Introduzione alla Teoria dei giochi e ai modelli di oligopolio

Introduzione alla Teoria dei giochi e ai
modelli di oligopolio
Pietro Garibaldi
Marta Bruschi
28 giugno 2014
Indice
1 Gioco in forma strategica
1.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Gioco con strategie finite . . . . . . . . . . . .
1.3 Gioco con strategie infinite . . . . . . . . . . .
1.4 Strategie dominanti forti . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Dilemma sociale . . . . . . . . . . . . .
1.5 Strategie dominanti deboli . . . . . . . . . . .
1.6 Equilibrio di Nash . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Equilibrio di Nash con strategie finite .
1.6.2 Equilibrio di Nash con strategie infinite
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3
5
6
7
8
10
14
14
17
2 Oligopolio e mercati concentrati
21
2.1 Modello di Cournot: competizione sulle quantità . . . . . . . . . . . 21
2.2 Modelli di Bertrand: competizione sui prezzi . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Modello di Bertrand con prodotti di↵erenziati . . . . . . . . . . . . 28
3 Gioco in forma estensiva
3.1 Rappresentazione ad albero . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Rappresentazione in forma strategica di un gioco dinamico
3.3 Sottogiochi e “subgame perfect equilibrium” . . . . . . . .
3.4 “Backward Induction” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Multipli SPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 SPE e strategie infinite . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Deterrenza all’entrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Strategie Miste
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31
34
35
38
41
43
46
52
1
2
CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA
Capitolo 1
Gioco in forma strategica
Fino a questo punto del corso di microeconomia abbiamo assunto che gli agenti
economici (consumatori, imprese concorrenziali o monopolistiche) sono razionali,
ma prendono decisioni in modo isolato dal contesto. Ovvero, nel prendere le
decisioni, gli individui ignorano il comportamento degli altri agenti.
In altre parole l’analisi microeconomica condotta fin’ora trascura due aspetti
fondamentali:
1. L’agente economico, per quanto razionale, è un animale sociale. Quindi
vive di interazioni.
2. Le decisioni di ciascun agente dipendono dalle decisioni degli altri agenti;
ovvero vi un’interazione strategica tra gli individui.
La teoria dei giochi studia il comportamento individuale in ambienti sociali in
cui le azioni di ciascun individuo influenzano gli altri.
Questo strumento di analisi può essere usato per studiare non solo il sistema
economico, ma anche altri ambienti sociali: per esempio la famiglia, la scuola, le
relazioni internazionali tra gli Stati.
È possibile definire un gioco come uno scambio sociale con regole prestabilite.
Tre sono gli elementi essenziali che costituiscono un gioco:
1. giocatori : agenti razionali;
2. strategie : scelte dei giocatori;
3. pay-o↵ : utilità dei giocatori.
Esempio 1:
1.1. DEFINIZIONI
3
Immaginiamo che i manager di due imprese, una manifattura e un’agenzia di
marketing, debbano decidere se formare una partnership oppure no. Il valore
congiunto totale delle due imprese sarebbe di 1, 000, 000 euro.
I due amministratori delegati possono scegliere tra due strategie : negoziare
direttamente con il management dell’altra azienda o affidare la negoziazione ad
un avvocato.
Se negoziano direttamente non devono sostenere alcuna spesa; mentre se
assumono un avvocato lo devono pagare 50, 000 euro, ma possono aumentare il
ricavo derivante dalla partnership di 100, 000 euro, a danno della controparte.
Quindi possiamo definire i pay-o↵ di ciascun manager come segue:
•
1000
2
= 500 : se entrambi negoziano direttamente;
• 600 50 = 550 : se il manager assume un avvocato, ma la controparte
negozia direttamente;
• 500 100 = 400 : se il manager negozia direttamente, ma la controparte
assume un avvocato;
• 500
50 = 450 : se entrambi i manager assumono un avvocato.
N.B. I pay-o↵ non rappresentano necessariamente i profitti delle imprese, ma
descrivono l’utilità che gli agenti traggono dal verificarsi di una certa
combinazione di strategie. In questo esempio specifico, l’utilità coincide con il
profitto delle imprese, perchè l’obiettivo dei manager nel decidere le modalità con
cui contrattare le condizioni della partnership, è ricavare il maggior profitto
possibile per la propria impresa.
È possibile e utile rappresentare questo tipo di gioco, in cui ci sono solo due
giocatori, che decidono simultaneamente, con la tabella sottostante:
CEO IND
1.1
direttamente
avvocato
CEO MKT
direttamente avvocato
500; 500
400; 500
550; 400
450; 450
Definizioni
Un gioco in forma strategica è definito da tre componenti:
1. giocatori;
4
CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA
2. insieme di strategie;
3. pay-o↵ di ciascun giocatore.
Definiamo:
• I l’insieme di tutti i giocatori;
• N il numero dei giocatori o #(I);
• k 2 I il giocatore k-esimo;
• Xk insieme delle strategie disponibili al giocatore k-esimo;
• xk 2 Xk una strategia disponibile al giocatore k-esimo;
Esempio:
• I= { CEO MKT. ; CEO IND.}
• N =2
• XIN D = {negoziare direttamente; avvocato}
• XM KT = {negoziare direttamente; avvocato}
Definiamo:
• x = (x1 , x2 , ..., xn ) profilo di strategie, che specifica per ogni giocatore
k-esimo, appartenente all’insieme dei giocatori I, una strategia disponibile
a k.
Q
• X = nk=1 X (prodotto cartesiano di tutti gli Xk ) l’insieme di tutte le
possibili combinazioni di strategie di tutti i giocatori.
• x i = (x1 , x2 , ..., xi 1 , xi+1 , ..., xn ) un profilo di strategie di tutti i giocatori
diversi da i;
Q
• X i = j6=i Xj l’insieme di tutte le possibili combinazioni di strategie di
tutti i giocatori diversi da i,
• x
i
2X
i
un profilo di strategie di tutti i giocatori diversi da i.
Esempio:
• xIN D = negoziare direttamente
• xM KT = x
IN D =
negoziare direttamente
1.2. GIOCO CON STRATEGIE FINITE
• x = (xIN D , xM KT ) = (xIN D , x
direttamente)
IN D )
5
= (negoziare direttamente, negoziare
• X = XIN D x XM KT = { (negoziare direttamente, negoziare direttamente),
(negoziare direttamente, avvocato), (avvocato, negoziare direttamente),
(avvocato, avvocato)}
N.B. Quindi un profilo di strategie x può essere definito in due modi equivalenti:
(x1 , x2 , ...xi , ....xn ) oppure (xi , x i )
Definiamo pay-o↵ di ogni giocatore una funzione che associa a ciascun profilo
strategico un numero reale:
Ui : X ! R
I pay-o↵ (o funzioni di utilità) di ciascun giocatore dipendono dalle strategie
scelte da tutti gli altri giocatori e rappresentano le preferenze del giocatore.
0
Formalmente: Ui (x) > Ui (x ) () il risultato che deriva dal profilo di stategie x
0
è preferito al risultato derivante dal profilo x .
Esempio:
• UIN D (negoziare direttamente; negoziare direttamente) = 500
• UIN D (negoziare direttamente; avvocato) = 400
• 500 > 400 () (negoziare direttamente; negoziare direttamente)
(negoziare direttamente; avvocato)
1.2
Gioco con strategie finite
Come anticipato nell’esempio della sezione (1.1), nel caso particolare in cui
#(I) = 2 e ogni giocatore ha un numero finito di strategie tra cui scegliere (X ha
un numero finito di elementi), la funzione pay-o↵ può essere rappresentata per
mezzo di una matrice. In questa matrice ogni riga corrisponde a una delle
strategie disponibili al giocatore 1 e ogni colonna a una delle strategie disponibili
al giocatore 2. In ogni riquadro della matrice sono inseriti due valori: il pay-o↵
del giocatore 1 (a sinistra) e il pay-o↵ del giocatore 2 (a destra). Generalizzando,
i pay-o↵ nel riquadro della matrice all’incrocio tra riga m e colonna n saranno:
U1 (m, n), U2 (m, n), cioè saranno i pay-o↵ dei giocatori quando il giocatore 1
sceglie la strategia m e il giocatore 2 sceglie la strategia n.
6
CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA
GIOC-1
1.3
1
...
m
...
n
1
U1 (1, 1);U2 (1, 1)
U1 (..., 1);U2 (..., 1)
U1 (m, 1);U2 (m, 1)
U1 (..., 1);U2 (..., 1)
U1 (n, 1);U2 (n, 1)
....
....
....
....
...
....
GIOC-2
m
U1 (1, m);U2 (1, m)
U1 (..., m);U2 (..., m)
U1 (m, m);U2 (m, m)
U1 (..., m);U2 (..., m)
U1 (n, m);U2 (n, m)
....
....
.....
.....
....
n
U1 (1, n);U2 (1, n)
U1 (..., n);U2 (..., n)
U1 (m, n);U2 (m, n)
....U1 (..., n);U2 (..., n)
U1 (n, n);U2 (n, n)
Gioco con strategie infinite
Fino a questo punto abbiamo assunto che i giocatori abbiano un numero finito di
strategie tra cui scegliere. Tuttavia ci sono situazioni che è meglio rappresentare
immaginando che i giocatori possano scegliere tra un numero infinito si strategie
o, più precisamente, assumendo che i giocatori possano scegliere un valore
all’interno di un intervallo continuo di numeri reali.
Esempio 2:
Due direttori dell’area marketing di una azienda, Ann e Beth, competono per la
promozione. Questi hanno un curriculum molto simile, ma l’uno dirige l’area
marketing del dipartimento nella regione settentrionale del paese e l’altra
responsabile del marketing del dipartimento nella regione meridionale.
Quindi lo scatto di carriera sarà aggiudicato a chi conseguirà i migliori risultati
nel corso dell’anno.
La scelta strategica che A. e B. devono prendere consiste nel budget da spendere
per la campagna promozionale. I loro pay-o↵ sono costituiti dal ricavo
complessivo del proprio dipartimento al netto delle spese per la pubblicità e in
relazione ai ricavi dell’altro dipartimento.
In questo caso è possibile rappresentare le strategie e i pay-o↵ come numeri reali
all’interno di un intervallo:
• Xi = [0, M ] , con i = {A, B} e M 2 R
• X = [0, M ] x [0, M ] ,
• Ui : [0, M ] x [0, M ] ! R
N.B. Nei giochi in forma strategica i giocatori scelgono simultaneamente. Inoltre,
fino a questo momento e per il resto di questo corso, abbiamo assunto e
assumeremo che tutti i giocatori sanno il valore esatto dei pay-o↵ di tutti i
giocatori.
In teoria dei giochi si dice che i pay-o↵ vengono considerati common
knowledge. Nella realtà questa assunzione non è mai completamente
1.4. STRATEGIE DOMINANTI FORTI
7
soddisfatta. Per studiare situazioni con informazione incompleta bisognerebbe
descrivere non solo le preferenze di ogni giocatore, ma anche cosa ogni giocatore
pensa circa i pay-o↵ degli altri e cosa pensa che gli altri pensino rispetto al
proprio pay-o↵. Questo procedimento è complesso e lo a↵ronterete a livelli più
avanzati del vostro percorso di studi.
Tuttavia ci sono situazioni che possono essere ben approssimate da una
rappresentazione con informazione completa. Per esempio nel caso dei due
manager in competizione tra loro: infatti questi condividono lo stesso obiettivo,
posseggono le stesse competenze e hanno accesso allo stesso tipo di informazioni
circa le caratteristiche del prodotto che vendono e del mercato che ognuno
a↵ronta. Quindi è realistico assumere che ognuno dei due sia in grado di
approssimare molto bene il valore dei pay-o↵ altrui.
1.4
Strategie dominanti forti
I pay-o↵ di ciascun giocatore dipendono dalle scelte di tutti gli altri giocatori.
Tuttavia, in alcune circostanze, il giocatore i-esimo può essere in condizione di
fare il seguente ragionamento: “Qualunque cosa scelgano gli altri giocatori, la
0
strategia xi è strettamente preferibile a qualunque altra strategia xi a me
disponibile. ”
Esempio 3:
• I= {1,2}
• X1 = { Top, Bottom }
• X2 = { Left, Right }
2
1
T
B
L
3; 3
2; 0
R
1; 2
0; 0
Top è una strategia dominante forte per 1 perchè:
• U1 (T, L) > U1 (B, L) (i.e. 3 > 2)
• U1 (T, R) > U1 (B, R) (i.e. 1 > 0)
Left NON è una strategia dominante forte per 2, perchè:
8
CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA
• U2 (T, L)> U2 (T, R) (i.e. 3 > 2)
• U2 (B, L) = U2 (B, R) (i.e. 0 = 0)
Definizione:
0
Una strategia xi 2 Xi è detta strategia dominante forte se 8xi 6= xi e 8x
8j 6= i vale la seguente disuguaglianza:
i
2 X i,
0
Ui (xi , x i ) > Ui (xi , x i )
Definizione:
Se CIASCUN giocatore ha una strategia dominante forte, la combinazione di
queste strategie è chiamata soluzione del gioco con strategie dominanti
forti.
Questo tipo di soluzione è la più robusta possibile in teoria dei giochi, perchè
richiede il minor numero di assunzioni circa il comportamento dei giocatori.
Infatti è sufficiente ipotizzare che ogni giocatore faccia il meglio dal suo punto di
vista. Mentre non è necessaria alcuna assunzione circa il comportamento degli
altri giocatori: la razionalità del comportamento degli altri giocatori e la
correttezza delle aspettative circa le loro scelte, dal punto di vista di ciascun
giocatore, non ha alcun e↵etto su quale strategia sia ottimale: la strategia
ottimale è la strategia dominante forte.
N.B. La soluzione del gioco va sempre espressa in termini di profilo di strategie
x = (xi , x i ) e non di pay-o↵ U= (Ui (xi , x i ) , U i (xi , x i )), perchè la soluzione
è sempre un profilo di strategie a cui sono associati dei pay-o↵.
1.4.1
Dilemma sociale
Esempio 4:
Due studenti, che condividono un appartamento, devono decidere se collaborare
nel pulire la cucina oppure non collaborare e non pulire.
• I = {studente-1, studente-2}
• Xi = {Cooperare, Non Cooperare} , i = {1, 2}
2
1
C
NC
C
2; 2
3; 0
NC
0; 3
1; 1
1.4. STRATEGIE DOMINANTI FORTI
9
• Per lo studente-1 Non Cooperare è una strategia dominante forte : U1 (NC,
C) > U1 (C, C) (i.e 3 > 2) e U1 (NC, NC)> U1 (C, NC) (i.e. 1 > 0)
• Per lo studente-2 Non Cooperare è una strategia dominante forte:
U2 (C, NC) > U2 (C, C) (i.e. 3 > 2) e U2 (NC, NC) > U2 (NC, C) (i.e. 1 > 0)
Quindi entrambi gli studenti non puliscono la cucina. Questo risultato è la
soluzione ottimale dal punto di vista individuale, anche se è sub-ottimale dal
punto di vista sociale, perchè gli studenti vivranno in una cucina sporca, mentre
preferirebbero una cucina pulita.
Infatti: U1 (C, C) > U1 (NC, NC) e U2 (C, C) > U2 (NC, NC). (i.e. 2 > 1)
Esempio 5: “Dilemma del prigioniero”
Il dilemma sociale viene anche chiamato dilemma del prigioniero, perchè fu
rappresentato per la prima volta con il seguente esempio.
Due delinquenti vengono catturati dalla polizia, che ha un numero di prove
sufficiente per incriminarli e condannarli ad una pena di 1 un anno di reclusione.
Se uno dei due confessa potrà godere di uno sconto di pena per aver collaborato
con la giustizia ed essere subito rilasciato, ma le informazioni fornite
permetterebbero di condannare il complice a cinque anni di reclusione.
Se entrambi confessano, entrambi verranno condannati a cinque anni di
detenzione, ma, per aver collaborato, gli sarà concesso uno sconto di due anni
sulla pena e quindi rimarranno in carcere solo 3 anni.
In sintesi:
• I = {delinquente-1, delinquente-2}
• Xi = {Confessare, Non Confessare} , i = { 1, 2}
2
1
NC
C
NC
-1; -1
0; -5
C
-5; 0
-3; -3
Come nel caso precedente per entrambi i giocatori Confessare è la strategia
dominante forte ( 0 > 1 e 3 > 5). Cosı̀ facendo però si condannano a 3 anni
di reclusione, mentre se avessero collaborato e taciuto avrebbero scontato solo un
anno di galera.
La contraddizione tra ciò che è ottimale dal punto di vista individuale e ciò che è
ottimale dal punto di vista collettivo costituisce un dilemma sociale. Questa
10
CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA
contraddizione è insuperabile nei giochi in forma strategica, poichè gli agenti non
hanno modo di coordinarsi. Si tratta della cosiddetta trappola della strategia
dominante.
Tuttavia nella realtà spesso si possono osservare soluzioni cooperative, diverse da
quelle rappresentate negli esempi precedenti. Ovvero, gli agenti economici spesse
volte sono in grado di raggiungere la soluzione che massimizza i pay-o↵ totali
(pareto efficiente).
Ad una prima analisi si potrebbe pensare che il modello sbagli nel modellare le
preferenze dei giocatori, i quali in realtà non agiscono in modo esclusivamente
egoista, ma posseggono un lato altruista che li porta a tutelare il bene comune.
Questa obiezione è discutibile e implicherebbe un cambiamento delle funzioni di
pay-o↵.
Esiste anche un’altra risposta, che non richiede di rinunciare all’ipotesi di
comportamento egoista da parte di tutti gli individui.
Infatti si noti che i giochi fin qui rappresentati prevedono che i giocatori
interagiscono una sola volta e le loro scelte, una volta fatte, non possano più
essere cambiate.
Questa assunzione è molto restrittiva, in quanto in situazioni reali gli agenti
interagiscono ripetutamente nel tempo, cioè il gioco viene replicato più e più
volte.
La rappresentazione dei giochi in forma ripetuta è sufficiente a superare la
trappola della strategia dominante, perchè permette ai giocatori di mettere in
atto strategie cooperative, ma coerenti con la natura egoista del loro agire.
Vedremo esempi di questa tipologia di giochi in seguito.
1.5
Strategie dominanti deboli
Ci sono situazioni in cui un giocatore non ha una strategia che gli garantisce un
pay-o↵ strettamente maggiore rispetto a quello prodotto da tutte le altre
strategie, a prescindere dalle scelte degli altri giocatori. Tuttavia è ancora
possibile individuare una strategia disponibile al giocatore che produca un pay-o↵
maggiore o uguale a quello prodotto da ogni altra. Infatti, per alcune strategie
disponibili agli altri giocatori, tale strategia produrrà un’utilità equivalente a
quella prodotta da strategie diverse; mentre per almeno un profilo di strategie
degli altri giocatori tale strategia produrrà un’utilità strettamente maggiore.
Questa strategia è detta dominante debole.
Definizione formale
0
xi 2 Xi , i 2 I è detta strategia dominante debole se 8xi 6= xi 2 Xi , 8j 6= i
vale:
1.5. STRATEGIE DOMINANTI DEBOLI
Ui (xi , x i )
Esempio 6:
0
b
Ui (xi , x i ) e 9 x
i
11
0
b i )> Ui (xi , x
b i)
2 X i 8j 6= i tale che Ui (xi , x
• I = {1, 2}
• X1 = {T, B}, X2 = {L, R}
2
1
T
B
L
3; 3
2; 0
R
1; 2
0; 0
• L dominante debole per il giocatore 2:
– U2 (T, L) > U2 (T, R), (i.e.3 > 2)
– U2 (B, L) = U2 (B, R), (i.e.0 = 0)
• T per 1 è dominante forte:
– U1 (T, L) > U1 (B, L), (i.e.3 > 2)
– U1 (T, R) > U1 (B, R), (i.e.1 > 0)
That is:
• Per il giocatore-1 sia che x1 = T o x1 = B =) L ⌫ R,
poichè se x1 = T =) L R mentre se x1 = B =) L ⇠ R.
• Per il giocatore-2 sia se x2 = L o x2 = B =) T
Esempio 7:
• I = {1, 2}
• X1 = {T, M, B}, X1 = {L, R}
2
1
T
M
B
L
1; 1
1; 0
0; 1
R
1; 1
0; 1
1; 0
B.
12
CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA
• Per il giocatore-1 T è dominante debole:
(
= U1 (M, L)
U1 (T, L)
> U1 (B, L)
(
> U1 (M, R)
U1 (T, R)
= U1 (B, R)
N.B. Il giocatore-2 è indi↵erente tra L e R!
Definizione
Se ciascun giocatore ha una strategia dominante debole, il profilo di strategie
composto dalle strategie dominanti deboli di tutti i giocatori è la soluzione del
gioco. Tale soluzione è chiamata soluzione in strategie dominanti deboli.
Esempio 8: Asta al secondo prezzo
Immaginiamo un’asta in cui il banditore mette in palio un quadro al miglior
o↵erente.
Regole dell’asta:
• Ogni giocatore deve scrivere su un foglio la propria o↵erta;
• vince chi fa l’o↵erta più alta;
• il vincitore pagherà un prezzo pari alla seconda o↵erta più elevata;
• se ci sono due o più o↵erte massime identiche, si tira a sorte il vincitore.
N.B. Nessuna regola formale vieta ai giocatori di fare un’o↵erta diversa rispetto
al vero valore che, in cuor loro, attribuiscono al quadro.
L’utilità di ciascun giocatore dipende dal valore che attribuisce all’oggetto, dalla
propria o↵erta e dalle o↵erte di tutti gli altri partecipanti all’asta.
Esempio:
Giocatori={A, B, C}, fanno le seguenti o↵erte:
OFFERTA
Vince il giocatore A, ma paga 90.
Notazione:
A
B C
100 80 90
1.5. STRATEGIE DOMINANTI DEBOLI
13
• n numero di partecipanti all’asta
• k + 1 numero di o↵erte massime uguali, cioè numero di giocatori che si
contendono il premio.
• vi valore che il giocatore i-esimo attribuisce al quadro;
• bi
0 o↵erta del giocatore i-esimo;
• r prezzo e↵ettivamente pagato dal giocatore che vince l’asta;
Pay-o↵:
Ui (b1 , b2 , ..., bi , .., bn ) =
Tesi:
(
0,
9j =
6 i t.c. bj > bi
vi r
bi bj , 8 j 6= i
k+1 ,
bi = vi è una strategia dominante debole.
Ovvero è ottimale dire la verità sul valore che si assegna al bene.
Dimostrazione:
Lo dimostriamo verificando che non esistono alternative migliori, qualunque
siano le o↵erte degli altri giocatori.
1. r < vi
8
>
bi > vi ! Ui = vi r
>
>
>
>
>
<bi = vi ! Ui = vi r
r < bi < vi ! Ui = vi r
>
>
i r
>
bi = r ! Ui = vk+1
< vi r
>
>
>
:b < r ! U = 0
i
i
2. r = vi
8
>
<bi > vi = r ! Ui = vi r = r r = 0
r r
i r
bi = vi = r ! Ui = vk+1
= k+1
=0
>
:
b i < v i = r ! Ui = 0
3. vi < r
8
bi > vi ! Ui = (vi r) < 0
>
>
>
<b = v < r ! U = 0b = r ! U =
i
i
i
i
i
>
b
<
v
<
r
!
U
=
0
i
i
i
>
>
:
v i < bi < r ! Ui = 0
vi r
k+1
<0
14
CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA
1.6
1.6.1
Equilibrio di Nash
Equilibrio di Nash con strategie finite
Esempio 9: “La battaglia dei sessi”
Immaginiamo una coppia di fidanzati che devono decidere come passare il sabato
pomeriggio. Sara vorrebbe andare al cinema, mentre Marco preferisce andare allo
stadio. La cosa più importante però è stare insieme. Quindi per Sara il pay-o↵
più alto è dato dall’andare insieme al cinema; mentre per Marco il pay-o↵ più
alto è dato dall’andare insieme allo stadio. Tuttavia entrambi preferiscono
rinunciare al proprio passatempo preferito, pur di stare con il partner.
Schematicamente:
• I= {Sara, Marco};
• Xsara = {Stadio, Cinema} ; Xmarco = {Stadio, Cinema}
Sara
CINEMA
STADIO
Marco
CINEMA STADIO
2; 1
0; 0
0; 0
1; 2
N.B. In questo gioco ci sono due soluzioni: (CINEMA, CINEMA) e (STADIO,
STADIO). Infatti, se Sara va al cinema, per Marco la scelta migliore è andare al
cinema con lei; mentre se Marco va allo stadio, per Sara la scelta migliore è
accompagnarlo allo stadio.
Definizione:
Dato x i =(x1 , ..., xi 1 , xi+1 , ...xn ), un profilo di strategie di tutti i giocatori
diversi dall’i-esimo e x⇤i 2 Xi , una strategia disponibile al giocatore i-esimo.
x⇤i si definisce miglior risposta dato x i se non esiste una strategia xi 2 Xi che
dà al giocatore i-esimo un pay-o↵ più alto: Ui (x⇤i , x i ) Ui (xi , x i ), 8xi 2 Xi
Definizione:
x⇤ = (x⇤1 , ..., x⇤i , ...x⇤n ) si definisce equilibrio di Nash se per ogni giocatore i 2 I
la strategia x⇤i è una miglior risposta al profilo di strategia x⇤ i di tutti gli altri
giocatori. In altre parole, x⇤i è la miglior risposta alle migliori risposte di tutti gli
altri giocatori.
In modo formale:
x⇤ è N.E. se 8i 2 I, Ui (x⇤i , x⇤ i ) Ui (xi , x⇤ i ), 8xi 2 Xi
1.6. EQUILIBRIO DI NASH
15
Si può dire che un profilo di strategie è un equilibrio se nessun giocatore ha
interesse a deviare unilateralmente, ovvero nessun giocatore può aumentare il
proprio pay-o↵ scegliendo una strategia diversa da x⇤i quando tutti gli altri
scelgono il profilo di strategie x⇤ i .
N.B.(1) Il concetto di equilibrio di Nash è più ampio e richiede meno assunzioni
rispetto alle soluzioni che abbiamo studiato in precedenza. Infatti: sia le
soluzioni in strategie dominanti forti, sia le soluzioni in strategie deboli sono
equilibri di Nash.
Esempio:
1)Il dilemma del prigioniero ha una soluzione in strategie dominanti forti data
dal profilo di strategie (Confessare, Confessare) e tale soluzione è un equilibrio di
Nash.
2
1
NC
C
NC
-1; -1
0; -5
C
-5; 0
-3; -3
2)Nell’asta al secondo prezzo, la soluzione in strategie dominanti deboli, data dal
profilo di strategie {bi = vi , 8i}, è un equilibrio di Nash.
N.B.(2) Ci possono essere più equilibri di Nash all’interno dello stesso gioco
strategico, cioè più soluzioni possono coesistere contemporaneamente.
Esempio:
La battaglia dei sessi è un tipico esempio di gioco con soluzioni multiple in
strategie dominanti deboli.
Sara
CINEMA
STADIO
Marco
CINEMA STADIO
2; 1
0; 0
0; 0
1; 2
Esempio 10: “Divisione di un tesoro”
Il capo di una tribù trova un cofanetto contenente 4 monete d’oro. Due famiglie
della tribù sostengono di esserne proprietarie. Per risolvere la disputa il capo
tribù decide che i membri delle due famiglie dovranno simultaneamente e
separatamente dire al capo tribù quante delle monete contenute nel cofanetto
vogliono tenere per sè.
16
CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA
Se complessivamente le richieste non sono maggiori di 4 monete, ogni famiglia
riceverà quanto richiesto e il capo tribù terrà per se stesso il resto. Invece se le
richieste complessivamente superano le 4 monete, il capo tribù terrà tutte le
monete per sè.
Studiamo il possibile comportamento delle famiglie per mezzo di un gioco in
forma strategica:
• I = {famiglia A, famiglia B }
• X = XA x XB = {0, 1, 2, 3, 4} x {0, 1, 2, 3, 4}
0
1
A 2
3
4
0
0;0
1;0
2;0
3;0
4;0
1
0;1
1;1
2;1
3;1
0;0
B
2
0;2
1;2
2;2
0;0
0;0
3
0;3
1;3
0;0
0;0
0;0
Quanti equilibri di Nash ci sono? 6! 8
x1 =(xA
>
>
>
>
>
x2 =(xA
>
>
>
<x3 =(x
A
Gli equilibri di Nash in questo gioco sono:
4
>
x =(xA
>
>
>
>
>x5 =(xA
>
>
: 6
x =(xA
4
0;4
0;0
0;0
0;0
0;0
= 0, xB
= 1, xB
= 2, xB
= 3, xB
= 4, xB
= 4, xB
= 4);
= 3);
= 2);
= 1);
= 0);
= 4).
N.B.(3) Una soluzione è sempre un equilibrio di Nash, ma non vale il viceversa.
Ovvero, affinchè un profilo di strategie possa essere una soluzione di un gioco,
deve essere un equilibrio di Nash, però non tutti gli equilibri di Nash sono anche
soluzioni di un gioco. Infatti studiando i giochi dinamici si vedrà che certi
equilibri di Nash sarebbero soluzioni improbabili.
REGOLA PRATICA PER TROVARE UN EQUILIBRIO DI NASH.
(In un gioco in forma strategica, con strategie finite e con due
giocatori).
Cominciamo, per convenzione dal giocatore in riga:
1.6. EQUILIBRIO DI NASH
17
1. Per il giocatore in riga, prendere in considerazione ad una ad una tutte le
strategie del giocatore in colonna e porsi la seguente domanda: “Se il
giocatore in colonna sceglie la strategia xcgiocatoreincolonna , quale strategia
deve scegliere il giocatore in riga per ottenere il pay-o↵ più alto possibile?”
In pratica: cercare per ogni colonna le celle con il pay-o↵ più alto. Quindi
sottolineare il contenuto della cella.
2. Per il giocatore in colonna, prendere in considerazione ad una ad una tutte
le strategie del giocatore in riga e porsi la seguente domanda: “Se il
giocatore in riga sceglie la strategia xrgiocatoreinriga , quale strategia deve
scegliere il giocatore in colonna per ottenere il pay-o↵ più alto possibile?”
In pratica: cercare per ogni riga le celle con il pay-o↵ più alto. Quindi
sottolineare il contenuto della cella
3. Ogni cella in cui entrambi i valori sono sottolineati riporta ad una coppia di
strategie che costituisce un equilibrio di Nash. Ovvero ciascuna strategia
della coppia è la miglior risposta che il giocatore può scegliere, data la
strategia scelta dall’altro giocatore.
Inserire esercizi?
1.6.2
Equilibrio di Nash con strategie infinite
Come abbiamo visto nelle sezioni precedenti, ci sono situazioni che è opportuno
rappresentare per mezzo di strategie continue. In questo caso il procedimento che
ci porta ad individuare gli equilibri di Nash è diverso da quanto visto fin’ora.
Esempio 11:
Immaginiamo uno studio legale in cui lavorino due avvocati. I profitti dello
studio dipendono dall’impegno congiunto di entrambi i partner nel lavoro.
Quindi la funzione dei profitti può essere rappresentata nel modo seguente:
⇧(x1 , x2 ) = 4x1 + 4x2 + x1 x2
I due avvocati dividono esattamente a metà i profitti dello studio. Ciascun
avvocato, non solo trae un guadagno crescente all’aumentare dei profitti, ma
a↵ronta anche un costo che cresce all’aumentare degli sforzi impiegati nel lavoro.
Ovvero, tante più ore lavorate e un maggior numero di clienti producono
maggiori ricavi, ma aumentano lo stress e la fatica e riducono il numero di ore
che una persona può dedicare ai propri hobby e agli a↵etti. Ogni ora in più
lavorata ha un costo via via più elevato.
La funzione di costo può essere rappresentata nel modo seguente:
C(xi ) = x2i ,
i 2 {1, 2}
18
CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA
• I = { avvocato-1, avvocato-2}
• X1 = X2 = I ✓ R
Pay-o↵:
1
Ui (xi , xj ) = ⇧(xi , xj ) C(xi )
2
1
= (4xi + 4xj + xi xj ) x2i
2
1
= 2xi + 2xj + xi xj x2i
2
i 2 {1, 2}, j 6= i
Per trovare l’equilibrio di Nash dobbiamo porci la seguente domanda: “qual’è la
quantità di lavoro, xi , che l’avvocato i-esimo deve scegliere per
massimizzare la sua utilità, data la scelta del partner, xj ?” Ovvero
dobbiamo trovare la funzione di reazione del giocatore i-esimo.
Soluzione formale:
A livello formale possiamo scrivere la funzione di reazione come:
x⇤i (xj ) = argmax Ui (xi , xj ), dato xj
E si ricava risolvendo il seguente problema di ottimizzazione:
max Ui (xi , xj )
xi
dato xj
F.O.C.
@Ui (xi , xj )
=0
@xi
2 + 12 xj 2xi = 0
2xi = 2 + 12 xj
1
x⇤i (xj ) = 1 + xj
4
Allo stesso modo possiamo trovare x⇤j (xi ).
L’equilibrio di Nash è costituito dalla coppia (x⇤i , x⇤j ), che troviamo risolvendo il
sistema:
(
x⇤i (x⇤j ) = 1 + 14 x⇤j
x⇤j (x⇤i ) = 1 + 14 x⇤i
(
x⇤i = 1 + 14 (1 + 14 xi )
...
(
x⇤i = 43
N.E. =
x⇤j = 1 + 14 ( 43 ) =
Soluzione Grafica:
Per ogni dato valore di xj , Uj = 2xi + 2xj + 12 xi xj
4
3
x2i è una parabola in xi :
Figura 1.1: Massimizzazione dell’utilità dell’i-esimo giocatore, per diversi valori di xj :
rappresentazione grafica
Le funzioni di reazione (o “best reply functions”), ricavate dal problema di
massimizzazione, possono essere rappresentate come segue:
L’equilibrio di Nash è costituito dalla coppia (x⇤i , x⇤j ), che troviamo in
corrispondenza dell’intersezione tra le due rette:
19
20
CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA
Figura 1.2: Funzione di reazione: rappresentazione grafica
Figura 1.3: Intersezione delle due funzioni di reazione: soluzione grafica del gioco
21
Capitolo 2
Oligopolio e mercati concentrati
Una delle applicazioni più interessanti di teoria dei giochi in economia riguarda
l’analisi del comportamento delle imprese.
Quando la produzione è portata avanti da un ridotto numero di imprese il
mercato viene definito oligopolio o mercato concentrato.
In alcuni settori le imprese fissano prezzi quasi identici, di conseguenza la
competizione avviene sulle quantità vendute ai consumatori. Un esempio di
concorrenza sulle quantità è rappresentato dall’industria casearia: il prezzo del
latte fissato dai diversi produttori è molto simile, di conseguenza la competizione
riguarda lo spazio occupato sugli sca↵ali dei supermercati.
Viceversa ci sono industrie in cui le unità di prodotto venduto ai consumatori
sono fissate e le imprese competono sui prezzi. Per esempio questo accade
nell’industria aeronautica: ogni aereo ha un numero prefissato di posti e le diverse
compagnie gareggiano sui prezzi per conquistare il maggior numero di clienti.
2.1
Modello di Cournot: competizione sulle
quantità
Immaginiamo un mercato in cui competono n imprese, le quali producono un
bene perfettamente omogeneo. Ogni impresa sostiene un costo marginale ci > 0,
con i = 1...n. Per semplicità assumiamo costi fissi uguali a zero.
La domanda aggregata è rappresentata dalla seguente funzione:
Q=
Pi=n
i=1
qi = A - P
P il prezzo di mercato, che tutte le imprese prendono come dato.
L’obiettivo delle imprese è massimizzare i pay-o↵, che in questo caso coincidono
con i profitti ⇧, scegliendo la quantità ottimale qi⇤ 2 R+
22
CAPITOLO 2. OLIGOPOLIO E MERCATI CONCENTRATI
Quindi questo modello appartiene alla categoria dei giochi con strategie infinite.
Se qi è la strategia dell’i-esima impresa e q i il profilo di strategie delle altre
n 1 imprese, possiamo definire le funzioni dei pay-o↵ come segue:
⇧i (qi ,q i ) = P qi
ci qi = (P
ci )qi = (A
Pi=n
i=1
qi
ci )qi
N.B. Riscrivendo
Pi=n la funzione della domanda aggregata in funzione di qi , si ottiene
P =A
i=1 qi .
Poichè siamo interessati alle quantità che le imprese scelgono di produrre per
massimizzare il loro profitto e il modello consiste in un gioco a strategie infinite,
per risolvere il modello dovremo applicare il metodo per trovare la soluzione di
un gioco a strategie infinite, che abbiamo studiato nel capitolo precedente.
Cerchiamo le funzioni di reazione:
max ⇧(qi ,q i )
s.t.q i = q⇤ i
F.O.C.
@⇧(qi , q⇤ i )
=
@qi
qi + A
i=n
X
qi
qi⇤
=
P
1
(A
2
⇤
j6=i qj
0 altrimenti
2qi + A
i=1
ci ) se A
X
qj⇤
ci = 0
j6=i
1
qi⇤ = (A
2
(
ci =
X
qj⇤
ci )
j6=i
P
⇤
j6=i qj
ci > 0
Esempio 12: Competizione sulle quantità con costi asimmetrici.
Ipotesi:
• n=2
• c1 = 30
• c2 = 50
• A = 130
(
• q1 =
1
(130
2
q2 30) se (130
0 altrimenti
q2
30) > 0
2.1. MODELLO DI COURNOT: COMPETIZIONE SULLE QUANTITÀ
• q2 =
(
1
(130
2
q1 50) se (130
0 altrimenti
q1
50) > 0
Soluzione
analitica:
(
1
q1 = 2 (130 q2 30)
q2 = 12 (130 q1 50)
2q1 = 130
2q1 = 130
q2 30
1
(130 q1
2
50)
30
1
q1 = 130 65 + 25 30
2
q1⇤ = 40
1
q2⇤ = (130 40 50) = 20
2
(
q1⇤ = 40
N.E. =
q2⇤ = 12 (130 40 50) = 20
2q1
Soluzione grafica:
Figura 2.1: Competizione sulle quantità con costi asimmettrici: soluzione grafica
23
24
CAPITOLO 2. OLIGOPOLIO E MERCATI CONCENTRATI
Esempio 13.1: Competizione sulle quantità con costi asimmettrici con
n imprese
Generalizziamo il modello a n imprese.
Le funzioni di reazione delle n imprese sono date da:
8
>
q1 = 12 (A (q2 + q3 + ... + qn ) c1 )
>
>
>
>
>.
>
>
>
>
>
<.
qi = 12 (A (q1 + q2 + q3 + ... + qi 1 + qi+1 ... + qn ) ci )
>
>
>
.
>
>
>
>
>
.
>
>
>
:q = 1 (A (q + q + q + ... + q ) c )
n
1
2
3
n 1
n
2
Generalizzando:
P
qi = 12 (A
j6=i qj
ci )
La domanda aggregata è data da:
(2.1)
i=n
X
(2 + n
1)
i=1
i=n
X
i=1
i=n
X
1
qi = (nA
2
(n
i=1
i=n
X
qi = (nA
1)
i=n
X
qi
i=n
X
ci )
i=1
ci )
i=1
qi =
(nA
Pi=n
i=1
ci )
n+1
i=1
Quindi sostituendo nella funzione di reazione delle i-esima impresa otteniamo:
X
1
qi = (A
2
qi = A
qi =
ci )
j6=i
1
qi = (A
2
2qi
qj
j=n
X
(
qi
j=1
(nA
(n + 1
qi )
Pi=n
i=1
ci )
ci )
ci
n+1
P
n)A + i=n
i=1 ci )
n+1
(n + 1)ci
2.1. MODELLO DI COURNOT: COMPETIZIONE SULLE QUANTITÀ
25
P
A + i=n
i=1 ci )
=
ci
n+1
Esempio 13.2: Competizione sulle quantità con costi simmettrici con n
imprese
qi⇤
Se ci = c 8i = 1..n, allora:
qi⇤
P
A + i=n
i=1 ci )
=
ci
n+1
A + nc nc c
=
n+1
A c
=
n+1
8i = 1...n
Quindi potremmo riscrivere la domanda aggregata come:
P =A
=A
Q
nq ⇤
A c
= A n(
)
n+1
A
nc
=
+
n+1 n+1
Nota che:
1. Le imprese hanno un mark-up, ovvero fanno profitti positivi se:
P> c ()
A
n+1
nc
+ n+1
> c () A > c. (A è il prezzo massimo che i
consumatori sono disposti a pagare).
2. Se il numero di imprese tende a infinito, la quantità prodotta tende a zero e
il prezzo di equilibrio di Cournot tende al costo marginale, cioè al prezzo di
equilibrio nel modello di concorrenza perfetta:
limn!1
A
n+1
= 0 e limn!1
A
n+1
+
nc
n+1
= c, (limn!1 n + 1 ⇡ n)
In pratica il modello di Cournot conferma l’assunzione del modello di
concorrenza perfetta, secondo il quale, in un mercato con un numero
molto elevato di imprese che producono lo stesso bene, ogni singola
impresa ignora l’e↵etto che la propria produzione ha sul prezzo del bene
stesso.
26
CAPITOLO 2. OLIGOPOLIO E MERCATI CONCENTRATI
2.2
Modelli di Bertrand: competizione sui
prezzi
Il modello di base di Bertrand configura un caso estremo di competizione di
prezzo e assume che:
• Le imprese producano un bene omogeneo;
• Le imprese siano in grado di produrre qualunque quantità di bene, al
prezzo fissato;
• L’impresa che fissa il prezzo più basso di tutte cattura tutto il mercato;
• Se più imprese fissano lo stesso presso più basso, si dividono il mercato in
parti uguali;
• Le imprese hanno costi fissi pari a zero e uguali costi marginali: ci = c per
tutte le n imprese sul mercato.
In modo formale possiamo dire che se Q = A P è la domanda aggregata e n è il
numero di imprese nel mercato: A è il prezzo massimo che i consumatori sono
disposti a pagare e P = min{P1 , P2 , ....Pn } è il prezzo di mercato.
Quindi ogni imprese dovrà scegliere il prezzo, Pi 2 R+ , a cui vendere il bene, in
modo da massimizzare il proprio pay-o↵, che coincide con i profitti:
8
>
<(Pi c)Q = (Pi c)(Pi A), se Pi = min{P1 , P2 , ....Pn }
⇧i = k1 (Pi c)(Pi A), se k  n imprese fissano Pi = min{P1 , P2 , ....Pn }
>
:
0, se Pi > min{P1 , P2 , ....Pn }
Soluzione analitica:
Per trovare l’equilibrio di Nash che risolve il modello, procediamo verificando se,
per ogni possibile combinazione (P1 , P2 ) esiste una deviazione profittevole per
almeno uno dei due giocatori.
1)P1 6= P2
i) P1 > P2 > c:
q1 = 0 ! ⇧1 = 0 e q2 = Q ! ⇧2 = (P2 c)Q
0
0
9 P1 tale che c < P1 < P2 ! ⇧1 > 0.
0
Quindi P1 costituisce una deviazione profittevole per 1.
ii) P2 > P1 > c
(Stesso ragionamento del punto precedente, invertendo i pedici).
2.2. MODELLI DI BERTRAND: COMPETIZIONE SUI PREZZI
iii) P2 > c P1 :
q1 = Q, ma ⇧1  0 e q2 = 0 ! ⇧2 = 0
0
0
9 P1 tale che c < P1 < P2 ! ⇧1 > 0.
0
Quindi P1 costituisce una deviazione profittevole per 1.
iv) P1 > c P2
(Stesso ragionamento del punto precedente, invertendo i pedici).
v) c P1 > P2
q1 = 0 ! ⇧1 = 0 e q2 = Q, ma ⇧2 < 0
0
0
9 P2 tale che c c = P2 > P2 ! ⇧2 = 0.
0
Quindi P1 costituisce una deviazione profittevole per 1.
vi) c P2 > P1
(Stesso ragionamento del punto precedente, invertendo i pedici).
Nessuna coppia tale che P1 6= P2 costituisce un Equilibrio di Nash e
soluzione del modello.
Proviamo ora con:
2) P1 = P2
i) P1 = P2 > A
q1 = q2 = 0 ! ⇧1 = ⇧2 = 0
0
0
0
0
9 P2 e 9 P1 tali che c < P1 = P2 < A ! ⇧2 = ⇧1 > 0.
0
0
Quindi P1 e P2 costituiscono una deviazione profittevole per 1.
ii) A > P2 = P1 > c
q1 = q2 = 12 Q ! ⇧1 = ⇧2 = 12 (P c)Q
0
0
9 c < P2 < P1 e 9 c < P1 < P2 tale che q2 = Q o q1 = Q,
0
0
! ⇧2 = (P2 c)Q o ⇧1 = (P1 c)Q
0
0
Quindi P1 e P2 costituiscono una deviazione profittevole per 1.
iii) P2 = P1 < c
q1 = q2 = 12 Q ! ⇧1 = ⇧2 < 0
0
0
9 P2 c e 9 P1 c tale che q2 = 0 o q1 = 0 e ⇧2 = 0 o ⇧1 = 0
0
Quindi P1 costituisce una deviazione profittevole per 1.
iv) P1 = P2 = c
q1 = q2 = 12 Q e ⇧1 = ⇧2 = 0
0
0
8 P2 < P1 = c ! ⇧2 < 0 e 8P2 > P1 = c ! ⇧2 = 0 ; lo stesso vale per 1.
Quindi non esiste una deviazione profittevole per entrambi i giocatori.
Quindi
P1 = P 2 = c
27
28
CAPITOLO 2. OLIGOPOLIO E MERCATI CONCENTRATI
è l’equilibrio di Nash e la soluzione del modello.
Nota che:
In questo modello la guerra dei prezzi porta al risultato concorrenziale, anche in
presenza di duopolio. Il risultato è generalizzabile a n > 2.
Questo risultato è molto diverso dalla soluzione del modello di Cournot, dove
tutte le imprese facevano profitti positivi, tendenti a zero solo se il numero di
imprese sul mercato tendeva ad infinito. Questa di↵erenza è determinata dalla
non continuità del modello di Bertrand: cioè dal fatto che un cambiamento
marginale nel prezzo sposta completamente la domanda da un produttore ad un
altro.
Nella realtà questo risultato non si verifica quasi mai, perchè nella quasi totalià
dei casi i beni non sono perfettamente omogenei, come si assume in questo
modello. In altre parole, quando un consumatore deve scegliere da che impresa
acquistare, non bada solo ed esclusivamente al prezzo, ma a una serie di
caratteristiche del prodotto. Di conseguenza un cambiamento marginale del
prezzo non è sufficiente a spostare tutta la domanda di mercato nel mondo reale.
Inoltre bisogna tenere presente che in questa specificazione del modello si
ipotizza che le imprese decidono una volta per tutte e simultaneamente il prezzo
del loro prodotto. Anche questa ipotesi è irrealistica. Sarà modificata e corretta
per mezzo dei giochi ripetuti, che studierete più avanti lungo il vostro percorso di
studi.
2.3
Modello di Bertrand con prodotti
di↵erenziati
In questa variazione del modello assumiamo che ci siano due imprese che
producono due beni simili, ma non perfettamente sostituibili. Ovvero anche se
una delle due imprese fissa un prezzo più alto dell’altra, non perde tutti i
consumatori.
Questa ipotesi è rappresentata dalla domanda per il bene dell’impresa i-esima:
qi (P1 , P2 ) = A
Pi
(Pi
P̄ )
dove il termine (Pi P̄ ) è la di↵erenza tra prezzo i-esimo e prezzo medio di
mercato. Se Pi > P̄ , la domanda i-esima diminuisce, ma non si azzera.
Esempio 14.1: concorrenza di prezzo, beni di↵erenziati, costi diversi
Ipotesi:
• n=2
• P̄ =
(P1 +P2 )
2
2.3. MODELLO DI BERTRAND CON PRODOTTI DIFFERENZIATI
29
• q1 (P1 , P2 ) = A
P1
(P1
P̄ ) = A
P1
(P1
P1 +P2 )
)
2
=A
3
P
2 1
+ 12 P2
• q2 (P1 , P2 ) = A
P2
(P2
P̄ ) = A
P2
(P2
P1 +P2 )
)
2
=A
3
P
2 2
+ 12 P1
• c1 < A
• c2 < A
• ⇧1 = (P1
c1 )q1 = (P1
c1 )(A
3
P
2 1
+ 12 P2 )
• ⇧2 = (P2
c2 )q2 = (P2
c2 )(A
3
P
2 2
+ 12 P1 )
Per trovare l’equilibrio di Nash soluzione del modello, usiamo il procedimento
standard che si applica nei giochi con strategie infinite:
Soluzione analitica:
1) Massimizziamo ⇧i rispetto a Pi e dalle F.O.C. ricaviamo le funzioni di
reazione: (il problema è simmetrico, quindi è sufficienti calcolare una sola
derivata parziale).
@⇧
=A
@Pi
3
1
Pi + Pj + (Pi
2
2
ci )(
3
)=0
2
F.O.C.
2A
3Pi + Pj
3Pi + 3ci = 0
1
1
1
Pi⇤ (Pj ) = A + Pj + ci
3
6
2
2) Risolviamo il sistema:
(
P1⇤ (P2 ) = 13 A + 16 P2 + 12 c1
P2⇤ (P1 ) = 13 A + 16 P1 + 12 c2
(
P1⇤ (P2 ) = 13 A + 16 ( 13 A + 16 P1 + 12 c2 ) + 12 c1
P2⇤ (P1 ) = 13 A + 16 P1 + 12 c2
(
3
P1⇤ = 25 A + 18
c + 35
c2
35 1
2
18
3
⇤
P2 = 5 A + 35 c2 + 35 c1
Soluzione grafica:
Figura 2.2: Concorrenza di prezzo, beni di↵erenziati, costi diversi: soluzione
grafica
Esempio 14.1: concorrenza di prezzo, beni di↵erenziati, costi uguali
Se i costi sono uguali: c1 = c2 = c, la soluzione diventa:
2
3
P1⇤ = P2⇤ = A + c
5
5
I profitti delle imprese sono positivi? Ovvero le imprese sono in grado
di ottenere un mark-up quando i beni sono di↵erenziati?
P > c () P
c > 0 ()
2
A
5
+ 35 c
c > 0 ()
2
(A
5
c) > 0
Questa disuguaglianza è sempre vera, date le ipotesi del modello. Quindi
possiamo concludere che, se n = 2 e i prodotti sono di↵erenziati, le imprese
30
31
fisseranno P > c e otterranno profitti positivi.
Capitolo 3
Gioco in forma estensiva
Nei giochi esaminati fino a questo momento (giochi in forma strategica), i
giocatori scelgono le proprie strategie in modo simultaneo e si incontrano una
sola volta.
Questa tipologia di giochi rende impossibile studiare situazioni in cui gli agenti
agiscono in modo sequenziale, ovvero scelgono le proprie azioni uno dopo l’altro e
possono osservare le scelte fatte in precedenza dagli altri giocatori.
Questi giochi si dicono giochi dinamici o giochi in forma estensiva.
3.1
Rappresentazione ad albero
I giochi in forma estensiva si rappresentano con uno schema ad albero. Un albero
è formato da un insieme di nodi e rami. Ogni ramo parte da un unico nodo e
conduce ad un unico nodo. Ogni albero ha un solo nodo a cui non arriva alcun
ramo, chiamato radice e molteplici nodi da cui non partono altri rami, chiamati
foglie. (Fig. 3.1)
Formalmente:
Nell’ambito dei giochi in forma estensiva si usa la seguente notazione:
N insieme dei nodi del gioco
In giocatori attivi al nodo n
Ani insieme delle azioni disponibili al giocatore I nel nodo n.
Q
xn = {ani }i2In 2 An = i2In Ani profilo di azioni scelto dai giocatori attivi al
nodo n.
⇡ l = {⇡il }i2I 2 RI pay-o↵ dI ogni giocatore nelle foglia l.
32
CAPITOLO 3. GIOCO IN FORMA ESTENSIVA
Figura 3.1: Gioco dinamico: schema ad albero
Strategie nei giochi in forma estensiva
Nei giochi in forma estensiva le strategie sono l’insieme che specifica le azioni che
i giocatori intraprendono o intraprenderebbero in ciascun nodo in cui sono attivi.
Formalmente:
Ni insieme dei nodi in cui il giocatore i è attivo;
Ani insieme delle azioni disponibili a i nel nodo n;
Q
xi = {ani }n2Ni 2 Ai = n2Ni Ani una strategia del gioctaore i, che specifica le
azioni che il giocatore i sceglierà ad ogni nodo in cui è attivo.
Esempio 15:
(Fig.3.2)
• Il giocatore 1 ha due stategie: { a; b };
• il giocatore 2 ha quattro strategie: { (c,e); (c,f); (d,e); (d,f) }
Esempio 16.1:
(Fig 3.3)
• Il giocatore 1 ha quattro stategie: { (a; e), (a;f), (b;f), (b;e) };
3.1. RAPPRESENTAZIONE AD ALBERO
Figura 3.2: Gioco Dinamico 1
Figura 3.3: Gioco Dinamico 2
33
34
CAPITOLO 3. GIOCO IN FORMA ESTENSIVA
• il giocatore 2 ha due strategie: { c; d }
Nota: Perchè la strategia (b,f) del giocatore 1 comprende l’azione f , che 1
avrebbe intrapreso ad un nodo che non può raggiungere, proprio perchè nel nodo
precedente sceglie b?
Ci sono due possibili spiegazioni:
1. Una strategia descrive sempre cosa il giocatore intende fare ad ogni nodo in
cui è attivo, perchè c’è una probabilità positiva che per qualche motivo il
giocatore non riesca a intraprendere l’azione che vorrebbe al nodo
precedente.
2. La strategia di un giocatore è osservata anche dagli altri giocatori, che
prendono le loro decisioni tenendo in considerazione le scelte altrui ad ogni
nodo. Quindi per ogni giocatore è utile sapere quale sarebbe la scelta degli
altri se il gioco arrivasse ad un certo nodo, piuttosto che ad un altro, in
seguito ad una loro azione, per decidere cosa fare.
3.2
Rappresentazione in forma strategica di un
gioco dinamico
Una volta definite le strategie di ogni giocatore, se il gioco dinamico comprende
solo due giocatori, è possibile rappresentare il gioco in forma strategica.
Possiamo rappresentare il gioco dell’esempio precedente con la seguente tabella:
Esempio 16.2:
Giocatore-2
A
B
(C;E)
2; 1
1; 2
Giocatore-1
(C;F) (D;E)
2; 1
0;0
0;0
1; 2
(D;F)
0;0
0;0
Gli equilibri di Nash sono dati dalle seguenti coppie di strategie:
1. {A, (C;E)}
2. {A, (C;F)}
3. {B, (D;E)}
3.3. SOTTOGIOCHI E “SUBGAME PERFECT EQUILIBRIUM”
35
Nota: Il terzo equilibrio ignora l’aspetto dinamico del gioco. Infatti la
strategia (D;E) è da leggersi cosı̀: il giocatore-2 sceglie D , se il giocatore-1 sceglie
A e sceglie E se il giocatore-1 sceglie B.
Poichè D porta ad un pay-o↵ zero per entrambi i giocatori, mentre E dà un
pay-o↵ 1 al giocatore-1 e 2 al giocatore-2, il giocatore-1 preferisce scegliere B
quando tocca a lui.
In altre parole, B è la miglior risposta che 1 può dare a (D, E)
Tuttavia, se il giocatore-1 deviasse e scegliesse comunque A davvero tutti
rischierebbero di ottenere un pay-o↵ nullo? No! Perchè la miglior risposta di 2 a
A è C, non D.
Questa soluzione ignora il fatto che 2 osserva cosa sceglie 1 prima di
agire. Avrebbe senso solo se 2 potesse in qualche modo impegnarsi a scegliere d
se 1 sceglie a.
3.3
Sottogiochi e “subgame perfect
equilibrium”
Come abbiamo visto nell’esempio precedente, nei giochi in forma estensiva
esistono degli equilibri di Nash che non tengono in considerazione della
dimensione dinamica del gioco.
Come possiamo eliminare questi equilibri? Di quali condizioni aggiuntive
abbiamo bisogno?
Ogni gioco in forma estensiva può essere scomposto in sottogiochi: ogni nodo,
che non sia una foglia, definisce un sottogioco
Esempio 17.1:
(Fig. 3.4)
Questo gioco, può essere scomposto in tre sotto-giochi:
36
CAPITOLO 3. GIOCO IN FORMA ESTENSIVA
Figura 3.4: Scomposizione in sottogiochi
Definizione
I “Subgame Perfect Equilibria” (SPE) sono un sottoinsieme degli Equilibri di
Nash.
Un profilo di strategie che costituisce un equilibrio di Nash è anche un SPE se è
un equilibrio di Nash in ciascun sotto-gioco in cui può essere scomposto il gioco.
Esempio 17.2:
Dato il gioco dell’esempio precedente, troviamo per ciascun sotto-gioco il profilo
di strategie che definisce un equilibrio di Nash. (Fig. 3.5, 3.6).
Quindi il SPE è : {A; (E,C)}
Nota
In ogni stadio del gioco i giocatori agiscono come se non avessero memoria,
ovvero scelgono la strategia ottimale senza considerare quanto accaduto nelle fasi
del gioco precedenti. Quindi qualunque tipo di vendetta intrapresa da un
giocatore in risposta all’azione di un altro nella fase precedente è priva di
significato in questo contesto e il comportamento degli agenti è mirato solo ad
ottenere il massimo pay-o↵ da quella fase in avanti.
3.3. SOTTOGIOCHI E “SUBGAME PERFECT EQUILIBRIUM”
Figura 3.5: Primo e secondo sottogioco con equilibri di Nash evidenziati.
Figura 3.6: Terzo sottogioco con SPE evidenziato.
37
38
3.4
CAPITOLO 3. GIOCO IN FORMA ESTENSIVA
“Backward Induction”
Il metodo, che abbiamo appena applicato, per cercare i SPE costituisce una
soluzione a ritroso del gioco: si parte dai sottogiochi definiti dagli ultimi nodi
prima delle foglie e poi si passa a sottogiochi più ampi, fino ad arrivare al gioco
nel suo complesso.
Per ogni sottogioco si identificano i pay-o↵ che conducono alla strategia ottimale
per ciascun giocatore.
Esempio 18:
Dato questo gioco, cerchiamo i SPE utilizzando la soluzione a ritroso:
Figura 3.7: Gioco Dinamico 3
1) Partiamo dal sottogioco più piccolo: il giocatore-1 sceglie F, che gli garantische
un pay-o↵ di 5, mentre E gli garantirebbe un pay-o↵ solo di 4. (Fig. 3.8)
2) Passiamo al nodo superiore e cerchiamo l’equilibrio di Nash in questo
sottogioco: sapendo che se si arriva al nodo successivo il giocatore-1 sceglie F, il
giocatore-2 preferisce scegliere D che gli garantische un pay-o↵ di 3, mentre
scegliere C darebbe a 1 la possibilità di scegliere F e cosı̀ 2 otterebbe un pay-o↵
di 2. (Fig. 3.9)
3.4. “BACKWARD INDUCTION”
Figura 3.8: Primo sottogioco del gioco dinamico 3: SPE evidenziato
Figura 3.9: Secondo sottogioco del gioco dinamico 3: SPE evidenziato
39
40
CAPITOLO 3. GIOCO IN FORMA ESTENSIVA
3) Infine, passando al nodo ancora superiore: il giocatore 1 sa che se sceglie a il
giocatore-2 al nodo successivo sceglierà D e cos 1 otterrà un pay-o↵ nullo, se
invece sceglie subito B ottiene pay-o↵ 1, quindi preferisce B. (Fig. 3.10)
Figura 3.10: Terzo sottogioco del gioco dinamico 3: SPE evidenziato
Quindi il SPE è : { (B;F), D }.
Soluzione in forma strategica
Utilizzando la rappresentazione in forma strategica e cercando le migliori risposte
di ogni giocatore ad ogni strategia della controparte, troviamo tutti gli equilibri
di Nash del gioco.
Come si può notare sono due: peró solo uno dei due è anche un SPE, l’altro non
tiene conto della dinamica del gioco, come spiegato nell’esempio precedente.
Giocatore-2
(a;e)
(a;f)
(b;e)
(b;f)
Giocatore-1
c
d
4; 4
0; 3
5;2
0; 3
1; 0
1; 0
1; 0
1; 0
3.4. “BACKWARD INDUCTION”
3.4.1
41
Multipli SPE
Esempio 19:
Figura 3.11: Gioco dinamico 4
Nel sottogioco più piccolo il giocatore-2 è indi↵erente tra C e D, perchè gli
garantiscono lo stesso pay-o↵. (Fig. 3.12)
Quindi se il giocatore-2 sceglie C, la miglior risposta del giocatore-1 sarà B
(30 > 25). (Fig. 3.13)
Se il giocatore 2 sceglie D, la miglior risposta del giocatore 1 è A (25 > 20). (Fig.
3.14)
42
CAPITOLO 3. GIOCO IN FORMA ESTENSIVA
Figura 3.12: Primo sottogioco del gioco dinamico 4: SPE evidenziato
Figura 3.13: Secondo sottogioco del gioco dinamico 4: primo SPE evidenziato
Figura 3.14: Secondo sottogioco del gioco dinamico 4: secondo SPE evidenziato
3.4. “BACKWARD INDUCTION”
43
Quindi ci sono due SPE: { B;C } e { A;D }.
3.4.2
SPE e strategie infinite
Fin’ora abbiamo rappresentato giochi in cui gli agenti scelgono tra un numero
finito di strategie, ma ci possono essere dei giochi in forma estensiva in cui gli
agenti devono scegliere tra un numero infinito di strategie. Il metodo di
risoluzione non cambia.
Esempio 20: Competizione di quantità con impresa leader
Immaginiamo di avere un duopolio in cui l’impresa-1, che chiameremo impresa
leader, può scegliere per prima la quantità da produrre; l’impresa-2, che
chiameremo impresa follower osserva e poi decide che quantità produrre.
L’impresa leader può scegliere qualsiasi quantità positiva. Lo stesso vale per
l’impresa follower. Possiamo rappresentare il gioco con il seguente schema ad
albero:
Figura 3.15: Gioco dinamico con strategie infinite
Cerchiamo il SPE del gioco con backward induction:
La domanda aggregata è definita dalla seguente espressione:
P =A
q1
q2
44
CAPITOLO 3. GIOCO IN FORMA ESTENSIVA
Assumiamo, per semplificare, che i costi, sia fissi che variabili, siano uguali a zero.
1)Partiamo dall’impresa follower : dato q1 , cioè la quantità prodotta dall’impresa
leader, l’impresa follower massimizza i suoi profitti.
q2⇤ =argmax⇧2 (q1 , q2 ) = P ⇤ q2 = [A
q1
q2 ] ⇤ q2
F.O.C.
⇧2
@x2
=A
q1
q2
1
q2⇤ = (A
2
q2 = 0
q1 )
Questa è la funzione di reazione dell’impresa follower, dato q1 .
2) Ora passiamo al nodo precedente dell’albero e vediamo come si comporta
l’impresa leader, sapendo quale sarà la reazione del follower.
La quantità totale domandata diventa:
Q = q 1 + q2 = q1 +
(A
q1 )
2
q1 + A
=
2
Quindi la domanda aggregata diventa:
P =A
q1 + A
2
q1
Q=A
=
A
2
L’impresa leader: data la funzione di reazione dell’impresa f ollower, massimizza i
profitti:
q1⇤ =argmax⇧1 = P ⇤ q1 = ( A 2 q1 ) ⇤ q1
F.O.C.
@⇧1
@q1
=
A q1
2
q1
2
=0
3.4. “BACKWARD INDUCTION”
45
q1⇤ =
A
2
Sostituendo nella funzione di reazione dell’impresa follower otteniamo q2⇤ :
1
q2⇤ = (A q1 )
2
1
= (A A/2)
2
A A
A
=
=
2
4
4
Confrontiamo Stackelberg con Cournot
(
Stackelberg : A2 + A4 = 34 A
Q⇤ = q1⇤ + q2⇤ =
Cournot : A3 + A3 = 23 A
QStackelberg > QCournot
(
Stackelberg : (A
⇧leader = P ⇤ q1⇤ =
Cournot : (A A3
⇧leader,Stackelberg > ⇧leader,Cournot
(
Stackelberg : (A
⇧f ollower = P ⇤ q2⇤ =
Cournot : (A A3
A
2
A
3
A A
) = 14 A A2 = 18 A2
4 2
= ( 13 A)( 13 A) = 19 A2
A
2
A
3
A A
1
) = 14 A A4 = 16
A2
4 4
= ( 13 A)( 13 A) = 19 A2
⇧f ollower,Stackelberg < ⇧f ollower,Cournot
Nota: In Stackelberg la posizione di leader determina un profitto maggiore.
Soluzione grafica
46
3.5
CAPITOLO 3. GIOCO IN FORMA ESTENSIVA
Deterrenza all’entrata
Nei modelli visti fino ad ora (concorrenza perfetta, monopolio, oligopolio,
concorrenza monopolistica), l’entrata nel mercato da parte delle imprese è libera
o è bloccata.
Invece nei mercati oligopolistici spesso la concorrenza si sviluppa tra imprese già
operanti sul mercato e imprese che minacciano di entrare nel mercato.
Una delle possibili conseguenze dovute all’entrata di una nuova impresa sul
mercato è lo scoppio di una guerra di prezzi tra “vecchie” e “nuove” imprese.
Esito positivo per i consumatori e negativo per le imprese. Tuttavia questo
scenario non sempre si avvera.
Nei prossimi modelli studieremo le condizioni che possono portare ad una guerra
di prezzi e quali strumenti le imprese già sul mercato mettono in atti come
deterrenti all’entrata.
Esempio 21:
Immaginiamo un mercato con due imprese: impresa già operante sul mercato e
impresa che intende entrare nel mercato.
Possiamo rappresentare questo gioco come un gioco dinamico in due stadi: in un
primo momento l’impresa entrante decide se entrare o no nel mercato, in un
secondo momento le due imprese decidono simultaneamente se scatenare una
guerra di prezzo. Quindi nel secondo tempo si gioca un gioco in forma strategica.
3.5. DETERRENZA ALL’ENTRATA
Figura 3.16: Gioco dinamico 5
47
48
CAPITOLO 3. GIOCO IN FORMA ESTENSIVA
Schematicamente:
• Strategie dell’impresa già sul mercato = { Guerra di prezzo; Non
guerra di prezzo}
• Strategie dell’impresa entrante = { (Stare Fuori; Guerra di prezzo),
(Entrare, Guerra di prezzo); (Stare Fuori, Non guerra di prezzo); (Entrare,
Non guerra di prezzo) }
Risolviamo il gioco con backward induction:
1) Partiamo dal gioco in forma strategica del secondo stadio e poi definiamo la
decisione dell’impresa entrante.
Giocatore-2
Non guerra
Guerra
Giocatore-1
Non guerra Guerra
16; 16
5; 20
20;5
8; 8
Nel sotto-gioco, dati questi pay-o↵, l’equilibrio di Nash è : (Guerra di
prezzo, Guerra di prezzo).
2) Passando al nodo precedente:
Figura 3.17: Gioco dinamico 5: SPE
Il SPE è : ((Stare Fuori, Guerra di prezzo); Guerra di prezzo).
Soluzione in forma strategica:
3.5. DETERRENZA ALL’ENTRATA
Entrante
(Fuori, Guerra)
(Fuori, Non guerra)
(Entrare, Guerra)
(Entrare, Non guerra)
49
Già dentro
Guerra Non guerra
11; 32
11; 32
11;32;
11;32
8;8
20; 5
5;20
16;16
Avremmo trovato due equilibri di Nash: { (Stare Fuori, Guerra di prezzo);
Guerra di prezzo} , {(Stare Fuori, Non guerra di prezzo), Guerra di prezzo}.
Dove il primo è anche SPE, il secondo no.
Esempio 22:
Se provassimo a cambiare i pay-o↵ troveremmo risultati diversi:
Figura 3.18: Gioco dinamico 6
1) Risolvendo il sotto-gioco troviamo come Equilibrio di Nash: {Non guerra, Non
guerra}.
Giocatore-2
Non guerra
Guerra
Giocatore-1
Non guerra Guerra
16; 16
10; 15
15; 10
8; 8
50
CAPITOLO 3. GIOCO IN FORMA ESTENSIVA
2) Passando al nodo precedente troviamo che il SPE è : {Non guerra, (Entrare,
Non guerra)}.
Soluzione in forma strategica:
Entrante
(Stare Fuori, Guerra)
(Stare Fuori, Non guerra)
(Entrare, Guerra)
(Entrare, Non guerra)
Già dentro
Guerra Non guerra
11;32
11;32
; 11; 32
11; 32
8;8
15; 10
10;15
16;16
Avremmo trovato tre Equilibri di Nash: {(Guerra; Stare Fuori); Guerra}, {(Stare
fuori; Non guerra); Guerra}, {(Entrare; Non guerra); Non guerra}.
Esempio 23:
Cambiando ancora i pay-o↵ possiamo trovare una soluzione con SPE multipli.
Figura 3.19: Gioco dinamico 7
1) Nel sotto-gioco ci sono due possibili Equilibri di Nash: (Non guerra; Non
guerra), (Guerra; Guerra).
Giocatore-2
Non guerra
Guerra
Giocatore-1
Non guerra Guerra
16; 16
7; 11
11; 7
8; 8
Figura 3.20: Gioco dinamico 7, Sottogioco 1: SPE
Figura 3.21: Giocodinamico 7, Sottogioco 2: SPE
2) Andando a ritroso troviamo due possibili Equilibri di Nash, cioè due possibili
51
52
CAPITOLO 4. STRATEGIE MISTE
SPE: ((Entrare; Non guerra); Non guerra), ((Stare Fuori; Guerra); Guerra).
Capitolo 4
Strategie Miste
Esistono casi in cui è ottimale per un agente razionale affidarsi al caso? Si!
Diamo alcuni esempi concreti: un calciatore che deve tirare un calcio di rigore e
deve decidere se tirare a destra o sinistra e dall’altro lato il portiere che deve
decidere dove buttarsi; oppure nel tennis quando il giocatore deve decidere da
che lato battere il servizio.
Inoltre esistono giochi che non hanno Equilibri di Nash, a meno che non si
permetta ai giocatori di tirare a caso.
Esempio 24:“Matching Pennies”
Due individui devono scegliere simultaneamente su che lato posare una moneta
su un tavolo: Testa o Croce.
Se entrambi scelgono Testa o entrambi scelgono Croce, il giocatore 1 si prende
entrambe le monete.
Se uno sceglie Testa e l’altro Croce, il giocatore 2 si prende entrambe le monete.
Rappresentiamo in forma strategica questo gioco e troviamo l’equilibrio di Nash,
se esiste:
Giocatore-1
T
C
T 2; 0
0; 2
Giocatore-2
C 0; 2
2; 0
Come si vede dalla tabella, non esiste un profilo strategico che soddisfi la
definizione di Equilibrio di Nash.
Proposizione:
Se aggiungiamo un’altra strategia tra quelle disponibili ai giocatori: tirare la
moneta, saremo in grado di trovare un equilibrio di Nash.
Quando il giocatore sceglie una strategia mista, il pay-o↵ del giocatore è dato dal
valore atteso dell’utilità.
53
Nel nostro esempio, assumendo che la moneta non sia truccata, c’è una
probabilità di 12 che esca T e probabilità di 12 che esca C. Quindi possiamo
scrivere il pay-o↵ della strategia “tirare la moneta” come segue:
• Se il giocatore 2 tira la moneta e il giocatore 1 gioca Testa:
E[U1 (T, 12 )] = 12 (U1 (T, T )) + 12 U1 (T, C) = 1
• Se il giocatore 1 tira la moneta e il giocatore 2 gioca Testa:
E[U2 ( 12 , T )] = 21 (U2 (T, T )) + 12 U2 (C, T ) = 1
• Se il giocatore 2 tira la moneta e il giocatore 2 gioca Croce:
E[U1 (C, 12 )] = 12 (U1 (C, T )) + 12 U1 (C, C) = 1
• Se il giocatore 1 tira la moneta e il giocatore 2 gioca Croce:
E[U2 ( 12 , C)] = 12 (U2 (T, C)) + 12 U2 (C, C) = 1
• Se entrambi tirano la moneta:
E[U1 ( 12 , 12 )] = 12 [ 12 (U1 (C, T )) + 12 U1 (C, C)] + 12 [ 12 (U1 (T, T )) + 12 U1 (T, C)] = 1
E[U2 ( 12 , 12 )] = 12 [ 12 (U2 (T, C)) + 12 U2 (C, C)] + 12 [ 12 (U2 (T, T )) + 12 U2 (C, T )] = 1
Riscriviamo la tabella:
Giocatore-2
T
tiro
C
Giocatore-1
T tiro C
2; 0 1;1 0; 2
1;1 1; 1 1,1
0; 2 1;1 2; 0
Come si può leggere nella tabella, {tiro, tiro} è un Equilibrio di Nash.
In questo primo esempio abbiamo preso come data la probabilità di un mezzo.
Ma ci potrebbero essere situazioni in cui i giocatori sono in grado di dare
probabilità diverse alle strategie, quando le mischiano.
Quindi dovremmo definire una risposta ottima da parte dell’altro giocatore, per
ogni valore di p.
Riscriviamo le formule precedenti, ma in modo più generale, ovvero senza
specificare un valore per p.
54
CAPITOLO 4. STRATEGIE MISTE
Se il giocatore 2 tira la moneta e il giocatore 1 gioca Testa:
E[U1 (T, p2 )] = p2 (U1 (T, T )) + (1
p2 )U1 (T, C) = p2 ⇤ 2 + (1
p2 ) ⇤ 0 = 2p2
Se il giocatore 2 tira la moneta e il giocatore 1 gioca Croce:
E[U1 (C, p2 )] = p2 (U1 (C, T ))+(1 p2 )U1 (C, C) = p2 ⇤0+(1 p2 )⇤2 = 2(1 p2 )
Il giocatore 1 deciderà di tirare anche lui la moneta quando il valore di p2 rende
uguale il pay-o↵, sia che scelga T sia che scelga C:
2p2 = 2(1
1
p⇤2 =
2
p2 )
Se il giocatore 1 tira la moneta e il giocatore 2 gioca Testa:
E[U2 (T, p1 )] = p1 (U2 (T, T ))+(1 p1 )U2 (C, T ) = p1 ⇤0+(1 p1 )⇤2 = 2(1 p1 )
Se il giocatore 1 tira la moneta e il giocatore 2 gioca Croce:
E[U2 (C, p1 )] = p1 (U2 (T, C)) + (1
p1 )U2 (C, C) = 2p1
Il giocatore 2 deciderà di tirare anche lui la moneta quando il valore di p1 rende
uguale il pay-o↵, sia che scelga T sia che scelga C:
2(1
p1 ) = 2p1
1
p⇤1 =
2
Quindi possiamo scrivere le funzioni di reazione dei giocatori come segue:
8
1
⇤
>
<p1 = 1(T ) se p2 > 2
R1 (p2 ) = p⇤1 2 [0, 1] se p2 = 12
>
: ⇤
p1 = 0(C) se p2 < 12
8
1
⇤
>
<p2 = 1(C) se p1 > 2
R2 (p1 ) = p⇤2 2 [0, 1] se p1 = 12
>
: ⇤
p2 = 0(T ) se p1 < 12
Graficamente troviamo che l’unico Equilibrio di Nash è: {p1 = 12 , p2 = 12 }
55
Figura 4.1: Gioco con strategie miste: soluzione grafica