistema Uniwex.
Gli esami saranno costituiti da una prova scritta seguita da una orale.
La prova scritta sarà diversa per ogni studente.
E’ dunque inutile venire a vedere se si riesce a copiare.
La prova scritta è superata se si ottiene un voto maggiore o uguale a 18 trentesimi.
PROVA SCRITTA
Considero molto importante una giusta autovalutazione. Così, SOLO PER LA PRIMA VOLTA
CHE UNO STUDENTE AFFRONTA LA PROVA SCRITTA E LA SUPERA, OTTIENE UN
BONUS COSI’ DIFFERENZIATO:
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se ha ottenuto un voto fra 18 e 21, bonus di 1 punto
se ha ottenuto un voto fra 22 e 26, bonus di 2 punti
se ha ottenuto un voto maggiore o uguale a 27, bonus di 3 punti, fino a raggiungere il voto
massimo di 30.
LO STUENTE CHE NON SUPERA LA PROVA SCRITTA LA PRIMA VOLTA CHE SI
PRESENTA, PERDE IL BONUS.
IL BONUS E’ UN PREMIO PER CHI SA AUTOVALUTARSI.
LA PROVA SCRITTA E’ DIVERSA PER OGNI
STUDENTE.
PRESENTARSI PER CERCARE DI COPIARE FA
SOLO PERDERE TEMPO A CHI LO FA E A ME
(E
QUEST’ULTIMA
COSA
E’
MOLTO
FASTIDIOSA!!!)
La prova scritta è strutturata nei seguenti 10 esercizi, ognuno dei quali vale 3 punti:
Esercizio 1. Una funzione definita a tratti oppure una disequazione (razionale, irrazionale, con
valore assoluto, logaritmica, esponenziale o trigonometrica).
Esercizio 2. Un procedimento di induzione
Esercizio 3. Un limite
Esercizio 4. Un calcolo combinatorio
Esercizio 5. Una derivata
Esercizio 6. Massimi e minimi
Esercizio 7. Una serie
Esercizio 8. Un integrale d’area o di volume
Esercizio 9. Una funzione di più variabili (ricerca di max e min o un limite)
Esercizio 10. Un’equazione differenziale o un Problema di Cauchy del primo ordine (lineare, o a
variabili separabili o di Bernoulli)
PROVA ORALE
Nella prova orale lo studente sarà invitato ad esporre due teoremi e/o lemmi e/o proposizioni e/o
definizioni e/o assiomi trattati nel corso ed estratti a sorte dalla Commissione. A partire da tali
risultati faranno seguito le domande della commissione.
L’esame e’ strutturato in modo che uno studente che ha seguito il corso e studiato regolarmente
cogliendo il significato dei concetti e dei risultati esposti, lo possa superare senza difficoltà.
L’orale si sosterrà, di norma, il pomeriggio dello stesso giorno in cui in mattinata si è
sostenuta la prova scritta o al più il giorno successivo.
…………………………….
ELENCO DEFINITIVO DELLE DOMANDE CHE VERRANNO ESTRATTE
NELL’ESAME ORALE RIGUARDANTI LA PRIMA PARTE DEL CORSO,
(prime 140 pagine del libro di testo + gli argomenti che non sono sul libro di testo ma
sono stati esposti a lezione).
Teorema 2: Teorema fondamentale sulle relazioni di equivalenza. Insieme quoziente.
Teorema 3: Congruenza modulo p sugli interi
Teorema 4: N, Z e Q sono numerabili.
Teorema 5: Non numerabilità di R: Dimostrazione mediante l’argomento diagonale di
Cantor.
Teorema 6: Lemma della Concordia: Supponiamo di avere f : X Y iniettiva e
g :Y X iniettiva. Allora h: X Y biunivoca.
Teorema 8: Teorema di Cantor-Bernstein : un insieme non è mai equipotente al suo
insieme delle parti.
Teorema 10: Disuguaglianza di Bernoulli.
Teorema 11: Algoritmo di Erone per il calcolo di √𝒙
Teorema 12: Principio Fondamentale del Calcolo Combinatorio
Teorema 13: Permutazioni semplici, Disposizioni semplici, , Combinazioni semplici,
Coefficienti binomiali
Teorema 14: Permutazioni con ripetizione, Disposizioni con ripetizione, Combinazioni
con ripetizione.
Teorema 15: Formula del binomio di Newton. Dimostrazione combinatoriale
Numeri complessi. Forma geometrica. Forma algebrica. Forma trigonometrica. Forma
esponenziale. Formula di Eulero
Soluzioni di equazioni algebriche nel campo complesso
Teorema 16: Teorema fondamentale sulle successioni monotone: Ogni successione
monotona è regolare.
a
n
n
1
 1 


Teorema 17: convergenza al numero “e” delle successioni 1   , 1  con
 n   an 
a
n

1
an , 1  con an 
 a 
n

n
 x
Convergenza ad exp(x) della successione 1   .
 n
Teorema 18: Teorema della permanenza del segno. Corollario 1. Corollario 2.
Teorema 19: Teorema dei Carabinieri.
Teorema 20: Teorema del prodotto di una successione limitata per una infinitesima.
Ordini di infinitesimi e infiniti. Infinitesimi e infiniti campione
Teorema 21: Principio di sostituzione degli infinitesimi
Teorema 22: Principio di sostituzione degli infiniti
L’algebra degli o(an)
Teorema 23: Criterio del rapporto: Se an>0 e lim an+1/an <1, allora lim an =0.
Teorema 24: Il Teorema di Bolzano-Weierstrass: Ogni successione ammette sempre
un’estratta regolare.
Teorema 25: Una successione è di Cauchy sse è convergente.
Teorema 26: Caratterizzazione di maxlim e minlim.
ELENCO DELLE DOMANDE CHE VERRANNO ESTRATTE NELL’ESAME
ORALE RIGUARDANTI LA SECONDA PARTE DEL CORSO:
Teorema 27: Teorema Ponte
Teorema 28: Operazioni con i limiti di funzioni.
Teorema 29 della permanenza del segno per funzioni continue.
Teorema 30 di Esistenza degli Zeri.
Teorema 31: Applicazione del Teorema di Esistenza degli Zeri all’esistenza di punti
antipodali con la stessa temperatura.
Teorema 32: Primo teorema dell’esistenza dei valori intermedi.
Teorema 33: Teorema di Weierstrass
Teorema 34: Secondo Teorema dell’esistenza dei valori intermedi.
Teorema 35: Criterio di invertibilità.
Teorema 36: Teorema sul limite delle funzioni monotòne.
Teorema 37: Criterio di continuità per le funzioni monotòne
Teorema 38: Teorema di continuità della funzione inversa di una funzione continua
Teorema 39: Operazioni aritmetiche con le derivate.
Teorema 40: Teorema di derivazione delle funzioni composte.
Teorema 41: Teorema di derivazione delle funzioni inverse
Teorema 42: Derivate delle funzioni elementari: potenze ad esponente razionale,
logaritmi, esponenziali, potenze ad esponente reale.
Teorema 43: Derivate delle funzioni elementari: funzioni sen, cos, tg.
Teorema 44: Significato geometrico della derivata come tangente trigonometrica della
retta tangente nel punto.
Teorema 45: L’errore che si commette considerando il valore della retta tangente in un
punto invece del valore esatto della funzione è un infinitesimo di ordine superiore
all’incremento della variabile indipendente.
Teorema 46: Derivate delle funzioni trigonomentriche inverse arcsen, arccos, arctg.
Le funzioni iperboliche e le loro inverse
Teorema 47: Teorema fondamentale della geometria iperbolica: cosh 2x - senh2x = 1
Teorema 48: Grafici delle funzioni iperboiche senh, cosh, tgh.
Teorema 49: Le funzioni iperboliche inverse: sett senh, sett cosh, sett tgh e i loro grafici
Teorema 50: Primo Teorema di Fermat.
Teorema 51: Secondo Teorema di Fermat.
Teorema 52. Teorema di Rolle
Teorema 53: Teorema di Lagrange
Teorema 54: Criterio di monotonia col segno della derivata prima
Teorema 55: Caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo e criterio di
stretta monotonìa.
Teorema 56. Criterio di convessità con la derivata seconda.
Teorema 57: Teorema di L’H𝒐̈ pital
Teorema 58: Formula di Taylor e di Mac Laurin
Polinomio di Taylor di exp(x), log(1 + x), senx, cosx
Teorema 59: Formula di Taylor con il resto di Peano: Rn è un infinitesimo di ordine
superiore ad n per x  xo.
Teorema 60: Teorema sulle Partizioni: Sia f([a,b]) = [m,M]. Allora, per ogni coppia di
partizioni P e Q di [a,b] si ha M(b – a)  s(f,P)  S(f,Q)  M(b – a)
Teorema 61. Teorema di Riemann sulla integrabilità con le partizioni: Una funzione f
limitata su [a, b] è ivi integrabile secondo Riemann se e solo se  > 0  una
partizione P di [a, b] tale che s(f,P) – S(f,P) < 𝜺 .
Teorema 62.Teorema di Riemann sull’integrabilità delle funzioni monotone: Ogni
funzione monotona è integrabile su [a, b]
Teorema 63. Teorema di Cantor sull’uniforme continuità: Ogni funzione continua
definita su un intervallo chiuso e limitato è uniformemente continua
Teorema 64. Teorema di Riemann sull’integrabilità delle funzioni continue: Ogni
funzione continua definita su un intervallo chiuso e limitato è integrabile.
Teorema 65. Primo Teorema della media
Teorema 66. Secondo Teorema della media (per funzioni continue)
Teorema 67. Teorema sulle primitive: Tutte le primitive differiscono per una costante
Teorema 68. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE
Teorema 69.FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE
Teorema 70. Formula di integrazione per parti
Teorema 71. Formula di integrazione per sostituzione
Formula dell’area sottesa dal grafico di una funzione.
Formula dell’area della regione compresa fra il grafico di due funzioni.
Teorema 72. Formula del salame (solidi di rotazione attorno all’asse delle x)
Teorema 73. Formula della carta igienica (solidi di rotazione attorno all’asse delle y)
Equazioni differenziali lineari del primo ordine
Equazioni differenziali a variabili separabili
Equazioni differenziali di Bernoulli
Funzioni di due variabili
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NEWS
Risultati della prova scritta di oggi, 25 gennaio
2016, riservata ai soli Matematici.
L’orale è alle ore 16.00 di oggi stesso nella
MT1.
Hanno superato la prova scritta gli studenti
con le seguenti matricole:
176245
177485
176238
176256
176919
176236
178135
176259
Chi non ha superato la prova scritta può
prendere visione del compito oggi E SOLO
OGGI alla fine dell’esame orale.
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Risultati della prova scritta di oggi, Lunedì 1
Febbraio 2016, appello riservato agli studenti di
Fisica.
L’orale è alle ore 16.30 nel mio studio, Cubo 31B
terzo piano. Suonare al citofono.
Hanno superato la prova scritta gli studenti con le
seguenti matricole:
174107
169551
175876
175874
179181
169549
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Risultati della prova scritta di oggi, Mercoledì
17 Febbraio 2016, appello per tutti gli studenti,
sia di Fisica che di Matematica.
Per il Corso di Laurea in Matematica sono
ammessi a sostenere la prova orale le seguenti
matricole:
176255
176242
176246
176244
181272
176247
177893
176245
NOTA: IL COMPITO DELLA MATRICOLA
176243 NON E’ STATO CORRETTO
PERCHE’ LO STUDENTE NON HA
CONSEGNATO LA TRACCIA.
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Per il Corso di Laurea in Fisica sono ammessi a
sostenere la prova orale le matricole
175879
178277
175868
177651
180544
163724
169549
169542
176521
175878
175885
177581
178147
174154
178586
175870
GLI ESAMI ORALI PER GLI STUDENTI DI
MATEMATICA
AVRANNO
LUOGO
DOMANI 18 FEBBRAIO 2016 NEL MIO
STUDIO ALLE 8.30.
GLI ESAMI ORALI PER GLI STUDENTI DI
FISICA AVRANNO LUOGO DOMANI 18
FEBBRAIO 2016 ALLE 10.30 NELL’AULA
MT1.
GLI STUDENTI NON AMMESSI, SIA DI
MATEMATICA
CHE
DI
FISICA,
POTRANNO PRENDERE VISIONE DEL
PROPRIO COMPITO SCRITTO
DOMANI E SOLO
DOMANI 18 FEBBRAIO
2016
ALLE 12.30 NELL’AULA MT1.
NEWS