lezione 6 - Università degli Studi del Piemonte Orientale

Università degli Studi del Piemonte Orientale
Corso di Laurea in Infermieristica
Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari
Statistica
Lezione 6
a.a 2011-2012
Dott.ssa Daniela Ferrante
[email protected]
La verifica di ipotesi
Le ipotesi di ricerca sono un insieme di congetture o di
supposizioni che possono essere il risultato di anni di
osservazione da parte del ricercatore e che motivano la
ricerca
Le ipotesi statistiche sono ipotesi che possono essere
formulate in modo da poter essere valutate da adeguate
tecniche statistiche.
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Procedimento
1.
Il ricercatore formula un’ipotesi di lavoro, che costituisce
la spiegazione di un fenomeno o indica il valore di un
parametro.
2.
Viene formulata l’ipotesi nulla, cioè l’affermazione che il
ricercatore intende sottoporre a verifica, costruita in
modo simmetrico all’ipotesi di lavoro e formulata in modo
tale da poter essere negata dall’esperimento
programmato.
3.
Viene valutato dal ricercatore quanto è grande il rischio
per lui accettabile di fornire una conclusione diversa
dalla realtà (a lui ignota).
4.
Viene disegnato l’esperimento e viene definita la
dimensione del campione.
3
5.
Viene scelto il test statistico appropriato.
6.
Viene condotto l’esperimento.
7.
Il risultato dell’esperimento viene letto e confrontato con
la distribuzione di probabilità precedentemente calcolata.
Se la probabilità di ottenere il risultato osservato (data
l’ipotesi nulla) è inferiore alla soglia definita al punto 3
precedente, si conclude per il rifiuto dell’ipotesi nulla.
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PROCEDIMENTO
Formulare Ho
Calcolare la statistica test sui dati
Calcolare la plausibilità di Ho visti i dati
Conclusione
Rif Ho
Non rif Ho
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Errore di prima specie
Fisso il livello di significatività α che è definito come la
probabilità di rifiutare l’ipotesi nulla quando è vera: α è
definito errore di prima specie.
α = P(rif H0/H0)
Poiché rifiutare l’ipotesi nulla quando è vera rappresenta
un errore, dobbiamo quindi fissare un valore di α piccolo.
Di solito α viene posto uguale a 0.05.
6
La statistica test è una statistica che può essere
calcolata a partire dai dati del campione.
Formula generale della statistica test =
(statistica di interesse-parametro ipotizzato) / errore
standard della statistica di interesse
7
Esempio
Un campione casuale di 10 rapporti di pronto soccorso è
stato scelto dai file di un servizio di ambulanza. Il tempo
medio campionario è di 13 minuti. Assumiamo che la
popolazione dei tempi sia distribuita normalmente con
varianza uguale a 16. Si può concludere da questi dati
che la media della popolazione sia diversa da 10 minuti.
Fissiamo α = 0,05
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Test a una coda o due code?
Il ricercatore sulla base del tipo di domanda a cui deve
rispondere decide di utilizzare un test unidirezionale o
bidirezionale.
Si usa un test bidirezionale quando il rifiuto dell’ipotesi
nulla è dovuto sia a valori piccoli che a valori grandi della
statistica test.
ES.
H0 : µ = 10
H1 : µ ≠ 10
Nel test bidirezionale (test a due code) la regione di rifiuto è
divisa in due parti o due code della distribuzione della
statistica test.
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• Si usa un test unidirezionale quando il rifiuto dell’ipotesi nulla
è causato o soltanto da valori sufficientemente piccoli o
soltanto da valori sufficientemente grandi della statistica test
ES.
H0 : µ = 10
H1 : µ < 10
H0 : µ = 10
H1 : µ > 10
• Un test unidirezionale è un test in cui la regione di rifiuto si
trova in una o in un’altra coda della distribuzione.
10
Quindi: Data la distribuzione della statistica test, rifiuto
l’ipotesi nulla se il valore della statistica test cade nella
regione di rifiuto, mentre non rifiuto l’ipotesi nulla se la
statistica test cade nella regione di accettazione
dell’ipotesi nulla.
• Se l’ipotesi nulla non è rifiutata si può concludere che i
dati sui quali si effettua il test statistico non forniscono
prove sufficienti per rifiutarla.
•
Se invece l’ipotesi nulla viene rifiutata allora i dati
saranno compatibili con l’ipotesi alternativa H1 (ipotesi di
lavoro) che riteniamo vera dato che il test ha portato al
rifiuto dell’ipotesi nulla.
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N.B. Con la verifica di ipotesi non arriviamo ad una
dimostrazione di un’ipotesi, ma otteniamo un’indicazione
del fatto che l’ipotesi è supportata dai dati disponibili.
• Per tornare al nostro esempio avendo formulato la nostra
ipotesi nulla e l’ipotesi alternativa
H0 : µ = 10
H1 : µ ≠ 10
e fissato l’errore di prima specie α=0.05
dobbiamo scegliere l’opportuna statistica test.
Il test in questo caso sarà di tipo bidirezionale.
Conosciamo la deviazione standard della popolazione
σ; quindi utilizziamo come statistica test z.
z =
x − µ0
σ
n
12
Calcoliamo il valore della statistica test:
z=
13 − 10
= 2 .4
4
10
α=0.05
L’area compresa
tra - ∞ e -2,4 e tra
2,4 e + ∞ viene
definita p-value =
0,016
p<α
Il valore della statistica test cade nella regione di rifiuto
dell’ipotesi nulla quindi rifiuto H0
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Se nel quesito precedente vogliamo verificare:
H0 : µ = 10
H1 : µ < 10
allora dobbiamo utilizzare un test ad una coda.
L’area della coda sinistra è
pari a 0,05
0,5
0,4
L’area compresa
tra - ∞ e 2,4 è il
p-value = 0.9918
0,3
0,2
0,1
0,0
-4
-3,2
-2,4
-1,6
-0,8
0
0,8
1,6
2,4
3,2
4
z
p>α
-1,65
Il valore della statistica test cade nella regione di
accettazione dell’ipotesi nulla quindi non rifiuto H0
14
Se nel quesito precedente vogliamo verificare:
H0 : µ = 10
H1 : µ > 10
allora dobbiamo utilizzare un test ad una coda.
L’area della coda
destra è pari a 0,05
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
L’area compresa
tra 2,4 e + ∞ è il
p-value = 0.0082
X
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
p<α
1,65
Il valore della statistica test cade nella regione di rifiuto
dell’ipotesi nulla quindi rifiuto H0
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In generale quindi se il valore del p-value è maggiore di α non
rifiutiamo l’ipotesi nulla, se invece è minore o uguale di α
rifiutiamo l’ipotesi nulla.
Sempre con riferimento all’esempio precedente, immaginiamo
ora di voler verificare:
H0 : µ = 10
H1 : µ ≠ 10
nel caso in cui non conosciamo la deviazione standard
della popolazione ma conosciamo solo la deviazione
standard campionaria pari a 10. In questo caso ricorriamo al
test t di Student con (n-1) gradi di libertà
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Calcoliamo il valore della statistica test:
x − µ0
t=
s
n
0,5
13 − 10
t=
= 0,95
10
10
La somma delle aree delle
due code è pari a 0,05
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
T
-4 -3,2 -2,4-1,6 -0,8 0
-2,26
L’area compresa
tra -∞ e -0,95 e
tra 0,95 e +∞ (pvalue) =0,37
0,8 1,6 2,4 3,2 4
p>α
2,26
Il valore della statistica test cade nella regione di
accettazione dell’ipotesi nulla quindi non rifiuto H0
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La verifica di ipotesi sulla differenza fra due medie
“Si considerino due popolazioni di individui sottoposti a due
diversi trattamenti farmacologici. Si vuole valutare ad esempio
se tali trattamenti producono uguali effetti (ipotesi nulla) o
diversi (ipotesi alternativa)”
Estraggo un campione da ognuna delle due popolazioni ed
effettuo le misurazione della variabile in studio sui due campioni
calcolando quindi le medie delle due serie.
Se le due medie sono diverse, si vuole valutare se tale
differenza sia dovuta al caso e quindi i due trattamenti hanno lo
stesso effetto oppure se effettivamente si osserva un effetto
diverso tra i due trattamenti
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Campioni indipendenti
H0 : µ1 = µ2 oppure µ1 - µ2 = 0
H1 per un test ad una coda : H1 : µ1 >µ2 oppure µ1 < µ2
H1 per un test a due code : H1 : µ1 ≠ µ2 oppure µ1 - µ2 ≠ 0
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Consideriamo il seguente caso relativamente a due
campioni indipendenti:
- Campionamento effettuato da popolazioni distribuite
normalmente con varianza delle popolazioni non nota e
omogeneità della varianza ossia
t=
( x1 − x 2 ) − ( µ1 − µ 2 ) 0
 sp2 sp2 


+
 n1

n
2


σ 12 = σ 22
sp2
Gdl della t = (n1-1)+(n2-1)
( n1 − 1) s12 + ( n 2 − 1) s 2 2
=
n1 + n2 − 2
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Esempio
Si intende misurare l’efficacia di un farmaco per il
trattamento della depressione. Sono confrontati due gruppi:
un gruppo al quale è stato somministrato il farmaco (n=33) e
il gruppo placebo (n=43). La media della Hamilton
Depression Scale è pari a 20.38 nel primo gruppo (s=3.91)
e pari a 21.57 nel secondo (s=3.87).
Stabilire se la differenza tra le due medie è statisticamente
significativa a livello alfa=0,01
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H0 : µ1 = µ2
H1 : µ1 ≠ µ2
t=
( x1 − x 2 ) − ( µ1 − µ 2 ) 0
 sp
sp 


+
 n1

n
2


2
sp
2
2
=
( 20 .38 − 21 .57 ) − 0
 15,11 15,11 
+


33
43


= −1.32
( 32 ) 3 . 91 2 + ( 42 ) 3 . 87 2
=
= 15 . 11
33 + 43 − 2
gl = 74
-1.32 >-2,85 quindi non rifiuto H0
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Consideriamo i seguenti due casi relativamente a due
campioni appaiati:
• Vengono confrontati i valori presi sugli stessi soggetti in due
momenti diversi oppure allo stesso soggetto vengono
somministrati due trattamenti differenti
• Il confronto tra trattamento e controllo viene effettuato per
cercare di controllare possibili fonti di variabilità che
potrebbero oscurare la vera differenza tra le due serie di
misurazioni
• I soggetti di un determinato gruppo sono appaiati con i
soggetti di un altro gruppo in modo tale da rendere i due
gruppi simili per alcune caratteristiche quali ad esempio età,
sesso, etc.
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Esempio
• Ad 8 individui adulti è stata misurata la pressione arteriosa
prima e dopo l’assunzione di un farmaco
A
B
C
D
E
F
G
H
200 191 9
174 170 4
198 177 21
170 167 3
179 159 20
182 151 31
193 176 17
209 183 26
C’è sufficiente evidenza statistica a supporto dell’ipotesi che
ci sia una differenza?
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La formulazione del problema fa capire che si tratta di un
test a due code, con
d − d0
16 , 37 − 0
t =
=
= 4 , 55
H0 : dmedio = 0
s
10 , 20
n
8
H1 : dmedio ≠ 0
d=
131
= 16,37
8
s = 10,20
Valore critico per 7 gdl ; test a due code; p<α
quindi la probabilità che la differenza tra media osservata e
media attesa sia casuale è <0,05
Si rifiuta H0.
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Funzione excel
TEST.T - Restituisce la probabilità associata a un test t di
Student.
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TEST.T(matrice1;matrice2;coda;tipo)
Matrice1 è il primo insieme di dati.
Matrice2 è il secondo insieme di dati.
Coda specifica il numero di code di distribuzione.
Se coda = 1, TEST.T utilizzerà la distribuzione a una coda.
Se coda = 2, TEST.T utilizzerà la distribuzione a due code.
Tipo è il tipo di test t da eseguire
Se tipo è uguale
1 Accoppiato
2 Omoschedastico (varianza uguale di due campioni)
3 Eteroschedastico (varianza disuguale di due campioni)
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