Trave con carico ripartito uniforme e carichi concentrati

7 Studio delle travi inflesse isostatiche
7.1 Travi appoggiate agli estremi
1
7.1.8 Trave con un momento applicato in una sezione generica
Trave con carico ripartito uniforme e carichi concentrati simmetrici
I carichi valgono P1 = P2 = 8 kN e q = 4,00 kN/m.
lativo diagramma complessivo si ottiene tracciando sopra
la fondamentale il diagramma dei carichi concentrati e sotto
quello del carico ripartito;
■ le uniche caratteristiche di sollecitazione presenti sono V ed M.
1. Calcolo delle componenti di reazione vincolare
S Px = 0
HA = 0
S Py = 0
Per i carichi concentrati:
R A′ = R B′ =
P1 + P2 8 + 8
=
2
2
RA′′ = RB′′ =
Q 4, 00 × 7,00
= 14 kN
=
2
2
Per il carico ripartito:
Reazioni totali:
= 8 kN
RA = RB
= 22 kN
2. Calcolo della sollecitazione di sforzo di taglio
VA = 0
V⬘A = RA = 22 kN
V1 = V⬘A − q ⋅ a = 22 − (4,00 × 2,00) = 14 kN
V⬘1 = V1 − P1 = 14 − 8 = 6 kN
V2 = V⬘1 − q ⋅ b = 6 − (4,00 × 3,00) = − 6 kN
Applicando l’equazione del taglio si ottiene:
VX = V⬘1 − q ⋅ x = 6 − 4,00 ⋅ x = 0
da cui:
x=
6
b
= 1,50 m pari a
4,00
2
e quindi:
xA = a +
Prima di effettuare i calcoli è già possibile trarre le seguenti
conclusioni:
■ per la simmetria strutturale e di carico le reazioni vincolari
sono uguali e lo sforzo di taglio si annulla nella sezione di
mezzeria ove si verifica il momento massimo;
■ il diagramma di taglio presenta una variazione lineare con
due salti in corrispondenza delle sezioni ove sono applicati
i carichi concentrati;
■ quando la trave presenta due situazioni di carico sovrapposte (ripartito e concentrati) e simmetriche, è vantaggioso applicare il principio di sovrapposizione degli effetti nel
calcolo sia analitico sia grafico dei momenti flettenti; il re-
b l
= = 3,50 m
2 2
ossia si verifica V = 0 nella sezione di mezzeria come affermato prima;
V⬘2 = V2 − P2 = − 6 − 8 = − 14 kN
VB = V⬘2 − q ⋅ a = − 14 − (4 × 2,00) = − 22 kN
V⬘B = VB + RB = − 22 + 22 = 0
Si fa osservare come i valori dello sforzo di taglio, rispetto
alla mezzeria della trave, risultino uguali in valore assoluto
ma di segno opposto, per cui il relativo diagramma risulta
emisimmetrico.
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7.1 Travi appoggiate agli estremi
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7.1.8 Trave con un momento applicato in una sezione generica
3. Calcolo della sollecitazione di momento flettente
1
1
M ′′l = ⋅ q ⋅ l 2 = × 4,00 × 7,002 = 24,50 kN m
8
8
2
0
Per i carichi concentrati:
MA = MB = 0
M ′2′ = RA′′⋅ (a + b) − q ⋅ (a + b)⋅
M⬘1 = R⬘A ⋅ a = 8 × 2,00 = 16 kN m
= 14 × 5,00 − 4,00 × 5,00 × 2,50 = 20 kN m
⎛
b⎞
b
M ′l = RA′ ⋅ ⎜ a + ⎟ − P1 ⋅ = 8 × 3,50 −8 ×1, 50 =16 kN m
⎝
⎠
2
2
2
M 2′ = RA′ ⋅ ( a + b) − P1 ⋅ b = 8 × 5,00 −8 ×3, 00 =16 kN m
Come prevedibile il valore del momento flettente si mantiene
costante fra le sezioni 1 e 2.
Per il carico ripartito:
a+b
=
2
I momenti flettenti, rispetto alla sezione di mezzeria, risultano uguali in segno e valore assoluto.
I valori totali dei momenti flettenti si ottengono sommando
algebricamente i valori relativi ai carichi concentrati e al carico ripartito in ogni sezione:
0
MA = MB = 0
MA = MB = 0
M1 = M⬘1 + M 1⬙ = 16 + 20 = 36,00 kN m
a
M 1′′= RA′′⋅ a − q ⋅ a⋅ =14 × 2, 00 − 4, 00 × 2, 00 ×1, 00 =
2
M l = M ′l + M ′′l = 16 + 24,50 = 40,50 kN m
= 20 kN m
2
2
2
M2 = M⬘2 + M 2⬙ = 16 + 20 = 36,00 kN m
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