תוחולה ןיב קחרמו חולה חטש םע םיליבקמ תוחול לבק ןותנ .1 S

‫‪ .1‬נתון קבל לוחות מקבילים עם שטח הלוח ‪ S‬ומרחק בין הלוחות‬
‫‪ .d‬הקבל ממולא חומר דיאלקטרי בעל קבוע דיאלקטרי משתנה לפי‬
‫הכלל ‪ ≤ = ≤1 + (≤2 − ≤1 )x/d‬כאשר ‪ x‬הינו מרחק מאחד הלוחות‪ .‬מצא‬
‫קיבול‪ .‬אם המתח הינו ‪ V‬מצא את צפיפות המטען בתוך הקבל‪.‬‬
‫‪ .2‬בין כדור מוליך בעל רדיוס ‪ a‬ומעטפת כדורית מוליכה )משותפת‬
‫מרכז( בעלת רדיוס ‪ b > a‬ישנו חומר מוליך בעל מוליכות סגולית ‪.σ‬‬
‫מצא את ההתנגדות בין הכדור למעטפת‪.‬‬
‫‪ .3‬שני מוליכים בעלי צורות שרירותיות נמצאים בתווך אינסופי בעל‬
‫תכונות דיאלקטריות‪ ,‬קבוע דיאלקטרי ≤‪ ,‬ומוליך‪ ,‬מוליכות סגולית ‪.σ‬‬
‫מצא את הערך ‪ RC‬כאשר ‪ R‬הינה התנגדות בין שני המוליכים ו ‪ C‬הינו‬
‫קיבול של השניים )בתווך(‪.‬‬
‫‪ .4‬קווי זרם ישר הינם קווים ישרים משני צידי הגבול המישורי בין‬
‫שני חומרים מוליכים בעלי מוליכות סגולית ‪ σ1‬ו ‪ .σ2‬מצא את הקשר בין‬
‫הזוויות ‪ θ1‬ו ‪ θ2‬ביו קו הזרם לבין הנורמל למישור המפריד בין המוליכים‪.‬‬
‫‪ .5‬נגד בצורת גליל ארוך בעל רדיוס ‪ a‬עשוי חומר מוליך שמוליכותו‬
‫משתנה לפי ‪ σ = σ0 (r/a)2‬כאשר ‪ r‬מרחק מציר הגליל‪ .‬מצא התנגדות‬
‫ליחידת אורך‪.‬‬
‫‪ .6‬שני לוחות גדולים מקבילים נמצאים בריק‪ .‬יש זרימת אלקטרונים‬
‫מאחד לשני‪ .‬מהירות התחלתית של האלקטרונים זניחה‪ .‬האלקטרונים‬
‫הזורמים יוצרים פוטנציאל ‪ φ = ax4/3‬כאשר ‪ x‬הינו מרחק מהלוח שממנו‬
‫יוצאים האלקטרונים‪ .‬מצא את צפיפת המעטן וצפיפות הזרם‪.‬‬
‫‪1‬‬
Solutions
1. From the Gauss theorem one has
Ex =
4πkσ
4πkσ
=
≤
≤1 + (≤2 − ≤1 )x/d
where σ = q/S . The potential drop
Z d
Z d
4πkσ
V =
Ex dx =
dx
0
0 ≤1 + (≤2 − ≤1 )x/d
4πkσd
=
ln(≤2 /≤1 )
≤2 − ≤1
From here you get the surface charge density and further the
electric field. The charge density inside the dielectric is given
by
1 dEx
div E = 4πkρ ⇒ ρ =
4πk dx
Attention: this the true microscopic charge density which
includes the charge density of the bound charges in the dielectric matter, NOT external charge density. The latter is
obtained from
div ≤E = 4πkρext
and is zero (obviously).
2. Let the current I flows radially from the inner sphere to
the outer one. Then the current density J(r) = I/4πr2 and the
electric field Er = J/σ = I/4πr2 σ . The potential drop
Z b
I
φ=
Er dr =
(1/a − 1/b)
4πσ
a
Now R = V /I .
2
3. On each conductor
I
I
I = J · dS = σ E · dS
I
= (σ/≤) ≤E · dS = 4πkq(σ/≤)
If the potential difference between the two is V then
R = V /I,
C = q/V ⇒
RC = q/I = ≤/4πkσ
4. Normal components of the current density should be
equal on both sides to ensure charge conservation, so that
J1 cos θ1 = J2 cos θ2
Tangential component of the electric field is continuous, so
that
J1 sin θ1 /σ1 = J2 sin θ2 /σ2
Therefore
tan θ1 /σ1 = tan θ2 /σ2
5. Since the potential drop along the conductor does not
depend on the radius, the electric field should be uniform.
Thus
J(r) = σ(r)E = σ0 (r/a)2 E
Z a
I=
2πJrdr = (πσ0 a2 /2)E
0
V = El
R/l = V /Il = E/I = 2/πσ0 a2
3
6. The Poisson equation gives
d2
φ = −4πρ = 4πen
dx2
1 d2
a −2/3
ρ=−
φ
=
−
x
4π dx2
9π
The current density is J = −env = ρv . The electron velocity
should
conservation: mv 2 /2 = eφ ⇒
p be found from the energy
v = 2eφ/m where φ = ax4/3 . Substituting, it is easy to see
that J does not depend on x as it should be for the stationary
regime.
4