AM110 - Analisi Matematica 1- Tutorato VIII

Corso di laurea in Matematica - Anno Accademico 2013/2014
AM110 - Analisi Matematica 1- Tutorato VIII
Docente: Prof. Pierpaolo Esposito
Tutori: A. Mazzoccoli, M. Nanni
Esercizio 1. Discutere la convergenza delle seguenti serie numeriche a termini alterni.
+∞
X
cos n4
•
n2 + 1
•
n=1
•
+∞
X
1
1
− n
n
5
3
n=1
•
+∞
X
n=1
(−1)n sin
n=1
•
+∞
X
+∞
X
1
2 sin n
3
n
1
n
•
•
2
+∞
X
•
n=1
(−1)n
n=1
(−1)n+1
n=1
(−1)n ne−n
+∞
X
+∞ √
X
n=1
1
n2
2n + n
3n + n2
•
+∞
X
√
n
(−1)n ( 3 − 1)
n=1
n cos(nπ)
n3 + 3
Esercizio 2. Discutere la convergenza della seguente serie numerica al variare del parametro
x ∈ R.
+∞
X
x+n
•
1 + n3 x2
n=1
Esercizio 3. Discutere la convergenza della seguente serie numerica al variare del parametro
x ≥ 0.
+∞
X
n2
•
1 ln n
n=1 x + n
Esercizio 4. Discutere la convergenza della seguente serie numerica al variare del parametro
x ∈ R.
√n
+∞
X
√
x
− n
•
2
x+1
n=1
Esercizio 5. Studiare iniettività, suriettività e trovare l’inversa delle seguenti funzioni a valori
reali.
√
π π
◦f (x) = 2x+1
◦f (x) = x2 +1
◦f (x) = tan x, x ∈ (− , )
◦f (x) = x
◦f (x) = 2 ln |x|
2 2
Esercizio 6. Studiare iniettività e suriettività delle seguenti funzioni a valori reali definite a
tratti.
(
(
1 − x2 x ≤ 0
(x − 1)2 x ≤ 1
f (x) =
λ∈R
f (x) =
λx + 1 x > 0
− ln x x > 1
1