Gli Insiemi

Gli Insiemi
Teoria in sintesi
Che cos’e’ un insieme
In matematica di definisce insieme un raggruppamento di oggetti ben definiti e distinti tra
loro.
In altre parole si può considerare insieme un raggruppamento di oggetti, se esiste un criterio
oggettivo che permette di decidere univocamente se un qualunque oggetto fa parte o no del
raggruppamento.
Gli oggetti che formano un insieme sono chiamati elementi dell’insieme.
Un insieme è finito se contiene un numero finito di elementi, in caso contrario si dice infinito.
Indicheremo gli insiemi con lettere maiuscole, mentre useremo generalmente lettere minuscole per
indicare gli elementi.
Tra i vari insiemi si considera anche l’insieme che non ha elementi, che si chiama insieme vuoto.
∅.
Per indicare che un elemento appartiene a un insieme si usa il simbolo ∈ .
Per indicare che un elemento non appartiene a un insieme si usa il simbolo ∉.
Le rappresentazioni di un insieme
Possiamo descrivere gli insiemi in tre modi diversi:
• rappresentazione grafica o geometrica;
• rappresentazione per elencazione o estensiva;
• rappresentazione mediante la proprietà caratteristica o intensiva.
Per la prima si utilizzano i diagrammi di Eulero-Venn, nei quali gli elementi degli insiemi sono
racchiusi dentro linee chiuse.
Nella rappresentazione per elencazione, gli elementi vengono racchiusi fra parentesi graffe e
separati da virgole. Gli elementi non devono essere ripetuti e non ha importanza l’ordine con cui
sono scritti.
Nella rappresentazione mediante la proprietà caratteristica, l’insieme è definito enunciando la
proprietà che caratterizza in modo oggettivo e univoco ogni suo elemento. (la rappresentazione
mediante la proprietà caratteristica degli elementi di un insieme risulta utile quando l’insieme
contiene molti elementi).
I Sottoinsiemi
Si dice che l’insieme B è sottoinsieme dell’insieme A se tutti gli elementi di B appartengono anche
ad A.
Si scrive B ⊆ A e si legge “B è sottoinsieme di A”, o “B è incluso in A”, o “B è contenuto in A”.
Due insiemi sono uguali se sono formati dagli stessi elementi. Si scrive A=B
Per dire che A e B non sono uguali scriviamo A ≠ B .
Per stabilire che A=B è sufficiente controllare che sia: A ⊆ B e B ⊆ A .
1
Infatti se tutti gli elementi di A sono elementi di B ed anche tutti gli elementi di B sono elementi di
A ciò vuol dire che A e B sono uguali.
L’inclusione stretta
Si dice che l’insieme B è strettamente incluso nell’insieme A quando ogni elemento di B è anche
elemento di A, ma esistono elementi di A che non sono elementi di B.
Si scrive B ⊂ A e si legge “B è contenuto strettamente in A”, o “B è incluso strettamente in A”.
I sottoinsiemi propri e impropri
Dato un insieme A possiamo affermare che l’insieme vuoto è l’insieme stesso si dicono sottoinsiemi
impropri e si scrive: B ⊆ A e A ⊆ A .
Ogni sottoinsieme non vuoto strettamente incluso in un insieme si dice sottoinsieme proprio
dell’insieme.
Le Operazioni con gli Insiemi
Si dice intersezione di due insiemi A e B l’insieme degli elementi che appartengono sia ad A sia a
B.
Si scrive A ∩ B e si legge “A intersezione B” o “ A intersecato B”.
In simboli: A ∩ B = {x x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Se due insiemi non hanno elementi in comune, si dicono disgiunti.
Se A e B sono disgiunti, allora A ∩ B = ∅
Se A ⊆ B , allora A ∩ B = A
Si dice unione di due insiemi A e B l’insieme degli elementi che appartengono ad A o a B.
Si scrive A ∪ B e si legge “A unione B” o “ A unito B”.
In simboli: A ∩ B = {x x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Le operazioni di intersezione e di unione fra insiemi godono di proprietà analoghe a quelle per la
moltiplicazione e l’addizione fra i numeri.
• proprietà commutativa dell’intersezione e dell’unione: A ∩ B = B ∩ A
A∪ B = B ∪ A
• proprietà associativa dell’intersezione e dell’unione: ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
Si dice differenza di due insiemi A e B, considerati nell’ordine, l’insieme degli elementi di A che
non appartengono a B
Si scrive A − B e si legge “A meno B” .
In simboli: A − B = {x x ∈ A ∧ x ∉ B}.
Si dice complementare di un insieme A, rispetto a un insieme ambiente o universo U, l’insieme
degli elementi di U che non appartengono ad A.
−−
Si scrive A oppure CU A e si legge “Complementare di A rispetto ad U” .
In simboli: CU A = {x x ∈ U ∧ x ∉ A}.
Si dice prodotto cartesiano di due insiemi A e B, considerati nell’ordine, l’insieme di tutte le
coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene ad A e il secondo appartiene a B.
Si scrive A × B e si legge “A per B” o “ A cartesiano B”.
In simboli: A × B = {( x; y ) x ∈ A ∧ y ∈ B}.
2