La retta proiettiva - appunti del corso di Geometria 1, prof. Cristina

La retta proiettiva
appunti del corso di Geometria 1, prof. Cristina Turrini
anno acc. 2007/2008
Cristina Turrini
La retta proiettiva
La relazione di equivalenza
Consideriamo il piano R2 , con coordinate (x0 , x1 ) e poniamo
X = R2 \ {0, 0}.
Introduciamo in X la seguente relazione di equivalenza:
Dati (x0 , x1 ), (y0 , y1 ) ∈ X
(x0 , x1 ) ∼ (y0 , y1 ) (sono
equivalenti), se
∃λ ∈ (R \ {0}) tale che sia
(y0 , y1 ) = λ(x0 , x1 ), ovvero
y0 = λx0 e y1 = λx1 .
Quindi, ad esempio, (1, 3) ∼ (1/5, 3/5).
Esercizio: verificare che ∼ è una relazione di equivalenza
Cristina Turrini
La retta proiettiva
L’insieme quoziente
Se x0 6= 0, (x0 , x1 ) ∼ (y0 , y1 ) vuol dire x1 /x0 = y1 /y0 .
Se x0 = 0, (0, x1 ) ∼ (0, y1 ) ∀x1 , y1 6= 0.
Dunque la relazione ∼ identifica tra loro tutti i punti (diversi
dall’origine) che appartengono ad una stessa retta per l’origine.
Sia (x0 , x1 ) ∈ X; si denota con [(x0 , x1 )], o anche con (x0 : x1 ), la
classe di equivalenza di (x0 , x1 ), pertanto
[(x0 , x1 )] = (x0 : x1 ) = {(y0 , y1 ) | (y0 , y1 ) ∼ (x0 , x1 )}.
L’insieme quoziente, ovvero l’insieme delle classi di equivalenza,
X/∼ = {(x0 : x1 )} rappresenta il fascio di rette per l’origine (ciascuna
privata dell’origine).
Cristina Turrini
La retta proiettiva
La retta proiettiva
X/∼ viene detto retta proiettiva e indicato con P1 .
Sia l una retta per l’origine e sia
(x0 : x1 ) = l \(0, 0).
Se (a0 , a1 ) ∈ l \(0, 0), (a0 , a1 ) viene
detta una coppia di coordinate omogenee
di l.
Le coordinate omogenee non sono mai
contemporaneamente nulle e sono
definite a meno di un fattore di
proporzionalità λ ∈ (R \ {0}) .
(a0 : a1 ) viene detto punto di P1 .
P1 ←→ fascio di rette per (0, 0)
Cristina Turrini
La retta proiettiva
Coordinate nel fascio di rette
Fissiamo la retta r di equazione x0 = 1.
∀ l 3 (0, 0) (diversa dall’asse x1 ), l taglia
la retta r nel punto di coordinate
(1, a1 /a0 ).
L’asse x1 ha coordinate omogenee (0, 1).
Si è così definita una corrispondenza biunivoca
fascio \ { asse x1 } −→ r
l 7−→ (1, a1 /a0 )
ovvero
P1 \ {(0, 1)} −→ A1
(a0 : a1 ) 7−→ a1 /a0
(1 : a) ←− a
(a0 , a1 ) coordinate omogenee, a coordinata affine
Cristina Turrini
La retta proiettiva
P1 come quoziente e come ampliamento
Quando la retta l del fascio "tende" all’asse x1 , il punto (a0 : a1 )
"tende" a (0 : 1) e il rapporto a1 /a0 −→ ∞ =⇒ P1 "=" A1 ∪ {∞}.
 2
(R \ {(0, 0)})/ ∼
1
P =
 1
A ∪ {∞}
La corrispondenza biunivoca
P1 \ {(0, 1)} −→ A1
(a0 : a1 ) 7−→ a1 /a0
si estende a una corrispondenza biunivoca
P1 −→ A1 ∪ {∞}

a1 /a0 se a0 6= 0
(a0 : a1 ) −→

∞
se a0 = 0
che si inverte così a 7−→ (1 : a), se a 6= ∞, e ∞ 7−→ (0 : 1).
Cristina Turrini
La retta proiettiva
Modello topologico di P1
Un modello intuitivo di P1 è la circonferenza.
γ circonferenza
Per proiezione da P si
instaura una corrispondenza
biunivoca
γ \ {N} −→ r = A1
P 7−→< NP > ∩r
che si può estendere a
una corrispondenza
biunivoca γ −→ P1
ponendo N ←→ ∞
Punti che si "avvicinano" a N, si proiettano su punti che "vanno
all’infinito".
Cristina Turrini
La retta proiettiva
Affinità
Considerato P1 = A1 ∪ {∞}, un’affinità α : A1 −→ A1 di equazione
α(x) = ax + b, a 6= 0, può essere interpretata come trasformazione
α̃ : P1 −→ P1 ponendo α̃(∞) = ∞ e α̃(x) = α(x), altrove.
Ponendo x = x1 /x0 , α(x) = x0 = x10 /x00 , α̃ si può anche esprimere
in coordinate omogenee così:
x10
0
= a xx10 + b = ax1x+bx
, cioè
x00
0
0
ρx0 = x0
con ρ 6= 0.
ρx10 = ax1 + bx0
In altri termini si ha
α̃(x0 : x1 ) = (x0 : ax1 + bx0 )
e tale scrittura è valida non solo per i punti di A1 , ma anche per il
punto ∞ = (0 : 1), infatti α̃(0 : 1) = (0 : a) = (0 : 1), cioè
α̃(∞) = ∞.
Cristina Turrini
La retta proiettiva
Proiettività
Le affinità così estese sono casi particolari di trasformazioni dette
proiettività(o omografie).
Una proiettività di P1 in sè è una trasformazione ω : P1 −→ P1 che,
in coordinate omogeneee, si esprime nella forma
ove ω((x0 : x1 )) = (x00 : x10 ),
a00 , a01 a10 a11 ∈ R e con la condizione
a00 a11 − a01 a10 6= 0.
a
a
6 0e
La condizione a00 a11 − a01 a10 6= 0 si scrive anche | a00 a01 | =
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garantisce l’invertibità della corrispondenza (si veda dopo).
ρx00 = a00 x0 + a01 x1
ρx10 = a10 x0 + a11 x1
In coordinate affini
nella forma
x0 =
a10 +a11 x
a00 +a01 x ,
con
x = x1 /x0
e
x0 = x10 /x00 ,
a
a
| a00 a01 | =
6 0.
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11
Cristina Turrini
La retta proiettiva
ω si esprime
La definizione è ben posta
Si noti che la definizione data di proiettività è ben posta, ovvero passa
ai quozienti : P1 = R2 \ {0.0} −→ P1 = R2 \ {0.0}.
In altri termini si ha
ω(λx0 : λx1 ) = ω(x0 : x1 )
Infatti
ω(x0 : x1 ) = (a00 x0 + a01 x1 : a10 x0 + a10 x1 ) e
ω(λx0 : λx1 ) = (a00 λx0 + a01 λx1 : a10 λx0 + a10 λx1 ) =
(λ(a00 x0 + a01 x1 ) : λ(a10 x0 + a10 x1 )) =
(a00 x0 + a01 x1 : a10 x0 + a10 x1 ) = ω(x0 : x1 )
Non avrebbe alcun senso invece, ad esempio, considerare una
corrispondenza η : P1 −→ P1 definita da η(x0 : x1 ) = (x0 : x1 + 1),
dal momento che si avrebbe η(1 : 1) = (1 : 2) e η(2 : 2) = (2 : 3),
con (1 : 1) = (2 : 2), ma (1 : 2) 6= (2 : 3).
Cristina Turrini
La retta proiettiva
Proiettività inversa
Per 0semplicità di scrittura poniamo
ρx0 = hx0 + kx1
h k
con | l m | =
6 0,
0
ρx1 = lx0 + mx1
o, kxx0 − mx + hx0 − l = 0.
ovvero x0 = l+mx
h+kx ,
h k
| l m | = 0, si avrebbe la proporzione h : l = k : m, e
quindi ad esempio h = λl, k = λm e
l+mx
l+mx
x0 = λl+λmx
= 1/λ = costante.
= λ(l+mx)
L’applicazione pertanto non sarebbe biunivoca.
Se fosse
h k
La condizione | l m | =
6 0,
ω −1 di ω è definita da
permette di invertire ω
ω −1 : x 7−→
l − hx0
−m + kx0
(la verifica è lasciata per esercizio).
Cristina Turrini
La retta proiettiva
e l’inversa
Caratterizzazione delle affinità
Si consideri la proiettività ω : P1 −→ P1 , che, in coordinate affini, si
esprime nella forma
h k
6 0.
x0 = l+mx
| l m |=
h+kx , con
L’immagine, tramite ω del punto all’infinito ∞ ∈ P1 è
ω(∞) = m/k, infatti in coordinate omogenee si ha
ω(x0 : x1 ) = (hx0 + kx1 : lx0 + mx1 ), e quindi ω(0 : 1) = (k : m).
Viceversa, il punto di P1 che viene trasformato in ∞ è −h/k , cioè
ω(−h/k) = ∞, infatti ω(k : h) = (hk − kh : lk − mh) = (0 : 1).
Una proiettività è una affinità se e solo se trasforma ∞ in ∞ (la
verifica è lasciata per esercizio).
Cristina Turrini
La retta proiettiva
L’inversione
Un esempio di proiettività che non è un’affinità
è0l’inversione, ovvero
ρx0 = x1
.
la trasformazione definita da x0 = 1/x, ossia
ρx10 = x0
Ogni proiettività può essere ottenuta componendo un numero finito di
affinità e inversioni.
Ad esempio, se k 6= 0, componendo, nell’ordine, l’affinità
x0 = h + kx, con l’inversione x00 = 1/x0 e con l’affinità
l+mx
00
000
x000 = mk + lk−mh
k x , si ottiene la proittività x = h+kx .
Cristina Turrini
La retta proiettiva
Birapporto
Dati quattro punti A, B, C e D di P1 , distinti a due a due, se sono tutti
punti al finito (cioè se A, B, C, D ∈ A1 ), si dice birapporto di
A, B, C, D (in quest’ordine) il rapporto tra i rapporti semplici (ABC) e
(ABD) ovvero il numero reale
AC
(ABC)
BC
(ABD) = AD
BD
(c1 a0 −a1 c0 )·(d1 b0 −b1 d0 )
(d1 a0 −a1 d0 )·(c1 b0 −b1 c0 ) ,
(ABCD) =
=
AC·BD
AD·BC
=
(c−a)(d−b)
(d−a)(c−b)
=
ove a, b, c, d e (a0 , a1 ), (b0 , b1 ), (c0 , c1 ), (d0 , d1 ) denotano
rispettivamente le coordinate affini e le coordinate omogenee dei
punti A, B, C, D.
La definizione così data si estende anche al caso in cui uno dei punti è
∞.
Cristina Turrini
La retta proiettiva
Proiettività e birapporto
Le proiettività conservano il birapporto delle quaterne di punti
allineati, ovvero per una proiettività si ha
(ω(A)ω(B)ω(C)ω(D)) = (ABCD).
Per provarlo basta fare la verifica per le affinità (per cui è ovvio, dal
momento che le affinità conservano i rapporti semplici) e per
l’inversione (esercizio).
Esempio
Se i quattro punti A, B, C e D sono "equidistanziati", allora
(ABCD) = 4/3.
(ABCD) =
Cristina Turrini
La retta proiettiva
AC/BC
AD/BD
=
2/1
3/2
= 4/3