Rappresentazione sulla retta orientata dei numeri irrazionali

EORIA
Rappresentazione sulla retta
orientata dei numeri irrazionali
Quando abbiamo rappresentato sulla retta orientata i numeri razionali positivi abbiamo sottolineato il fatto che ad alcuni punti della retta non corrisponde alcun numero razionale.
Ora siamo in grado di completare la retta inserendo i numeri irrazionali positivi. Avremo qualche difficoltà a rappresentarli poiché non possono essere trasformati in frazione, tuttavia potremo riuscire nel nostro intento utilizzando il teorema di Pitagora.
Consideriamo innanzi tutto la retta orientata r e scegliamo una unità di misura u.
u
0
r
Rappresenta il numero irrazionale 兹苶
2
Costruisci un triangolo rettangolo isoscele OAB avente per cateto l’unità di misura u.
I segmenti OA e AB misurano 1; rispetto all’unità di misura u si ottiene:
OB = OA 2 + AB 2 = 12 + 12 u = 2 u
Puntando con un compasso nel punto O e mantenendo un’apertura uguale ad OB,
puoi individuare sulla semiretta r il punto C, immagine di 兹苶
2:
B
2
u
1
1
O
A
C
r
Rappresenta il numero irrazionale 兹苶
3
Costruisci un triangolo rettangolo OCD avente OC ⫽ 兹苶
2 u e DC ⫽ 1u:
OD = OC 2 + CD 2 =
( 2 )2 + 12 u =
2 +1u = 3 u
Punta in O e con apertura di compasso OD individua sulla semiretta il punto E, immagine di 兹苶
3:
D
3
O
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1
2 A
1
C E
u
r
1
EORIA
Puoi procedere in modo analogo per la costruzione dei punti immagine di altri numeri irrazionali, come puoi osservare in figura:
1
1
1
1
9
8
7
6
1
5
4
1
1
3
2
1
u=1
1
Ora è possibile rappresentare sulla retta orientata i numeri reali costituiti dai numeri razionali e dai numeri irrazionali.
u
1
0
2
5
––
4
3
3
––
2
2
3
6
r
9
––
4
Ad ogni numero reale positivo corrisponde un punto immagine sulla retta orientata
e ad ogni punto sulla retta orientata a destra dello zero corrisponde un numero reale positivo.
Lavoro individuale o di gruppo
1
Considera la retta orientata e indica con una crocetta la risposta corretta:
u
O
a
b
c
d
2
Il
Il
Il
Il
punto
punto
punto
punto
A B
A è l’immagine del numero:
B è l’immagine del numero:
C è l’immagine del numero:
D è l’immagine del numero:
C
r
D
兹苶
1
兹苶
3
兹苶
10
苶
兹苶
17
苶
兹苶
2
兹苶
4
兹苶
17
苶
兹苶
21
苶
兹苶
3
兹苶
2
兹苶
5
兹苶
26
苶
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EORIA
2
Considera la retta orientata e completa:
u
O
A
B
C
r
D
a Il punto A è l’immagine del numero reale:
22 ⫹ 1 ⫽ 12
b Il punto B è l’immagine del numero reale:
32 ⫹ . . . . . . . . . . ⫹ . . . . . . . . . .
..........
c Il punto C è l’immagine del numero reale: . . . . . . . . . . ⫹ 12 ⫽ . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . ⫹ . . . . . . . . . . ⫽ 37
d Il punto D è l’immagine del numero reale:
3
Considera la retta orientata e completa:
u
O
A
B
r
D
C
a Il punto A è l’immagine del numero reale:
( 13) ⫹ 1 ⫽
b Il punto B è l’immagine del numero reale:
.....⫹1 ⫽ .....
c Il punto C è l’immagine del numero reale:
⎛ 10 ⎞⎟
⎜⎜ ⎟ ⫹ . . . . . ⫽ . . . . .
⎝ 3⎠
d Il punto D è l’immagine del numero reale:
.....⫹..... ⫽
2
.....
9
2
4
178
9
Completa lo schema fino a determinare il numero irrazionale 兹苶
6:
4
3
1
2
1
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1
1
3