Problemi sulla relatività ristretta

Problemi sulla relatività ristretta.
Cap.30=1126=1
Nello spazio –tempo considera gli eventi A(0,72 µs; 1,5 km) e B(0,95 µs; 1,7 km), rilevati in un riferimento S.
In un riferimento S’ i due eventi risultano simultanei. Calcola la velocità del sistema di riferimento S’ rispetto
a S.
•
Intervallo invariante: ∆S2 = (c∆t)2 –(∆x)2 ……
(∆S’)2 = ∆S2
o Dimostrazione:
dalle equazioni di Lorentz:
dx ' =
o
dx − vdt
v2
1− 2
c
= γ (dx − vdt )
e dt ' =
v·dx
c 2 = γ (dt − vdx )
c2
v2
1− 2
c
dt −
Quindi
(c∆t ')2 − (∆x ') 2 ... = c 2γ 2 (∆t −
v·∆x 2
) − γ 2 (∆x − v∆t )2 ... =
2
c
v·∆x v 2 ·∆x 2
+
) − γ 2 (∆x 2 − 2∆x·v∆t + v 2 ∆t 2 ) =
c2
c4
v·∆x v 2 ·∆x 2
= γ 2 (c 2 ∆t 2 − 2∆t·
+
− ∆x 2 + 2∆x·v∆t − v 2 ∆t 2 =
2
1
c
2
v
v2
v2
= γ 2 [(c 2 − v 2 )∆t 2 − (1 − 2 )∆x 2 ] = γ 2 [c 2 (1 − 2 )∆t 2 − (1 − 2 )∆x 2 ] =
c
c
c
2
2
= (c∆t ) − (∆x)
= c 2γ 2 (∆t 2 − 2∆t·
o
Problema
(c∆t)2-(∆x)2 = 0 – (∆x’)2
o
ma ∆x =
∆x '+ v∆t '
v2
1− 2
c
==> ∆x· 1 −
(3ˑ108ˑ0,23ˑ10-6)2 –(200)2 = - (200)2 (1 – v2/9ˑ1016)
v2
= ∆x '
c2
v= 1.03ˑ108 m/s.
(∆t’=0)
Cap.30=1126=2
In un incrocio tra due “astro-Strade” è posto un semaforo che segna rosso e quindi la luce emessa ha una
lunghezza d’onda λ = 700 nm. Calcola la velocità che deve avere un’astronave che si avvicina all’incrocio per
vedere la luce emessa dal semaforo di colore verde ( λ = 470 nm).
•
•
Effetto Doppler
sia emessa da un sistema di riferimento S’ un’onda con lunghezza d’onda λ =cT (S’ solidale con la
sorgente che emette l’onda)
Se S’ è un sistema inerziale che sta procedendo a velocità v rispetto ad un altro sistema inerziale S, la
T
lunghezza d’onda risulta λ ‘= cT’-vT’ = (c – v)T’ = (c- v )ˑ
1−
•
v2
v2
1
−
c
c2 =
c2 = f
=
E per la frequenza si ha f’ =
λ ' T (c − v) T (1 − v )
c
•
Problema:
c 1−
λ = 700 nm
f = 3ˑ108 / 7ˑ10-7 = 0,42ˑ1015 Hz
λ= 470 nm
f = 3ˑ108 / 4,7ˑ10-7 = 0,638ˑ1015 Hz
v
c
v
1−
c
1+
0,638ˑ1015 = 0,42ˑ1015
v
c =
2,3 =
v
1−
c
v2
c2
v
c
v
1−
c
1+
1+
v = 1,18 ˑ108m/s
Cap.30==1127=6
Il Sole che ha una massa di circa 2,0ˑ1030 kg, irradia energia con una potenza per mero quadrato che in
prossimità della Terra vale p = 1,4 ˑ103 J/m2ˑs. La distanza media tra le Terra e il Sole è di 150ˑ106 km.
Quanta massa perde il Sole ogni secondo? Assumi che l’energia venga irradiata in modo costante, quanto
durerebbe la vita del Sole.
•
•
•
•
La massa si può trasformare in energia e viceversa: E = mˑc2
P = 1,4ˑ103 W/m2 si chiama costante solare
Energia emessa dal Sole in 1 s:
W = 1,4ˑ103 ˑ 4ˑ3,14ˑ(1,5ˑ1011)2 =39,56 ˑ1025 W
M= 39,56 ˑ1025 W /( 3ˑ108 m/s)2=4,4ˑ109 kg
Cap.30=1127=8
I muoni sono particelle elementari con massa di riposo m0 =105,7 MeV/c2 che si creano quando raggi
cosmici di alta energia entrano in atmosfera. I muoni hanno vita breve, pari in media a τ = 1,56 µs nel
sistema di riferimento in cui sono fermi, e decadono in altre particelle elementari. Considera un muone
creato a 10 km dal livello del mare con velocità v = 0,98c diretta verso il basso. Calcola la quantità di energia
necessaria per creare un muone. Calcola l’energia totale relativistica del muone. Calcola la distanza
percorsa da un muone che vive per un tempo pari a τ nel sistema di riferimento in cui il muone è fermo,
secondo la teoria classica e secondo la teoria relativistica.
•
•
m0ˑc2 = 105,7 MeV = 105,7 ˑ106ˑ1,6ˑ10-19 J = 169,12 ˑ10-13 = 1,7 ˑ10-11 j
2
mc =
m0 c 2
1−
=
2
v
c2
1, 7·10−11
1 − ( 0,98 )
2
= 8,54·10−11 j
•
secondo la fisica classica: d =0,98 ˑ 3ˑ108 ˑ1,56ˑ10-6 = 4,58 ˑ102 m = 458 m
•
secondo la fisica relativistica: d = 0,98 ˑ 3ˑ108 ˑ1,56ˑ10-6/ 1 −
v2
=23,01ˑ102M = 2301 m
c2
Composizione delle velocità
Un’astronave si avvicina ad un asteroide con una velocità di 0,75c. Supponiamo che l’astronauta lanci verso
l’asteroide una sonda con una velocità di 0,8c rispetto all’astronave stessa; qual è la velocità della sonda
rispetta all’asteroide?
•
•
•
•
•
x’ =
x − vt
dalle formule di Lorentz
v2
1− 2
c
x − vt
v2
1− 2
c
= w·t '
xv
c2
= w·
v2
v2
1− 2
1− 2
c
c
w·v
(1 + 2 ) x = ( w + v )t
c
x − vt
x’=wˑt’ normale formula per da distanza
t−
w+v
in red la velocità
t
w·v
1+ 2
c
0,8c + 0, 75c
Dall’asteroide, per esempio, la velocità della sonda è : V =
= 0,969c
0,8c·0, 75·c
1+
c2
x − vt = wt −
xwv
c2
x=
La fisica classica avrebbe fornito l seguente risultato: V = 0,8c + 0,75c = 1,55c
Da una base stellare BS osservi due astronavi che si avvicinano provenendo dalla medesima direzione.
L’astronave A1 viaggia con velocità 0,906c, l’astronave A2 con una velocità di 0,806c. Calcola:
la velocità dell’astronave A2 rispetto all’astronave A1
la velocità dell’astronave A2 rispetto all’astronave A1 nel caso in cui l’astronave A2 viaggi in direzione
opposta.
•
v1 e v2 sono le velocità vista da BS
•
velocità dell’astronave A2 rispetto ad A1 : V(A1) =
•
nel secondo caso si ha
0, 906 − 0,806
c = 0,368c
0,906·0,806
1−
1
−0,906 − 0,806
c = −0,989c
−0,906·0,806
1−
1
Problema(orologio a luce): Una nave spaziale, che trasporta un orologio a luce, si muove con una velocità di
0,500c rispetto ad un osservatore che si trova sulla Terra. Secondo questo osservatore, quanto tempo
occorre all’orologio sulla nave spaziale per avanzare di 1,00 s?
•
•
P
•
Per la sig.na in ascensore il tempo che la luce impiega a percorre la distanza ABA è ∆t0 =
•
Per il sig.no che osserva la sig.na passare a velocità v il tempo è data dal seguente calcolo
(v∆t )2 + d 2 = (c∆t ) 2 ==> ∆t =
d
c2 − v2
2d
c
tempo che impiega il raggio luminoso da A a B”
quindi il tempo per andare da A a A”’ sarà il doppio del precedente:
∆t =
2d
c −v
2
2
=
2d
2
=
v
c 1− 2
c
∆t0
v2
1− 2
c
che si nota essere un tempo maggiore di quello calcolato dalla sig.na.
Per un osservatore che nota un fenomeno in movimento, la durata di questo fenomeno è
maggiore di quella misurata dall’osservatore in quiete rispetto al luogo in cui avviene il
fenomeno.
•
Soluzione del problema: ∆t =
∆t0
2
=
v
1− 2
c
1
1 − (0, 5) 2
= 1,15s
( l’osservatore a Terra afferma che un certo fenomeno che è avvenuto sull’astronave ha avuto una
durata di 1,15 s; l’astronauta, sull’astronave, afferma che lo stesso fenomeno è durato 1 s;
l’osservatore a Terra ha visto il fenomeno al rallentatore con una dilatazione temporale del 15%)
Problema: L’astronauta A viaggia verso Vega, la quinta stella più luminosa nel cielo notturno, lasciando la
sua sorella gemella B sulla Terra ( età di A e di B = 35 anni ). L’astronauta A viaggia alla velocità di 0,990c e
Vega si trova a 25,3 anni luce dalla Terra.
Calcola:
quanto dura il viaggio dal punto di vista della sorella B?
l’età dell’astronauta A, quando arriverà su Vega?
•
•
Per la sorella B partenza dalla Terra e arrivo su Vega sono due eventi che avvengono in luoghi
diversi e, quindi l’intervallo di tempo ∆t non è il tempo proprio ∆t0.
Per l’astronauta A i due eventi, partenza dalla Terra e arrivo su Vega, avvengono nello stesso luogo,
appena fuori dalla porta dell’astronave; per A l’astronave è in quiete e le stelle sono in moto. Per A
l’intervallo di tempo tra i due eventi è il tempo proprio.
•
∆t =
•
Per la sorella B la durata del viaggio è ∆t =
•
Per l’astronauta A la durata del viaggio è
∆t0
v2
1− 2
c
∆t0 = ∆t· 1 −
•
•
oppure
∆t· 1 −
v2
= ∆t0
c2
d 25,3al 25, 3c·(1_ anno)
=
=
= 25, 6 _ anni
v 0,990c
0, 990c
v2
(0,990c)2
=
25,
6
_
anni
1
−
= 3, 61_ anni
c2
c2
Osservazioni: quando A arriva su Vega ha solo 38,6 anni, la sorella B, sulla Terra ha 60,6 anni.
Per A la distanza Terra-Vega è di soltanto (3,61 anni ˑ 0,990c) = 3,57 anni luce