ילמשח לאיצנטופו תילאיצנטופ היגרנא

‫אנרגיה פוטנציאלית ופוטנציאל חשמלי‬
‫‪ 3.1‬הגדרת האנרגיה הפוטנציאלית‬
‫‪ 3.2‬אנרגיה פוטנציאלית חשמלית‬
‫‪ 3.3‬אנרגיה פוטנציאלית חשמלית של מערכת מטענים‬
‫‪ 3.4‬הפוטנציאל החשמלי‬
‫‪ 3.5‬חישוב הפוטנציאל מהשדה‬
‫‪ 3.6‬הפוטנציאל של מטען נקודתי ושל מערכת מטענים‬
‫‪ 3.7‬פוטנציאל של התפלגויות מטען רציפות‬
‫‪ 3.8‬חישוב השדה מהפוטנציאל‬
‫‪ 3.9‬משטחים שווי פוטנציאל‬
‫‪ 3.10‬הפוטנציאל של מוליך טעון‬
‫‪1‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 3.1‬הגדרת האנרגיה הפוטנציאלית‬
‫¾‬
‫העבודה שמבצע כוח כלשהוא כאשר הוא מזיז גוף מנקודה תחילית ‪a‬‬
‫לנקודה סופית ‪ b‬היא‪:‬‬
‫)‪(1‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫¾‬
‫‪r r‬‬
‫‪F ⋅ds‬‬
‫‪b‬‬
‫∫ = ‪Wa −>b‬‬
‫‪a‬‬
‫נזכור כי העבודה היא גודל סקלרי‪.‬‬
‫האינטגרל האחרון קרוי אינטגרל מסלול או אינטגרל קווי והוא מבוצע‬
‫לאורך מסלול מסוים המקשר בים ‪ a‬ל‪.b -‬‬
‫אם הכוח הוא גם משמר )כזה שעבודתו בלתי תלויה במסלול( ניתן להביע‬
‫את העבודה כשינוי בפונקצית אנרגיה פוטנציאלית באופן‪:‬‬
‫)‪(2‬‬
‫‪Wa −>b = −ΔU = U a − U b‬‬
‫¾ כאשר ‪ U‬היא פונקצית האנרגיה הפוטנציאלית‪.‬‬
‫¾ שימו לב ! כאשר כוח מבצע עבודה חיובית גוף "נופל" מאנרגיה‬
‫בשדה כבידה‪.‬‬
‫‪ 2‬פוטנציאלית גבוהה לנמוכה כפי שקורה‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 3.2‬אנרגיה פוטנציאלית חשמלית‬
‫¾‬
‫נביט בשני מטענים ‪ q1‬ו‪ q2 -‬שווי סימן‪ ,‬כאשר ‪ q1‬מוחזק במקומו כמתואר‬
‫בציור נחשב את עבודתו של הכוח החשמלי לאורך קו רדיאלי‪:‬‬
‫⎞‪⎛1 1‬‬
‫‪q1q2‬‬
‫⎤‪⎡ 1‬‬
‫⎟ ‪= U a − U b = ∫ F dr = ∫ k 2 dr =k q1q2 ⎢ − ⎥ = k q1q2 ⎜ −‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪r‬‬
‫‪⎣ r ⎦a‬‬
‫⎠ ‪⎝ ra rb‬‬
‫‪b‬‬
‫‪3‬‬
‫‪b‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Wa −>b‬‬
‫אנרגיה פוטנציאלית חשמלית המשך‪..‬‬
‫)‪(3‬‬
‫⎞ ‪q1q2 ⎛ 1 1‬‬
‫= ‪U a − Ub‬‬
‫⎟ ‪⎜ −‬‬
‫⎠ ‪4πε 0 ⎝ ra rb‬‬
‫‪ 9‬בנוסחא האחרונה יש לקחת את המטענים עם סימנם‪.‬‬
‫‪9‬הנוסחא פותחה עבור המקרה בו המטענים שווי סימן אבל היא כללית‬
‫ונכונה תמיד‬
‫‪9‬הנוסחא פותחה עבור הזזה רדיאלית אולם היא נכונה עבור מסלול כלשהוא‬
‫מאחר והכוח האלקטרוסטטי ומכאן שגם השדה האלקטרוסטטי הם שדות‬
‫משמרים שעבודתם בלתי תלויה במסלול‪.‬‬
‫‪ 9‬נעיר כי העבודה שחישבנו היא עבודתו של הכוח החשמלי‪ .‬ניתן גם לדבר על‬
‫‪[email protected]‬השלילית של הקודם‪.‬‬
‫עבודה של כוחות כנגד השדה החשמלי‪ .‬זו היא‬
‫‪4‬‬
‫אנרגיה פוטנציאלית חשמלית המשך‪..‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫סימן חיובי לעבודה פירושו שהשדה החשמלי מבצע את העבודה‬
‫"עבורנו"‪ ,‬וסימן שלילי פירושו שנעשית עבודה חיובית על ידי כוח אחר‬
‫כנגד הכוח החשמלי‪.‬‬
‫נכתוב את הנוסחא האחרונה באופן‪:‬‬
‫⎞ ‪q1q2 ⎛ 1 1‬‬
‫‪U a = Ub +‬‬
‫⎟ ‪⎜ −‬‬
‫⎠ ‪4πε 0 ⎝ ra rb‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫‪5‬‬
‫הנוסחא האחרונה מראה כי כדי לדעת את האנרגיה הפוטנציאלית‬
‫בנקודה ‪ a‬עלינו לדעת את זו ש ב ‪ .b‬נקודה ‪ b‬נקראת נקודת ייחוס וניתן‬
‫לייחס לה אנרגיה פוטנציאלית כלשהיא )בדרך כלל אפס(‪ ,‬מאחר‬
‫ומבחינה פיסיקלית רק להפרשים של האנרגיה הפוטנציאלית יש‬
‫משמעות‪.‬‬
‫נוח מאוד להגדיר את נקודת הייחוס כאשר שני המטענים במרחק‬
‫‪[email protected]‬‬
‫אינסופי זה מזה‪.‬‬
‫אנרגיה פוטנציאלית חשמלית המשך‪..‬‬
‫נגדיר אנרגיה פוטנציאלית של שני המטענים כשהם במרחק ‪ r‬זה מזה באופן‪:‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪q1q2‬‬
‫‪1 q1q2‬‬
‫=‬
‫‪U (r ) = k‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4πε 0 r‬‬
‫ברור מהנוסחא האחרונה כי ‪U (∞) = 0‬‬
‫‪9‬‬
‫כמו בנוסחת העבודה גם כאן יש לקחת את המטענים עם סימנם‪.‬‬
‫‪ 9‬משפט העבודה‪-‬אנרגיה‪:‬‬
‫)‪E1 + Wn.c = E2 (5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫אנרגיה פוטנציאלית חשמלית המשך‪..‬‬
‫¾‬
‫כאשר ‪ Wn.c‬מייצג את עבודת כל הכוחות פרט לכוח החשמלי וכוח‬
‫הכבידה ו ‪ E -‬היא האנרגיה הכללית )סכום של קינטית ופוטנציאלית‬
‫חשמלית(‪:‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪E = Ek + U‬‬
‫תרגיל דוגמא מספר ‪1‬‬
‫שני כדורים שמסותיהם ‪ m1=0.0022 kg‬ו‪ m2=0.0039 kg -‬טעונים‬
‫במטענים ‪ q1 = +32μC‬ו‪ q2 = −18μ c -‬נמצאים במנוחה במרחק ‪ 4.6cm‬זה‬
‫מזה‪ .‬כדור ‪ 1‬מוחזק ואילו כדור ‪ 2‬חופשי לנוע‪ .‬מה תהיה מהירותו כאשר‬
‫המרחק ביניהם יהיה ‪? 2.3cm‬‬
‫פתרון‪ :‬במקרה זה ‪ Wn.c‬ואנו במצב של שימור אנרגיה כלומר‪:‬‬
‫‪Ek 1 + E p1 = Ek 2 + E p 2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫אנרגיה פוטנציאלית חשמלית המשך‪..‬‬
‫¾‬
‫או בצורה מפורשת‪:‬‬
‫‪q1q2 1‬‬
‫‪q1q2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mv1 + k‬‬
‫‪= mv2 + k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r2‬‬
‫⇓‬
‫⎞ ‪2kq1q2 ⎛ 1 1‬‬
‫= ‪v2‬‬
‫⎟ ‪−‬‬
‫⎜‬
‫⎠ ‪m ⎝ r1 r2‬‬
‫¾‬
‫הצבת ערכים מספריים נותנת‪:‬‬
‫‪v = 240m / s‬‬
‫‪8‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 3.3‬אנרגיה פוטנציאלית חשמלית של מערכת מטענים‬
‫¾‬
‫‪9‬‬
‫נניח כי יש ברשותנו שלושה מטענים הנמצאים במרחק אינסופי זה מזה‪.‬‬
‫מהי האנרגיה הפוטנציאלית של מערכת כאשר הם מובאים למצב‬
‫המתואר בציור?‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 3.3‬אנרגיה פוטנציאלית חשמלית של מערכת מטענים‬
‫¾‬
‫כאשר המטען הראשון מובא האנרגיה הפוטנציאלית היא אפס כי המטענים‬
‫עדיין במרחק אינסופי זה מזה‪ .‬המטען השני שיובא כבר ירגיש את השני‬
‫)עבודה תתבצע( וכאשר המטען השלישי יובא הוא ירגיש את שני האחרים‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪q1q3‬‬
‫‪q2 q3‬‬
‫‪q1q2‬‬
‫‪U =k‬‬
‫‪+k‬‬
‫‪+k‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪r12‬‬
‫‪r13‬‬
‫‪r23‬‬
‫¾‬
‫מהנוסחא האחרונה ברור כי האנרגיה הפוטנציאלית היא תכונה של מערכת‬
‫המטענים ולא של מטען בודד!!‬
‫¾‬
‫האנרגיה הפוטנציאלית הכללית בלתי תלויה בסדר בו מובאים המטענים‪.‬‬
‫אם האנרגיה הפוטנציאלית חיובית הרי שהעבודה שמבצע השדה החשמלי‬
‫היא שלילית וקיים כוח חיצוני שמבצע עבודה‪ .‬במקרה זה הכוח החיצוני‬
‫אגר אנרגיה במערכת‪ .‬אם האנרגיה הפוטנציאלית היא שלילית הרי שקורה‬
‫ההפך‪.‬‬
‫¾‬
‫‪10‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 3.4‬הפוטנציאל החשמלי‬
‫¾‬
‫נניח כי ברשותנו מטען ‪ q‬וטען בוחן ‪ .q0‬האנרגיה הפוטנציאלית של‬
‫מערכת שני המטענים פרופורציונית למטענו של המטען הבוחן‪ .‬אם ניקח‬
‫מטען בוחן כפול גם האנרגיה הפוטנציאלית תוכפל‪.‬‬
‫בניסוח אחר הגודל ‪ U q‬בלתי תלוי בגודלו של מטען הבוחן ‪ q0‬והוא‬
‫‪0‬‬
‫מאפיין את המטען ‪.q‬‬
‫נגדיר את הפוטנציאל כאנרגיה פוטנציאלית ליחידת מטען )זהו גודל‬
‫סקלרי כמובן(‪:‬‬
‫¾‬
‫או בהקשר לעבודה‪:‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫‪U‬‬
‫=‪V‬‬
‫)‪(7‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪11‬‬
‫‪Wa −>b‬‬
‫‪ΔU‬‬
‫= ‪ΔV = Vb − Va‬‬
‫‪=−‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 3.4‬הגדרת הפוטנציאל החשמלי‬
‫¾‬
‫היחידה של הפוטנציאל נקראת וולט )‪(Volt‬‬
‫‪J‬‬
‫‪[V] = = V‬‬
‫‪C‬‬
‫¾‬
‫את נוסחא )‪ (8‬נוכל לכתוב באופן ‪:‬‬
‫)‪Wa −>b = −ΔU = −qΔV = q (Va − Vb ) (9‬‬
‫¾‬
‫ממשוואה )‪ (9‬נובע כי מטען חיובי נע "ספונטאנית" )השדה החשמלי יסיע‬
‫אותו( מפוטנציאל גבוהה לנמוך ולהפך לגבי מטען שלילי‪.‬‬
‫¾‬
‫מנוסחא זו משתמע באופן ברור כי בין שתי נקודות הנמצאות בפוטנציאל‬
‫שונה קיים שדה חשמלי‪ .‬הנ"ל מכוון לכיוון של פוטנציאל פוחת!‬
‫‪12‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הגדרת הפוטנציאל החשמלי‬
‫תרגיל דוגמא מספר ‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫חלקיק אלפא מואץ מנקודה שבה קיים פוטנציאל של ‪Va = +6.5 ×10 V‬‬
‫לנקודה שבה הפוטנציאל הוא ‪ . V = 0‬א‪ .‬מצא את השינוי באנרגיה‬
‫‪b‬‬
‫הפוטנציאלית‪ .‬ב‪ .‬מהי האנרגיה הקינטית של החלקיק ?‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪ΔU = qΔV = 2* (1.6 × 10−19 )(0 − 6.5 × 106 ) = −2.1× 10−12 J‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪ .‬ממשפט העבודה אנרגיה ברור כי‬
‫‪ ΔEk = −ΔE p‬מאחר ו ‪. n.c = 0 -‬‬
‫‪W‬‬
‫נשים לב כי מהירות החלקיק פרופורציונית לשורש‬
‫הריבועי של הפרש הפוטנציאלים‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 3.5‬חישוב הפוטנציאל מהשדה‬
‫¾‬
‫מנוסחא )‪ (8‬נקבל‪:‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪b‬‬
‫‪− ∫ F ds − ∫ q0 E ds‬‬
‫)‪(10‬‬
‫‪= a‬‬
‫‪= a‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Wa −>b‬‬
‫‪ΔV = −‬‬
‫‪q0‬‬
‫¾‬
‫או‪:‬‬
‫¾‬
‫המינוס בנוסחא האחרונה מראה שכיוון השדה הוא לכיוון פוטנציאל קטן‪.‬‬
‫)ניתן כמובן לכותבה ללא סימן המינוס בהיפוך גבולות‬
‫גרל(‪r r .‬‬
‫האינט ‪r‬‬
‫‪r‬‬
‫נעיר כי במקרים בהם האינטגרל נלקח לאורך קו רדיאלי ‪E ds = E dr‬‬
‫‪r r‬‬
‫)‪Vb − Va = − ∫ E ⋅ ds (11‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫¾‬
‫‪14‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חישוב הפוטנציאל מהשדה המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫האינטגרל המגדיר את הפוטנציאל נקרא אינטגרל קווי‪ .‬באופן כללי השדה‬
‫החשמלי יכול להשתנות מנקודה לנקודה‪.‬‬
‫תרגיל דוגמא מספר ‪3‬‬
‫‪r‬‬
‫בציור הבא מטען בוחן זז בשדה אחיד ‪ E‬מ ‪ a‬ל‪ b -‬לאורך המסלול ‪ acb‬מצא‬
‫את הפרש הפוטנציאלים בין ‪ a‬ל‪.b -‬‬
‫‪15‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חישוב הפוטנציאל מהשדה המשך‪...‬‬
‫‪r r‬‬
‫= ‪Vc − Va = − ∫ E ds‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪= − ∫ E ds cos (π − θ ) = E cosθ ∫ ds‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪L‬‬
‫‪= E cosθ‬‬
‫‪= EL‬‬
‫‪cosθ‬‬
‫לאורך הקטע ‪ bc‬האינטגרל הוא אפס )נקודות‬
‫‪ C‬ו‪ b -‬באותו הפוטנציאל(‬
‫‪Vb − Va = (Vb − Vc ) + (Vc − Va ) = EL‬‬
‫אותה תוצאה הייתה כמובן מתקבלת במסלול‬
‫הישיר מ ‪ a‬ל‪ b -‬כי השדה החשמלי משמר‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חישוב הפוטנציאל מהשדה המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫על מנת למצוא פוטנציאל בנקודה עלינו לייחס פוטנציאל אפס לנקודה‬
‫אחרת‪ .‬ניקח את נקודת הייחוס ‪ a‬באינסוף ונייחס לה פוטנציאל אפס‪.‬‬
‫‪r r‬‬
‫)‪E ⋅ ds (12‬‬
‫‪p‬‬
‫∫‪Vp = −‬‬
‫∞‬
‫¾‬
‫תרגיל דוגמא ‪4‬‬
‫¾‬
‫כדור מלא לא מוליך ברדיוס ‪ a‬ממוקם באמצע קליפה מוליכה‬
‫שרדיוסה הפנימי ‪ b‬והחיצוני ‪ .c‬הכדור הפנימי טעון במטען ‪ +q‬המפוזר‬
‫באופן שווה והקליפה החיצונית המוליכה מכילה מטען ‪ .–q‬חשב את השדה‬
‫ואת הפוטנציאל בכל מקום במרחב‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חישוב הפוטנציאל מהשדה המשך‪...‬‬
‫השדה החשמלי בתוך הטבעת המוליכה הוא‬
‫אפס ולכן על השפה הפנימית יושרה מטען‬
‫‪ -q‬ועל השפה החיצונית של הטבעת לא יהיה‬
‫מטען )מדוע ?(‪ .‬מחוק גאוס נקבל ‪:‬‬
‫‪0≤r≤a‬‬
‫‪a≤r≤b‬‬
‫‪b≤r≤c‬‬
‫‪r≥c‬‬
‫‪18‬‬
‫‪⎧ kq‬‬
‫‪⎪ a3 r‬‬
‫⎪‬
‫‪⎪ kq‬‬
‫‪E (r ) = ⎨ 2‬‬
‫‪⎪r‬‬
‫‪⎪0‬‬
‫‪⎪0‬‬
‫⎩‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪+q‬‬
‫‪−q‬‬
‫‪q + (−q) = 0‬‬
...‫חישוב הפוטנציאל מהשדה המשך‬
:‫נבצע את האינטגרל מאינסוף פנימה‬
c
¾
r r
V ( r ≥ c ) = − ∫ E ds = 0
r
0
b
r r
V ( b ≤ r ≤ c) = −∫ −∫ E ⋅ds = 0
a
V ( a ≤ r ≤ b ) = −∫ −∫ −∫
V ( r ≤ a ) = −∫ −∫ −∫
c
b
a
∞
c
b
c
b
r
∞
c
b
c
r
∞
c
kq
⎛1 1⎞
dr = kq ⎜ − ⎟
2
r
⎝r b⎠
r kq
kq
kqr 2
⎛ 3 1⎞
− ⎟
dr − ∫ 3 rdr = − 3 + kq ⎜
2
a
r
R
2a
⎝ 2a b ⎠
[email protected]
19
‫חישוב הפוטנציאל מהשדה המשך‪...‬‬
‫‪1.2‬‬
‫פוטנציאל אפס‬
‫‪1‬‬
‫‪0.8‬‬
‫שפת הטבעת‬
‫שפת הכדור ‪V(r) 0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-0.2‬‬
‫‪3.5‬‬
‫‪20‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 3.6‬הפוטנציאל של מטען נקודתי ושל מערכת‬
‫מטענים‬
‫¾‬
‫הפוטנציאל של מטען נקודתי‪:‬‬
‫‪U‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1 q‬‬
‫= ‪V = =k‬‬
‫)‪(13‬‬
‫‪q0‬‬
‫‪r 4πε 0 r‬‬
‫‪V (∞) = 0‬‬
‫‪21‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הפוטנציאל של מטען נקודתי‬
‫ושל מערכת מטענים המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫עבור מערכת של מטענים נקבל מעקרון הסופרפוזיציה‪:‬‬
‫‪22‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הפוטנציאל של מטען נקודתי‬
‫ושל מערכת מטענים המשך‪...‬‬
‫= ‪V = V1 + V2 + ... + VN‬‬
‫‪qN‬‬
‫‪q1‬‬
‫‪q1‬‬
‫‪= k + k + ... + k‬‬
‫‪r1‬‬
‫‪r2‬‬
‫‪rN‬‬
‫¾‬
‫או ברישום מקוצר‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪qi‬‬
‫)‪(14‬‬
‫∑‪V = k‬‬
‫‪i =1 ri‬‬
‫‪23‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הפוטנציאל של מטען נקודתי‬
‫ושל מערכת מטענים המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫תרגיל דוגמא ‪5‬‬
‫חשב את הפוטנציאל במרכז ריבוע המטענים הנח כי ‪.d=1.3m‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪q3 = 31nc‬‬
‫‪q1 = 12nc,‬‬
‫‪q2 = −24nc, q4 = 17nc‬‬
‫‪24‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הפוטנציאל של מטען נקודתי‬
‫ושל מערכת מטענים המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫מאחר והנקודה במרכז הריבוע נמצאת במצב סימטרי לגבי המטענים הרי‬
‫שנוכל לכתוב‪:‬‬
‫‪q1 + q2 + q3 + q4‬‬
‫‪= 350V‬‬
‫‪V =k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2d‬‬
‫‪2‬‬
‫‪25‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הפוטנציאל של מטען נקודתי‬
‫ושל מערכת מטענים המשך‪...‬‬
‫תרגיל דוגמא ‪ :6‬פוטנציאל של דיפול חשמלי‬
‫)‪p( y, z‬‬
‫הפוטנציאל בנקודה ‪ p‬הוא‪:‬‬
‫⎞ ‪⎛ q −q‬‬
‫‪Vp = k ⎜ +‬‬
‫⎟‬
‫⎠ ‪⎝ r+ r+‬‬
‫על מנת לקבלאת הפוטנציאל‬
‫בנקודות רחוקות בהם ‪ r>>d‬לכתוב‪:‬‬
‫)*( ) ‪V p = kq ( r+−1 − r−−1‬‬
‫‪26‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הפוטנציאל של מטען נקודתי‬
‫ושל מערכת מטענים המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫כאשר‪:‬‬
‫) ‪≈ ( r − dz‬‬
‫) ‪= ( y + z − dz + d / 4‬‬
‫) ‪≈ ( r + dz‬‬
‫) ‪= ( y + z + dz + d / 4‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫¾‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 1/ 2‬‬
‫⎛ ‪⎡ 2‬‬
‫⎞‪d‬‬
‫⎟ ‪r+ = ⎢ y + ⎜ z −‬‬
‫⎠‪2‬‬
‫⎝‬
‫⎣⎢‬
‫‪2 1/ 2‬‬
‫⎛ ‪⎡ 2‬‬
‫⎞‪d‬‬
‫⎟ ‪r− = ⎢ y + ⎜ z +‬‬
‫⎠‪2‬‬
‫⎝‬
‫⎢⎣‬
‫⎤‬
‫⎥‬
‫⎦⎥‬
‫⎤‬
‫⎥‬
‫⎦⎥‬
‫לאחר הצבה בנוסחא )*( ושימוש במשפט הבינום וטריגונומטריה‬
‫פשוטה נקבל‪:‬‬
‫‪qd ) z‬‬
‫(‬
‫‪dz‬‬
‫‪p cosθ‬‬
‫)‪(15‬‬
‫‪=k‬‬
‫‪V p = kq 3 = k 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪27‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 3.7‬פוטנציאל של התפלגויות מטען רציפות‬
‫¾‬
‫¾‬
‫שיטת החישוב כאן דומה לזו שהשתמשנו בה בחישובי שדה חשמלי‬
‫פרט לעובדה שהפוטנציאל הוא גודל סקלרי‪.‬‬
‫מהגדרת הפוטנציאל של מטען נקודתי נקבל עבור אלמנט מטען‬
‫דיפרנציאלי ‪:dq‬‬
‫)‪(16‬‬
‫¾‬
‫‪dq‬‬
‫‪1 dq‬‬
‫=‬
‫‪dV = k‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4πε 0 r‬‬
‫כאשר ‪ r‬הוא המרחק בין אלמנט המטען ‪ dq‬לנקודה בה אנו מחשבים‬
‫את הפוטנציאל‪ .‬את הפוטנציאל נמצא ע"י סכימה על כל אלמטי‬
‫המטען‪:‬‬
‫‪dq‬‬
‫∫ ‪V = ∫ dV = k‬‬
‫)‪(17‬‬
‫‪r‬‬
‫‪28‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫פוטנציאל של התפלגויות מטען רציפות‬
‫המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫‪ .1‬הפוטנציאל של תיל הטעון בצפיפות אורכית אחידה‬
‫א‪ .‬נביע את אלמנט המטען‪:‬‬
‫‪dq = λ dz‬‬
‫ב‪ .‬מהגיאומטריה נקבל‪:‬‬
‫‪r = z2 + y2‬‬
‫ג‪ .‬נציב ל )‪:(17‬‬
‫‪λ dz‬‬
‫‪z2 + y2‬‬
‫‪29‬‬
‫‪L/2‬‬
‫∫‪V = k‬‬
‫‪−L/ 2‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ .‬הפוטנציאל של תיל הטעון בצפיפות אורכית‬
‫אחידה המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫ד‪ .‬נעריך את האינטגרל‪:‬‬
‫‪L/2‬‬
‫)‬
‫(‬
‫‪λ dz‬‬
‫⎤ ‪= k λ ⎡ln z + z 2 + y 2‬‬
‫=‬
‫⎢‬
‫⎥‬
‫⎣‬
‫‪⎦−L / 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z +y‬‬
‫)‪(18‬‬
‫¾‬
‫‪L/2‬‬
‫‪−L/ 2‬‬
‫⎤ ‪⎡ L / 2 + y 2 + L2 / 4‬‬
‫⎢ ‪= k λ ln‬‬
‫⎥‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫⎦⎥ ‪⎣⎢ − L / 2 + y + L / 4‬‬
‫כאשר השתמשנו באינטגרל‪:‬‬
‫)‬
‫‪30‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪= ln x + x + a‬‬
‫‪2‬‬
‫∫‪V = k‬‬
‫‪dx‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x +a‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪2‬‬
‫∫‬
‫פוטנציאל של התפלגויות מטען רציפות‬
‫המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫‪ .2‬הפוטנציאל של טבעת הטעונה בצפיפות אורכית אחידה‬
‫א‪ .‬נביע את אלמנט המטען‪:‬‬
‫‪dq = λ ds = λ Rdφ‬‬
‫ב‪ .‬מהגיאומטריה נקבל‪:‬‬
‫‪r = z 2 + R2‬‬
‫ג‪ .‬נציב ל )‪ (17‬לקבלת‪:‬‬
‫‪λ Rdφ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪31‬‬
‫‪z +R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dV = k‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הפוטנציאל של טבעת הטעונה בצפיפות אורכית אחידה‬
‫¾‬
‫נחשב את האינטגרל‪:‬‬
‫)‪(19‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z +R‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪2πλ R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z +R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dφ = k‬‬
‫‪2π‬‬
‫∫‬
‫‪0‬‬
‫‪λR‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z +R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪V =k‬‬
‫¾‬
‫המעבר האחרון התבסס על כתיבת כמות המטען הכללית‪.‬‬
‫¾‬
‫עבור ‪ z>>R‬נקבל‪:‬‬
‫⎛ ‪kq‬‬
‫‪R 2 ⎞ kq‬‬
‫≈‬
‫≈ ⎟ ‪1− 2‬‬
‫⎜‬
‫| ‪| z | ⎝ 2z ⎠ | z‬‬
‫‪32‬‬
‫‪−1/ 2‬‬
‫⎞ ‪kq ⎛ R‬‬
‫=‬
‫⎟ ‪1+ 2‬‬
‫⎜‬
‫⎠ ‪z‬‬
‫⎝| ‪| z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪V = kq ( z 2 + R 2 ) −1/ 2‬‬
‫פוטנציאל של התפלגויות מטען רציפות‬
‫המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫‪ .3‬הפוטנציאל של דסקה אחידה‬
‫¾‬
‫נשתמש בתוצאה של טבעת‪ .‬ניקח‬
‫מטען ‪ dq‬על טבעת שרדיוסה ‪w‬‬
‫ועובייה ‪dw‬‬
‫‪kdq‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z +w‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪dV‬‬
‫א‪ .‬אלמנט המטען הוא‪:‬‬
‫) ‪dq = σ dA = σ ( 2π wdw‬‬
‫‪33‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הפוטנציאל של דסקה אחידה המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫נציב לנוסחת הפוטנציאל ונבצע אינטגרציה‪:‬‬
‫= ‪dw‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)‪z 2 + R 2 − | z | (20‬‬
‫‪w‬‬
‫‪R‬‬
‫‪z 2 + w2‬‬
‫‪R‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪V(r‬‬
‫‪34‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪= 2π kσ ⎡ z + w ⎤ = 2π kσ‬‬
‫⎣‬
‫‪⎦0‬‬
‫‪2‬‬
‫מישור הטבעת‬
‫‪1‬‬
‫∫ ‪V = 2π kσ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫פוטנציאל של התפלגויות מטען רציפות‬
‫המשך‪...‬‬
‫¾ תרגיל דוגמא ‪:7‬‬
‫נתונה דסקה שרדיוסה ‪ R=4.8cm‬והנושאת מטען ‪ q=+2.5nC‬המפוזר‬
‫בצורה אחידה על פני משטחה‪ .‬אלקטרון משוחרר ממנוחה מנקודה‬
‫הנמצאת על ציר הסימטריה בגובה ‪ d=3cm‬מעל מישור הדסקה‪ .‬מה תהיה‬
‫מהירותו של האלקטרון בעוברו במרכז הדסקה ?‬
‫פתרון‪ :‬נשתמש בחוק שימור האנרגיה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪−eV ( d ) = −eV ( 0 ) + mve (1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪35‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫פוטנציאל של התפלגויות מטען רציפות‬
‫המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫נחשב את צפיפות המטען‪:‬‬
‫‪q‬‬
‫‪−7‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪σ‬‬
‫=‬
‫‪3.45‬‬
‫×‬
‫‪10‬‬
‫‪C‬‬
‫‪/‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪πR‬‬
‫¾‬
‫נחשב את הפוטנציאל בראשית‪:‬‬
‫‪V ( 0 ) = 2π kσ R = 936V‬‬
‫‪V ( d ) = 2π kσ ⎡ d 2 + R 2 − d ⎤ = 519V‬‬
‫⎣‬
‫⎦‬
‫¾‬
‫‪36‬‬
‫נציב ל )‪ (1‬ונקבל‪:‬‬
‫‪v = 1.21× 107 m / s‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 3.8‬חישוב השדה מהפוטנציאל‬
‫¾‬
‫נביט במטען בוחן חיובי ‪ q0‬הנע מנקודה ‪ a‬בה הפוטנציאל הוא ‪V‬‬
‫לנקודה ‪ b‬בה הפוטנציאל הוא ‪ .V+ΔV‬מצד אחד העבודה שווה ל –‬
‫‪Wa −>b = q0 Es Δs‬‬
‫¾‬
‫כאשר ‪Es‬‬
‫הוא הרכיב של השדה החשמלי‬
‫בכיוון ‪.Δs‬‬
‫מצד שני‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪Δs‬‬
‫‪Wa −>b = − q0 ΔV‬‬
‫נשווה ונקבל‪:‬‬
‫‪ΔV‬‬
‫‪Es = −‬‬
‫‪Δs‬‬
‫‪a‬‬
‫‪V+ΔV‬‬
‫‪V‬‬
‫סימן ה )‪ (-‬קובע שהשדה החשמלי שווה לערך השלילי של שינוי‬
‫‪ 37‬הפוטנציאל‪.‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חישוב השדה מהפוטנציאל המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫בגבול בו ‪ Δs‬שואף לאפס נקבל את הנוסחאות לחישוב השדה‬
‫מהפוטנציאל‪:‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪Ex = − , E y = −‬‬
‫‪, Ez = −‬‬
‫)‪(21‬‬
‫‪∂x‬‬
‫‪∂y‬‬
‫‪∂z‬‬
‫¾‬
‫אם ‪ V‬היא פונקציה ידועה הרי שניתן לקבל ממנה את רכיבי השדה‬
‫החשמלי באמצעות הנגזרת החלקית לפי הקואורדינאטה המתאימה‪.‬‬
‫¾ תרגיל דוגמא ‪:8‬‬
‫בנוסחא )‪ (20‬חישבנו את הפוטנציאל של דסקה על ציר הסימטריה שלה‪.‬‬
‫חשב את רכיב ה ‪ z‬של השדה‪.‬‬
‫‪38‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חישוב השדה מהפוטנציאל המשך‪...‬‬
‫עבור הפוטנציאל קיבלנו‪:‬‬
‫)‬
‫‪z +R −z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪V ( z ) = 2π kσ‬‬
‫ומכאן נקבל עבור השדה‪:‬‬
‫⎡‬
‫⎤‬
‫‪∂V‬‬
‫‪z‬‬
‫‪= 2π kσ ⎢1 −‬‬
‫‪E=−‬‬
‫‪2‬‬
‫⎥ ‪2‬‬
‫‪∂z‬‬
‫⎦ ‪z +R‬‬
‫⎣‬
‫‪39‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חישוב השדה מהפוטנציאל המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫תרגיל דוגמא ‪:8‬‬
‫בתרגיל דוגמא )‪ (6‬חישבנו את הפוטנציאל של הדיפול‪ .‬נחשה ממנו את‬
‫השדה‪ .‬בנוסחא )‪ (15‬קיבלנו עבור‬
‫הפוטנציאל‪:‬‬
‫‪p cosθ‬‬
‫‪V =k‬‬
‫‪r2‬‬
‫ראשית נביע את הפוטנציאל בקואורדינאטות‬
‫קרטזיות‪:‬‬
‫‪r = y2 + z2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y2 + z2‬‬
‫‪40‬‬
‫= ‪cosθ‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫חישוב השדה מהפוטנציאל המשך‪...‬‬
‫לקבלת רכיב ה‪ z -‬של השדה נגזור לפי ‪:z‬‬
‫‪z‬‬
‫‪V = kp 2‬‬
‫‪2 3/ 2‬‬
‫) ‪(z + y‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪2 1/ 2‬‬
‫) ‪− z ( y + z ) (2 z‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪+‬‬
‫(‬
‫)‬
‫) ‪(y + z‬‬
‫‪2 3/ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∂V‬‬
‫‪Ez = −‬‬
‫‪= − kp‬‬
‫‪∂Z‬‬
‫‪2z2 − y2‬‬
‫)‬
‫‪2 5/ 2‬‬
‫‪+z‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(y‬‬
‫‪= kp‬‬
‫השוו את התוצאה שהתקבלה עם תרגיל ‪ 12‬שבקובץ תרגילים ‪.1‬‬
‫‪41‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 3.9‬משטחים שווי פוטנציאל‬
‫¾‬
‫משטח שווה‪-‬פוטנציאל הוא משטח בו כל הנקודות עליו נמצאות באותו‬
‫הפוטנציאל‪ .‬לא נעשית כל עבודה בהזזתו של מטען על שווה פוטנציאל‪.‬‬
‫עבודה נעשית רק במעבר בין משטחים שווה פוטנציאל שונים‪.‬‬
‫¾‬
‫משפט‪ :‬השדה החשמלי מאונך למשטח שווה פוטנציאל‬
‫¾‬
‫הוכחה‪ :‬אם השדה החשמלי לא היה ניצב למשטח שו"פ הרי שהיה לו‬
‫רכיב בכיוון המשטח שהיה מבצע עבודה‪ ,‬בסתירה להיותו של המשטח‬
‫באותו הפוטנציאל‪.‬‬
‫¾‬
‫‪42‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 3.9‬משטחים שווי פוטנציאל‬
‫‪43‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪ 3.10‬הפוטנציאל של מוליך טעון‬
‫¾ משפט פניו ותוכו של מוליך נמצאים באותו הפוטנציאל‪.‬‬
‫¾ הוכחה‪:‬‬
‫¾ ראינו כי מטענו העודף של מוליך במצב אלקטרוסטטי מפוזר‬
‫על שפתו החיצונית‪ .‬מכאן מתחייב כי שפתו של המוליך‬
‫באותו הפוטנציאל‪ .‬אלמלא הדבר היה כך היו נקודות שונות‬
‫על פניו של המוליך בפוטנציאל שונה ומכאן שהשדה החשמלי‬
‫היה מבצע עבודה על מטעני השטח ומזיז אותם‪ .‬קיבלנו‬
‫סתירה‪.‬‬
‫השדה החשמלי בתוכו של המוליך הוא אפס‪ .‬לפיכך נוכל‬
‫להזיז מטען בוחן בתוך פנימו של המוליך ומן השפה פנימה‬
‫ללא עבודה‪ .‬מסקנה‪ :‬פניו ותוכו של מוליך נמצאים באותו‬
‫הפוטנציאל‬
‫‪44‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הפוטנציאל של מוליך כדורי טעון‬
‫¾‬
‫מחוק גאוס נקבל עבור השדה של כדור טעון בצורה אחידה‪:‬‬
‫‪r≥R‬‬
‫‪r<R‬‬
‫¾‬
‫‪⎧ kq‬‬
‫‪⎪ 2‬‬
‫‪E (r ) = ⎨ r‬‬
‫‪⎪⎩0‬‬
‫נחשב את הפוטנציאל בנקודה חיצונית‪:‬‬
‫‪r‬‬
‫‪r r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪q‬‬
‫‪kq‬‬
‫⎤‪⎡1‬‬
‫= ⎥ ⎢ ‪V ( r ≥ R ) = − ∫ E ds = − ∫ k 2 dr = kq‬‬
‫∞‬
‫‪∞ r‬‬
‫‪⎣ r ⎦∞ r‬‬
‫‪r‬‬
‫‪45‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הפוטנציאל של מוליך כדורי טעון המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫נחשב את הפוטנציאל בנקודה פנימית‪:‬‬
‫‪kq‬‬
‫‪kq‬‬
‫= ‪dr‬‬
‫‪2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪R‬‬
‫¾‬
‫∫ ‪V ( r ≤ R ) = − ∫ E dr + ∫ 0 dr = −‬‬
‫‪R‬‬
‫‪r‬‬
‫‪R‬‬
‫∞‬
‫‪R‬‬
‫∞‬
‫כלומר הפוטנציאל בתוך הכדור המוליך )או קליפה‪ ,‬כי המטען ממילא‬
‫מתפרס על השפה החיצונית( קבוע ושווה לערכו על השפה‪ .‬נשים לב כי‬
‫השדה בלתי רציף בעוד שהפוטנציאל רציף‪.‬‬
‫‪46‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הפוטנציאל של מוליך כדורי טעון המשך‪...‬‬
‫שדה חשמלי‬
‫פני הכדור‬
‫‪r‬‬
‫‪1.1‬‬
‫פוטנציאל חשמלי‬
‫‪1‬‬
‫‪0.9‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0.7‬‬
‫‪0.6‬‬
‫פני הכדור‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪47‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪r‬‬
‫‪0.3‬‬
‫הפוטנציאל של מוליך כדורי טעון המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫ומה קורה אם יש לנו מספר מוליכים כדוריים קונצנטריים ? התשובה היא‬
‫סופרפוזיציה!!‬
‫נשאל תמיד את עצמנו האם הנקודה בה אנו רוצים לדעת את הפוטנציאל‬
‫היא נקודה פנימית )או שפה( או נקודה חיצונית ולאיזה כדור‪ .‬אם הנקודה‬
‫פנימית לכדור מסוים תרומתו לפוטנציאל היא כערכו של הפוטנציאל על‬
‫שפתו ואם הנקודה היא חיצונית אז התרומה לפוטנציאל היא כמו של מטען‬
‫נקודתי‪.‬‬
‫‪0 ≤ r ≤ R1‬‬
‫‪R1 ≤ r ≤ R2‬‬
‫∞ ≤ ‪R2 ≤ r‬‬
‫‪48‬‬
‫‪⎧ kq1 kq2‬‬
‫‪⎪R + R‬‬
‫‪2‬‬
‫‪⎪ 1‬‬
‫‪⎪ kq1 kq2‬‬
‫‪+‬‬
‫⎨ = ) ‪V (r‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪⎪ r‬‬
‫‪⎪ kq1 kq2‬‬
‫‪+‬‬
‫⎪‬
‫‪r‬‬
‫‪⎩ r‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪q1 q2‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪R1‬‬
‫‪r‬‬
‫הפוטנציאל של מוליך כדורי טעון המשך‪...‬‬
‫¾ חיבור מוליכים ע"י תיל מוליך‬
‫¾‬
‫מה יקרה אם נחבר שני מוליכים הנמצאים בפוטנציאל שונה בתיל מולי‬
‫?‬
‫¾‬
‫מאחר ואנו יודעים שפניו ותוכו של מוליך הם משטח שווה פוטנציאל‬
‫הרי שכתוצאה מהחיבור התיל ושני המוליכים מהווים משטח של מוליך‬
‫אחד ומכאן שהם יגיעו לשוויון פוטנציאלים‪.‬‬
‫מסקנה‬
‫חיבור בין מוליכים ע"י מוליך אחר גורם להשוואת פוטנציאלים‬
‫‪49‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הפוטנציאל של מוליך כדורי טעון המשך‪...‬‬
‫¾ המסקנה האחרונה היא כללית והיא נכונה למוליכים‬
‫בעלי צורה כלשהיא‪.‬‬
‫¾ מה יקרה למטען על הכדורים‬
‫‪A B‬‬
‫אם נחבר ביניהם בתיל ?‬
‫‪R‬‬
‫‪R‬‬
‫‪q1 q2‬‬
‫נשווה פוטנציאלים‪:‬‬
‫‪kq1 kq2 kq1 kq2‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪R1 R2‬‬
‫‪R2 R2‬‬
‫או‪:‬‬
‫‪50‬‬
‫⎞ ‪⎛ 1 1‬‬
‫‪k ⎜ − ⎟ = 0 ⇒ q1 = 0‬‬
‫⎠ ‪⎝ R1 R2‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪r‬‬
‫הפוטנציאל של מוליך כדורי טעון המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫¾‬
‫מסקנה הכדור הפנימי איבד את כל מטענו שעבר אל הכדור החיצוני‪.‬‬
‫נדגיש כי התוצאה שקיבלנו בה הכדור הפנימי איבד את כל מטענו אינה‬
‫תוצאה כללית‪.‬‬
‫חבור הארקה‬
‫חיבור הארקה פירושו חיבור הגוף אל הארץ‪ .‬אני מייחסים )באופן‬
‫שרירותי( פוטנציאל אפס לארץ‪ .‬ולכן‪:‬‬
‫הפוטנציאל של גוף מוארק הוא אפס!‬
‫‪51‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫הפוטנציאל של מוליך כדורי טעון המשך‪...‬‬
‫¾‬
‫ניישם את מה שלמדנו על הדוגמא‬
‫הכדורית‪ .‬מה יהיה המטען על הכדור‬
‫הפנימי לאחר חיבור הארקה ?‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪q1 q2‬‬
‫‪R1‬‬
‫נדרוש את התאפסות הפוטנציאל על שפה ‪.A‬‬
‫‪kq1 kq2‬‬
‫‪R1‬‬
‫= ‪VA‬‬
‫‪+‬‬
‫‪= 0 ⇒ q1 = − q2‬‬
‫‪R1 R2‬‬
‫‪R2‬‬
‫‪52‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪R2‬‬
‫סימול הארקה‬
‫‪r‬‬