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ex16 I sistemi di primo grado

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ex16 I sistemi di primo grado
I
SISTEMI DI PRIMO GRADO
1
Per ricordare
H
Se un'equazione contiene due incognite, ci sono infinite coppie di valori che la soddisfano: l'equazione y 2x ‡ 3 ˆ 0 eÁ soddisfatta da tutte le coppie di numeri x e y tali che y ˆ 2x 3 (per esempio
x ˆ 2 e y ˆ 1, x ˆ 0 e y ˆ 3 e cosõÁ via).
Se consideriamo due equazioni in due incognite, fra le infinite coppie di numeri che soddisfano la prima equazione e le infinite coppie che soddisfano la seconda, puoÁ darsi che ce ne sia qualcuna che le
soddisfa entrambe. Ricercare queste coppie di numeri significa risolvere il sistema formato dalle due
equazioni.
Un sistema di equazioni eÁ quindi un insieme di equazioni nelle stesse incognite delle quali si vogliono
trovare le soluzioni comuni.
Per indicare che un certo numero di equazioni eÁ in sistema si scrivono le equazioni una sotto l'altra
racchiudendole con una parentesi graffa; per esempio:
2x y ‡ 5 ˆ 0
3x 4y ‡ 1 ˆ 0
La soluzione di un sistema eÁ l'insieme delle coppie …x,y † che soddisfano contemporaneamente le due
equazioni.
Come per le equazioni, possiamo allora dire che un sistema puoÁ essere:
determinato se ha un numero finito di soluzioni
indeterminato se ha infinite soluzioni
impossibile se non ha soluzioni.
H
H
Il grado di un sistema eÁ il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono; se un sistema eÁ di
primo grado, tutte le sue equazioni sono di primo grado. Ci occupiamo in questa unitaÁ della risoluzione dei sistemi di primo grado; in particolare vedremo come si risolvono sistemi di due equazioni in due
incognite, di tre equazioni in tre incognite e cosõÁ via, cioeÁ di sistemi di primo grado in cui il numero di
equazioni eÁ pari al numero di incognite.
Un sistema di questo genere si puoÁ quindi sempre ricondurre nella forma normale
ax ‡ by ˆ c
a 0x ‡ b 0y ˆ c 0
I metodi di risoluzione di un sistema si basano su due principi di equivalenza.
Principio di sostituzione: se in un sistema ad una incognita si sostituisce la sua espressione ricavata
4
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
da una delle altre equazioni, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.
(
yˆ x 3
y ˆx 3
eÁ equivalente a
Esempio:
2x 4y ‡ 5 ˆ 0
2x 4…x 3† ‡ 5 ˆ 0
Principio di riduzione: se ad una equazione di un sistema si sostituisce quella che si ottiene sommandola algebricamente membro a membro con un'altra equazione, si ottiene un sistema equivalente a
quello dato.
x 2y ˆ 3
x 2y ‡ 2x ‡ y ˆ 3 ‡ 4
Esempio:
eÁ equivalente a
2x ‡ y ˆ 4
2x ‡ y ˆ 4
H
I metodi per risolvere un sistema di primo grado si basano sui precedenti principi e sono i seguenti; li
illustriamo su un esempio risolvendo un sistema di due equazioni in due incognite.
Metodo di sostituzione
x 2y ‡ 3 ˆ 0
3x ‡ 4y 1 ˆ 0
± si ricava l'espressione di una variabile da una delle due equazioni
± si sostituisce questa espressione nella rimanente equazione
± si risolve l'equazione in una sola incognita ottenuta
± si risostituisce nella prima equazione
Metodo del confronto
8
< x ˆ 2y
3
3 ‡ 4y
: 3 2y
x ˆ 2y 3
6y 9 ‡ 4y
x ˆ 2y 3
3x ‡ 4y 1 ˆ 0
1ˆ0
!
1ˆ0
x ˆ 2y
y ˆ1
3
xˆ 1
y ˆ1
x ‡ 2y 3 ˆ 0
3x 4y ‡ 1 ˆ 0
8
>
<x ˆ 3
± si ricavano le espressioni della stessa variabile dalle due equazioni
± si confrontano le due espressioni e si risolve l'equazione ottenuta 3
4y
>
:x ˆ
2y ˆ
± si ricavano le espressioni dell'altra variabile dalle stesse due equazioni
± si confrontano le due espressioni e si risolve l'equazione ottenuta
3
x
2
4y
2y
1
3
1
!
3
8
3
>
>
>
<y ˆ
y ˆ1
x
2
>
>
>
: y ˆ 3x ‡ 1
4
ˆ
3x ‡ 1
4
!
xˆ1
In alternativa, dopo aver trovato il valore della prima variabile si puoÁ anche procedere per sostitu
xˆ1
zione su una delle due equazioni del sistema. In ogni caso si ottiene la soluzione
y ˆ1
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
Metodo di riduzione
2x ‡ y 4 ˆ 0
3x y ‡ 7 ˆ 0
± si sommano membro a membro le due equazioni in modo da eliminare una delle due variabili e si
riscrive una delle due equazioni:
(
5x ‡ 3 ˆ 0
2x ‡ y 4 ‡ 3x y ‡ 7 ˆ 0
!
3x y ‡ 7 ˆ 0
3x y ‡ 7 ˆ 0
± si risolve l'equazione ottenuta in una sola variabile
± si continua per sostituzione:
Metodo di Cramer
8
>
>
xˆ
>
<
>
>
>
:3
3
5
3
5
8
>
<x ˆ 3
5
>
:
3x y ‡ 7 ˆ 0
!
y ‡7ˆ0
8
>
>
>
<x ˆ
3
5
>
>
>
: y ˆ 26
5
2x ‡ y 1 ˆ 0
3x ‡ 5y 6 ˆ 0
± si riscrive il sistema in forma normale
2x ‡ y ˆ 1
3x ‡ 5y ˆ 6
± si calcola il determinante della matrice dei coefficienti (prodotto dei termini sulla diagonale principale prodotto dei termini sulla diagonale secondaria):
2 1
ˆ25 13ˆ7
ˆ
3 5
± si calcola il determinante x che si ottiene dalla matrice dei coefficienti sostituendo la colonna dei
coefficienti di x con quella dei termini noti:
1 1
ˆ15 61ˆ 1
x ˆ 6 5
± si calcola il determinante y che si ottiene dalla matrice dei coefficienti sostituendo la colonna dei
coefficienti di y con quella dei termini noti:
2 1
ˆ26 31ˆ9
y ˆ 8
8
3 6
x
1
>
>
>
>
>
>
<x ˆ 7
<x ˆ !
± se 6ˆ 0, la soluzione del sistema eÁ data dalla coppia
>
>
>
>
y
>
>
:y ˆ 9
:y ˆ
7
± se ˆ 0, possono capitare due cose:
se x ˆ 0 e anche y ˆ 0 (cioeÁ entrambi i determinanti sono nulli) allora il sistema eÁ indeterminato
se x 6ˆ 0 oppure y 6ˆ 0 (cioeÁ uno dei due determinanti non eÁ nullo) il sistema eÁ impossibile.
5
6
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
E SERCIZI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
C ONSOLIDAMENTO
DI
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di sostituzione.
1
ESERCIZIO SVOLTO
3x 2y ˆ 7
2x ‡ y ˆ 7
Conviene ricavare l'espressione di y dalla seconda equazione
Sostituendo nella prima otteniamo
3x 2… 2x ‡ 7† ˆ
y ˆ 2x ‡ 7
3x 2y ˆ 7
y ˆ 2x ‡ 7
7
xˆ1
y ˆ 2x ‡ 7
xˆ1
Risostituendo adesso il valore di x nella seconda equazione troviamo
yˆ5
L'insieme soluzione eÁ quindi S ˆ …1; 5†
La prima equazione eÁ nella sola incognita x e puoÁ essere risolta
2
3
x ‡ 3y ˆ 3
3x ‡ 4y ˆ 1
S ˆ …3; 2†
1;
Sˆ
2
3x ‡ y ˆ 1
x 1ˆy
1
2
8
< 1 x ‡ y ˆ 2x
3
4
:
y xˆ4
S ˆ …6; 10†
8
< 2x ‡ 2 y ˆ x
3
5
:
y ˆ 5 4x
S ˆ …2; 3†
6
7
8
8 >
>
<2 y
3
2
>
>
: 2…x ‡ 1†
8
<x
:
ˆ 1 ‡ 5x
Sˆ
yˆ 1
3
2 ˆ 3 ‡y
5
2
5y
3 ˆ 2…x
Sˆ
1†
ESERCIZIO SVOLTO
3…x ‡ 1† 5y ˆ 2…x ‡ 1†
3x ‡ 1 ˆ 3…y ‡ 3†
Svolgendo i calcoli otteniamo il sistema
x y‡1ˆ0
3x 3y 8 ˆ 0
2;1
3 3
7;8
2 5
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
7
Ricavando l'espressione di x dalla prima equazione e sostituendo si ottiene
xˆy 1
3…y 1† 3y 8 ˆ 0
PoicheÁ la seconda equazione eÁ impossibile, il sistema non ha soluzione ed eÁ S ˆ 1.
9
x 3y 2 ˆ 0
3…x ‡ 1† ˆ 4…x ‡ 2†
8
1
1
>
x
< yˆ1
2
2
10
>
: 2…x 1† ˆ 2 y
3
8
>
< 1 …x ‡ 1† 3 ˆ 1 …x
2
4
4
11
>
:
3‰x 2…2y 3†Š ˆ 15
8
>
>
2
<x ‡ y ˆ 1
2
12
>
>
: y ˆ 17 ‡ x
4
13
8
>
>
< 5y
x
‰indeterminatoŠ
…3y ‡ 7†
Sˆ
2† ‡ y
2;4
3 3
‰indeterminatoŠ
2
2; 9
4
Sˆ
6 ˆ 1 y ‡ 24 x
5
5
5
S ˆ …2; 1†
2…x ‡ y† ‡ 2…x2 ‡ y2 †
1;
Sˆ
3
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo del confronto.
16
ESERCIZIO SVOLTO
4x y ˆ
2x ‡ y ˆ
9
3
Ricaviamo la stessa variabile dalle due equazioni:
‰S ˆ 1Š
>
>
: x ‡ 4 ˆ 1 …3y 2†
3
3
8
>
< 4 …x ‡ y† ˆ 2x ‡ y 1
3
14
>
:
7 3x…x ‡ 1† y ˆ 3x2
8
1
2
>
< 2…x ‡ y† ˆ ‡ 4xy
3
15
>
:x ‡ 1 y ˆ 1
2
4
y ˆ 4x ‡ 9
y ˆ 2x 3
Confrontiamo e risolviamo l'equazione in x : 4x ‡ 9 ˆ
2x
3
!
xˆ
2
1
6
8
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
8
y 9
>
>
<x ˆ 4
Ricaviamo l'altra variabile dalle due equazioni:
>
y 3
>
:
xˆ
2
9
ˆ
4
L'insieme delle soluzioni eÁ dunque: S ˆ … 2; 1† .
Confrontiamo e risolviamo l'equazione in y :
y
y 3
2
!
yˆ1
Una volta trovato il valore della x si poteva anche procedere per sostituzione in una delle
due equazioni:
xˆ 2
xˆ 2
!
y ˆ 4x ‡ 9
yˆ1
17
8
< x ‡ 2y ˆ
8
S ˆ …2; 3†
:1x‡yˆ 2
2
3x ‡ y ˆ 1
18
x‡1ˆy
S ˆ …0; 1†
8
< 1 x y ˆ 2x
3
19
:
y‡xˆ4
S ˆ … 6; 10†
8
< 2x ˆ x ‡ 2 y
3
20
:
y ˆ 5 ‡ 4x
S ˆ … 2; 3†
8
1
1
>
< yˆ1‡ x
2
2
21
>
: 2…x ‡ 1† ˆ 2 ‡ y
3
x 5y ˆ 4
22
2x 10y ˆ 8
23
5x 4 ‡ 3y ˆ 4…2 ‡ x
3y ˆ 23 6x
Sˆ
‰indeterminatoŠ
1†
Sˆ
3; 5
3
Risolvi i seguenti sistemi applicando il metodo di riduzione.
24
2;8
3 3
ESERCIZIO SVOLTO
3x ‡ 5y ˆ 2
4x ‡ 5y ˆ 1
Sottraendo membro a membro le due equazioni possiamo eliminare la variabile y:
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
3x ‡ 5y …4x ‡ 5y† ˆ 2
4x ‡ 5y ˆ 1
1
!
Conviene adesso procedere per sostituzione:
25
9
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
xˆ 1
4 ‡ 5y ˆ 1
xˆ 1
4x ‡ 5y ˆ 1
!
xˆ 1
yˆ1
ESERCIZIO GUIDATO
2x ‡ y ˆ 1
x ‡ 3y ˆ 7
Prima di applicare il principio di riduzione eÁ necessario fare in modo che la x oppure la y
abbiano lo stesso coefficiente nelle due equazioni; possiamo allora moltiplicare per 2 la seconda equazione in modo da avere 2x in entrambe le equazioni, oppure moltiplicare per 3 la
prima equazione in modo da avere 3y in entrambe le equazioni. Se scegliamo il primo modo
otteniamo:
2x ‡ y ˆ 1
2x ‡ 6y ˆ 14
Procedi adesso sottraendo membro a membro.
26
27
28
x‡yˆ1
x 3y ˆ 2x
S ˆ …0; 1†
3
3x ˆ 2y 8
x ‡ 3y ˆ 5
S ˆ … 2; 1†
x ‡ 2y ˆ 1
4x ˆ 3 2y
8
< 5x
4 ‡ 3y ˆ 4…2 ‡ x
: y ˆ 23
3
6x
Sˆ
8
< 3x ‡ y ˆ 1
2
29
:
2x y ˆ 1
8
< 4x ‡ y ˆ 7
30
: 5 y 5x ˆ 0
3
8
1
>
< 2x ‡ 1 ˆ y
3
31
>
: y x ˆ 11
2
8
1
>
yˆ4
< 3x
5
32
>
:3x‡ 1 yˆ2
7
15
33
S ˆ …2; 3†
2;1
3 6
3 ;
Sˆ
10
2
5
S ˆ …1; 3†
1 ;6
Sˆ
2
7 ; 15
Sˆ
3
1†
Sˆ
3; 5
3
10
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
34
8
>
>
<4 ‡ 2
>
>
:
1
x‡ 1
2
…x ‡ 2†…x ‡ 1† ˆ x2
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
1
yˆ1
3
S ˆ … 2; 0†
4…1 ‡ y†
Risolvi i seguenti sistemi applicando la regola di Cramer.
35
ESERCIZIO SVOLTO
7x 3y ˆ 1
3x ‡ y ˆ 3
Il sistema eÁ giaÁ scritto in forma normale; possiamo calcolare i determinanti:
7
3 ˆ ˆ 7 1 3 … 3† ˆ 16
3 1
1
3 x ˆ ˆ 1 1 3 … 3† ˆ 8
3
1
7
1 y ˆ ˆ 7 3 3 … 1† ˆ 24
8
3 3
x
8
1
>
>
< x ˆ ˆ 16 ˆ 2
PoicheÁ 6ˆ 0, la soluzione del sistema eÁ
>
>
: y ˆ y ˆ 24 ˆ 3
16
2
1;3
.
L'insieme delle soluzioni eÁ dunque: S ˆ
2 2
36
37
38
3x ‡ 2y ˆ 2
6x ‡ y ˆ 8
2x ‡ 3y ˆ 5
x y ˆ 20
S ˆ …13; 7†
2x ‡ y ˆ 4
x ‡ 3y ˆ 12
S ˆ …0; 4†
8
< 1 …x ‡ 1† ˆ 6
5
5
39
:
x ˆ 5 4y
40
S ˆ …2; 4†
8
>
<y ˆ 1
>
: 2…x
4
y
5
1 …x ‡ 3†
2
1† ˆ 2 y
3
8
3
>
>
< x ‡ y ˆ 2 …x ‡ y† y
41
>
1
>
:x ‡ 2
y x ˆ5
2
‰indeterminatoŠ
11 ;
Sˆ
9
10
9
‰S ˆ 1Š
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
8
< x ‡ 1 ‰1 ‡ …2 y†Š ˆ 2
3
42
:
x ‡ y ˆ 4…x y† ‡ 3
8
>
< 5 x ‡ 2y ˆ 2 x
2
43
>
:
y 2x ˆ 1
44
8
>
< x ‡ 4y ˆ y
>
:x
3 ˆ 1 ‰2x
2
1
4
46
Sˆ
y
3;3
2 2
S ˆ … 1; 1†
1
4
‰S ˆ 1Š
2…3
y†Š
1
y
8
<x ‡ y ‡ 7 ˆ 1 x 1 ‡ 3
45
3
2
:
x 14 ˆ y
(
11
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
S ˆ …6; 8†
x2 3y ˆ …x ‡ 1†2
x yˆ2
S ˆ …1; 1†
8
3
1
1
>
>
<x ‡ 2 y ‡ 3 ˆ 2 y
47
>
>
: 6x ‡ 1 …y ‡ 3†…2y 1† ˆ y2
2
2; 1
Sˆ
3
8 >
>
2 x
>
>
<
1
yˆ8
5
48
>
>
>
1 x ‡ y 13 ‡ y ˆ 1 y ‡ 3 3y ‡ 1
>
…
†
:
4
3
3
Sˆ
4;
2
5
Risolvi i seguenti sistemi frazionari.
49
ESERCIZIO SVOLTO
8
1
6
>
>
<x ˆ y
>
>
:x‡1 ˆ4
y‡6
Il sistema eÁ frazionario percheÁ le incognite compaiono al denominatore delle frazioni; poniamo le condizioni di esistenza delle due equazioni per individuare il dominio:
per la prima equazione:
x 6ˆ 0 ^ y 6ˆ 0
per la seconda equazione: y 6ˆ
6
Sviluppiamo i calcoli liberando le equazioni dai denominatori:
12
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
y ˆ 6x
x ‡ 1 ˆ 4y ‡ 24
!
xˆ 1
y ˆ 6x
!
!
y ˆ 6x
x 24x ˆ 23
!
xˆ 1
yˆ 6
PoicheÁ il valore trovato di y eÁ quello escluso dal dominio, dobbiamo concludere che il sistema non ha soluzioni.
8
2 y
>
>
< x ˆ 1
50
>
>
: x y ˆ2
2y ‡ 1
51
52
8
<
:
y
x
4x
2
ˆ1
x
Sˆ
yˆ2
8 x 2y
>
>
< y‡3 ˆ1
>
>
:x
S ˆ … 3; 1†
y
ˆ
Sˆ
1
4 ; 10
3 3
3;
5
8
>
< x ‡ 1 ‡ 4y 5 ˆ x 3
x ‡ 3 x2 ‡ 3x
x
53
>
:
x ‡ 8y ˆ 5
54
8x
>
>
<2
y
ˆ1
x
>
>
: 2x ‡ y ˆ 0
3y
8
x 2y ‡ 1
1
>
>
< x‡y ˆ 3
55
>
2ˆ 1
>
: 1
xy y
x
56
57
>
x y
>
>
:
x‡y
2
ˆ2
3
‰S ˆ 1Š
1; 1
Sˆ
2
Sˆ
8
>
1ˆ 2
>
>
x‡y
>
<
x ‡ 2y
>
>
‡1ˆ 7
>
>
1
1 ‡ 4y
: ‡y
4
8
3x 4 ˆ 1
>
>
>
< x‡y
2
6
5
1;1
4 2
‰S ˆ 1Š
Sˆ
7;3
4 4
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
8
>
x ‡ 1 ‡ x2 2 ˆ x
>
>
<
x ‡ y xy ‡ y2
y
58
>
>
>
: 1 2y ˆ 3
x 1
59
8
>
<
>
:
x ˆ1
x‡2
…x ‡ 1
S ˆ …0; 2†
1
y
y†…x
‰S ˆ 1Š
1
y†
…x
2
y† ˆ x
2y ‡ 4
8 2
x
y2 x
2y
>
>
>
< …x ‡ y†2 ˆ 1 x ‡ y
60
>
>
>
: 1 ‡ 2 ˆ x‡y 1
x‡1 x 2
x2 x 2
8
2x y
>
>
>
< 3x ‡ y ˆ 4
61
>
>
4y
>
: 2
‡ x‡3 ˆ x
x 3
2x 3 x ‡ 1
x
8
>
< x ‡ 11 ‡ 8y 11 ˆ x ‡ 5
x‡5
x‡1
6x ‡ x2 ‡ 5
62
>
:
2x ‡ 8y ˆ 25
63
S ˆ …0; 1†
‰S ˆ 1Š
‰indeterminato con x 6ˆ
8
1
1
>
>
< 2 ‡ 3x ‡ y ˆ 0
>
>
:
13
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
3 ˆ
4
x‡y
y 2 x2
5 ^ x 6ˆ
Sˆ
5;1
6 2
Risolvi i seguenti sistemi di tre equazioni in tre incognite.
64
ESERCIZIO SVOLTO
8
x ‡ 2y ‡ z ˆ 2
>
>
>
<
z ‡ y 2x ˆ 0
>
>
>
: 2 z ‡ 2y ‡ 1 x ˆ 1
3
2
2
Riscriviamo il sistema in modo ordinato e liberiamo la terza equazione dai denominatori:
8
< x ‡ 2y ‡ z ˆ 2
2x y z ˆ 0
:
3x ‡ 12y ‡ 4z ˆ 3
Ricaviamo x dalla prima equazione e sostituiamo nelle altre:
8
8
< x ˆ 2 2y z
< x ˆ 2 2y z
2…2 2y z† y z ˆ 0
5y ‡ 3z 4 ˆ 0
!
:
:
3…2 2y z† ‡ 12y ‡ 4z ˆ 3
6y ‡ z ‡ 3 ˆ 0
1Š
14
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Ricaviamo z dalla terza equazione e sostituiamo nella seconda:
8
8
< x ˆ 2 2y z
< x ˆ 2 2y z
!
5y ‡ 3… 6y 3† 4 ˆ 0
13y ‡ 13 ˆ 0
:
:
z ˆ 6y 3
z ˆ 6y 3
Risolviamo la seconda equazione e sostituiamo in senso inverso:
8
8
8
< x ˆ 2 2y z
<x ˆ 2 ‡ 2 z
<x ˆ 1
yˆ 1
!
!
!
yˆ 1
yˆ 1
:
:
:
z ˆ 6y 3
zˆ6 3ˆ3
zˆ3
S ˆ …1; 1; 3†
8
< x 4y ‡ 2z ˆ 9
3x ‡ y 6z ˆ 1
65
:
x y zˆ3
S ˆ …1; 2; 0†
8
< 3x ‡ y z ˆ 1
66
2x ‡ 5y ‡ 4 ˆ 0
:
x 3z ‡ 4 ˆ 0
8
19
>
x y ‡ 2z ˆ
>
>
>
4
<
1
67
x ‡ 2y ‡ 5z ˆ 9
>
>
2
>
>
:
x ‡ 4y ‡ 2z ˆ 6
8
>
>
<x
1 ; 1; 3
2
2
Sˆ
2; 1 ; 3
4 2
11
3
68
2x ‡ 4z ˆ 7 ‡ y
>
>
:
x ‡ y ‡ 8z ˆ 4
69
Sˆ
y ‡ 2z ˆ
Sˆ
3;
1;1
3 6
ESERCIZIO SVOLTO
8
< x ‡ 2y 4z ˆ
3x 4y ˆ 10
:
y ‡ 2z ˆ 0
2
Anche per un sistema di tre equazioni in tre incognite possiamo applicare il metodo di Cramer calcolando i determinanti della matrice dei coefficienti e di quelle che si ottengono sostituendo rispettivamente la colonna dei coefficienti di x, di y, di z, con quella dei termini
noti:
1
2
2
4 2
4 ˆ 3
x ˆ 10
4
0
4
0
0
0
1
2
1
2
1
y ˆ 3
0
2
10
0
4 0
2
1
z ˆ 3
0
2
4
1
2 10 0
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
15
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
Per calcolare questi determinanti dobbiamo riportare le prime due colonne di numeri e applicare questo calcolo:
somma dei prodotti lungo le diagonali principali
1
ˆ 3
0
2
x ˆ 10
0
4 1
0 3
2 0
2
4
1
2
4
1
2
4 ˆ 1 … 4† 2 ‡ 2 0 0 ‡ … 4† 3 1
1
4 2
0 10
2 0
1
y ˆ 3
0
2
10
0
4 1
0 3
2 0
1
z ˆ 3
0
2
4
1
2 1
10 3
0 0
somma dei prodotti lungo le diagonali secondarie
2
4 ˆ … 2† … 4† 2 ‡ 2 0 0 ‡ … 4† 10 1
1
2
10 ˆ 1 10 2 ‡ … 2† 0 0 ‡ … 4† 3 0
0
2
4 ˆ 1 … 4† 0 ‡ 2 10 0 ‡ … 2† 3 1
1
‰0 … 4† … 4† ‡ 1 0 1 ‡ 2 3 2Š ˆ
32
‰0 … 4† … 4† ‡ 1 0 … 2† ‡ 2 10 2Š ˆ
64
‰0 10 … 4† ‡ 0 0 1 ‡ 2 3 … 2†Š ˆ 32
‰0 … 4† … 2† ‡ 1 10 1 ‡ 0 3 2Š ˆ
16
8
x
64
>
>
ˆ
ˆ2
xˆ
>
>
32
>
>
>
>
>
<
y
La soluzione del sistema eÁ quindi
yˆ
ˆ 32 ˆ 1
>
32
>
>
>
>
>
>
>
> z ˆ z ˆ 16 ˆ 1
:
32
2
8
>
>
2x ‡ y ‡ 3z ˆ 15
>
>
2
>
>
>
<
1
4x ‡ …z ‡ 1† ˆ 6 ‡ y
70
2
>
>
>
>
>
1
>
>
: 4y ˆ 3x 2 z ‡
2
8
>
>
x ‡ 1 y ‡ 1 z ˆ 1 …1
>
>
2
3
2
>
>
>
<
71
2y ‡ 3x ˆ 1 4z
>
2
>
>
>
>
>
>
:x ‡ 1 3 z ˆ 1 y
2
2
Sˆ
1;
1 ;2
2
y†
8
3x 2…y ‡ z† ˆ 1
>
>
>
>
>
>
<1
1
…x ‡ 6y† ‡ …4z ‡ 9† ˆ y
72
2
2
>
>
>
>
>
>
:1x‡ 1y‡ 1zˆ 2 2
3
6
2
3
Sˆ
1 ; 1; 0
2
S ˆ … 1; 0; 2†
16
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
8
1
1
7
1
>
>
> 3 x ‡ 6 y ‡ 12 ˆ 4 z
>
>
<
73
x‡ 1y‡ 7 ˆz
>
>
2
4
>
>
>
:
4x ‡ 2y ‡ 7 ˆ 4z 1
‰S ˆ 1Š
8
5x ‡ 3y ‡ 2z ˆ 5
>
>
>
> >
>
<
3 x 1 ‡yˆ 1 ‡z
74
3
2
>
>
>
>
>
>
:x ‡ y ˆ 1 ‡ z 1
2
1;1;1
Sˆ
2 2 2
8
>
x‡y‡zˆ 4 x
>
>
>
3
>
>
>
>
<
1
1
1…
3 y
x ˆ x
z ‡ 4†
75
6
2
4
>
>
>
>
>
>
>
5
>
: 4 2x ‡ z ‡ 1 ˆ 7y
4
3
8
x‡y zˆ3
>
>
>
>
>
<1
1
x ‡ …7y 6z† ˆ 2
76
2
4
>
>
>
>
>
: 3x ‡ 1 y ˆ 4 ‡ z
2
‰S ˆ 1Š
8
1
>
>
z ˆ 42 ‡ z
5x ‡ 4 y
>
>
>
2
>
>
>
< 1 x 1 y 5 ˆ 2z 6
77
5
…
†
>
5
5
>
>
>
>
>
>
>
: 1 x‰1 …x 1†Š ‡ y ˆ 7 1 x2
2
2
8
4x 3y ‡ z ˆ 3
>
>
>
>
>
<
x ‡ 1 …y 10z† ˆ 11
78
2
>
>
>
>
>
: 7x ‡ 3 z ˆ 9 ‡ 4y
2
2
8
2x ‡ y z ˆ 1
>
>
>
>
>
<1
1
7
x
…2y 4z† ˆ
79
3
2
6
>
>
>
>
>
: x ‡ 1 …y z 1† ˆ 0
2
3;1; 2
Sˆ
2 3
2x
S ˆ …3; 4; 5†
1 ; 1; 2
Sˆ
2
‰indeterminato]
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
8
2x
>
>
>
>
>
>
>
< 5x
2…2y ‡ z† ˆ 3 ‡ x
3
1
ˆ4
4 y‡ z
4
16
80
>
>
>
>
>
>
1
3
3
>
x 2 y‡ z
ˆ
1
:
3
2
4
8 3
>
>
x ˆ 23 3z
4 y
>
>
4
>
>
>
>
<
8 ‡1ˆ 1 y x
81
…
†
>
15z
5z
>
>
>
>
>
>
>
: 6z ‡ 5 ˆ 1
y 2x
8
x‡y
>
>
>z 1 ˆ1
>
>
>
< 1 x‡ 3y‡1 ˆz
82
>
>
3
4
>
>
>
>
:
3x 3y 2z ˆ 3
4
S ˆ …5; 0; 6†
1
3
5
; ;
Sˆ
2 2 2
8
x ‡ 3y ˆ 3…2 z†
>
>
>
>
>
>
<
2x 1 y ‡ 1 ˆ 1 …4z ‡ 17†
84
4
2
>
>
>
>
>
>
: 3x ‡ 2z ˆ 1
5‡y
8
x y ‡ 2z
>
ˆ1
>
>
>
x‡1
>
>
<
2x y
86
‡1ˆ0
>
>
z
>
>
>
>
: 3 …x ‡ z† ˆ y
2
5;5
4 4
Sˆ
3; 3; 2
3
8
2x ‡ 2y ‡ 2x ˆ 9
>
>
>
>
>
>
<
1
2y ‡ 6x ˆ 3 z
83
2
>
>
>
>
>
7 8z
>
:2 ˆ
2x 5y
8
x‡y‡5
>
>
ˆ1
>
>
2z
>
>
<
3x z 3 ˆ 2
85
>
>
y‡1
>
>
>
>
:
x ‡ 2…y ‡ 4† ˆ 4…z
1;
Sˆ
2
17
S ˆ …3; 2; 1†
‰S ˆ 1Š
1†
‰S ˆ 1Š
18
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
E SERCIZI
DI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
A PPROFONDIMENTO
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo che ritieni piuÁ opportuno.
8 x 3y
>
ˆ …x ‡ 1† 1 x
>
< 4
5
1
>
>
: x ‡ y ˆ 3x ‡ 1 …1 4x†
2
8
>
1
>
‡ 2y
> x ‡ 4y ˆ 5
<
3
2
>
>
1y‡x ˆ 1
>
:6
3
2
3
8
< x ‡ y ˆ 7…x
y†
:1x‡ 1y‡ 1 ˆ3
3
2
6
8 >
1 x ‡ 9 y ‡ 1 ˆ 15
>
<
9
8
36
4
>
>
: 3…y 2† x ˆ 15
2
8
3x2 ‡ y
>
1
>
ˆ …x ‡ 1† x ‡
>
>
<
3
3
5
>
>
>
1
16
1
1
>
ˆ
4x ‡ y
:8 x ‡ y
4
3
3
2
8
2
>
1
2
1
>
< x ‡ y ˆ x…x ‡ y† ‡
x ‡ y ‡ 1 y2
2
3
2
4
6
>
>
:
3…x y† ˆ 3y 5
7
8
>
>
2y
ˆ
2
x
<
1 y ‡ 4…1
2
>
>
: …x ‡ 2†…x ‡ 1† ˆ x2
x†
5;1
2 2
1;
Sˆ
6
1
4
S ˆ …4; 3†
Sˆ
15 ; 2
2
1 ;2
Sˆ
4
Sˆ
1;2
3 3
S ˆ … 1; 2†
1 1‡y
…
†
3
8
18
1
>
>
< 2x ‡ 3 ˆ 3 …1 ‡ y†
8
>
>
: x…x ‡ 2† 1 y ˆ 4 ‡ x2
3
8
…3 x†…x 2† y ˆ …x ‡ 3†…1
>
>
<
9
>
>9 1 ‡ 1 y ˆ 5 x 2 y
1
:
3
5
Sˆ
‰S ˆ 1Š
x†
7;
Sˆ
6
5
6
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
10
11
12
8
1
2
>
>
< y ˆ … 2 x ‡ 3†
x2
3y
4
3
>
>
: …10x ‡ 2† x ‡ y ‡ 2 y2 ‡ xy ˆ 2…x ‡ y†2
5
8
x ‡ y 3x 5y
2
>
>
‡1
<3 ˆ 2
6
>
>
: 3 x ‡ 1 y ˆ 1 …1
10
5
3
x†
8
1
1
>
>
< 2 …x ‡ y† ˆ 2 ‡ 2 …y
>
>
: y ‡ 1 ˆ 3 ‡ 4x2
18
2
6†
17
>
>
>
:
11y
3x
y2
3y
1
‡
10
1
y
ˆ
y
Sˆ
1
19
>
>
: x ‡ 1 …y
2
1†2 ˆ
y2
2
1
1 ;1
2
1; 2
Sˆ
3
Sˆ
5; 6
2
1
3y ‡ 2x ‡ 2
ˆ 3xy ‡ x2
x‡y
18
>
>
3
1
>
y ˆ 2x ‡ 7
: x‡2 x
4
2
2
x† ‡ 1 ˆ 2x
S ˆ …2; 3†
8
>
>
x ‡ y†2
>
<…
8
2 x
>
>
< y ‡ y…1
1
4
2; 1
Sˆ
3
5 x2
x‡1
10
Sˆ
1;
S ˆ … 2; 4†
2
1 ‡ 2x
3
8
1
2
>
< …x ‡ 2†…x ‡ 1† ‡ …y 3† ˆ x ‡ 2
5
15
>
: 1 …x 2y† 1 ˆ 2
2
6
(
…x y 1†2 2x ‡ 1 ˆ …x ‡ y†2 4xy
16
…x ‡ 1†…x 3† 3 ˆ x…x 2† ‡ y
xˆ
S ˆ … 3; 3†
y
8
3
1
1
>
>
<x ‡ 2 y ‡ 3 ˆ 2 y
13
>
>
: 6x ‡ 1 …y ‡ 3†…2y 1† ˆ y2
2
8
2
>
>
1
2
>
‡5
< 3y 2 ‡ x ˆ x ‡
2
4
14
>
>
>
: x ‡ y 1 ˆ 2…y 1†
2
8
>
>
>
<2
19
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
…x
x ‡ 3y
4
xy ‡ y2
‰S ˆ 1Š
1†…y ‡ 2†
Sˆ
1;7
3 3
20
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
8
>
1
1
>
z
x yˆ3
>
>
>
4
2
>
>
>
>
>
<
z 3 1 1 ˆ 2x y ‡ 3
20
2
2
4
>
>
>
>
>
>
>
>
>
3
4
4…
>
2x
y
z 2† ˆ z
:
2
3
3
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Sˆ
8
x ‡ 6y ‡ 3z ˆ 0
>
>
>
>
>
>
< 4x y ‡ z2
ˆz 2
23
z 3
>
>
>
>
>
>
: 4z y ˆ 1 …7 2x†
3
1;1;
Sˆ
4 2
1
2
1 ; 1; 2
Sˆ
2
Sˆ
1;
8
2x z 5
>
ˆ1
>
>
>
y 2
>
>
<
24
3x ‡ y ˆ 2…1 ‡ 2z†
>
>
>
>
>
>
:x y 2 3ˆ0
z
Risolvi e discuti i seguenti sistemi letterali.
1 ;4
2
4
8
2y x
>
1 ‡ 6z ‡ 3 ˆ
>
>
>
x
‡
y
x‡y
>
>
>
<
21
5x ‡ z ‡ 3 ˆ 3y
>
4
>
>
>
>
>
>
: 3x ‡ 4z 1 ˆ 3…y 1†
4
8
4x 3y
>
>
ˆ1 1
>
>
z 3
3z
>
>
>
>
<
…y 10z†
22
ˆ 11
3‡
>
2x
x
>
>
>
>
>
>
>
: 7x ‡ 3 z ˆ 9 ‡ 4y
2
2
25
1;
ESERCIZIO SVOLTO
2ax ‡ y ˆ 4a
a…x y† ‡ 1 ˆ 2ax
Per risolvere un sistema letterale conviene usare il metodo di Cramer.
2ax ‡ y ˆ 4a
Scriviamo il sistema nella forma tipica di questo metodo:
ax ‡ ay ˆ 1
1;1
3 3
‰S ˆ 1Š
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
21
2a 1 ˆ 2a2 a ˆ a…2a 1†
Calcoliamo i determinanti: ˆ a a
4a 1 ˆ 4a2 1 ˆ …2a 1†…2a ‡ 1†
x ˆ 1 a
2a 4a ˆ 2a 4a2 ˆ 2a…2a 1†
y ˆ a 1
Procediamo adesso alla discussione:
se 6ˆ 0, cioeÁ se a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1 , il sistema eÁ determinato ed ha soluzione
2
8
…2a 1†…2a ‡ 1†
>
>
>
xˆ
ˆ 2a ‡ 1
>
<
a
a…2a 1†
>
>
>
>
:y ˆ
2a…2a 1†
ˆ
a…2a 1†
2
per studiare il caso in cui ˆ 0 dobbiamo analizzare due possibili situazioni:
1
il sistema eÁ impossibile
- se a ˆ 0
!
x ˆ
!
- se a ˆ 1
2
!
x ˆ 0 e y ˆ 0
il sistema eÁ indeterminato.
!
8
4y ˆ 2a ‡ x 1
>
<
26
1
>
ˆ 2a ‡ 3
:2 x ‡
2
27
28
29
30
31
32
y
y
Sˆ
a ‡ 1; 3 a
4
a 6ˆ 1 : S ˆ
2 ˆ 2…a 2†x
2x ˆ 1 ‡ a
3ax 2y ˆ a
…a ‡ 1†x ‡ y ˆ 1
a 6ˆ 2 : S ˆ … 1; a† ; a ˆ 2 : indeterminato
…a ‡ 2†x ‡ …a ‡ 2†y ˆ 2
…a ‡ 2†x …a ‡ 2†y ˆ a
a 6ˆ
2:Sˆ
1; 2 a
2 2…a ‡ 2†
2
2ax ‡ 4y ˆ a
3x ‡ …a 1†y ˆ 2a
a…x ‡ y† ‡ a2 ˆ 1 ‡ 2a
2 ‡ ay ˆ 2a…x ‡ 1† a2
ax
2x
2y ‡ a ‡ 2 ˆ 0
ay ˆ 2 a2 a
1 ; a ; a ˆ 1 : indeterminato
2
6 a 6ˆ
6
4
aˆ
2 ^ a 6ˆ 3 : S ˆ
2a2
a2
;a ˆ
22 : indeterminato
2
9a
3a
; 24a
2a 12 2a
2a 12
3
;7
7
5
2 _ a ˆ 3 : impossibile
1 ;2
a 6ˆ 0 : S ˆ
a
a ; a ˆ 0 : impossibile
‰a 6ˆ 2 : S ˆ f…1; a ‡ 1†g; a ˆ 2 : indeterminatoŠ
22
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
33
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
ESERCIZIO GUIDATO
…b ‡ 1†x ‡ ay ˆ b
bx ‡ ay ˆ a
Il sistema eÁ giaÁ nella forma tipica per la risoluzione con il metodo di Cramer e si trova che:
x ˆ a…a ‡ b†
ˆa
y ˆ
ab
a
b2
Discussione:
se a 6ˆ 0
:::::::::::::::::::::::
se a ˆ 0
x ˆ 0; y ˆ
b2
b ˆ 0 :::::::
Occorre quindi distinguere due casi:
34
35
(
36
37
…a 1†x ‡ …b ‡ 2†y ˆ 0
by ax ˆ 2a ‡ b
a 6ˆ
bx ‡ y ˆ 0
…a2 ‡ 1† x ‡ ay ˆ 0
x…b ‡ 1† ‡ y ˆ a
a…x ‡ y† ˆ 1 ‡ a2
b 6ˆ 0 :::::::
b 6ˆ
2a : S ˆ … b
1 :Sˆ
b
a 6ˆ 0 ^ b 6ˆ 0 : S ˆ
2; 1
a† ; b ˆ
a2 ‡ 1 ; b…a2 ‡ 1†
ab ‡ 1 ab ‡ 1
1 ; 1 ‡ b ‡ a2 b
ab
ab
2a : indeterminato
;a ˆ
1 : impossibile
b
; a ˆ 0 _ b ˆ 0 : impossibile
ESERCIZIO GUIDATO
8
< 3ax ‡ ay ˆ 1
: x …a 1†y ˆ 0
a
Per l'esistenza della seconda equazione deve essere a 6ˆ 0. In questa ipotesi, puoi riscrivere il
sistema in forma normale:
3ax ‡ ay ˆ 1
ax …a 1†y ˆ 0
e applicare il metodo di Cramer.
a 1 ; 1
; a ˆ 0 : il sistema perde significato; a ˆ 3 : impossibile
a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 3 : S ˆ
4
4
a…4a 3† 4a 3
38
39
8
>
>
<x
yˆ
1
1
a
>
>
:x ‡ y ˆ
1
a‡1
8
>
>
<1
y‡x
a‡2
yˆ
>
>
:x ‡ a ‡ 1 ˆ 1
a‡2
a 6ˆ 1 : S ˆ
1
1
;
a2 a2
2
a
1
; a ˆ 1 : il sistema perde significato
1 ;a‡1
a‡2 a‡2
6 a 6ˆ 2 ^ a 6ˆ 3 : S ˆ
6
6
6
4 a ˆ 2 : il sistema perde significato;
a ˆ 3 : indeterminato
3
;7
7
7
7
5
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
40
8
< ax
:x
x ‡ …a
1†y ˆ a2
2y ‡ 2a ˆ
a
a
h
42
43
44
45
46
47
48
49
>
:x
1
yˆa
a
3
;7
b
6 b 6ˆ 1 ^ a 6ˆ 0 : S ˆ
6
7
6
7
6
7
6 b ˆ 1 : il sistema perde significato;
7
4
5
b 6ˆ 1 ^ a ˆ 0 : indeterminato
a
2
8
>
>
>
< 2y
8
>
< ax
2a
‰a 6ˆ
ax x
a‡1
ˆ
8
<a
:
8
>
< ax
1†
>
:
2
a† ‡
1
‡ a…x
2
y† ˆ 1 ‡ 2a
a
a ‡ y†
x…1
4a ˆ 2
1 ^ a 6ˆ 2 ^ a 6ˆ 1 : S ˆ
2
a 6ˆ 0 : S ˆ
a; 2a ‡ 1
a
x ˆ2
a‡1
y ˆ a…1
y†
3; 1
a
a
2
3
;7
7
7
7
7
7
7
7
5
; a ˆ 0 : il sistema perde significato
2
3
1 ;a ;
a
ˆ
6
2
^
a
ˆ
6
1
:
S
ˆ
6
7
a 1
6
7
6
7
6 a ˆ 2 : il sistema perde significato; 7
4
5
a ˆ 1 : sistema impossibile
x† ˆ 1 ‡ x2
2a y
a‡1
6 a 6ˆ
6
6
6 a ˆ 1 : il sistema perde significato;
6
6
6 a ˆ 2 : impossibile;
6
4
a ˆ 1 : indeterminato
2
y† ˆ 2a
2
x
2 : il sistema perde significatoŠ
‰a 6ˆ 0 : sistema indeterminato; a ˆ 0 : il sistema perde significatoŠ
>
:y‡3 ˆ1‡ a 1x
a‡2
a‡2
8
>
<
; a ˆ 0 : il sistema perde significato
y†
x ‡ 6y
‡ 2y ˆ 1
a‡1
a‡1
2a…x
3
1
1
;
; 7
a
ˆ
6
1
^
a
ˆ
6
2
:
S
ˆ
6
a‡1 a‡2
6
7
4
5
a ˆ 1 _ a ˆ 2 : il sistema perde significato
…x
1; 1
b‡1
2
2
a‡2
2
>
: x2 ‡ ay ˆ 2a ‡ 1 ‡ x…x
a
>
>
:2
a ‡ 2; 1
a
2 : sistema impossibile; a ˆ
4a ‡ 7
3a ‡ a2 ‡ 2
1 ˆ a2 …2
8 >
>
< 2 …y
a†
2 1
>
>
>
: 3x ‡ y ˆ
a 6ˆ 0 : S ˆ
8x y
>
ˆ1
>
< a‡2
>
>
: y ˆ 1 …x
2
2
n a
o
i
; a ; a ˆ 1 : il sistema perde significato
a 1
2
2† ˆ …a ‡ 2†
4…ay
a 6ˆ 1 : S ˆ
1
8
< ax ‡ 1 ˆ b…y ‡ a† ‡ y
41
: y ˆ 1
b2 1
b 1
8
>
< a…x ‡ 2†
23
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
3
;7
6 a 6ˆ 1 ^ a 6ˆ 0 : S ˆ
6
7
a
a
6
7
6
7
6 a ˆ 1 : il sistema perde significato;
7
4
5
a ˆ 0 : sistema impossibile
3a
2;a
2
24
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
8
<2x‡y 2ˆ 2 a
a
a
50
:
x y ˆ a…1 y†
51
8
x
>
>
<b‡1
2
3
a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 2; S ˆ …1; 1† ;
6
7
4 a ˆ 0 : il sistema perde significato; 5
a ˆ 2 : sistema indeterminato
y
1
ˆ 2
b ‡b
b
>
>
: x ‡ by ˆ b…x
b
b 6ˆ 0 ^ b 6ˆ
b 6ˆ 0 ^ a 6ˆ b : S ˆ
y
2
1
3
2 : S ˆ …a 1; a†;
a
ˆ
6
0
^
a
ˆ
6
1
^
a
ˆ
6
6
7
3
6
7
6
7
6 a ˆ 0 _ a ˆ 1 : il sistema perde significato; 7
6
7
6
7
4
5
2
a ˆ : indeterminato
3
ˆ3
2
a
2
3
;7
6 b 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 0 : S ˆ
6
7
6
7
6
7
6 b ˆ 0 : il sistema perde significato; 7
4
5
b 6ˆ 0 ^ a ˆ 0 : impossibile
1;a‡1
b
a
ESERCIZIO SVOLTO
8
1 2x 1 ‡ y
2 3a
>
>
> a ‡ 2a ˆ 2a
<
>
>
>
: ax
y‡1
ax
b2 ; ab ; b ˆ 0 _ a ˆ b : il sistema perde significato
8
< x ‡ ay ˆ 2 ‡ a
b
b
54
:
bx ay ‡ a ˆ 0
55
1 : il sistema perde significato
2
8 x
>
‡yˆa‡1
>
<a 1
>
>
:x‡1
a
1† ; b ˆ 0 _ b ˆ
y†
8
ab ‡ 2x 3y
>
>
ˆ0
< 2b ‡
a b
52
>
>
:x‡y ˆa‡b
b
53
1 : S ˆ …b; b
a
1 ‡xˆa‡ 1
a
Il sistema eÁ frazionario:
condizioni per le variabili:
y 6ˆ
condizioni per il parametro:
a 6ˆ 0
1
Svolgiamo i calcoli liberando le equazioni dai denominatori:
2 4x ‡ 1 ‡ y ˆ 2 3a
a2 x …ax 1†…y ‡ 1† ‡ ax…y ‡ 1† ˆ a2 …y ‡ 1† ‡ y ‡ 1
4x y ˆ 3a ‡ 1
a2 x a2 y ˆ a2
Poiche abbiamo giaÁ supposto che sia a 6ˆ 0, possiamo semplificare le seconda equazione:
4x y ˆ 3a ‡ 1
x yˆ1
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
25
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
Applichiamo la regola di Cramer:
4
1 ˆ
ˆ 4‡1ˆ 3
1
1
3a ‡ 1
1 x ˆ ˆ 3a 1 ‡ 1 ˆ 3a
1
1
4 3a ‡ 1 ˆ 4 3a 1 ˆ 3…1 a†
y ˆ 1
1
Essendo 6ˆ 0 il sistema eÁ determinato ed ha soluzione
8
>
>
<x ˆ
3a
ˆa
3
>
>
: y ˆ 3…1
Verifichiamo l'accettabilitaÁ della soluzione: poiche deve essere y 6ˆ
a
1 6ˆ
1
!
3
a†
ˆa
1
1 imponiamo che sia
a 6ˆ 0
Essendo giaÁ in questa ipotesi, la soluzione eÁ sempre accettabile.
Riassumendo: se a 6ˆ 0 : S ˆ …a; a 1† ;
se a ˆ 0 : il sistema perde significato
56
57
58
59
8x
>
>
<x
y
ˆ2
a
>
>
: x‡2 ˆ
2y a
8
>
< …x
a 6ˆ
1
a†2 …y
a†2 ˆ x2
>
: 2x ‡ a ˆ 2y
x‡1
y‡1
8
a 2
a
>
>
< y ˆx 1
>
>
:x
y
2† ; a ˆ
1_aˆ
x ˆ 2a 3
a 1
>
>
a
>
:
x
1 ˆ a2 a 1
1
xy x
z
1
4 : impossibile
3
a 6ˆ 0 : S ˆ … 1; 1† ; a ˆ 0 : indeterminato con x 6ˆ
6 a 6ˆ 0 ^ a 6ˆ 1 ^ a 6ˆ 2 : S ˆ
6
6
4 a ˆ 2 _ a ˆ 0 : impossibile;
a ˆ 1 : indeterminato
8
y‡a
>
>
> a
<
8
x ‡ 3y ˆ 2a ‡ 1
>
>
>
< 2x y z ˆ 5a
60
>
>
>
: x ‡ 1 y ˆ 2a
2
4 : S ˆ …3a ‡ 2; a
3
2
a ‡aˆ0
a
y
y2
1 ^ a 6ˆ
1 ^ y 6ˆ
2; a
1
3
;7
a
7
7
5
2
2
3
1 ;a ;
a
ˆ
6
0
^
a
ˆ
6
1
:
S
ˆ
6
7
a 1
6
7
4
5
a ˆ 0 _ a ˆ 1 : il sistema perde significato
S ˆ …a; 2a; 1
5a†
26
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
8
< 3x 2y ‡ z ˆ 3a
y xˆ2 a
61
:
3y ‡ 2z ˆ 4
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
5
S ˆ …a; 2; 1†
8
>
<y x ‡ z ˆ a
2x 3y 4z ‡ 2a ˆ 0
62
>
: a x y ‡ z ˆ a…2a ‡ 1†
…
†
8
x ‡ 2y z ‡ t ˆ 0
>
>
>
< 3x y ‡ 5z 2t ˆ
63
>
x‡y zˆt 4
>
>
:
2x y ‡ 3 ˆ t
64
8
>
>
2x
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
5x
>
>
<
a 6ˆ
1 : S ˆ …0; 2a; a† ; a ˆ
1
1
4 y‡ z ‡tˆ3‡x
2
1
4 y‡ 3z
2t ˆ 4
4
16
>
>
>
1
3
>
>
ˆ3
>3 x 2 y‡ 2z
>
4
>
>
>
>
>
>
>
>
: x 2y ‡ 1 z ˆ 2t ‡ 13
5
4
1 : indeterminato
S ˆ …1; 2; 0; 3†
Sˆ
1;
2
5 ; 5 ;0
4 4
1
Risolvi i seguenti problemi.
65 Luca ha pagato E 2,54 per 5 matite e 2 gomme, mentre Vittorio ha speso per il doppio delle gom‰E 0; 30 : E 0; 52Š
me ed una sola matita E 2,38. Quanto costano matite e gomme?
66 La somma fra il numeratore e il denominatore di una frazione eÁ 8; inoltre se sommiamo 1 al denominatore otteniamo una nuova frazione equivalente ad 1 . Trova la frazione iniziale.
2
3
5
67 Un'azienda vinicola ha imbottigliato vino per un totale di 1320 litri in bottiglie da 0,75` e 2`. Il
quintuplo del numero delle bottiglie da 2` supera di 80 quello delle bottiglie da 0,75`. Quante
‰1120; 240Š
bottiglie di ogni tipo sono state prodotte?
68 La differenza fra numeratore e denominatore di una frazione eÁ 4. Aggiungendo 2 al numeratore
3
7
e 3 al denominatore si ottiene una frazione equivalente a . Trova la frazione.
3
2
69 Se si scambiano fra loro le cifre di un numero che ne ha due, si ottiene un numero piuÁ grande del
‰37Š
primo di 36 e tale che sommato al numero originale daÁ 110. Individua il numero.
(Suggerimento: ricorda che un numero di due cifre in forma polinomiale, indicando con x il numero delle decine e con y quello delle unitaÁ, puoÁ essere scritto cosõÁ : 10x ‡ y).
70 Data una frazione, se aggiungiamo 5 al numeratore e 3 al denominatore otteniamo una frazione
equivalente a quella data. Sapendo inoltre che la somma del numeratore con il denominatore eÁ
16 calcola la frazione.
10
6
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
27
71 MetaÁ dei risparmi di Mara sommati ad un terzo di quelli di Andrea basterebbero per comprare
un appartamento da E 110 000. I due potrebbero peroÁ con un acconto di E 56 000, pari ad un
quinto di quanto dispongono insieme, attivare un finanziamento per un appartamento piuÁ gran‰E 100000; E 180000Š
de. A quanto ammontano i risparmi di Mara e Andrea?
72 Una bottiglia di vetro piena d'acqua pesa 1,25kg. Una bottiglia di plastica vuota pesa un quinto
di quella di vetro e, rispetto a questa, contiene il doppio dell'acqua; se la si riempie il suo peso eÁ
1,6kg. Quanto pesano la bottiglia di vetro e quella di plastica? E quanta acqua contengono?
‰0; 5kg; 0; 1kg; 0; 75`; 1; 5` Š
73 L'etaÁ di Luigi eÁ doppia rispetto a quella di suo figlio Giorgio ed eÁ maggiore di 4 anni rispetto a
quella di sua moglie Rita. L'etaÁ di Giorgio sommata a quella dello zio Antonio eÁ di 73 anni, mentre la somma degli anni di Rita e Luigi uguagliano il doppio di quelli di Antonio. Quanti anni
‰50; 48Š
hanno Luigi e Antonio?
74 La somma dei polli allevati da due contadini supera di 22 la loro differenza. Un accordo preso
fra loro prevede che ogni contadino, se supera la quota di venti, deve versare in una cassa comune E 10 per ogni pollo in piuÁ. Se complessivamente i due contadini pagano E 50, quanti polli
‰34; 11Š
possiede ognuno?
75 Preso un numero di due cifre, se sostituisci alla cifra delle decine quella delle unitaÁ moltiplicata
per 2 ottieni lo stesso numero, mentre se scambi le cifre ottieni i 4 del numero originario. Di che
7
numero si tratta?
‰il problema e indeterminato: qualsiasi numero per cui la cifra delle decine sia doppia rispetto a quella delle unitaŠ
76 Un'azienda produce gomme da masticare. Il peso di una singola gomma eÁ di 12g; il peso complessivo di una confezione classica eÁ di 80g, mentre la confezione maxi, il cui involucro pesa il
50% in piuÁ e che contiene il doppio delle gomme, pesa 150g. Quante gomme contiene e quanto
pesa l'involucro della confezione classica?
‰5; 20gŠ
77 Un camioncino a pieno carico pesa complessivamente 2t. Un camion piuÁ grosso, che pesa a vuoto il 50% in piuÁ del camioncino a vuoto, puoÁ trasportare un peso triplo rispetto a quello che puoÁ
trasportare il camioncino, fino a raggiungere le 4,2t complessive. Quanto pesa a vuoto il camion‰1; 2t; 0; 8tŠ
cino e quanto puoÁ trasportare?
78 La casa di Luca si trova sulla strada che da casa di Maria porta a quella di Enrico. Maria va da
Luca, si ferma un po' da lui, torna a casa a cambiarsi e poi va da Enrico percorrendo in questo
modo un totale di 2,8km. Enrico invece va direttamente da Maria, ma non trovandola si dirige
verso casa. Quando gli mancano i 2 del tragitto da casa di Maria alla sua ha percorso un totale
5
di 3,2km. Quanto distano le case di Maria e Enrico da quella di Luca?
‰400m; 1600mŠ
79 Un corriere compie un viaggio cambiando macchina a metaÁ strada e prendendone una che eÁ il
50% piuÁ veloce della prima, impiegandoci in questo modo 12 ore. In un secondo viaggio lungo lo
stesso percorso, il cambio avviene 360km dopo la metaÁ e il corriere impiega 1 ora in piuÁ. Calcola
‰1728km; 120km/h; 180km/hŠ
quanto eÁ lungo il viaggio e la velocitaÁ media delle due vetture.
80 Di due candele sappiamo che la prima si consuma due volte piuÁ velocemente della seconda e che
la seconda eÁ piuÁ corta di 8cm rispetto alla prima. Se accendiamo le due candele contemporaneamente, la seconda si consumeraÁ definitivamente 3 ore dopo la prima. Inoltre quando si saraÁ consumato 1 della seconda mancheranno 10 minuti al momento in cui si consumeraÁ metaÁ della pri3
ma. Calcola con quale velocitaÁ bruciano le due candele (esprimi il risultato in cm/h) e quanto
‰4cm/h; 2cm/h; 28cm; 20cmŠ
sono lunghe.
28
1 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
b mentre l'angolo A
b
b sommato a Bb eÁ pari ai 5 dell'angolo C,
81 In un quadrilatero ABCD l'angolo A
4
b eÁ doppio di B,
b eÁ tre volte l'angolo B.
b Sapendo che C
b trova gli angoli del quadrisommato a D
‰90 ; 90 ; 60 ; 120 Š
latero e stabilisci la sua natura.
82 L'area di un triangolo ABC misura 25 a2 . L'altezza CH relativa ad AB misura 2a; inoltre due
6
volte l'area di AHC supera di 1 a2 quella di HBC. Trova la misura del perimetro del triangolo
3
‰10a; il triangolo e rettangolo in CŠ
ABC e stabilisci se esso eÁ rettangolo.
b e l'anb eÁ 7 dell'angolo C
83 In un trapezio ABCD; gli angoli C e B sono supplementari, l'angolo A
16
b eÁ 11 dell 0 angolo B.
b Calcola le misure dei quattro angoli e specifica qual eÁ la base maggolo D
2
‰70 ; 20 ; 160 ; 110 Š
giore.
13
b Indicata con H la
dell'angolo B.
84 Nel triangolo ABC l'angolo esterno a quello di vertice A eÁ
4
d e CAB
d eÁ 10 di ACB.
d Calcola la
proiezione di C su AB, si ha che la somma fra gli angoli HCB
9
b Bb e C.
b
misura degli angoli A,
‰50 ; 40 ; 90 Š
85 Un rettangolo ABCD ha il lato BC lungo 2cm. Preso un punto E su AB e detta F la sua proie4
di quella del rettangolo ABCD. Se consi7
deriamo poi sul prolungamento di AB un segmento BG lungo due volte CF, abbiamo che il tra‰18cmŠ
pezio rettangolo AGFD ha area di 17cm2 . Calcola il perimetro di ABCD.
zione su CD si ha che l'area del rettangolo AEFD eÁ
3
86 In un triangolo ABC, il rapporto fra i lati AC e AB eÁ uguale a ed il perimetro eÁ 30cm. Dal
2
punto medio D del lato AB traccia la parallela a BC che incontra in E il lato AC. Trova le lunghezze dei lati del triangolo ABC sapendo che il perimetro del trapezio DECB eÁ 25cm.
‰10cm; 12cm; 8cmŠ
87 Un rettangolo ha il lato AB lungo 7cm e il lato BC lungo 4cm. Da un punto E ad esso interno, si
tracciano le parallele ai lati che individuano i seguenti punti: F su AD, G su BC, H su CD e I su
AB. Sapendo che il perimetro di EIBG eÁ 12cm e che quello di HEGC supera di 10 quello di AIEF
‰6cm2 Š
trova l'area di FEHD.
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