Insiemi limitati, maggioranti e minoranti, estremi superiori e inferiori

Donatella Candelo 26/07/2010
Insiemi limitati, maggioranti e
minoranti, estremi superiori e
inferiori
Definizione di
• insieme limitato Un insieme numerico A (A ⊆ ℜ) lo diremo
limitato se lo è sia superiormente che inferiormente.
• Insieme limitato superiormente Un insieme numerico A lo
diremo limitato superiormente se ∃ M ∈ ℜ t.c. ∀x ∈ A ⇒ x < M
• Insieme limitato inferiormente Un insieme numerico A lo
diremo limitato inferiormente se ∃ M ∈ ℜ t.c. ∀x ∈ A ⇒ x > M
• Massimo, minimo Sia A un insieme numerico, sia m ∈ A ,
diremo che m è un massimo (minimo) se per ogni x ∈ A si
ha x ≤ m ( x ≥ m ).
• Maggioranti, minoranti Sia A ⊂ ℜ1, m ∈ ℜ, diremo che m è
un maggiorante (minorante) dell ‘insieme numerico A se
per ogni x ∈ A si ha x ≤ m ( x ≥ m ). Un insieme non limitato
superiormente (inferiormente) non può avere maggioranti
(minoranti), e se un insieme è limitato superiormente
(inferiormente) ha infiniti maggioranti (minoranti).
• Estremi superiori ed inferiori Sia A un insieme numerico
limitato superiormente, allora il minimo dei maggioranti
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Ho messo ℜ, ma poteva essere N, Z, Q, C. Ricordiamo infatti che un insieme numerico è un insieme i cui elementi
altro non sono che numeri.
Donatella Candelo 26/07/2010
prende il nome di estremo superiore. Se questo elemento
appartiene all'insieme A esso coincide con il massimo.
Analogamente se A è un insieme numerico limitato
inferiormente, allora il massimo dei minoranti prende il
nome di estremo inferiore. Se questo elemento appartiene
all'insieme A esso coincide con il minimo.