Segnali e Sequenze

CAPITOLO
1
SEGNALI E SEQUENZE
Indice
1.1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Segnali a Tempo Continuo e a Tempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Operazioni Elementari tra Segnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Classificazione dei Segnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.1
Rispetto al Messaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.2
Rispetto alla Conoscenza A Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.3
Rispetto alla Tipologia del Dominio e del Codominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3.4
Rispetto al Campo di Definizione del Codominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3.5
Rispetto al Contenuto Energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.6
I Segnali come Vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3.7
Rispetto all’Occupazione nel Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3.8
Simmetrie Pari e Dispari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3.9
Simmetria Complessa Coniugata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4
Trasformazioni Affini del Dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.5
Trasformazioni di Segnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.6
Funzioni di Correlazione e Convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.6.1
Funzione di Correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.6.2
Convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.6.3
Sul Legame tra Convoluzione e Correlazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.7
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.8
Alcune Sequenze Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
La Sequenza Impulso Unitario δ[n] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.1.1
1.8.1
La Sequenza Gradino Unitario u[n] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Alcuni Segnali Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Seno Cardinale sinc(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.8.2
1.9
1.9.1
1.10
Segnali Sinusoidali a Tempo Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.10.1
Sulla Potenza Incrociata di Segnali Sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.10.2
Sull’Impiego della Notazione Complessa per Segnali Sinusoidali . . . . . . . . . . . . .
29
1.10.3
Funzione di Autocorrelazione di Segnali Sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Sequenze sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.11
1.11.1
Sulla Potenza Incrociata di Sequenze Sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.11.2
Funzione di Autocorrelazione di Sequenze Sinusoidali . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Segnali in Senso Limite: L’Impulso Matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.12
1.12.1
Il Gradino Unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.12.2
Derivate dell’Impulso Matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.12.3
Treno di Impulsi Matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.13
Esercizi Svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.14
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2
1.1. INTRODUZIONE
1.1
3
Introduzione
segnali sono le grandezze fisiche che supportano fisicamente i messaggi che soggetti diversi si scambiano in un sistema di comunicazione, come illustrato sommariamente in Fig.1.1 dove abbiamo evidenziato il soggetto sorgente e il soggetto destinatario dei messaggi stessi. Le variazioni che il segnale
subisce durante lo scorrere del tempo, o di un qualsivoglia altro parametro fisico, sono descritte da
una funzione matematica nel senso ordinario del termine; ad esempio, con riferimento a quanto riportato nella
Fig.1.1, abbiamo indicato con m ( t) l’andamento del segnale che supporta il messaggio emesso dalla sorgente
e con m R ( t ) il segnale consegnato al destinatario.
I
Sorgente
m( t)
Trasduttore di
Sorgente
x( t )
Canale
y ( t)
Trasduttore di
Destinazione
mR (t)
Destinazione
Figura 1.1: Elementi di un sistema di comunicazione.
Il trasduttore di sorgente opera un’opportuna trasformazione del supporto fisico del messaggio emesso dalla
sorgente per renderlo adatto ad essere inviato alla destinazione mediante il canale di trasmissione. A sua
volta, il trasduttore di destinazione opera un’opportuna trasformazione del segnale ricevuto a valle del canale
per renderlo adatto ad essere fruito dal destinatario. Un semplice esempio di uso comune è costituito da
un apparato di amplificazione sonora, dove il microfono e i diffusori acustici sono la coppia di trasduttori,
mentre l’amplificatore costituisce il canale, comprensivo anche delle connessioni trasduttori/amplificatore, i.e.
cavi (propagazione guidata di onde elettromagnetiche) e eventuale tratta radio (propagazione nello spazio
libero), con annessi dispositivi per la trasmissione e la ricezione, nel caso di radiomicrofoni senza filo. Nel
caso di suoni registrati precedentemente all’atto della riproduzione, al posto del microfono possiamo trovare
la lettura di uno specifico supporto di registrazione, e.g. disco ottico, memoria allo stato solido, etc.
Come ulteriore esempi di facile comprensione citiamo la radio-diffusione di segnali audio e video, in versione analogica e più recentemente anche in versione digitale,1.1 e.g. DVB e DAB; la telefonia fissa e mobile; le
reti di calcolatori; le comunicazioni per il controllo del traffico aereo e navale; i sistemi di avvistamento e scoperta cosiddetti RADAR e SONAR;1.2 le tecniche di diagnostica medica che usano la propagazione d’energia
elettromognetica, acustica o termica, e.g. radiografia, tomografia, risonanza magnetica, ecografia, termografia;
le tecniche di esplorazione del sottosuolo per la ricerca di risorse naturali, quali gas, petrolio e similari, che
usano la propagazione dell’energia acustica; la radioastronomia per lo studio dei fenomeni celesti dello spazio
profondo.
Come abbiamo detto poc’anzi, in questo contesto di trasmissione dell’informazione i segnali sono misurati
come evoluzione di specifiche grandezze fisiche in funzione del tempo, e.g. tensione misurata ai capi di un
certo dispositivo elettrico, e per questo potremo parlare di evoluzione temporale dei segnali. Occorre però sottolineare che quanto sarà incontrato nel seguito resta valido anche quando l’evoluzione del segnale si svolge
in funzione di altri parametri diversi dal tempo. Al riguardo possiamo citare le immagini fotografiche (dipendenza spaziale) e le immagini video (dipendenza spazio-temporale);1.3 il campo elettromagnetico, acustico,
o termico, misurato mediante schiere di sensori o antenne opportunamente dislocate (dipendenza spaziotemporale), di grande interesse in varie applicazioni quali la telefonia cellulare, il telerilevamento, la sismica
di esplorazione, l’elaborazione dei segnali biomedici, etc.
1.1
Digital Video Broadcasting (DVB), Digital Audio Broadcasting (DAB). Il termine digitale proviene dal temine della lingua inglese digit, a
sua volta dal latino digitus (i, m.) - dito della mano o del piede - verosimilmente passato a significare numero nell’uso delle popolazioni della
Britannia Romanica con riferimento all’atto del conteggio con le dita della mano. Il termine proprio nella lingua italiana è numerico, dal
latino numerus (i, m.), a sua volta da nummus (i, m.) - moneta. L’uso del termine digitale, da sempre in voga nell’elettronica di consumo,
è ormai sconfinato anche nella legislazione corrente, e anche nella letteratura tecnica è frequentemente utilizzato in vece del più corretto
numerico.
1.2 RAdio Detection And Ranging (RADAR), SOund Navigation And Ranging (SONAR).
1.3 Nei testi di lingua inglese si incontrano spesso la locuzione moving pictures per significare il senso del movimento osservato in una
sequenza di immagini video. Viceversa, le immagini di natura fotografica prive di movimento, o fisse, sono indicate come still pictures.
4
CAPITOLO 1. SEGNALI E SEQUENZE
1.1.1
Segnali a Tempo Continuo e a Tempo Discreto
Tenendo a mente quanto appena detto, in modo puramente convenzionale, rappresenteremo l’andamento dei
segnali in funzione del tempo.
Per quanto concerne la notazione impiegata nel seguito:
• nel caso di variabile indipendente continua, i.e. t ∈ R, useremo la notazione usuale x( t ), e parleremo di
segnali a tempo-continuo;
• nel caso di variabile indipendente discreta (indice), eviteremo di usare il simbolo t sostituendolo, per
esempio, con n, dove n ∈ Z; inoltre, proprio per evidenziare la natura discreta della variabile n, useremo
la notazione x[ n ] e parleremo di segnali a tempo-discreto. Vale la pena sottolineare che il valore del segnale
x[ n ] è definito solo per valori interi dell’argomento n tra le parentesi quadre.1.4
Nella Fig.1.2 troviamo la rappresentazione grafica dell’andamento, o forma d’onda, di un generico segnale
tempo-continuo e di un altrettanto generico segnale a tempo-discreto.
x(t)
x[n]
-3
t
-5
-2
-4
2
-1
0
1
4
3
5
n
Figura 1.2: Forme d’onda di un segnale a tempo-continuo x(t) e a tempo discreto x[n].
Con un piccolo abuso di notazione, adotteremo la notazione x( t ), ovvero x[ n ], sia per indicare il valore numerico assunto dal segnale all’istante t, rispettivamente n, sia per indicare l’intera funzione che più correttamente
andrebbe semplicemente indicata con il simbolo x.1.5 .
Inoltre, per sottolineare la natura discreta del segnale, chiameremo sequenza (di numeri) il segnale x[ n ], e
campione il generico valore x[ n ] che questi assume in corrispondenza dell’indice n.
1.2
Operazioni Elementari tra Segnali
Essendo i segnali descritti mediante ordinarie funzioni matematiche, le operazioni aritmetiche elementari di
somma, differenza, prodotto e divisione di due segnali definiscono un nuovo segnale che assume, istante per
istante, valori pari, rispettivamente, alla somma, differenza, prodotto e divisione dei corrispondenti valori
assunti dai segnali operandi. Per esempio, nel caso della somma, scriveremo:
y ( t) = x1 ( t ) + x2 ( t )
;
y [ n ] = x1 [ n ] + x2 [ n ]
Analogamente, lo scalamento di un segnale x( t ) per una costante A definisce un nuovo segnale y ( t) che assume, per ciascun istante t, valore pari al risultato della moltiplicazione tra il corrispondente valore x( t ) e A.
Mutatis mutandis, la definizione si estende anche al caso delle sequenze, e scriveremo:
y ( t ) = A · x( t )
;
y [ n ] = A · x[ n ]
Inoltre, si può considerare l’applicazione di funzioni a segnali come funzioni composte nel senso ordinario del
termine, e scriveremo, considerata ad esempio la funzione f (·):
y ( t ) = f x( t )
;
y [ n ] = f x[ n ]
1.4 In
altre parole, non ha senso chiedersi quanto vale, ad esempio, x[1.3].
significare l’intera forma d’onda, si incontra la notazione {x(t)}, ovvero {x[n]}
1.5 Talvolta, per
1.3. CLASSIFICAZIONE DEI SEGNALI
1.3
1.3.1
5
Classificazione dei Segnali
Rispetto al Messaggio
• Segnale Utile (desiderato): la conoscenza del suo andamento è effettivamente quanto necessario al soggetto destinario per recuperare il messaggio.
• Segnale Disturbante (indesiderato): descrittivo di fenomeni fisici, quali interferenze, rumore termico,
interruzioni, etc., che vanno ad alterare la forma d’onda del segnale utile determinando possibili errori
nelle misure che il soggetto destinario opera per recuperare il messaggio.
1.3.2
Rispetto alla Conoscenza A Priori
• Segnale Certo: l’andamento del segnale è noto attraverso una rappresentazione matematica, o ne è
disponibile una misura o registrazione.
• Segnale Aleatorio: vi è incertezza circa l’andamento, o forma d’onda, del segnale, il quale si può ritenere
come sorteggiato da un prefissato insieme S costituito da una varietà di segnali differenti. In questo caso,
piuttosto che all’andamento del segnale, saremo interessati a una descrizione delle sue caratteristiche
energetiche; tale descrizione è resa possibile dalla regolarità statistica che tali caratteristiche mostrano, al
punto di poter ritenere che esse siano condivise da tutti i segnali appartenenti a S .
Specificatamente, pur avendo collezionato in S membri segnali con andamento differente, è possibile
che la loro descrizione energetica1.6 non vari da membro a membro. In questi casi, per quelle grandezze
d’interesse che presentino una qualche regolarità statistica è possibile ricorrere a una descrizione di tipo
probabilistico.
1.3.3
Rispetto alla Tipologia del Dominio e del Codominio
Dominio /Codominio
Discreto
Continuo
Sequenza Numerica
Sequenza
x[n]
x[n]
Discreto x[n]
-3
-5
-4
-2
-1
3
0
1
2
4
-3
5
n
Segnale Logico (A Livelli)
-5
-4
-2
2
-1
0
1
4
3
5
n
Segnale (Analogico)
x(t)
x(t)
Continuo x(t)
t
t
Tabella 1.1: Classificazione dei segnali rispetto alla tipologia dominio/codominio.
Generalmente, in un sistema di comunicazione s’incontrano tutti e quattro i tipi di segnali della Tab.1.1.
1.6 Come vedremo nel seguito, la descrizione energetica dei segnali si effettua misurando la potenza e la funzione di autocorrelazione,
quantità ottenute mediante specifiche operazioni di medie (averaging) sviluppate sull’asse dei tempi.
6
CAPITOLO 1. SEGNALI E SEQUENZE
1.3.3.1
Sulla Fisica Realizzabilità di Segnali e Sequenze.
La realizzazione concreta di segnali analogici si ottiene all’interno di circuiti elettrici dove siamo interessati all’andamento nel tempo di
grandezze fisiche, quali correnti e/o tensioni, generalmente misurate attraverso piuttosto che ai capi di impedenze di chiusura in specifici
punti del circuito. La manipolazione dei segnali analogici, quindi, richiede la conoscenza delle tecniche di analisi e sintesi delle reti
elettriche, oltre che la realizzazione fisica del circuito stesso.
In un sistema di comunicazione, i segnali analogici viaggiano all’interno del canale fisico di trasmissione, e.g. propagazione guidata
e/o libera di energia elettromagnetica, acustica o termica. Conseguentemente, essi si trovano sicuramente nella sezione finale del trasmettitore, dove si conferisce la potenza necessaria al segnale affinchè esso possa “sopportare” le degradazioni di varia natura che incontrerà
nell’attraversamento del canale, per poter cosı̀ essere ricevuto in modo sufficientemente accurato. Conseguentemente, anche il cosiddetto
front-end del ricevitore, i.e. la parte che questi offre verso il canale fisico, è di natura analogica.
Per quanto riguarda le sequenze, esse si realizzano mediante dispositivi atti alla memorizzazione dei dati, e.g. RAM, dischi rigidi,
dischi ottici, memorie flash, etc., largamente impiegati nei calcolatori numerici. Nelle locazioni di memoria di questi dispositivi, altrimenti
dette registri, si scrivono, e si leggono, i valori numerici della sequenza considerata; in questo senso, l’indice n individua uno specifico
registro all’interno del gruppo di registri utilizzato per memorizzare la sequenza considerata, che quindi risulta essere una sequenza
numerica per l’intrinseca natura discreta del codominio dovuta al numero finito di cifre binarie utilizzate per rappresentare il valore
numerico da memorizzare in un apposito registro. La manipolazione delle sequenze, quindi, passa attraverso la conoscenza delle tecniche
di programmazione dei calcolatori numerici, e la realizzazione di specifiche manipolazioni si traduce nella scrittura di diversi frammenti di
codice in un qualche linguaggio, e.g. Fortran, C/C++, Java, Matlab/Simulink , etc., frammenti che, una volta collegati, daranno luogo a
un programma eseguibile dal calcolatore numerico. Per applicazioni in tempo reale, si ricorre ad hardware di calcolo veloce, più difficile da
programmare, utilizzante microelaboratori specifici per l’elaborazione dei segnali, (Digital Signal Processor, DSP), array programmabili
di porte logiche (Programmable Gate Array, PGA), etc..
Anche quando il messaggio informativo che il soggetto sorgente intende recapitare al soggetto destinatario si presenta in forma di
segnale analogico, e.g. il segnale audio, potrebbe convenire trasformarlo in forma di sequenza mediante l’operazione cosiddetta di campionamento, operazione che visiteremo accuratamente più avanti nel Cap.6. Nel lato ricezione, una volta ottenuta la versione discreta del
messaggio sotto forma di sequenza, provvederemo a ricostruire la versione analogica mediante l’operazione di interpolazione, descritta
sempre nel Cap.6. La convenienza di tale trasformazione del messaggio, dalla sua nativa forma analogica a quella discreta di sequenza,
risiede nella maggiore protezione dai disturbi che è possibile offrire ad esso nei sistemi di trasmissione numerica dell’informazione. Il
segnale musicale ad alta fedeltà è registrato in forma discreta su dischi ottici CD e DVD, soppiantando i dischi in vinile; su dischi ottici è registrato il segnale video in forma discreta, le cassette VHS sono ormai in disuso; la trasmissione del segnale telefonico è stata
numerizzata, sia su rete fissa che su rete mobile; la radio-diffusione video è una realtà, quella del segnale audio è prossima a venire.
1.3.3.2
Campionamento e Interpolazione
Vale la pena notare subito che segnali analogici e sequenze possono essere messi in relazione tra loro mediante le operazioni cosiddette di
campionamento e d’interpolazione,1.7 sommariamente descritte appresso, e analizzate più in dettaglio nel Cap.6.
Campionamento
L’operazione di campionamento costituisce un vero e proprio “ponte” matematico che permette di passare dal mondo dei segnali analogici
a quello delle sequenze, mentre il passaggio inverso si ottiene mediante l’operazione d’interpolazione.
Campionamento Uniforme di Segnali Analogici
Il campionamento uniforme operato al ritmo di 1/Ts campioni al secondo, ottiene la sequenza xs [n] mediante misurazione del segnale
analogico xa (t) negli istanti di tempi nTs , con n ∈ Z:
; n∈Z
xs [n] = xa (t)
t=nTs
Il dispositivo fisico cosiddetto Convertitore Analogico/Digitale (Digital to Analog Converter, DAC), opera il campionamento di un segnale analogico, con Ts fissato dal clock di funzionamento, restituendo una sequenza numerica che assume valori appartenenti all’insieme
discreto, o alfabeto, A2ν = {−1, −1 + Δ, . . . , −Δ, 0, Δ, . . . , 1 − Δ}, insieme di cardinalità 2ν , essendo Δ = 2−ν il passo di quantizzazione, determinato dal numero ν di cifre binarie, o bit, del convertitore. La rappresentazione binaria più comunemente incontrata per la
rappresentazione di numeri con segno ottenuti da un DAC è quella ben nota cosiddetta in complemento a 2.
1.7 Lo
stile della presentazione degli argomenti contenuti in questo testo è stato fortemente influenzato dal fatto che gli aspetti concettuali
riguardanti segnali e sequenze non dipendono dalla natura continua o discreta della variabile indipendente, e che le operazioni di campionamento e d’interpolazione mettono in stretta relazione questi due mondi. Infatti, per quasi tutti gli argomenti si è cercato di offrire
una visione, anche di dettaglio, che non vedesse ripetuti in due momenti diversi concetti che restano sostanzialmente immutati, sia se riferiti a segnali analogici piuttosto che a sequenze. In questo modo, il lettore attento dovrebbe cogliere con più facilità quante e quali siano
le reali differenze che rendono diversi il mondo dei segnali analogici da quello delle sequenze, realizzando definitivamente quali invece
siano gli aspetti che essi condividono, e.g. uno per tutti, la descrizione energetica mediante funzioni di autocorrelazione. L’esposizione
in momenti separati di tali aspetti cosı̀ fortemente condivisi, rischia d’ingenerare la convinzione che essi, invece, siano realmente diversi,
facendo perdere il carattere d’unitarietà e di sintesi che, ove possibile, questa trattazione si prefigge.
1.3. CLASSIFICAZIONE DEI SEGNALI
7
Interpolazione
L’operazione d’interpolazione permette il passaggio dall’universo delle sequenze all’universo dei segnali analogici.
Interpolazione di Sequenze
(φ)
Istante per istante, l’interpolazione, operata al ritmo di 1/Tr campioni
ottiene il segnale analogico xr (t) sommando i
al secondo,
t − nTr
:
campioni della sequenza x[n], pesati con la funzione interpolatrice φ
Tr
+∞
t − nTr
(φ)
xr (t) = ∑ x[n] · φ
Tr
n=−∞
Il dispositivo fisico cosiddetto Convertitore Digitale/Analogico (Analog to Digital Converter, ADC), opera l’interpolazione di una sequenza
numerica, rappresentata con ν bit per campione, “tenendo” per un tempo Tr , pari al clock di funzionamento, un valore di tensione proporzionale al valore del campione della sequenza che, in quel tempo di clock, si trova memorizzato
nel suo
registro. Pertanto, idealmente, il
t − Tr /2
.
dispositivo ADC opera l’interpolazione con la funzione impulso rettangolare φ(t/Tr ) = rect
Tr
1.3.4
Rispetto al Campo di Definizione del Codominio
Senza perdere di generalità, consideriamo il caso di dominio discreto, poichè basterà operare la sostituzione
formale [ m ] → ( t ) per ottenere i risultati pertinenti al caso dei segnali analogici. A prescindere dal codominio,
continuo o discreto che sia, abbiamo:
• un segnale reale per x[ m ] ∈ R ;
• un segnale complesso per x[ m ] ∈ C .
La realizzazione fisica di un segnale complesso è ottenuta mediante la coppia dei due segnali reali cosiddetti
def
parte reale xr [ m ] = {x[ m ]}, e parte immaginaria xi [ m ] = { x[ m ]}:
x[ m ] = xr [ m ] + jxi [ m ]
;
x[ m ] = xr [ m ] − jxi [ m ]
def √
dove j = − 1 denota l’unità immaginaria, e x[ m ] denota il segnale complesso coniugato.1.8
Sarà utile anche rappresentare il segnale in forma polare
x[ m ] = xm [ m ] · exp jxϕ [ m ]
;
xm [ m ] =
x2r [ m ] + x2i [ m ]
xϕ [ m ] = arctan (xi [ m ] /x r[ m ])
avendo distinto il segnale modulo xm [ m ] e il segnale fase x ϕ [ m ]. Notiamo che il modulo quadro si ottiene come
x2m [ m ] = x[ m ]· x[ m ], mentre il segnale complesso avente la stessa fase è e jϕ[m] = x[ m ] /xm[ m ]; inoltre, possiamo
ancora scrivere:
cos xϕ [ m ] = xr [ m ] /xm [ m ]
;
xm [ m ] = xr [ m ] cos xϕ [ m ] + xi [ m ] sin x ϕ [ m ]
sin xϕ [ m ] = xi [ m ] /xm[ m ]
Il modulo del segnale si indica anche con il simbolo | x[ m ]|=
notazione ∠ x[ m ] = arctan xi [ m ] /xr[ m ]).
1.8 Molti
autori indicano il segnale complesso coniugato con il simbolo x∗ [m].
x2r [ m ] + x2i [ m ], e spesso per la fase si incontra la
8
CAPITOLO 1. SEGNALI E SEQUENZE
1.3.5
Rispetto al Contenuto Energetico
• Energia
Ex =
+∞
∑
n=−∞
| x[ n ]|2
Ex =
;
+∞
−∞
| x( t )|2dt
Se l’energia Ex è un numero finito e determinato, allora abbiamo un segnale di energia (finita).
• Potenza (media)
N
1
| x[ n ]|2
∑
2N + 1 n=− N
Px = lim
N →∞
;
Px = lim
T →∞
1
T
T/2
−T/2
| x( t )|2dt
Se la potenza Px è un numero finito e determinato, allora abbiamo un segnale di potenza (finita).
L’uso dei termini Energia e Potenza nelle definizioni appena introdotte si riferisce alla misura di tali quantità
come dissipate da un resistore ideale ai capi del quale si misura la tensione x( t ) e nel quale scorre la corrente
x( t ).1.9
Nel seguito indicheremo le operazioni le operazioni di estrazione del valor medio (averaging) nel tempo
anche nel modo seguente:
def
A {(·)} = lim
N →∞
N
1
(·)
∑
2N + 1 n=− N
;
def
A {(·)} = lim
T →∞
1
T
T/2
−T/2
(·) dt
Usando questa notazione, la potenza di un segnale si ottiene misurando il suo valor quadratico medio:
;
Px = A | x( t )|2
Px = A | x[ n ]|2
Per segnali di potenza, definiamo la cosiddetta componente continua (CC):1.10
Mx = A { x[ n ]}
;
Mx = A { x( t )}
Privando il segnale della sua componente continua, otteniamo la componente alternata (AC):
xac [ n ] = x[ n ] − Mx
1.3.6
;
xac ( t ) = x( t ) − Mx
I Segnali come Vettori
L’energia di un segnale possiede tutti i requisiti per costituire la definizione di una norma nel senso squisitamente algebrico, e altrettanto dicasi per la potenza.
Date due sequenze d’energia x[ n ] e y [ n ], ovvero due segnali d’energia x( t ) e y ( t), la misura della cosiddetta
energia incrociata, o energia mutua:1.11
Exy =
+∞
∑
n=−∞
x[ n ] y[ n ]
;
Exy =
+∞
x( t ) y( t ) dt
(1.1)
−∞
1.9
La tensione si misura in Volt [V], l’Energia in Joule [J], e la Potenza in Watt [W]. Nella situazione di riferimento considerata, il resistore
ideale è caratterizzato da una resistenza elettrica pari a 1Ω.
1.10 Nei testi in lingua inglese Direct Component (DC).
1.11 Per comprendere il fenomeno fisico al quale la terminologia si riferisce, bisognerebbe conoscere gli argomenti riguardanti l’analisi
di Fourier, esposti successivamente nei Capp. 2 e 3. Allora si comprenderebbe come le grandezze energetiche possano intendersi come
dissipate da un resistore ideale con resistenza elettrica non costante, ma opportunamente variabile con la frequenza; la legge di Ohm si
generalizza, quindi, in un legame di prodotto di convoluzione in modo che quando ai capi del resistore si misura la tensione x(t) in esso
effettivamente scorre la corrente y(t) = (x ∗ h)(t), essendo h(t) un’opportuna funzione che descrive il comportamento del resistore stesso.
1.3. CLASSIFICAZIONE DEI SEGNALI
9
può essere considerata una definizione propria di prodotto scalare in uno spazio dei segnali, ovvero delle
sequenze, di energia. Analogamente, per le sequenze e i segnali di potenza abbiamo la potenza incrociata, o
potenza mutua:
Pxy
N
1
1
def
= A { x[ n ] y[ n ]}= lim
x[ n ] y[ n ] ; Pxy = A { x( t ) y( t )}= lim
∑
N →∞ 2N + 1
T →∞ T
n=− N
T/2
x( t ) y( t ) dt
(1.2)
−T/2
che può essere considerata una definizione propria di prodotto scalare in uno spazio dei segnali, ovvero delle
sequenze, di potenza. Notiamo anche che risulta sempre Exy = Eyx , cosı̀ anche Pxy = Pyx .
Osservazione
La descrizione energetica di segnali mediante Energia o Potenza, non si riferisce a un singolo specifico segnale, bensı̀ individua un’intera classe di segnali membri, accumunati dalla proprietà di condividere lo stesso
valore dell’Energia, ovvero della Potenza.
La descrizione energetica incrociata individua due classi di segnali.
Energia e Potenza di Combinazioni Lineari di Segnali
L’energia incrociata gode della proprietà distributiva.
P ROPRIET Á 1.1 Considerati due segnali di energia x( t ) = ∑i αi · xi ( t ) e y ( t) = ∑k β k · y k ( t ), ovvero due sequenze di
energia x[ n ] = ∑i αi · xi [ n ] e y [ n] = ∑k β k · y k [ n ], abbiamo:
Exy = ∑ ∑ αi β k Exi yk
i
k
Altrettanto vale nel caso di segnali e sequenze di potenza:
Pxy = ∑ ∑ αi β k Pxi yk
i
k
Occorre quindi fare attenzione a non trascurare i termini incrociati nel valutare l’energia, o la potenza, della
somma di segnali; e.g. per il segnale d’energia x( t ) = x 1( t ) + x2 ( t ), abbiamo:
Ex = Ex1 + Ex1 x2 + Ex2 x1 + Ex2 = Ex1 + 2 {Ex1 x2 } + Ex2
Solo nel caso di segnali ortogonali, aventi cioè energia incrociata nulla e quindi tali che Ex1 x2 = 0, possiamo
affermare che l’energia della somma di segnali eguaglia la somma delle Energie dei singoli segnali addendi.
Per i segnali di potenza ça va sans dire.
1.3.7
Rispetto all’Occupazione nel Tempo
• Impulsivi (assoluta sommabilità)
+∞
∑
n=−∞
| x[ n ]| < ∞
+∞
;
−∞
| x( t )|dt < ∞
• Periodici (modulo N o T)
x̃[ n ] = x̃[ n + N ]
;
x̃( t ) = x̃( t + T )
Per i segnali periodici la potenza si definisce più semplicemente considerando l’intervallo di un periodo
e omettendo l’operazione di limite
Px̃ =
1
N
N −1
∑
n=0
| x̃[ n ]|2
;
Px̃ =
1
T
T
0
| x̃( t )|2dt
Altrettanto vale per la potenza incrociata di due segnali periodici modulo lo stesso periodo:
Px̃ỹ =
1
N
N −1
∑
n=0
x̃[ n ] · ỹ[ n ]
;
Px̃ỹ =
1
T
T
0
x̃( t ) · ỹ( t ) dt
10
CAPITOLO 1. SEGNALI E SEQUENZE
1.3.8
Simmetrie Pari e Dispari
• Simmetria Pari
Un segnale xe ( t ) è detto simmetrico pari se e solo se gode della seguente proprietà:
xe ( t ) = xe (− t)
Notiamo che un segnale simmetrico pari può liberamente assumere valori non nulli nell’origine.
• Simmetria Dispari
Un segnale xo ( t ) è detto simmetrico dispari se e solo se gode della seguente proprietà:
xo ( t ) = − xo (− t)
Notiamo che un segnale simmetrico dispari è costretto ad assumere valore nullo nell’origine, i.e. xo (0) =
0.
Un generico segnale x( t ) può sempre scomporsi nella somma della sua parte pari e della sua parte dispari:
x( t ) = xe ( t ) + xo ( t )
dove
x( t ) + x(− t )
x( t ) − x(− t )
;
xo ( t ) =
2
2
Per indicare l’operazione d’estrazione della parte pari (even) e della parte dispari (odd) di un segnale, useremo
anche la seguente notazione:
xe ( t ) =
def
E { x( t )} =
1.3.9
x( t ) + x(− t )
2
;
def
O { x( t )} = xo ( t ) =
x( t ) − x(− t)
2
Simmetria Complessa Coniugata
Naturalmente, un segnale complesso può avere parte reale e parte immaginaria godenti di generiche proprietà
di simmetria. In particolare, la condizione di simmetria complessa coniugata di x( t ) = x r( t ) + jxi ( t ) si ottiene in
corrispondenza della seguente coppia di proprietà:
xr ( t ) =
xr (− t)
xi ( t ) = − xi (− t)
(parte reale a simmetria pari)
(parte immaginaria a simmetria dispari)
Incontreremo spesso nel seguito segnali complessi a simmetria coniugata. Va da se che per segnali complessi
a simmetria coniugata le parti reale e immaginaria si possono estrarre, ripettivamente, come parte pari e parte
dispari:
x( t ) + x(− t )
x( t ) − x(− t)
O { x( t )}
xr ( t ) = E { x( t )} =
=
;
xi ( t ) =
2
j
2j
1.4. TRASFORMAZIONI AFFINI DEL DOMINIO
1.4
11
Trasformazioni Affini del Dominio
Limitando inizialmente la discussione ai soli segnali con dominio continuo x( t ), si consideri il cambio di
variabile (trasformazione affine), con a = 0,
t = a · t + t0
L’asse t ha una origine differente ed è scalato (dilatato o compresso) rispetto all’asse t. Considerando la
trasformazione inversa
t − t0
t ( t ) =
a
l’espressione del segnale nel nuovo sistema di riferimento diventa:
t − t0
x t ( t ) = x
a
Tale espressione è illustrata in Fig.1.3 per i casi di pura traslazione ( a = 1) e pura dilatazione ( t0 = 0, a > 1).
x(t)
1
t
-1
1
a f
x t( t') = x( t'-t0 )
1
( t0 > 0, a = 1)
t’
-1 + t0
1
t0
1 + t0
b g
x t(t') = x(t'/a)
( t0 = 0, a > 1)
t’
-a
a
Figura 1.3: Trasformazioni affini del dominio continuo (t = a · t + t0 ).
12
CAPITOLO 1. SEGNALI E SEQUENZE
Per evitare il proliferare della definizione di nuovi assi di riferimento, con il conseguente appesantimento della notazione t ( t) per indicare la dipendenza tra i vari riferimenti, e quando non occorre evidenziare la
presenza di questi ultimi, si può utilizzare lo stesso simbolo t per denotare il riferimento trasformato t . Non
bisogna, però, dimenticare il meccanismo di trasformazione affine che ha generato il “nuovo” segnale, evitando cosı̀ di cadere in confusione. Ad esempio, l’operazione di traslazione x( t − t0 ) è riportata in Fig.1.4 mentre
quella di dilatazione del dominio x( t/a) in Fig.1.5.
x(t)
1
t
-1
1
x( t - t0 )
1
( t0 > 0)
t
-1 + t0
t0
1 + t0
Figura 1.4: Traslazione di un segnale.
x(t)
1
t
-1
1
x(t a)
1
(a > 1)
t’
a
-a
Figura 1.5: Dilatazione del dominio di un segnale.
1.4. TRASFORMAZIONI AFFINI DEL DOMINIO
13
Per le sequenze l’operazione di traslazione è definibile per valori interi dell’indice n0, avendosi x[ n − n0 ]
come illustrato in Fig.1.6.
x[ n]
n
-2
-1
0
1
2
x[ n - n0 ]
( n0 > 0)
n
-2 + n0
n0
2 + n0
Figura 1.6: Traslazione di una sequenza.
Per quanto riguarda l’operazione di cambiamento di scala, quando il dominio di definizione è discreto possimo
definire la sola compressione xd [ n ] = x[n M ], per valori interi del fattore di compressione M.
x[ n]
n
-2
-1
0
1
2
x[ nM ]
(M = 2)
n
-1
0
1
Figura 1.7: Compressione del dominio di una sequenza (decimazione).
Come illustrato in Fig.1.7, l’operazione consiste in una vera e propria decimazione dei campioni della sequenza,
con M fattore di decimazione (sopravvive un campione ogni M).
In generale, l’operazione di compressione non è invertibile, in quanto comporta una vera e propria perdita
di alcuni campioni della sequenza.
Prima di procedere, definiamo l’operazione n mod P, con n e P interi. Posto n = q · P + r dove q è il
quoziente e r il resto della divisione intera di n per P, risulta sempre | r | < P. Allora definiamo:
⎧
⎨r
per r > 0
n mod P =
⎩r + P per r < 0
Notiamo che, secondo questa definizione, risulta sempre 0 ≤ (n mod P ) ≤ P − 1.
Ciò detto, per le sequenze è possibile definire un’operazione cosiddetta di espansione, con fattore di espansione P, in accordo a quanto segue:
⎧
⎨ x[ n/P ] per n mod P = 0 ( n multiplo di P )
xe [ n ] =
⎩
0
altrove
14
CAPITOLO 1. SEGNALI E SEQUENZE
x[ n]
n
-2
-1
1
2
x [ n]
e
(P = 3)
n
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
Figura 1.8: Espansione del dominio di una sequenza.
Un esempio di espansione è riportato in Fig.1.8. Notiamo che la cascata di una espansione e di una compressione con identico fattore non modifica il segnale, in quanto i campioni persi con la compressone coincidono
con i valori nulli introdotti nell’espansione. Evidentemente, non è sempre vero il viceversa.
1.5. TRASFORMAZIONI DI SEGNALI
1.5
15
Trasformazioni di Segnali
Le trasformazioni affini del dominio costituiscono un esempio di manipolazione o trasformazione di segnali,
cioè di un insieme di operazioni di varia natura che una volta applicate a un segnale cosiddetto d’ingresso
producono come risultato un altro segnale cosiddetto d’uscita.
Nel percorso dal soggetto sorgente al soggetto destinario del messaggio, i vari segnali subiscono delle
trasformazioni, possibilmente anche non volute, che ne alterano le forme d’onda; si rende quindi necessaria
l’analisi di quelle classi di trasformazioni che interessano nei sistemi di comunicazione.
Per iniziare, denotando con x( t ) il segnale d’ingresso, ovvero con x[ n ] la sequenza d’ingresso, e con y ( t) il
segnale d’uscita, rispettivamente con y [ n ] la sequenza d’uscita, prodotto da una generica trasformazione T{·} ,
scriveremo genericamente:
y ( t) = T { x( t )}
;
y [ n] = T { x[ n ]}
Spesso troveremo conveniente descrivere catene di trasformazioni condotte sui segnali mediante schemi di
blocchi orientati, i.e. aventi porte d’ingresso e d’uscita, connessi tra loro in maniera opportuna. Troviamo visualizzato in Fig.1.9 il blocco rappresentante la relazione ingresso/uscita di una generica trasformazione T{·} .
x( t )
T{×}
y ( t ) = T {x( t )}
x[n ]
T{×}
y[n ] = T {x[n ]}
Figura 1.9: Trasformazione di segnali.
Quando necessario, all’interno del blocco potremo riportare una qualche simbologia che richiami la natura dell’operazioni effettuate dalla trasformazione. Come esempio, nella Fig.1.10 troviamo i simboli grafici utilizzati
per la compressione e per l’espansione di una sequenza.
x[n]
x[n]
P
M
A
B
xd [n] = x[nM ]
xe[n] =
RS x[n / P ] per n modulo P = 0
T 0 altrove
Figura 1.10: Rappresentazione a blocchi di compressione ed espansione di sequenze.
16
CAPITOLO 1. SEGNALI E SEQUENZE
Trasformazioni Nonlineari Senza Memoria
La classe delle trasformazioni nonlineari senza memoria (nonlinear memoryless transformations) si ottiene considerando una generica funzione applicata ai valori assunti istante per istante dal segnale. Essa è descritta dalla
cosiddetta transcaratteristica, i.e. dalla funzione f (·) che, indipendentemente dall’istante t, determina il valore
assunto dell’uscita in corrispondenza del valore assunto dall’ingresso:
y ( t) = f ( x(t))
∀t ∈ R
o, stante l’assenza di memoria, più semplicemente:
y = f (x)
Ove possibile, il grafico della transcaratteristica è riportato direttamente all’interno del blocco, come illustrato
nella Fig.1.11 per i casi di un quadratore e di un limitatore.
quadratore
limitatore
y
y
x( t )
y ( t)
x( t )
y ( t)
x
x
Figura 1.11: Trasformazioni lineari senza memoria: quadratore e limitatore.
1.6. FUNZIONI DI CORRELAZIONE E CONVOLUZIONE
1.6
1.6.1
17
Funzioni di Correlazione e Convoluzione
Funzione di Correlazione
Le grandezze energia incrociata e potenza incrociata, definite rispetticamente nella (1.1) e (1.2), definiscono una
misura della somiglianza dei segnali x( t ) e y ( t), ovvero delle sequenze x[ n ] e y [ n]. Valgono infatti le seguenti
disuguaglianze di Cauchy-Schwarz:
|Exy |2 ≤ Ex · Ey
|Pxy |2 ≤ Px · Py
;
dove il segno d’uguaglianza vale se e solo se i segnali sono tra loro proporzionali, i.e. x( t ) = α · y (t), ovvero
x[ n ] = α · y[n ], con α costante scalare. Possiamo quindi introdurre, sia per segnali di energia che per quelli di
potenza, un coefficiente di correlazione, opportunamente definito come segue:
xy = Exy
Ex · Ey
xy = ;
Pxy
P x · Py
Il coefficiente di correlazione xy risulta quindi sempre compreso tra − 1 e 1; inoltre è eguale in modulo all’unità
se e solo se i segnali sono tra loro proporzionali.
def
Sia allora y τ ( t ) = y ( t − τ ) il segnale ritardato della generica quantità τ; la somiglianza tra il segnale x( t )
e il segnale ritardato y τ ( t ) è misurata dall’energia incrociata Exyτ nel caso di segnali di energia, piuttosto che
dalla potenza incrociata Pxyτ nel caso di segnali di potenza.
def
Mutatis mutandis, nel caso discreto sia ym [ n ] = y [ n − m ] la sequenza ritardata della generica quantità m; la
somiglianza tra la sequenza x[ n ], e la sequenza ritardata y m [ n ] è misurata dall’energia incrociata Exym nel caso
di segnali di energia, piuttosto che dalla potenza incrociata Pxym nel caso di segnali di potenza.
Per esplicitare, anche mediante la notazione, che la misura di somiglianza dipende dal ritardo, introduciamo la cosiddetta funzione di correlazione incrociata, o correlazione mutua, denotata R xy ( τ ), ovvero R xy [ m ], e la cui
definizione è riportata nella Tab.1.2.
Contenuto
Energetico
Sequenze Rxy [m]
+∞
∑
Energia
Potenza
n=−∞
lim
N →∞
1
2N + 1
Segnali Rxy (τ)
+∞
x[n] y[n − m]
N
∑
n=− N
−∞
x[n] y [n− m]
lim
T→∞
x(t) y(t − τ) dt
1 T/2
T
−T/2
x(t) y(t − τ) dt
Tabella 1.2: Le definizioni della funzione di correlazione incrociata.
Notiamo che il ritardo τ è misurato relativamente all’origine del segnale x( t ); questo comporta che la correlazione incrociata tra i segnali x( t + τ ) e y ( t) coincide con la R xy ( τ ) definita nella Tab.1.2, in quanto lo
spiazzamento relativo tra i segnali continua a essere τ; questo fatto é ben messo in evidenza dalla notazione di
averaging spaziale:
A { x( t + τ ) y( t )} = A { x( t ) y( t − τ )}
Rxy (τ)
In altre parole, l’argomento della funzione di correlazione incrociata R xy è definito dalla differenza tra l’argomento del segnale x e l’argomento del segnale y, nell’ordine. Non a caso, nei testi di lingua inglese, la variabile τ è
riferita con il termine lag. Le medesime considerazioni valgono per il caso discreto:
A { x[ n + m ] y[ n ]} = A { x[ n ] y[ n − m ]}
Rxy [m]
La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si generalizza alla funzione di correlazione incrociata come segue:
| R xy ( τ )|2 ≤ R x (0) Ry(0)
;
| R xy [ m ]|2 ≤ R x [0] Ry[0]
18
CAPITOLO 1. SEGNALI E SEQUENZE
Il segno uguale vale per un certo τ0 se e solo se risulta x( t ) = α y (t − τ0), con α costante, i.e. se e solo se i
segnali x( t ) e y ( t − τ0) sono paralleli; nel caso discreto, il segno uguale vale per un certo m0 , se e solo se risulta
x[ n ] = α y[n − m0].
Nel caso di segnali complessi vale la proprietà:
R xy ( τ ) = Ryx (− τ )
;
R xy [ m ] = Ryx [− m]
Quando i segnali coincidono, i.e. y = x, troviamo la funzione di autocorrelazione, che indicheremo più concisamente con il simbolo R x. La funzione di autocorrelazione misura il grado di somiglianza tra il segnale
considerato e le sue versioni ritardate, e gode della seguente, importante, proprietà di simmetria coniugata:
R x ( τ ) = Rx (− τ )
;
R x [ m ] = Rx [− m]
La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz si particolarizza alla funzione di autocorrelazione come segue:
| R x( τ )| ≤ R x (0)
;
| R xy [ m ]| ≤ R x [0]
Il segno uguale vale certamente τ = 0, ovvero m = 0. Inoltre, tenendo presente che l’energia. cosı̀ come la
potenza, del segnale x( t ) ± y ( t − τ ), ovvero della sequenza x[ n ] ± y [ n − m ], è una quantità non negativa per
definizione, non è difficile dimostrare la seguente proprietà:
R x (0) + R y (0) ≥ 2 R xy ( τ ) ;
R x [0] + R y [0] ≥ 2 R xy [ m ] Nel caso della funzione di autocorrelazione, più semplicemente abbiamo:
;
R x [0] ≥ {R x [ m ]}
R x (0) ≥ { R x ( τ )}
Per quanto riguarda la notazione incontrata nella letteratura, generalmente l’operazione di correlazione è
indicata con il simbolo , o similari, per cui si incontra spesso la seguente notazione
R xy ( τ ) = ( x y )(τ )
;
R xy [ m ] = ( x y )[m]
Infine, ripresentiamo la Tab.1.2 in una notazione più compatta che usa gli operatori e A {(·)}.
Contenuto
Energetico
Sequenze Rxy [m]
Segnali Rxy (τ)
Energia
(x y)[m ]
(x y)[τ]
Potenza
A { x[n] · y[n− m]}
A { x(τ) · y(τ − τ )}
Tabella 1.3: Ancora sulle definizioni della funzione di correlazione incrociata.
1.6.1.1
Computo della Funzione di Correlazione
Per segnali aventi energia finita, il valore della funzione di correlazione si ottiene seguendo i passi elencati di
seguito, cfr. anche la Fig.1.12.
Computo della Funzione di Correlazione Incrociata
1. considerare il segnale y( t − τ ), i.e. il segnale y( t ) traslato di τ;
2. calcolare il segnale prodotto φτ ( t ) = x(t) y( t − τ ), considerato come funzione di t;
3. integrare il segnale prodotto φτ ( t ), ottenendo R xy ( τ ) =
4. ripetere per ogni altro valore desiderato τ.
+∞
−∞
φτ ( t ) dt;
1.6. FUNZIONI DI CORRELAZIONE E CONVOLUZIONE
19
y(t)
1
t
a
-b
y( t - t )
1
t
-b + t
t
a+t
x( t)
1
t
x( t) y( t - t )
1
Rxy ( t) = area
t
Figura 1.12: Sul computo della funzione di correlazione di segnali analogici.
Mutatis mutandis, vale anche per il caso di correlazione tra sequenze.
Computo della Funzione di Correlazione Incrociata
1. considerare il segnale y[ n − m], i.e. il segnale y[ n ] traslato di m;
2. calcolare il segnale prodotto φm [ n ] = x[n] y[ n − m ], considerato come funzione di n;
3. saturare il segnale prodotto φm [ n ], ottenendo R xy [ m ] =
4. ripetere per ogni altro valore desiderato m.
+∞
∑
φm [ n ];
n=−∞
20
1.6.2
CAPITOLO 1. SEGNALI E SEQUENZE
Convoluzione
Consideriamo due segnali x( t ) e h ( t ), di cui h ( t) avente energia finita: l’operazione di convoluzione, comunemente indicata con il simbolo ∗ nella forma y ( t) = (h ∗ x)(t), è definita nel modo seguente:
y ( t) =
+∞
−∞
x( ϑ ) h(t − ϑ ) dϑ
(1.3)
Nel caso discreto, si parla più propriamente di somma di convoluzione, indicata con ( x ∗ ∗ h )[n]:
y [ n] =
+∞
∑
k=−∞
x[ k ] h [ n − k ]
(1.4)
Occorre immediatamente notare che l’operazione di convoluzione stabilisce un legame funzionale tra i segnali
operandi e il segnale risultato. Infatti, il generico valore del segnale risultato y ( t) dipende dalle intere forme d’onda x( t ) e h ( t ) attraverso un’operazione di saturazione mediante integrazione. Nel caso discreto, la
saturazione é effettuata mediante somma.
Non è particolarmente difficile dimostrare la proprietà commutativa, grazie alle quale possiamo i scambiare
i ruoli dei segnali: ( x ∗ h )(t) = (h ∗ x)( t), ovvero ( x ∗ h )[n] = (h ∗ x)[ n].
Per meglio comprendere il significato dell’operazione di convoluzione, e anche al fine di illustrare il meccanismo di generazione del segnale risultato y, conviene interpretare le espressioni (1.3) e (1.4) come legami che
sussistono tra intere forme d’onda x e h, funzioni della variabile t, ovvero n. Infatti, il risultato non dipende dalla
variabile ϑ, ovvero k, poichè questa è saturata sotto il segno d’integrale, rispettivamente di somma. Tra l’altro,
la scelta dei simboli ϑ e k è del tutto arbitraria e non deve costituire fonte di ambiguità di alcun genere: sotto il
segno d’integrale la variabile d’integrazione gioca un ruolo del tutto confinato all’interno dell’integrale stesso,
e altrettanto possiamo sostenere per la somma. Per cui saremo liberi di utilizzare nel seguito i simboli che più
riterremo adatti relativamente al contesto nel quale l’integrale e/o la somma di convoluzione intervengono.
Ciò premesso, la variabile t, ovvero n, è ovviamente presente nell’espressione del segnale risultato y ( t),
rispettivamente y [ n ], ma appare soltanto nel segnale operando h ( t), rispettivamente h [ n ]. Inoltre, rispetto alla
dipendenza da t, ovvero da n, i valori del segnale x( ϑ ), rispettivamente x[ k ], sono piuttosto da considerarsi
come costanti scalari. Possiamo quindi interpretare la (1.3) e la (1.4) come la sovrapposizione (integrale nel caso
continuo) di infinite forme d’onda, la generica delle quali h ( t − ϑ ), ovvero h [ n − k ], è traslata della quantità ϑ,
rispettivamente k, ed è scalata in ampiezza per x( ϑ ), quantità indipendente da t, ovvero x[ k ], quantità indipendente
da n. Tale interpretazione la troviamo illustrata in Fig.1.13.
1.6. FUNZIONI DI CORRELAZIONE E CONVOLUZIONE
21
h(J )
1
J
-1
1
x(t - J ) per J = 0
h( J ) = 1
x(t)
1
t
a
-b
x(t - J ) per J < 1
h( J ) = 1
1
t
-b + J
J
a+J
x(t - J ) per J > 1
h( J ) = 0
1
integra per
ogni t
t
-b + J
J
a+J
Figura 1.13: La convoluzione come sovrapposizione di forme d’onda traslate e scalate.
Tale interpretazione, però, non offre un mezzo concreto di valutazione analitica della convoluzione di due
segnali. Per questo scopo, conviene riferire all’espressione (1.3), ovvero (1.4), come il valore numerico assunto
al tempo t, ovvero n, dal segnale y ( t), rispettivamente y [ n ]. Allora, occorre caratterizzare il segnale x( t − ϑ ),
ovvero x[ n − k ], considerandolo piuttosto come funzione della variabile d’integrazione ϑ, rispettivamente k,
per fissato t, ovvero per fissato n, quest’ultimi considerati quindi come parametri il cui valore è tenuto fermo
nell’esecuzione dell’operazione d’integrazione ovvero di somma. Il calcolo si ripete per tutti i valori di t,
ovvero n, d’interesse — calcoli che non necessariamente si estendono sempre su tutto l’asse, in quanto talvolta
potrebbero essere limitati a specifici intervalli finiti.
Per comprendere il significato del segnale x( t − ϑ ), per fissato t e preso funzione di ϑ, consideriamo dapprima il caso t = 0. Lungo l’asse ϑ, il segnale x(− ϑ ) consiste nella semplice riflessione intorno all’origine del
segnale x( ϑ ), come illustrato nella Fig.1.14. Per comprendere cosa succede per un altro valore t diverso da zero, scriviamo x( t − ϑ ) = x (−(ϑ − t)). Allora, rispetto alla variabile ϑ, per t > 0 si sta effettuando una traslazione
del segnale x(−ϑ ) verso destra proprio della quantità fissata t, come illustrato in Fig.1.14. Viceversa, per t < 0
si sta effettuando una traslazione del segnale x(−ϑ ) verso sinistra.
22
CAPITOLO 1. SEGNALI E SEQUENZE
Compresa quindi la forma del segnale x( t − ϑ ), otteniamo il risultato della convoluzione seguendo i passi
elencati di seguito (cfr. anche la Fig.1.14).
Computo della Convoluzione
1. considerare il segnale x( t − ϑ ): rispetto alla variabile ϑ, i.e. il segnale x( ϑ ) ribaltato rispetto all’origine e
successivamente traslato di t;
2. calcolare il segnale prodotto ψt ( ϑ ) = h(ϑ ) x(t − ϑ ), considerato come funzione di ϑ;
3. integrare il segnale prodotto ψt ( ϑ ), ottenendo y ( t) =
4. ripetere per ogni altro valore desiderato t.
+∞
−∞
ψt ( ϑ ) dϑ;
x( J )
1
J
a
-b
x(-J )
1
-a
J
b
x(t - J )
1
-a + t
t
b +t
J
h( J )
1
J
x(t - J )h( J )
1
y(t) = area
J
Figura 1.14: Sul computo della convoluzione di segnali analogici.
1.6. FUNZIONI DI CORRELAZIONE E CONVOLUZIONE
23
Mutatis mutandis, vale anche per il caso delle sequenze e della somma di convoluzione.
Computo della Convoluzione Discreta per l’Indice n
1. considerare il segnale x[ n − k ]: rispetto alla variabile k, i.e. il segnale x[ k ] ribaltato rispetto all’origine e
successivamente traslato di n;
2. calcolare il segnale prodotto ψn [ k ] = h[k] x[n − k ], considerato funzione dell’indice k;
3. saturare il segnale prodotto ψn [ k ], ottenendo y [ n] =
+∞
∑
k=−∞
ψn [ k ];
4. ripetere per ogni altro valore desiderato n.
Come commento finale, occorre rammentare che nella letteratura è frequentissimo incontrare come notazione
relativa alla convoluzione la seguente:
y ( t ) = x( t ) ∗ h ( t )
y [ n ] = x[ n ] ∗ h [ n ]
;
(1.5)
Per evitare errori e ambiguità, nella (1.5) i simboli x( t ) e h ( t), ovvero x[ n ] e h [ n ], vanno intesi come intere
forme d’onda e non come valori numerici assunti al generico istante t, ovvero n. Infatti, dalle espressioni (1.3),
abbiamo già osservato che la variabile indipendente t, ovvero n, è presente in uno solo tra gli operandi x e
h. Quindi, la notazione (1.5) non permette la manipolazione formale della variabile t, ovvero n, a secondo
membro.
1.6.3
Sul Legame tra Convoluzione e Correlazione
Consideriamo la correlazione incrociata
R xy ( τ ) = ( x y )(τ )
e indichiamo il segnale ottenuto da y ( t) per rifelssione dell’asse t come segue:
def
y(−) ( t ) = y (−t)
Possiamo facilmente dimostrare che risulta:
( x y )(τ ) = ( x ∗ y(−) )( τ )
Dim.: esplicitiamo il secondo membro della (1.6):
(x ∗ y(−) )(τ ) =
+∞
−∞
x(ϑ) · y(−) (τ − ϑ) dϑ =
+∞
−∞
x(ϑ) · y (ϑ − τ) dϑ = (x y)(τ )
(1.6)
Segue immediatamente che per y ( t) simmetrico coniugato pari, i.e. y (−) ( t ) = y ( t), convoluzione e correlazione
coincidono: ( x ∗ y )(t) = ( x ∗ y )(t).
1.6.3.1
Sulla Notazione di Funzione di Correlazione
Direttamente dalla (1.6), segue anche la seguente interessante proprietà:
( x(−) y(−) )( τ ) = ( y x)( τ )
Dim.: (x(−) y(−) )(τ ) = (x(−) ∗ y)(τ ) = (x(−) ∗ y)(τ) = (y ∗ x(−) )(τ) = (y x)(τ)
(1.7)
Nella notazione della funzione di correlazione, possiamo scrivere la (1.7) come segue:
R x(−) y(−) ( τ ) = R yx ( τ ) = R xy (− τ )
(1.8)
Mutatis mutandis, nel caso discreto abbiamo:
( x y )[m ] = ( x ∗ y(−) )[ m]
( x(−) y(−) )[ m] = ( y x)[ m ] ;
R x(−) y(−) [ m ] = R yx [ m ] = R xy [− m]
(1.9)
(1.10)
24
CAPITOLO 1. SEGNALI E SEQUENZE
1.7
Esercizi
1. Per un generico valore T > 0, calcolare e disegnare la funzione di correlazione incrociata R xy ( τ ) tra i
segnali
x( t ) = rect ( t ) ; y ( t) = rect ( t/T )
Discutere il caso particolare T = 1.
Spiegare perchè in generale risulta R xy ( τ ) = Ryx( τ ), mentre per T = 1 abbiamo R xy ( τ ) = Ryx( τ ).
Spiegare anche perchè in questo caso risulta R xy ( τ )τ=t = ( x ∗ y )(t).
def
2. Sia R xy ( τ ) = ( x y )(τ ) la funzione di correlazione incrociata tra i segnali x( t ) e y ( t).
Dati i segnali diversamente traslati e scalati ξ ( t ) = x(( t − ta ) /a ), e η ( t ) = y ((t − tb ) /b ), esprimere la
def
funzione di correlazione R ξη ( τ ) = ( ξ η )( τ ) in funzione di R xy ( τ ).
Ripetere considerando le convoluzioni in luogo delle correlazioni.
3. Scrivere una funzione in linguaggio C/C++ che accetta in ingresso due sequenze di lunghezza finita e
restituisce in uscita i campioni della funzione di correlazione incrociata.
Ripetere considerando la convoluzione in luogo della correlazione.
1.8. ALCUNE SEQUENZE NOTEVOLI
1.8
1.8.1
25
Alcune Sequenze Notevoli
La Sequenza Impulso Unitario δ [ n ]
L’impulso unitario tempo discreto, rappresentato in Fig.1.15, è definito come segue
def 1 per n = 0
δ [ n] =
0 per n = 0
d[ n]
1
...
...
-2
-1
0
1
n
2
Figura 1.15: La sequenza impulso unitario δ[n] .
E’ possibile rappresentare una generica sequenza come somma di impulsi unitari, opportunamente traslati e
scalati in ampiezza
x[ n ] =
+∞
∑
k=−∞
x[ k ] δ [ n − k ]
In altri termini, l’impulso unitario è l’elemento neutro della somma di convoluzione:
x[ n ] ∗ δ [ n ] = x[ n ]
1.8.2
La Sequenza Gradino Unitario u [ n ]
Il gradino unitario tempo discreto, rappresentato in Fig.1.16, è definito come segue
1 per n ≥ 0
u[n] =
0 per n < 0
u[ n]
1
...
...
-2
-1
0
1
n
2
Figura 1.16: La sequenza gradino unitario u[n].
Notiamo che per n = 0 il gradino unitario tempo discreto è definito con valore uno. Inoltre, è possibile ottenere
un gradino accumulando lungo l’asse n l’impulso unitario:
u [ n ] = δ [ n] ∗ u [ n ] =
+∞
n
∑ δ [ k] · u [ n− k] = ∑ δ [ k]
k=−∞
k=−∞
1 per k≤n
26
CAPITOLO 1. SEGNALI E SEQUENZE
Mendiante l’operatore1.12 Differenza Finita (del primo ordine):
def
∇{ x[n]} = x[ n ]− x[n − 1]
possiamo scrivere anche la relazione inversa:
δ [ n ] = ∇{ u[n]}
1.9
1.9.1
Alcuni Segnali Notevoli
Seno Cardinale sinc ( t )
La funzione Seno Cardinale si definisce considerando il seguente integrale:
sinc( t ) =
1/2
−1/2
e j2π f t d f =
sin πt
πt
Il suo l’andamento è riportato nelle Figure 1.17-1.18.
Figura 1.17: La funzione seno cardinale.
Figura 1.18: Ampiezza (valore assoluto) del seno cardinale in deciBel (·)dB = 20 log(·) .
Nell’origine la funzione sinc ( t ) assume valore unitario (sin πt πt per πt 0), mentre si annulla in tutti gli
istanti t = ± 1, ± 2, ±3 · · ·. L’andamento è articolato in lobi; quello per | t | < 1 è riferito come lobo principale, tutti
gli altri come lobi secondari.
Vale la pena notare il valore del rapporto tra le ampiezze del lobo principale e del primo lobo secondario
(∼ 13dB), e il taglio a metà ampiezza (-6dB) che avviene all’incirca per t = ± 0.6.
1.12 La
def
differenza finita di ordine p è definita come applicazione ripetuta della differenza finita del primo ordine, i.e. ∇n {·} = ∇ · · · ∇ {·}.
p
1.9. ALCUNI SEGNALI NOTEVOLI
27
Tra le proprietà della funzione seno cardinale ricordiamo
• sinc( t ) dt = 1 (normalizzazione in area);1.13
• sinc2 ( t ) dt = 1 (normalizzazione in energia);1.13
• sinc( t ) ∗ sinc( t ) = sinc( t ) (invarianza rispetto all’operatore di convoluzione);
• δ [ n ] = sinc( n ) (l’impulso unitario ottenuto per campionamento unitario — cfr. anche la Fig.1.17).
Inoltre, si dimostra facilmente la proprietà di ortogonalità tra sinc (·) disallineati temporalmente di multipli
dell’unità. Infatti, dall’invarianza rispetto all’operatore di convoluzione e per la simmetria della funzione,
possiamo scrivere per la funzione di autocorrelazione del seno cardinale
R sinc ( τ ) =
+∞
−∞
sinc( t ) sinc( t − τ ) dt = sinc( τ )
(1.11)
La funzione R sinc ( τ ) si annulla per valori interi di τ, a parte τ = 0 dove risulta R sinc (0) = 1, i.e. R sinc ( m ) = δ[m ]
per m ∈ Z. Concludendo, possiamo affermare che si annulla l’energia incrociata di due sinc(·) disallineati
temporalmente di un ritardo intero pari a ± 1, ± 2, · · ·.
Spesso si incontra una versione periodicizzata del seno cardinale, definita a partire dalla seguente somma
finita, disegnata in Fig.1.19, per N = 3:
N
sin (2N + 1) ω2
(1.12)
∑ e−jωn =
sin ω2
n=− N
Figura 1.19: La funzione seno cardinale periodicizzata modulo 2π.
1.13
Per il lettore interessato si rammenta l’integrale notevole
(A. Ghizzetti, F. Rosati, Complementi ed Esercizi di Analisi
Matematica, vol.II, ed. Veschi, Roma, pag. 284-285)
+∞
e−ax
0
1
sin x
dx = arctan
x
a
per il quale è possibile passare al lim sotto il segno d’integrale,
ottenendo:
a→0
+∞
sin x
0
x
dx =
π
2
Analogamente, dall’integrale
+∞
e−ax
0
otteniamo:
1 1
1 − cos x
dx = arctan − log(1 + a2 )
x2
a 2a
+∞
1 − cos x
π
dx =
2
x2
Sostituendo ξ = 2x, abbiamo anche:
+∞ sin ξ 2
π
dξ =
ξ
2
0
0
28
CAPITOLO 1. SEGNALI E SEQUENZE
1.10
Segnali Sinusoidali a Tempo Continuo
Il segnale complesso con andamento sinusoidale di ampiezza A0, frequenza f 0 e fase ϕ0 , si scrive come segue:
A0 e jϕ0 exp ( j2π f 0t ) = A0 cos (2π f 0t + ϕ0 ) + j A0 sin (2π f 0t + ϕ0 )
Notiamo che, senza perdere di generalità, ci si può limitare a considerare A0 ≥ 0 e 0 ≤ ϕ0 < 2π, mentre f 0
varia con continuità in (− ∞, + ∞). Notiamo che il termine A0 e jϕ0 definisce l’ampiezza complessa del segnale,
ossia il valore complesso al tempo t = 0. Il segnale sinusoidale complesso è quindi ottenuto dalle coordinate
che l’estremo libero di un vettore nel piano complesso assume al variare del tempo t. La proiezione sul piano
complesso descrive una circonferenza di raggio A0.1.14 Una visualizzazione in tre dimensioni dell’evoluzione
temporale di un segnale sinusoidale complesso di ampiezza unitaria e fase zero è riportata in Fig.1.20. Spesso,
al posto di riferire il parametro frequenza f 0, misurato in cicli/s, si utilizza la pulsazione Ω0 = 2π f 0, misurata in
rad/s.
Figura 1.20: Evoluzione temporale di un segnale sinusoidale complesso.
Il segnale sinusoidale è periodico modulo T0 = 1/ f 0 = 2π/Ω0; infatti:
exp j2π f 0( t + T0) = exp ( j2π f 0t ) · exp ( j2π f 0T0) = exp (j2π f 0t )
ej2π =1 per T0 f 0 =1
L’andamento del segnale reale cos (Ω0 t + ϕ0 ) è riportato in Fig.1.21 per Ω0 = 4π e ϕ0 = − π/4. Notiamo che la
fase iniziale determina una traslazione temporale dell’asse t = 0, che si sposta al tempo t = − ϕ0/Ω0. Notiamo
altresı̀ che, in generale, i segnali reali sin(·) e cos(·) sono ottenibili l’uno dall’altro mediante uno sfasamento di
π/2 rad, i.e. cos (Ω0 t + ϕ0 ) = sin (Ω0 t + ϕ0 + π/2), e si dicono essere segnali in quadratura, con riferimento al
senso di componenti ortogonali di un vettore complesso rotante.1.15
Inoltre, risulta nulla la potenza incrociata di segnali sinusoidali reali aventi stessa frequenza ma in quadratura, cosı̀ come nulla risulta la potenza incrociata di segnali sinusoidali con frequenza diversa.
1.14 Con
riferimento alla Fig.1.20 si comprende anche il significato di frequenza negativa, di nessuna importanza quando ci si riferisce a
segnali reali (seni e/o coseni). Nel caso complesso, l’inversione di segno nella frequenza corrisponde all’inversione del verso di rotazione
sulla circonferenza proiettata sul piano complesso.
1.15 I vettori complessi rotanti nel tempo sono riferiti come fasori nel lessico della Teoria dei Circuiti.
1.10. SEGNALI SINUSOIDALI A TEMPO CONTINUO
29
Figura 1.21: Evoluzione temporale del segnale cos (Ω0 t + ϕ0 ), per Ω0 = 4π e ϕ0 =−π/4.
1.10.1
Sulla Potenza Incrociata di Segnali Sinusoidali
P ROPRIET Á 1.2 La potenza incrociata tra i segnali sinusoidali complessi x1 ( t ) = e jΩ1 t e x2 ( t ) = e jΩ2 t è nulla per
Ω1 = Ω2 :
1 T/2
Px1 x2 = A { x1 ( t ) x2 ( t )} = lim
x1 ( t ) x2 ( t ) dt = 0
T→∞ T −T/2
Dim.: posto ΔΩ = Ω1 − Ω2 , dalla definizione di potenza incrociata abbiamo:
Px1 x2 = lim
T →∞
1
T
T/2
−T/2
e jΔΩ·t dt
La chiusura dell’integrale si effettua come segue:
1
T
T/2
−T/2
e jΔΩ·t dt =
2
ΔΩ · T
sin
ΔΩ · T
2
La potenza incrociata risulta quindi
P x1 x2
in quanto, per ΔΩ = 0, il termine
2/ | ΔΩ|.
1.10.2
⎧
⎨ 1 per ΔΩ = 0
2
ΔΩ · T
= lim
=
sin
⎩
T→∞ ΔΩ · T
2
0 per ΔΩ = 0
2
ΔΩ · T
sin
si mantiene sempre limitato, risultando in modulo minore di
ΔΩ
2
Sull’Impiego della Notazione Complessa per Segnali Sinusoidali
Il fatto che la potenza incrociata di due segnali sinusoidali aventi frequenza differente è nulla, permette di
svolgere alcune considerazioni riguardanti l’impiego della notazione complessa. In particolare, appare chiaro
perchè nella definizione di Potenza Incrociata è necessario coniugare uno dei due segnali. Infatti, usando gli
stessi sviluppi analitici utilizzati nella Proprietà 1.2, la media del quadrato (senza l’estrazione del modulo) di
segnali sinusoidali risulta nulla:
1 T/2 j2Ω0 ·t
A e jΩ0 t · e jΩ0 t = lim
e
dt = 0
T→∞ T −T/2
per Ω0 = 0
Inoltre, la potenza incrociata tra la parte reale (coseno) e la parte immaginaria (seno) risulta nulla anch’essa.
Infatti, posto x( t ) = exp ( jΩ0t ), c ( t) = cos (Ω0 t ) e s ( t ) = sin (Ω0 t ), si ha x( t ) = c ( t) + js (t) e risulta, per
definizione,
x2 ( t ) = [c ( t) + js ( t)]2 = c2 ( t ) − s2 ( t ) + 2j s ( t) · c ( t)
Abbiamo appena dimostrato che risulta A x2 ( t ) = 0; sostituendo l’espressione di x2 ( t ) otteniamo:
A c2 ( t ) − s2 ( t ) + 2j s ( t) c(t) = A c2( t ) − A s2 ( t ) + 2jA {s ( t) c(t)} = 0
Pc
Ps
Psc
30
CAPITOLO 1. SEGNALI E SEQUENZE
Finalmente, uguagliando a zero separatamente la parte reale e immaginaria, possiamo scrivere:
Pc = Ps
Psc = 0
;
Inoltre, poichè Pcs = 0, abbiamo che la potenza di x è la somma delle potenze delle sue componenti
Px = Pc + Ps = 2Pc = 2Ps
per cui la potenza di un segnale sinusoidale reale, seno o coseno che sia, risulta pari alla metà della potenza
di un segnale sinusoidale complesso. Per un segnale di ampiezza A0, si ha Px = A20 per il segnale sinusoidale
complesso, e Pc = Ps = A20/2 per i segnali sinusoidali reali.
1.10.3
Funzione di Autocorrelazione di Segnali Sinusoidali
Nel caso complesso, la funzione di autocorrelazione si calcola molto semplicemente direttamente dalla definizione
A e jΩ0 t · e− jΩ0 (t−τ) = e jΩ0 τ
Per i segnali sinusoidali reali, considerando che risulta
A e jΩ0 t · e jΩ0 (t−τ) = e− jΩ0 τ · A e2jΩ0 t = 0
=0
non è difficile mostrare che risulta
Rc ( τ ) = Rs ( τ ) =
1
cos (Ω0 τ )
2
;
R sc ( τ ) =
1
sin (Ω0 τ )
2
Dim: procedendo come nel caso del calcolo delle potenze, sostituendo e jΩ0 t = c(t) + js(t), scriviamo
A e jΩ0 t · e jΩ0 (t−τ) = A {c(t) · c(t − τ )} − A {s(t) · s(t − τ )} + jA {s(t) · c(t − τ )} + jA {c(t) · s(t − τ )} = 0
Rc (τ)
Rs (τ)
Rsc (τ)
Rcs (τ)= Rsc (−τ)
Uguagliando a zero separatamente parte reale e parte immaginaria otteniamo:
;
Rsc (τ ) = −Rsc (−τ ) (simmetrica dispari)
(1.13)
Rc (τ ) = Rs (τ )
Infine, poichè abbiamo dimostrato A e jΩ0 t · e− jΩ0 (t−τ) = e jΩ0 τ , sostituendo ancora e jΩ0 t = c(t) + js(t), possiamo scrivere
A e jΩ0 t · e− jΩ0 (t−τ) = A {c(t) · c(t − τ )} + A { s(t) · s(t − τ )} + jA {s(t) · c(t − τ )} − jA { c(t) · s(t − τ )}
Rc (τ)
Rs (τ)
Rsc (τ)
Rcs (τ)= Rsc (−τ)
= cos(Ω0 τ ) + j sin(Ω0 τ )
Uguagliando separatamente parte reale e parte immaginaria del primo e del secondo membro, otteniamo le equazioni
Rc (τ ) + Rs (τ ) = cos(Ω0 τ )
;
Rsc (τ ) − Rsc (−τ ) = sin(Ω0 τ )
le quali, tenendo conto delle uguaglianze (1.13), dimostrano quanto asserito.
1.11. SEQUENZE SINUSOIDALI
1.11
31
Sequenze sinusoidali
Facendo riferimento a una notazione complessa, consideriamo la sequenza sinusoidale di ampiezza A0, frequenza radiante ω0, misurata in rad/campione, e fase ϕ0, che si scrive come segue
A0 e jϕ0 exp ( jω0n ) = A0 cos (ω0 n + ϕ0 ) + j A0 sin (ω0 n + ϕ0 )
Notiamo che la sequenza sinusoidale si ottiene per campionamento di un’opportuno segnale sinusoidale analogico. Infatti, detto T l’intervallo di campionamento, e trascurando l’inessenziale fattore d’ampiezza, si
ha,
t=nT
exp ( jω0 n ) = exp (jΩ0 t )Ω T=ω
0
0
Notiamo che, anche fissato T, la relazione ω0 = Ω0 T non determina una ed una sola frequenza radiante ω0. Infatti la natura discreta della variabile indipendente n determina la cosiddetta proprietà di indistinguibilità di
sequenze sinusoidali le cui frequenze radianti differiscono di multipli di 2π, i.e. per ω0 = ω0 + 2kπ, comunque
sia k intero, si ha
exp jω0 n = exp ( jω0 n ) · exp (j2kπ n ) = exp ( jω0 n )
1
Quindi, con riferimento alla rappresentazione di sequenze sinusoidali mediante campionamento di segnali
sinusoidali analogici, è corretto scrivere che la frequenza radiante è determinata dalla relazione ω0 = ( Ω0 T
mod 2π ).
In altri termini, le sequenze sinusoidali sono definite nella loro interezza limitando la frequenza radiante
ω0 a variare nell’intervallo [− π, π ], tenendo presente che gli estremi dell’intervallo coincidono modulo 2π.
Quando sarà più conveniente, considereremo invece l’intervallo [0, 2π ].
Di rilevanza è l’osservazione che non tutte le sequenze sinusoidali sono periodiche. Infatti, affinchè una
sequenza sinusoidale risulti periodica, diciamo modulo N, deve necessariamente risultare
exp jω0 ( n + N ) = exp ( jω0 n )
che equivale alla condizione exp ( jω0N ) = 1, ossia, con k intero,
ω0 N = 2kπ =⇒ ω0 = 2π
k
N
(1.14)
Fissato il periodo N, se e solo se la frequenza radiante ω0 soddisfa la (1.14) allora la sequenza sinusoidale è
periodica modulo N. In tal caso, per la proprietà di indistinguibilità, esistono solo N sequenze sinusoidali
periodiche modulo N, con frequenze radianti date dalla (1.14) per k = 0, 1, · · · , N − 1.
Un esempio per N = 8 è riportato in Fig.1.22. Ricordando che (− k mod N ) = N −k, la proprietà di simmetria
coniugata tra sequenze sinusoidali aventi stesse frequenze 2πk/N, ma con segno opposto, si scrive
2π
2π
exp j
k n = exp − j ( N − k ) n
N
N
Osserviamo, inoltre, che le sequenze per k = 0 e k ≥ N/2 assumono valori puramente reali.
32
CAPITOLO 1. SEGNALI E SEQUENZE
2π
k n periodiche modulo N = 8.
Figura 1.22: Sequenze sinuosidali exp j
N
1.11. SEQUENZE SINUSOIDALI
1.11.1
33
Sulla Potenza Incrociata di Sequenze Sinusoidali
P ROPRIET Á 1.3 La potenza incrociata tra le sequenze sinusoidali complesse x1 [ n ] = e jω1 n e x2 [ n ] = e jω2 n è nulla per
ω1 = ω2:
N
1
= 0 ∑ x1 [ n ] x2 [ n ]
Px1 x2 = A { x1 [ n ] x2 [ n ]} = lim
N →∞ 2N + 1
n=− N
Dim.: posto Δω = ω1 −ω2 , dalla definizione di potenza incrociata abbiamo:
N
1
e jΔω n
∑
N →∞ 2N + 1 n=− N
La chiusura della somma costituisce un risultato notevole e si effettua come segue:
Px1 x2 = lim
N
∑
n=− N
e jΔω =
2N
∑
m=0
e jΔω (m− N ) = e− jΔωN
2N
1 − e j(2N +1)Δω
e jΔω m = e− jΔωN ·
1 − e jΔω
m=0
∑
Moltiplicando e dividendo il numeratore per e j(2N +1)Δω/2 e il denominatore per e jΔω/2 , si ottiene
N
∑
n=− N
e jΔω = e− jΔωN ·
e j(2N +1)Δω/2 e− j(2N +1)Δω/2 − e j(2N +1)Δω/2
sin(2N + 1)Δω/2
·
=
sin Δω/2
e jΔω/2
e− jΔω/2 − e jΔω/2
La potenza incrociata risulta quindi
P x1 x2
in quanto, per Δω = 0, il termine
mentre si ha
⎧
⎨ 1
1
sin(2N + 1)Δω/2
= lim
=
⎩
sin Δω/2
N →∞ 2N + 1
0
per Δω = 0
per Δω = 0
sin(2N + 1)Δω/2
si mantiene sempre limitato, risultando in modulo minore di 1/| sin Δω/2|,
sin Δω/2
lim
Δω →0
sin(2N + 1)Δω/2
= 2N + 1
sin Δω/2
Le considerazioni fatte nel paragrafo 1.10.2 per i segnali sinusoidali tempo continuo valgono anche per le
sequenze sinusoidali, e non saranno ripetute.
1.11.2
Funzione di Autocorrelazione di Sequenze Sinusoidali
Direttamente dalla definizione abbiamo:
A e jω0 n · e− jω0 (n−m) = e jω0 m
def
def
Per le sequenze sinusoidali reali, posto c [ n ] = cos (ω0n ) e s [ n ] = sin (ω0n ):
Rc [ m ] = Rs [ m ] =
1
cos (ω0 m )
2
;
R sc [ m ] =
1
sin (ω0m )
2
34
CAPITOLO 1. SEGNALI E SEQUENZE
1.12
Segnali in Senso Limite: L’Impulso Matematico
L’impulso matematico o impulso di Dirac, denotato con il simbolo δ ( t),1.16 non è una funzione nel senso ordinario del termine. Esso è definito considerando le proprietà integrali di certe successioni di funzioni che non
convergono a una funzione continua.
Pur tuttavia, nella comunità degli ingegneri, è usuale utilizzare l’impulso matematico come una funzione in senso generalizzato, al fine di manipolare formalmente espressioni che coinvolgono l’impulso δ ( t), congiuntamente a funzioni nel senso ordinario del termine, mediante esplicita o implicita applicazione delle sue
proprietà integrali.
Nel senso generalizzato che qui interessa, la definizione dell’impulso matematico può ricondursi all’analisi
della convergenza di una successione di particolari funzioni f n ( t ) (detta anche δ-successione), caratterizzate
dalla seguente proprietà integrale
t2
x( t ) per t ∈ ( t1, t2 )
lim
x( ϑ ) f n( ϑ − t ) dϑ =
(1.15)
n →∞ t 1
0
per t ∈ ( t1, t2 )
scrivendo, formalmente,
lim f n ( t ) = δ ( t)
(1.16)
n →∞
e ancora
t2
t1
x( ϑ ) δ(ϑ − t ) dϑ =
x( t ) per t ∈ ( t1, t2 )
(1.17)
per t ∈ ( t1, t2 )
0
Dim.: consideriamo la δ-successione fn (t) = rect(nt/T ) formata da impulsi rettangolari per la quale la dimostrazione non è particolarmente difficile. Considerando lo sviluppo del segnale x(t) in serie di Taylor intorno a un generico t = t0 , i.e. fino al primo ordine
def
x(t) x (t0 ) + x (t0 )·(t − t0 ), e posto Tn = T/n, abbiamo:
1
Tn
+
∞
x(ϑ) rect
−∞
ϑ − t0
Tn
dϑ 1
Tn
t0 +
Tn /2
1
Tn
x(t0 ) dϑ +
t0 −Tn /2
t0 +
Tn /2
x (t0 ) (ϑ − t0 ) dϑ
t0 −Tn /2
zero: integrando simm. dispari intorno a ϑ = t0
= x(t0 )
(non dipende da n!)
Poichè il contributo dei termini superiore al primo nello sviluppo in serie di Taylor svanisce nel limite per Tn → 0, equivalente al limite
per n → +∞, abbiamo:
+∞
ϑ − t0
1
x(ϑ) · rect
dϑ = x(t0 )
lim
Tn →0 Tn −∞
Tn
Poichè t0 è scelto arbitrariamente in (−∞, +∞), resta dimostrata la (1.15).
Osserviamo che la valenza della (1.17) è meramente di natura formale, e in essa il ruolo giocato da δ ( t ) è quello
di una funzione in senso generalizzato. In realtà, la (1.17) esprime in modo compatto la proprietà integrale
(1.15). Questo fatto può assumersi come regola fondamentale di utilizzo del simbolo δ ( t ) nella valutazione di
espressioni che lo contengono, riassunta appresso.
Utilizzo dell’Impulso Matematico
Considerata un’espressione nella quale appare l’impulso matematico:
1. si sostituisce al simbolo δ ( t) il generico membro f n ( t ) di una δ-successione;
2. si esegue la valutazione dell’espressione considerata, resa possibile poichè quest’ultima ora coinvolge
solo funzioni nel senso ordinario del termine;
3. detto rn il risultato, in generale dipendente dall’indice n, della valutazione dell’espressione considerata,
si esegue l’operazione lim rn .
n →∞
1.16 Alcuni
autori utilizzano per l’impulso matematico il simbolo u0 (t) per richiamare i legami integro-differenziali con il gradino
matematico u1 (t) (cfr. par.1.12.1) e i suoi integrali (rampa u2 (t), rampa parabolica u3 (t), etc..)
1.12. SEGNALI IN SENSO LIMITE: L’IMPULSO MATEMATICO
35
Posto Tn = T/n, in Fig.1.23 troviamo l’andamento per Tn → 0 di alcuni membri della δ-successione degli
impulsi rettangolari f n ( t ) = rect( t/Tn) /Tn. Vediamo che il comportamento asintotico dell’impulso matematico
è quello di una funzione che, pur mantenendo costante l’area sottesa, assume valore nullo ovunque tranne che
nell’origine, dove diverge all’infinito. Per questo, come simbolo grafico dell’impulso matematico si adotta
universalmente una freccia; per differenziare impulsi di area differente, si utilizzano frecce con lunghezze
proporzionali alle aree stesse.
d(t)
æ t ö
1
rectç ÷ per Tn ® 0
Tn
è Tn ø
area 1
1
Tn
-
0
Tn
2
t
Tn
2
Figura 1.23: Generazione dell’impulso matematico
Nella Tab.1.4 1.17 troviamo alcuni esempi notevoli di δ-successioni per le quali non è particolarmente difficile
la dimostrazione della proprietà integrale (1.15).
1
rect
Tn
1
tri
Tn
1
sinc
Tn
1
sinck
Tn
t
Tn
t
Tn
t
2Tn
t
Tn
t2
1
exp −π 2
Tn
Tn
2
πTn2
Tn2 − t2
1 Tn
π Tn2 + t2
, ∀k ∈ N +
def
Tabella 1.4: Alcune δ-successioni (Tn = T/n, n ∈ N + ).
Dalla definizione, e come si può anche osservare in Fig.1.23, l’impulso matematico gode della proprietà di
simmetria intorno all’origine δ ( t ) = δ(− t), e considerando t1 = − ∞ e t2 = + ∞ nella (1.17), possiamo scrivere la
più importante delle sue proprietà, largamente impiegata nel seguito e, più in generale, nelle varie applicazioni
dell’Ingegneria dell’Informazione e delle Comunicazioni:
Sviluppo di un Segnale nella Somma Integrale di Impulsi Matematici (Integrale di Duhamel)
+∞
−∞
x( ϑ ) δ (t − ϑ ) dϑ = x( t )
=⇒
( x ∗ δ )(t) = x( t )
(1.18)
Notiamo che la (1.18) illustra la capacità di “ricopiare” il segnale x( t ) mediante l’impulso matematico che
agisce come un “pennello” ideale sotto l’operatore di convoluzione. Infatti la (1.18) costituisce la prova dell’esistenza dell’elemento neutro dell’operatore di convoluzione.
Citiamo anche la notevole proprietà del cambiamento di scala:
1
t
·δ
= δ ( t)
| a|
a
Dim.: posto Tn = |a|Tn , abbiamo
t
t
t
t
1
1
1
1
1
δ
=
lim
rect
= lim
rect
= lim rect
= δ(t)
| a|
a
|a| Tn →0 Tn
aTn
Tn →0 |a| · Tn
|a| · Tn
Tn
Tn →0 Tn
1.17 Per
le δ-successioni riportate nella Tab.1.4, si può sostituire il lim con il lim .
n →∞
Tn →0
36
1.12.1
CAPITOLO 1. SEGNALI E SEQUENZE
Il Gradino Unitario
Ponendo, per semplicità, T = Tn , e integrando il generico membro della δ-successione f T ( t ) = rect ( t/T )/T si
ottiene la funzione (cfr. anche la Fig.1.24):
FT ( t ) =
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
0
− ∞ < t < − T/2
per
t/T + 1/2 per
1
− T/2 < t < T/2
(1.19)
T/2 < t < + ∞
per
Il lim FT ( t ) definisce una funzione, discontinua nell’origine, riferita comunemente come Gradino Unitario:
T →0
0 per
u ( t ) = lim FT ( t ) =
T →0
−∞ < t < 0
(1.20)
0 < t < +∞
1 per
u(t)
1
FT (t )
t
-T 2
T 2
Figura 1.24: Sulla definizione del gradino unitario.
Nel senso generalizzato sopra descritto, possiamo anche scrivere il gradino unitario come integrale dell’impulso matematico e l’impulso matematico come derivata del gradino unitario:
u ( t) =
t
−∞
δ ( ϑ ) dϑ
δ ( t) =
;
d
u ( t)
dt
(1.21)
La considerazione di ogni altra δ-successione porta alle stesse conclusioni.
Notiamo che dalla definizione (1.19), si ha sempre FT (t)| t=0 = 1/2 anche nel limite per T → 0 (cfr. la Fig.1.24), per cui
la discontinuità del gradino nell’origine si può congruemente eliminare ponendo u(0) = 1/2. Allora, l’interpretazione
della proprietà (1.18), i.e. la capacità di ideale “ricopiatura” dell’impulso matematico (u ∗ δ)(t ) = u (t) necessita di qualche
precisazione quando si considera il valore t = 0. In tal caso, considerando la δ-successione di rettangoli, congruentemente
con quanto detto in precedenza circa l’andamento della generica funzione FT (t) di Fig.1.24 possiamo scrivere:
⎡
⎤
+∞
−∞
1
T →0 T
u(ϑ )δ(ϑ ) dϑ = lim
⎢ 0
⎥
T/2
⎢
⎥
⎢
⎥
u
(
ϑ
)
rect
(
ϑ
)
dϑ
+
u
(
ϑ
)
rect
(
ϑ
)
dϑ
T
T
⎢ −T/2
⎥
0
⎣
⎦
T
2
1
=
2
·lim t→0− u(t)
!
T
2
·lim t→0+ u(t)
1
lim u(t)+ lim u(t) =
2
t→0−
t→ 0 +
Tale risultato espresso come semisomma dei limiti da sinistra e da destra si mantiene anche per un generico segnale
x(t), discontinuo nel generico istante t0 , ma con limiti da sinistra e da destra finiti, e la definizione della proprietà di
ricopiatura dell’impulso matematico si completa nel modo seguente:
"
#
%
1
1$ −
x t0 + x t+
(x ∗ δ)(t0 ) =
lim x(t) + lim x(t) =
0
−
+
2 t→t0
2
t→t0
1.12. SEGNALI IN SENSO LIMITE: L’IMPULSO MATEMATICO
1.12.2
37
Derivate dell’Impulso Matematico
Analogamente a quanto visto per il gradino unitario, derivando il generico membro di una δ-successione si
ottiene il membro di un’altra successione di funzioni che, in questo caso, non converge a una funzione nel senso
ordinario del termine. La derivazione di una generica δ-successione genera il cosiddetto doppietto matematico
(si pensi a cosa accade quando si deriva la successione degli impulsi rettangolari). In senso generalizzato,
possiamo quindi definire la derivata dell’impulso matematico δ(1) ( t ) come quell’ente matematico che gode
della seguente proprietà integrale:
d
( x ∗ δ(1) )( t) = x( t )
dt
Più in generale, per le derivate di ordine superiore:
( x ∗ δ(n) )( t) =
1.12.3
dn
x( t )
dtn
Treno di Impulsi Matematici
Consideriamo la seguente somma finita:
1
T
M
2π
∑ exp − j T mt
m=− M
π
1 sin(2M + 1) T t
=
π
T
sin t
T
(1.22)
L’andamento della funzione risultante, periodica modulo T, è riportato in Fig.1.25.
Figura 1.25: Sulla definizione del treno di impulsi matematici.
Essa gode della seguente proprietà, indipendente dal numero 2M + 1 di termini:
1
T
T/2
−T/2
π
sin(2M + 1) t
T dt = 1
π
T
sin t
T
M
∑
m=− M
T/2
−T/2
M
2π
exp − j mt dt = ∑ sinc( m ) = 1
T
m=− M
(1.23)
L’ultima uguaglianza deriva dalla sopravvivenza del solo termine m = 0 nell’ultima somma, gli altri termini
per m = 0 sono tutti nulli.
Dalla (1.23) segue che in ciascun intervallo (− T/2 + nT, T/2 + nT ), per n intero, la funzione (1.22) è membro di una δ-successione che definisce un impulso matematico nel limite per M → ∞, e possiamo scrivere
formalmente la seguente espressione che definisce un treno di impulsi matematici spaziati T:
1
lim
M →∞ T
M
2π
∑ exp − j T mt
m=− M
π
+∞
1 sin(2M + 1) T t
= lim
=
∑ δ ( t − nT )
π
M →∞ T
n=−∞
sin t
T
38
CAPITOLO 1. SEGNALI E SEQUENZE
1.13
Esercizi Svolti
Esercizio 1.13.1.
• Verificare la linearità della trasformazione y[n] = x [nM], con M intero positivo.
• Verificare l’invarianza rispetto alle traslazioni della trasformazione y[n] = x[ nM], con M intero positivo.
Soluzione: posto y1 [n] = x1 [nM], e y2 [n] = x2 [nM] la risposta al segnale α1 x1 [n] + α2 x2 [n] si scrive
T {α1 x1 [n] + α2 x2 [n]} = α1 x1 [nM] + α2 x2 [nM] = α1 y1 [n] + α2 y2 [n]
y1 [n]
y2 [n]
La trasformazione è lineare.
Proseguendo nella soluzione, per M = 1 la trasformazione collassa nell’identità y[n] = x[n], sicuramente invariante alle traslazioni. Per
def
M > 1, la risposta al segnale xn0 [n] = x[n− n0 ] si scrive:
T xn0 [n] = xn0 [nM] = x[nM − n0 ]
L’uscita y[n] = x[nM ] traslata di n0 si scrive:
y[n − n0 ] = x[(n − n0 )M] = x[nM − n0 M]
e risulta evidentemente
y[n − n0 ] = T xn0 [n]
La trasformazione è invariante alle traslazioni per M = 1, non lo è per M > 1.
1.14. ESERCIZI
1.14
39
Esercizi
1. Data le sequenze
x[ n ] = a · δ [ n + 1 ] + b · δ [ n − 1 ]
y [ n ] = α · δ [ n ] + β · δ [ n − 2]
calcolare i valori R x y [− 1], R xy [0], R xy [1], rendendo in forma grafica i vari passi necessari per il calcolo.
Determinare l’insieme dei valori del ritardo m per i quali risulta R xy [ m ] = 0.
Ripetere considerando le convoluzioni in luogo delle correlazioni.
2. Calcolare la funzione di autocorrelazione dei segnali
x( t ) =
K
∑ Ak e jϕk · e jΩk t
k=1
c ( t ) = {x( t )}
s ( t ) = {x( t )}
Calcolare, inoltre, la funzione di correlazione incrociata R sc ( τ ).
Mutatis mutandis, ripetere l’esercizio considerendo il caso di sequenze sinusoidali.
3. Disegnare la derivata ∂x( t ) /∂t dei seguenti segnali:
x1 ( t ) = rect ( t )
x2 ( t ) = rect ( t + 1/2) − rect ( t − 1/2)
x3 ( t ) = rect ( t − 1) − rect ( t + 1)
4. Disegnare l’integrale
t
−∞
x( ϑ ) dϑ dei seguenti segnali:
x1 ( t ) = rect ( t )
x2 ( t ) = rect ( t + 1/2) − rect ( t − 1/2)
x3 ( t ) = δ ( t − 1) − δ ( t + 1)
x4 ( t ) =
+∞
∑ ak · δ ( t − kT )
k=0