Processo di carica e scarica di un condensatore

Studio sperimentale del processo di carica e scarica di un condensatore
Un po’ di teoria
cos’è un condensatore?
Un condensatore è un sistema di due conduttori affacciati, detti armature, separati da un
isolante. Esso è un dispositivo che serve per immagazzinare energia elettrica nel campo
elettrico che si stabilisce fra le armature. Un condensatore piano è costituito da due lastre
metalliche piane di superficie A, separate da un dielettrico con costante ε, poste ad una
distanza d tra loro e collegate agli estremi di un generatore. La grandezza che caratterizza un
condensatore è la capacità. Si definisce capacità C il rapporto tra quantità di carica Q
deposta sulle sue armature e la differenza di potenziale V tra esse C 
condensatore piano vale C  
Q
. La capacità in un
V
A
. Pertanto
d
essa dipende solo dalle caratteristiche
geometriche del condensatore e dalle
caratteristiche fisiche del mezzo in cui si
trova.
Un condensatore piano si può rappresentare
schematicamente in tal modo:
Nel nostro esperimento abbiamo utilizzato un
condensatore elettrolitico, costituito da due
lamine metalliche avvolte a cilindro, separate da
un sottile strato di ossido, ottenuto tramite un
procedimento elettrolitico. Abbiamo scelto questo
tipo di condensatore perché ha una capacità molto
grande.
1
carica e scarica del condensatore
Consideriamo dal punto di vista temporale il processo di carica di un condensatore. La
carica elettrica che si crea sulle armature quando si sottopone un condensatore a una d.d.p.,
non raggiunge istantaneamente il suo valore massimo Q = CΔV. Questo avviene perché
man mano che la carica si accumula sull’armatura, aumenta la forza di repulsione tra le
cariche e perciò aumenta il lavoro necessario al generatore per accumulare altre cariche. La
legge che esprime il valore della carica in funzione del tempo q(t), durante il processo di

t
RC
carica del condensatore è q(t )  Q(1  e ) , in cui Q indica il valore finale della carica, R la
resistenza elettrica del circuito con il quale il condensatore si carica e C la capacità del
condensatore. Pertanto, il grafico relativo alla legge sarà di tipo esponenziale.
La rapidità con cui la carica del condensatore aumenta dipende dal prodotto RC, che
rappresenta la costante di tempo τ. Dopo un tempo t=RC, il condensatore raggiungerà il
63% della carica totale Q, dopo t=2RC l’86%, dopo t=3RC il 95% e dopo t=4RC il 98%.
Con l’analogo ragionamento, analizzando la fase di scarica si giunge a stabilire che il
valore della carica q rilevabile sulle armature del condensatore dopo un tempo t, è espresso

t
dalla relazione q(t )  Qe RC .
Tenendo presente della proporzionalità diretta tra la carica e il potenziale, un’analoga legge
di tipo esponenziale esprime la variazione della d.d.p. ai capi del condensatore, in funzione
del tempo.
Carica: V (t )  Vo (1  e

t
RC
)
Scarica: V (t )  Vo e

t
RC
E ora mettiamoci all’opera
L’obiettivo del nostro lavoro è stato:
1) Giustificare le leggi suddette utilizzando gli strumenti fisico-matematici e il foglio
elettronico EXCEL.
2) Verificare sperimentalmente il modello.
Per verificare sperimentalmente la legge
di carica e scarica di un condensatore in
funzione del tempo, abbiamo costruito
un circuito usando:
- un condensatore elettrolitico di
capacità C=2200 μF
- una resistenza R= 47 kΩ
- un commutatore
- un generatore di d.d.p. variabile a
scatti da 1V a 12V
- un voltmetro
- un amperometro
2
Con il voltmetro a nostra disposizione abbiamo misurato la f.e.m del generatore trovando un
V0=11V (il valore nominale indicato sullo strumento era di 10V).
Abbiamo scelto quella resistenza e quel condensatore tra il materiale a nostra disposizione
poiché era l’unica combinazione che ci dava una costante di tempo dell’ordine dei minuti e
quindi ci permetteva di effettuare delle misure col cronometro.
1)
Il nostro modello
Consideriamo il circuito in figura.
Sfruttando la legge della maglie, o legge
di Kirchhoff e le definizioni di intensità
di corrente e di capacità:

V  iR  V
C
 0
q

i

t

 C  q

VC

da cui:
q
R  VC
t
CVC
R  VC
1) V0 
t
V0 
Riscriviamo la 1):
VC V0  VC

t
RC
In tal modo mettiamo in evidenza che la rapidità con cui varia VC nel tempo (
VC
è un
t
rapporto incrementale) dipenda dal valore istantaneo di VC e dalla costante di tempo.
All’inizio, quando VC è nullo la rapidità è massima; man mano che VC si avvicina a V0 essa
diminuisce sempre più. E allo stesso modo la rapidità diminuisce se aumentiamo la costante
di tempo RC.
Ponendo:
VC  V1
VC  V2  V1
Possiamo leggere la 1) come una relazione fra V1=d.d.p. in un istante t1 e V2=d.d.p.
nell’istante successivo t2=t1+Δt
Allora:
V0 
(V2  V1 )
RC  V1
t
Da cui, infine:
V2  V0
t
t
 V1 (1 
)
RC
RC
3
Scegliendo opportunamente un Δt molto piccolo (1s), abbiamo costruito in un foglio
EXCEL, con un procedimento iterativo, il grafico del potenziale in funzione del tempo V(t),
riconoscendo in esso un andamento esponenziale, proprio come suggeriva la bibliografia:
infatti il potenziale in funzione del tempo segue la relazione V (t )  Vo (1  e
V
12

t
RC
).
V(t) - Modello
10
8
6
4
2
0
0
200
400
600
800
1000
1200
t
Riportiamo, di seguito, i passaggi del procedimento iterativo seguito per costruire il grafico:
2) Una prima verifica sperimentale
Una volta trovato il
modello del nostro caso
ideale, abbiamo proceduto
con le misure sperimentali.
Innanzitutto
abbiamo
inserito nel circuito un
voltmetro in parallelo ai
capi del condensatore.
4
In base alla nostra costante di tempo τ= RC= 103,4s, ci aspettavamo che il potenziale VC del
condensatore raggiungesse il 98% del valore V0 in 4τ=416,6s.
Quindi, abbiamo effettuato le misurazioni e confrontando il grafico derivante da tali dati
sperimentali, con quello del modello ideale, siamo rimasti delusi:
CARICA/SCARICA: Confronto Modello Ideale - Misurazioni Reali
12
V [V]
10
8
Modello Ideale
6
Dati Sperimentali
4
2
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400 t [s]
Il grafico ottenuto della variazione del potenziale in funzione del tempo V(t) discordava dal
grafico ideale che ci saremmo aspettati: nel nostro caso veniva raggiunto un potenziale
minore, in tempi minori. Tuttavia l'andamento del grafico sembrava esponenziale, come ci
saremmo aspettati.
Per verificarlo, abbiamo preso in considerazione il processo di scarica. Dalla bibliografia ci

t
RC
aspettavamo che V (t )  Vo e .
Calcolando il logaritmo di primo e secondo membro della formula , abbiamo ricavato che
ln V  ln V0 
m
t
. L'andamento di ln V in funzione di t è una retta di coefficiente angolare
RC
1
. Mettendo in ordinata il logaritmo dei valori sperimentali di VC e in ascissa il
RC
tempo t, abbiamo ottenuto una retta, confermando l’andamento esponenziale del grafico dei
nostri dati:
2
1,5
1
Ln(V) in funzione di t
0,5
Lineare (Ln(V) in funzione di t)
0
-0,5
-1
0
50
100
150
200
y = -0,0228x + 1,4137
R2 = 0,9996
-1,5
-2
-2,5
-3
Il valore del coefficiente angolare del grafico ci fornisce la nostra costante di tempo
τ=RC=44s.
5
Pertanto, le nostre misure confermano il tipo di legge, ma non i valori dei parametri:
1) il valore massimo del potenziale; 2) la costante di tempo.
Correggiamo il modello
1) Il valore massimo del potenziale
Abbiamo subito ipotizzato che il valore del potenziale dipendesse dalla presenza del
voltmetro: l’inserimento del voltmetro introduce sempre un errore sistematico.
Allora abbiamo inserito un amperometro in serie nella maglia del generatore, per verificarlo:
terminato il processo di carica del condensatore, il passaggio di corrente sarebbe dovuto
risultare nullo, poiché un condensatore carico si comporta come un circuito aperto ed un
voltmetro ideale dovrebbe possedere resistenza infinita.
La nostra ipotesi si è dimostrata fondata. Infatti, la corrente che fluiva all’inizio del processo
di carica era ii=0,000200 A e alla fine era if=0,000135 A: cioè la resistenza interna RV del
voltmetro non è sufficientemente grande rispetto alle nostra R, cosicché la corrente che
passa per il voltmetro non è irrilevante.
A regime, cioè a condensatore caricato, la corrente if scorre attraverso una resistenza
Req=R+RV , che per la prima legge di Ohm è data da Req= V0/if=81,481 kΩ. Assumendo per
R il valore nominale di 47kΩ si ottiene RV=34,481kΩ.
Abbiamo potuto anche capire il motivo per cui il potenziale raggiunto dal condensatore non
tocca gli 11 V erogati dal generatore, ma si ferma intorno ai 4,6 V. Infatti, essendo il
condensatore e il voltmetro collegati in parallelo, la differenza di potenziale ai capi dei due è
la medesima, perciò il potenziale del condensatore VC è uguale al prodotto di intensità di
corrente if e della resistenza del voltmetro RV, VC= if RV=4,65V. Esattamente il valore che
corrisponde alla partizione di V0=11V tra i 47 kΩ di R e i 34, 481 kΩ di RV.
In un voltmetro ideale la resistenza interna dovrebbe essere infinita, nel nostro caso era
addirittura più piccola della R del circuito!
6
2) La costante di tempo
Riscrivendo le leggi di Kirchhoff, ma conoscendo ora la resistenza interna del voltmetro Rv
abbiamo ottenuto:
V0  iR  VC


VC  iV RV


i  iC  iV

q
V
q
V
 C 
 iC  C C
C 

VC
t Ct
t
In cui iC è la corrente che attraversa il condensatore e iV è quella che attraversa il voltmetro.
Ripetendo il procedimento svolto per il caso ideale abbiamo trovato:
V2  V0
t
R  RV t
)
 V1 (1 
RC
RRV C
Abbiamo, quindi, costruito il grafico di V(t) usando un foglio Excel e l’abbiamo confrontato
con il grafico dei nostri dati. Il risultato è stato soddisfacente:
PROCESSO DI CARICA: Confronto Dati Sperimentali - Modello Corretto
V [V] 5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
Modello Caso Reale
Dati Sperimentali
0
100
200
300
400
500
t [s]
Variando il valore della resistenza interna del voltmetro nel modello abbiamo potuto vedere
come al crescere di Rv, varia il valore massimo del potenziale raggiunto e la costante di
tempo. Affinchè la presenza del voltmetro non influenzasse le misure, doveva essere
Rv=100R, come si vede nella simulazione con 4700000:
7
Facciamo un’ulteriore indagine:
la misura della carica
Per trovare la variazione della carica in funzione del tempo abbiamo prima dovuto misurare
la variazione dell'intensità di corrente in funzione del tempo, inserendo un amperometro
nella maglia del condensatore, come in figura.
Prendendo in considerazione il processo di carica, abbiamo effettuato una serie di
misurazioni e le abbiamo inserite in un grafico.
8
Intensità di corrente in funzione del
tempo - Dati sperimentali
I[A] 0,00025
0,0002
0,00015
i(t)
0,0001
0,00005
0
0
50
100
150
200
250
300
t[s]
Dal grafico ottenuto dell’intensità di corrente che fluisce nel condensatore nel tempo i(t),
abbiamo potuto calcolare la quantità di carica che si accumulava su ciascuna armatura del
condensatore nei successivi intervalli Δt. La quantità di carica q accumulata in un intervallo
Δt è uguale all’area del trapeziode sotteso dalla curva e con base Δt.
Approssimando l’area a quella di un
trapezio ci è stato possibile calcolare Δq

applicando la formula
t
(i1  i2 ) .
2
Sommando le aree dei trapezi a partire
dal primo intervallo fino all’i-simo
otteniamo la carica accumulata nel
tempo ti. Abbiamo cosi ottenuto
l’andamento della carica in funzione del
tempo. Abbiamo infine inserito i valori ottenuti di q(t) in un grafico ottenendo l’andamento
esponenziale previsto dalla relazione q(t )  Q(1  e

t
RC
).
Carica in funzione del tempo
Q [C] 0,01
0,008
0,006
q(t)
0,004
0,002
0
0
100
200
300
t [s]
9
Abbiamo confrontato il valore finale della carica raggiunta secondo le nostre misurazioni,
con il valore Q che avrebbe dovuto raggiungere teoricamente secondo la relazione Q=CV: i
nostri 0,00843 C rispetto al valore teorico di Q=0,01023 C rivelano un errore del 15% .
Non abbiamo ritenuto opportuno ripetere le misure perché l’amperometro a nostra
disposizione, in queste misure, era stato usato al limite della sua sensibilità.
Ed ora le nostre impressioni…
Il lavoro svolto ha suscitato in noi impressioni molto positive
- Innanzitutto si è trattato di un’esperienza oltre l’ordinario esperimento didattico
perché non abbiamo semplicemente confermato in laboratorio conoscenze apprese
sui banchi, ma abbiamo costruito un nostro modello;
- avremmo potuto usare i sistemi computerizzati per la misura del potenziale, di cui la
nostra scuola dispone, usando un circuito con una resistenza molto più piccola ed
evitando problemi col voltmetro, tuttavia avrebbe fatto tutto il computer e non
sarebbe risultato altrettanto costruttivo quanto è stato avere a che fare con un
circuito vero e proprio e con veri strumenti di misura (e anche con le loro pecche!);
- proprio questa scelta ci ha messi di fronte ad un problema non di poco conto che è
l’errore sistematico dovuto agli strumenti di misura. Metterci in gioco per ovviare
alle discordanze tra pratica e teoria è stata un’esperienza positiva;
- infine, individuare e mettere in atto un modello ci ha avvicinati alle difficoltà di chi
le leggi fisiche le ha scoperte, senza avere termini di raffronto, quale era per noi la
bibliografia. Insomma è stata un’esperienza stimolante ed entusiasmante.
Bibliografia e sitografia
-
Fisica 3, Antonio Caforio, Aldo Ferilli ,Mondadori Education
L’indagine del mondo fisico- Elettromagnetismo, Brgamaschini, Marazzini,
Mazzoni, Carlo Signorelli Editore
-
http://brunog.web.cern.ch/brunog/esp6.pdf
http://www.francescopoli.net/Classe_V_file/guida%20%20carica%20condensato
http://physics.kuniv.edu.kw/phys107/Exp3.pdf
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