Buca di altezza finita e cenno ai gradini di potenziale

Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
La buca di potenziale di
altezza finita
e altri problemi di
trasmissione e riflessione
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
1
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Buca di potenziale finita: caso classico
V
v
V(x) = –V0 per a > x > –a
V(x) = 0 per |x| > a
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
v
Non è permessa, in particolare, la riproduzione
anche parziale
x
della presente opera.
–V0
Per l’autorizzazione a riprodurre
in0 parte oain tutto la presente
–a
opera è richiesto il permesso
scritto dell’autore (E. Silva)
Classicamente:
– momento p qualunque (può avere qualunque velocità)
– posizione x
– energia totale pari a E = p2/2m–V0 (nella buca) o E = p2/2m (fuori dalla buca).
All’interno della buca:
– se –V0 < E < 0: come nella buca infinita, particella confinata nella scatola.
– Se E = –V0 la particella è in quiete.
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La fdo
ψ(x) = 0,
|x| ≥ a
Perché non è proibito
trovare la particella fuori
dalla buca (!buca infinita)
V(x) = –V per a > x > –a
0
V(x) = 0 per |x| > a
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non
permessa,
in diffusione,
particolare, la riproduzione
parziale
E > 0: statianche
di diffusione;
Stati èlegati
o stati di
della presente
opera.
0 > E > –V0 : stati legati.
a seconda del valore dell’energia
E
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
Autofunzioni:
(separatamente
nellescritto
varie regioni)
operarisolvere
è richiesto
il permesso
dell’autore (E. Silva)
l’equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo:
con le seguenti condizioni per le soluzioni:
1– ! deve essere continua nei punti di discontinuità dell’energia potenziale;
se non lo fosse, in quei punti la densità di probabilità sarebbe indeterminata.
2– d!/dx deve essere continua nei punti di discontinuità dell’energia potenziale;
se non lo fosse, avrei delle divergenze nell’eq. di Schr., nel termine:
3
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Stati legati
V(x) = –V0 per a > x > –a
V(x) = 0 per |x| > a
legati:
0 > E >intellettuale
–V0
Enricostati
Silva
- proprietà
non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente
x < –a
x>a
|x| < aopera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
dove l, ! sono reali (verificare).
4
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Stati legati: x < –a
V(x) = –V per a > x > –a
0
V(x) = 0 per |x| > a
stati legati: 0 > E > –V0
x < –a Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Soluzione
generale anche
(verificate):
Non è permessa, in particolare,
la riproduzione
parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
diverge per x -> !"
x < –a :
5
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Stati legati: x > a
V(x) = –V per a > x > –a
0
V(x) = 0 per |x| > a
stati legati: 0 > E > –V0
x > a Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Soluzione
generale anche
(verificate):
Non è permessa, in particolare,
la riproduzione
parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
diverge per x -> +!
x>a :
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Stati legati: –a < x < a
V(x) = –V per a > x > –a
0
V(x) = 0 per |x| > a
stati legati: 0 > E > –V0
Enrico
Silva - proprietà intellettuale non ceduta
|x| <
a
Soluzione
generale anche
(verificate):
Non è permessa, in particolare,
la riproduzione
parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Stati legati: spettro delle energie
V(x) = –V per a > x > –a
0
V(x) = 0 per |x| > a
stati legati: 0 > E > –V0
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
x <Non
–a è permessa, in particolare,
x>a
|x| la
< ariproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Uguagliando in –a e in a le funzioni trovate e le loro derivate,
ottengo equazioni trascendenti fra i coefficienti l e !.
per corrispondenti autofunzioni pari (C=0)
per corrispondenti autofunzioni dispari (D=0)
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Stati legati: spettro delle energie
V(x) = –V per a > x > –a
0
V(x) = 0 per |x| > a
stati legati: 0 > E > –V0
Enrico
- proprietà
intellettuale
perSilva
corrispondenti
autofunzioni
pari (C=0)non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
per corrispondenti autofunzioni dispari (D=0)
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
Si trova che, indipendentemente dalla larghezza e dalla profondità
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
della buca, esiste sempre uno stato legato (ed è pari)
Si noti che le autofunzioni (e quindi la densità di probabilità) si
estendono fuori dai confini della buca: classicamente è inspiegabile.
Questo effetto è particolarmente evidente per energie prossime alla
cima della buca (verificate con i simulatori).
Simulazioni:
http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/
Sez. 2.3 (Sez. 2.4 nella versione CD)
http://www.falstad.com/qm1d/
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Stati di diffusione
V(x) = –V0 per a > x > –a
V(x) = 0 per |x| > a
di diffusione:
E>0
Enricostati
Silva
- proprietà intellettuale
non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente
x < –a
x>a
|x| < aopera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
dove l, k sono reali (verificare).
Attenzione: E > 0
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Stati di diffusione: –a < x < a
V(x) = –V per a > x > –a
0
V(x) = 0 per |x| > a
E>0
Enrico
Silva - proprietà intellettuale non ceduta
|x| <
a
Soluzione
generale anche
(verificate):
Non è permessa, in particolare,
la riproduzione
parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
dentro la buca:
esattamente come per gli stati legati
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Stati di diffusione: |x| > a
V(x) = –V per a > x > –a
0
V(x) = 0 per |x| > a
E>0
|x| > a Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Soluzione
generale anche
(verificate):
Non è permessa, in particolare,
la riproduzione
parziale
della presente opera.
< –a
Per l’autorizzazione axriprodurre
in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
x>a
avendo supposto che, nella regione
più a destra, non vi sia una
particella proveniente da +!.
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Stati di diffusione: spettro delle energie
V(x) = –V per a > x > –a
0
V(x) = 0 per |x| > a
E>0
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Uguagliando
ora
in
–a
e
in
le funzioniintrovate
le tutto
loro derivate,
ottengo
Per l’autorizzazione aariprodurre
parte oein
la presente
delle equazioni
impongono
delle relazioni
fra i coefficienti
A, B, C, D, F.
opera che
è richiesto
il permesso
scritto dell’autore
(E. Silva)
Non trovo limitazioni sulle energie: spettro continuo, analogamente alla
particella libera.
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Trasmissione e riflessione
E>0
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Una particella
incidente
buca (da sinistra)
con E > 0anche
può essere
trasmessa
Non è permessa,sulla
in particolare,
la riproduzione
parziale
(e questo è il solo possibile della
risultato
classico),
ma può anche essere riflessa.
presente
opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in
x <tutto
–a la presente
Ricordando:
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
x>a
si può calcolare il coefficiente di trasmissione:
e il coefficiente di riflessione:
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Trasmissione e riflessione
Coefficiente di trasmissione
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Si ha T=1 (buca trasparente) per (...)=n!, ovvero:
nota: corrispondono alle energie della buca infinita
Nota: quando la buca è molto profonda T-> 0.
La particella viene riflessa da una buca profonda!!!
Simulazioni:
http://www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/~feindt/schrodinger/example4.htm
(Höhe: altezza; Wellenlänge: lunghezza d’onda; Schärfe: acutezza; Breite: larghezza)
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Il gradino di potenziale
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Gradino di potenziale positivo: caso classico
v
V(x) = V0 per x > 0
V
v
V0
v
V(x) = 0 per x < 0
Enrico Silva - proprietà intellettuale
non ceduta
-v
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
0
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso
scritto dell’autore (E. Silva)
Classicamente:
x
la particella è dotata di momento p qualunque (può avere qualunque
velocità) e posizione x, ha energia totale pari a E = p2/2m.
Se E > V0, la particella procede nella zona x > 0.
Se E < V0, la particella viene riflessa indietro.
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Gradino positivo di potenziale
V
V(x) = V0 per x > 0
V0
V(x) = 0 per x < 0
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
0
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Quantisticamente: ragioniamo sulla fdo.
x
Similmente alla buca di potenziale finita, consideriamo stati di diffusione a
sinistra (particella incidente e riflessa) e a destra (trasmissione).
Supponendo di inviare numerose particelle, possiamo disinteressarci
dell’evoluzione temporale e considerare gli stati stazionari (anche se non
fisici, si potrà comunque costruire un flusso di particelle con essi)
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Gradino positivo
V
V(x) = V0 per x > 0
V0
V(x) = 0 per x < 0
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
0
x Per
< 0 l’autorizzazione a riprodurre
x > in
0 parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
x
Condizioni al contorno:
1– ! continua in 0.
2– d!/dx continua in 0.
Notare: k2!k1, la lunghezza d’onda varia. Controllate con il simulatore.
http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/
(Sez. 2.3 per la versione CD)
Sez. 2.2
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Trasmissione e riflessione
V
Usando le condizioni
al contorno, si ha per la
frazione delle particelle
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
incidenti
che
viene: in particolare, la riproduzione anche parziale
Non è permessa,
della presente opera.
0
!2
!
Per l’autorizzazione
a riprodurre
in
parte
o
in tutto la presente
!
! k1 −
k
|B|2
2!
! il permesso
trasmessa:
riflessa: opera
=
R = è richiesto
scritto dell’autore (E. Silva)
! k1 + k2 !
|A|2
V0
x
Note:
1] T ! |F|2/|A|2: questo sarebbe la trasmissione delle densità di probabilità, mentre noi
dobbiamo imporre che sia R+T = 1 per la corrente di probabilità: nella regione “2” la
velocità è differente dalla regione “1”, in particolare k2/k1 = v2/v1.
2] se E<V0, k2 è immaginario puro, e R = 1. Ciò non vuol dire che |!(x)|2 sia nulla per
x>0: esiste una densità di probabilità non nulla per x>0, ma che decresce
esponenzialmente. Controllate con i simulatori.
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Trasmissione e riflessione
V
V0
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
x
della presente opera.
0
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
Nota: T ! |F|2/|A|2: questo sarebbe la trasmissione delle densità di
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
probabilità, mentre noi dobbiamo imporre che sia R+T = 1 per la corrente
di probabilità: nella regione “2” la velocità è differente dalla regione “1”,
in particolare k2/k1 = v2/v1.
Analogia 1: corrente elettrica, in cui ho la conservazione di j = !Vv, non !V.
Analogia 2: propagazione di un’onda fra due tratti di corda tesa con differenti
masse per unità di lunghezza (e quindi velocità di propagazione differenti)
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Riflessione e trasmissione per un pacchetto d’onde incidente su un
potenziale a gradino:
http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/
(Sez. 1.4 versione CD)
Sez. 1.5
http://www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/~feindt/schrodinger/example4.htm
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione
a riprodurre
parteDaoalta
in tutto
la velocità
presente
Analogia: riflessione
dainuna
a bassa
(da
bassa
densità
ad alta densità):
opera è richiesto
il permesso
scritto
discontinuità
di densità
su dell’autore (E. Silva)
analogo del gradino positivo.
una corda tesa
http://www-classic.uni-graz.at/imawww/vqm/pages/samples/107_06b.html
Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University
http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/reflect/reflect.html
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Gradino di potenziale negativo: caso classico
v
V
v
V(x) = –V0 per x > 0
x
V(x) = 0 per x < 0
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
0
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso
scritto dell’autore (E. Silva)
Classicamente:
–V0
la particella è dotata di momento p qualunque (può avere qualunque
velocità) e posizione x, ha energia totale pari a E = p2/2m.
Se E > 0, la particella procede comunque nella zona x > 0.
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Gradino negativo di potenziale
V
V(x) = –V0 per x > 0
V(x) = 0 per x < 0
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
0
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Quantisticamente: ragioniamo sulla fdo.
x
–V0
Similmente alla buca di potenziale finita, consideriamo stati di diffusione a
sinistra (particella incidente e riflessa) e a destra (trasmissione).
Supponendo di inviare numerose particelle, possiamo disinteressarci
dell’evoluzione temporale e considerare gli stati stazionari (anche se non
fisici, si potrà comunque costruire un flusso di particelle con essi)
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Gradino negativo
V
V(x) = –V0 per x > 0
x
V(x) = 0 per x < 0
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
x Per
< 0 l’autorizzazione a riprodurre
x > in
0 parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
–V0
Condizioni al contorno:
1– ! continua in 0.
2– d!/dx continua in 0.
Notare: k2!k1, la lunghezza d’onda varia. Controllate con il simulatore.
http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/
Sez. 2.2
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Trasmissione e riflessione
V
Usando le condizioni
x
al contorno, si ha per la
frazione delle particelle
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
incidenti
che
viene: in particolare, la riproduzione anche parziale
Non è permessa,
–V0
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
riflessa: opera è richiesto il permesso scritto
trasmessa:
dell’autore (E. Silva)
Ho “particelle riflesse” anche per E > V0
Nota: T ! |F|2/|A|2: questo sarebbe la trasmissione delle densità di probabilità, mentre noi
dobbiamo imporre che sia R+T = 1 per la corrente di probabilità: nella regione “2” la
velocità è differente dalla regione “1”, in particolare k2/k1 = v2/v1.
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Trasmissione e riflessione
V
x
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
–V0
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
Nota: T ! |F|2/|A|2: questo sarebbe la trasmissione delle densità di
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
probabilità, mentre noi dobbiamo imporre che sia R+T = 1 per la corrente
di probabilità: nella regione “2” la velocità è differente dalla regione “1”,
in particolare k2/k1 = v2/v1.
Analogia 1: corrente elettrica, in cui ho la conservazione di j = !Vv, non !V.
Analogia 2: propagazione di un’onda fra due tratti di corda tesa con differenti
masse per unità di lunghezza (e quindi velocità di propagazione differenti)
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Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Riflessione e trasmissione per un pacchetto d’onde incidente su un
potenziale a gradino negativo:
http://www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/~feindt/schrodinger/example4.htm
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
Da bassa ad alta velocità
Analogia:
riflessionescritto
da una
opera è richiesto
il permesso
dell’autore
(E. Silva)
discontinuità di densità su (da alta densità a bassa densità):
analogo di un gradino negativo
una corda tesa
Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University
http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/reflect/reflect.html
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