Gli strumenti di misura

Gli strumenti di misura
Una misura si effettua mediante uno
strumento, un dispositivo che fornisce
una risposta quantitativa al confronto tra
la grandezza in esame e la corrispondente
unità di misura.
Uno strumento può essere schematizzato
da tre parti :
 Un elemento rivelatore, sensibile
alla grandezza da misurare ( per
esempio il mercurio contenuto nel
bulbo di un termometro)
 Un trasduttore, che trasforma
l’informazione
ottenuta
dal
rivelatore in una grandezza più
facilmente
utilizzabile
dallo
sperimentatore ( per esempio il
bulbo e il capillare trasformano una
variazione di temperatura in una
variazione di volume e quindi in
una
variazione
della
quota
raggiunta dal pelo del mercurio )
 Un dispositivo che fornisce
visivamente o graficamente il
risultato della misura ( per esempio
la scala graduata incisa lungo il
termometro, la posizione di un
indice mobile su una scala
graduata, come in una bilancia da
salumiere, o un display numerico )
Nel seguito indicheremo con G
la
grandezza fisica in se stessa, con M(G) il
risultato della misura di G, con V(G) il
valore effettivo, sconosciuto, che aveva G
al momento della misura e con R(G) la
risposta dello strumento usato.
Non dimentichiamo che la risposta di uno
strumento analogico è il numero di
divisioni che leggiamo su una scala
graduata.
Per completare l’operazione di misura
occorre conoscere come varia la risposta
R(G) al variare di V(G). Occorre effettuare
la taratura dello strumento, mediante ad
esempio
un
grafico
che
faccia
corrispondere un valore della risposta al
valore della grandezza fisica G, supposta
nota per altra via.
Bisogna notare che erroneamente spesso
gli studenti chiamano taratura di uno
strumento quello che è invece un
semplice controllo dello zero dello
strumento stesso.
Un metodo alternativo di taratura è
quello di confrontare la risposta dello
strumento, di cui ignoriamo la taratura,
con la risposta di uno strumento di
riferimento. Il relativo grafico dovrebbe
essere una retta, bisettrice del primo
quadrante e passante per l’origine.
Vedremo più in là degli esempi di taratura
di strumenti, in particolare quella di un
dinamometro e quello di un termometro
a liquido.
Caratteristiche generali di uno
strumento: portata, soglia, sensibilità,
precisione e prontezza.
La
portata
e
la
soglia
sono
rispettivamente il valore massimo e
quello minimo della grandezza da
misurare registrati dallo strumento.
La sensibilità S è legata alla variazione
minima apprezzabile e significativa del
valore di G ad un certo istante e, quindi,
in uno strumento analogico al minimo
spostamento misurabile di un indice su
una scala graduata.
Essa viene definita come la derivata di
R(G) rispetto a V(G), determinata nei vari
punti della scala, ossia da
Sperimentalmente S viene determinata
approssimando la derivata con il rapporto
incrementale, con l’avvertenza che il
denominatore può tendere a zero fino a
quando rimane significativo.
Nel grafico di taratura di R(G) in funzione
di V(G), S costituisce la pendenza della
curva e può essere costante, se la curva è
una retta.
In un normale metro della vita di ogni
giorno, in cui le divisioni sono
equispaziate di 1 mm, ci sono 1000
divisioni ( che costituiscono la risposta
dello strumento) e quindi S vale 1000
divisioni/m= 1 divisione/mm.
Bisogna non confondere il numero delle
divisioni con quello delle incisioni ( o
tacche ) sulla scala , che sono in questo
caso 1001 contando anche la tacca dello
zero.
In un doppio decimetro, con divisioni
spaziate di 1 mm, avremo ancora una
sensibilità di 1 divisione/mm. Se la
spaziatura fosse di 0,5 mm avremmo una
sensibilità di 2 divisioni/mm.
Le modalità di lettura sulla scala graduata
introducono un’incertezza sul valore : si
tratta dell’errore di sensibilità.
Quando si legge la posizione di un indice
su una scala, si cerca di individuare la
divisione più vicina all’indice.
Quindi tutte le posizioni di un indice che
differiscano tra di loro di più o meno
mezza divisione ( quando è possibile
apprezzarla… ) daranno origine alla stessa
lettura, che avrà a sua volta un’incertezza
di più o meno 0,5 divisioni/S. Più in
generale se indichiamo con 2ΔR(G)min la
minima variazione di risposta misurabile,
la corrispettiva incertezza su V(G), 2ΔV(G),
sarà data da 2ΔR(G)min /S.
Il fattore 2 serve a ricordarci che
l’indeterminazione sulla lettura di R(G)
comporta che il valore effettivo è
compreso fra
R(G)-ΔR(G)min e R(G)+ ΔR(G)min
e quindi il valore della grandezza misurata
cade nell’intervallo compreso fra
M(G)-ΔV(G) e M(G)+ ΔV(G)
Per convenzione si esprime questa
indeterminazione indicando come
risultato della misura
M(G) ± ΔV(G)
La quantità ΔV(G) è detta errore di
sensibilità, perché lo strumento non è
sensibile in un intervallo pari a 2 ΔV(G)
intorno al valore misurato.
Quanto detto finora si applica agli
strumenti analogici. Per gli strumenti
digitali non si può parlare di sensibilità ma
solo di errore di sensibilità. A meno di
istruzioni particolari date dal costruttore,
si può assumere che in uno strumento
digitale 2 ΔV(G) sia pari ad un’unità sulla
cifra meno significativa.
Attenzione :
su alcuni libri si confonde la
sensibilità S con la risoluzione,
che è il più piccolo valore di G
che lo strumento può misurare.
La precisione è legata al fatto che le
misure ripetute della stessa grandezza
fisica, in condizioni ambientali costanti,
non danno lo stesso risultato, ma
mostrano una dispersione, che dipende
dalle caratteristiche costruttive dello
strumento, che sono a loro volta
influenzate da attriti, giochi meccanici,
fenomeni di isteresi, fluttuazioni di livelli
elettrici. Lo strumento sarà tanto più
preciso quanto più stretta è la larghezza
di
questa
dispersione:
vedremo
successivamente come quantificare il
concetto di precisione.
La prontezza è legata al tempo necessario
affinché lo strumento risponda ad una
data variazione della grandezza da
misurare.
Per esempio un termometro, immerso
inizialmente nel ghiaccio fondente e poi
immerso nell’acqua bollente, non
raggiungerà
istantaneamente
la
temperatura finale ma impiegherà un
certo tempo, che dipende da termometro
a termometro. Questo tempo a sua volta
dipende da un tempo caratteristico τ, che
può essere ottenuto sperimentalmente.
I vecchi termometri clinici ( quelli alti circa 20 cm
! ) richiedevano quasi 10 minuti di attesa prima
di poter sapere se uno aveva la febbre oppure
no.
Cifre significative
Il risultato di una misura è espresso in generale
da un numero avente una parte intera e una
parte decimale, separate dalla virgola.
Nei casi, in cui si hanno numeri molto maggiori o
molto minori di 1, si preferisce usare la
cosiddetta notazione scientifica, che consiste
nello scrivere il dato con una sola cifra prima
della virgola moltiplicato per una opportuna
potenza di 10.
Ad esempio il numero 0,000123 può essere
scritto in notazione scientifica come 1,23∙10-4 e il
numero 12345,6789 come 1,23456789∙104.
Chiameremo cifre significative di un numero
tutte le cifre, compreso lo zero, a partire da
destra fino all'ultima, diversa da zero, a sinistra.
Se usiamo la notazione scientifica, questa
definizione si applica solo al termine che precede
la potenza di 10.
Esempi:
0,000123 = 1,23∙10-4 ha 3 cifre significative.
12345,6789 = 1,23456789∙104 ha 9 cifre
significative.
0,0001230 = 1,230∙10-4 ha 4 cifre significative, in
quanto lo zero a destra è significativo. Questo è
dovuto al fatto che quando scriviamo 1,23∙10-4
vogliamo dire che esso è maggiore di 1,22∙10-4
e minore di 1,24∙ 10-4, mentre, quando scriviamo
1,230∙10-4 vogliamo dire che esso è maggiore di
1,229∙10-4 e minore di 1,231∙10-4. In definitiva
l'ultima cifra a destra indica in qualche modo il
livello di precisione con cui conosciamo la
grandezza in esame. D'altra parte questo livello
di precisione non può dipendere dalla scelta
delle unità di misura e questo implica che gli zeri
a sinistra del risultato non siano significativi.
Ad esempio se riteniamo di avere un'incertezza
Δl di 1 mm su una lunghezza, misurata con il
doppio decimetro, la significatività di questa
incertezza non può cambiare se usiamo i multipli
o i sottomultipli dell'unità di lunghezza :
Δl = 1 mm = 0,1 cm =1∙10-3 m = 1∙10-6 km
ha sempre una sola cifra significativa.
Da quanto detto prima, non si può scrivere il
risultato di una misura con un numero molto
grande ( infinito al limite ) di cifre significative,
perché questo implicherebbe un'incertezza
molto piccola ( nulla al limite ) sulla misura
stessa. D'altronde anche la stima dell'incertezza
è frutto di una misura e quindi anche l'errore va
scritto con un numero limitato di cifre
significative.
Nei laboratori di ricerca si possono organizzare
esperimenti di alta statistica ( in cui si raccoglie
un elevato numero di eventi ), tali da giustificare
un errore scritto con due cifre significative. Nelle
normali prove di laboratorio però l'errore va
scritto con una sola cifra significativa, con
un'eccezione, rappresentata dai casi in cui la
prima cifra significativa dell'errore sia un 1
oppure un 2. Supponiamo che la stima
dell'errore dia un numero del tipo 0,1413... :
scrivere questo errore con una sola cifra
significativa (ossia 0,1) comporterebbe un errore
di arrotondamento troppo grande, per cui è
meglio scrivere 0,14 con due cifre significative.
In ogni caso è opportuno avere almeno una cifra
significativa in più nei calcolo intermedi, per
evitare spiacevoli arrotondamenti da parte del
calcolatore da noi usato, e applicare le regole
precedenti solo al momento di scrivere il
risultato finale.
Avendo scritto l'errore con il corretto numero di
cifre significative, a questo punto il risultato della
misura va scritto con lo stesso numero di cifre
decimali dell'errore : si scriverà ad esempio 99 ±
1 mm e non 99,0 ± 1 mm.
Le regole, enunciate precedentemente, valgono
anche per le misure indirette, ossia per quelle
misure, il cui risultato dipende dai valori di altre
grandezze, misurate direttamente. Il volume di
un parallelepipedo costituisce un esempio di
misura indiretta, una volta che sia stata misurata
la lunghezza dei tre spigoli.
Restano infine da fissare alcune norme, da
seguire nell'eliminare le cifre eccedenti.
 Se la prima cifra eliminata è <5, basta
effettuare un semplice troncamento :
ad esempio se il dato è 0,147... e deve essere
scritto con una sola cifra significativa, il
risultato finale va scritto come 0,1.
 Se la prima cifra eliminata è > 5 oppure è 5
seguita da almeno un'altra cifra diversa da
zero, si aumenta di 1 l'ultima cifra rimasta.
Per esempio 0,16 si scrive 0,2 con una sola
cifra significativa, mentre 0,551 si scrive 0,56
con due cifre significative e 0,6 con una sola
cifra significativa ; 0,99 si scrive 1 con una
sola cifra significativa.
 Rimane il caso ambiguo in cui l'ultima cifra
eliminata è solo un 5 oppure è un 5 seguito
da zeri : i criteri esposti prima non sono
applicabili. Bisogna stabilire un criterio ad
hoc : per non rischiare di fare scelte
sistematiche , un possibile modo di fare è
quello di aumentare di 1 l'ultima
cifra, se il numero, che si ottiene dal
troncamento, è un numero dispari, e
di lasciarla inalterata nel caso contrario.
Supponiamo di dover scrivere con
tre cifre significative 4,875 e 4,885. Il primo
numero, troncato a tre cifre
significative, è 4,87 ed è dispari, per cui si
scrive correttamente 4,88.
Il secondo numero troncato è 4,88, ossia
pari, e quindi rimane 4,88.
Un’utile avvertenza.
Scrivere il valore di una grandezza
fisica con un numero decimale
consente di valutare il numero di cifre
significative. Lo stesso non accade se il
numero è intero.
Se diciamo che la distanza fra due
punti è 1000 m intendiamo che la
distanza è compresa fra 999 m e 1001
m oppure che semplicemente è
maggiore di 500 m e minore di 1500 m
?
In alcuni libri si fa l’ipotesi che i tre
zeri presenti in 1000 non siano
significativi perché uno potrebbe
scrivere che la distanza è di 1 km.
Resta tuttavia l’ambiguità.