I QUADRILATERI

I QUADRILATERI
Il quadrilatero è un poligono formato da quattro angoli e da quattro lati.
Al contrario del triangolo è una figura deformabile, infatti i quadrilateri possono essere intercambiabili fra loro
variandone le proprietà fondamentali.
Il quadrilatero è caratterizzato dalle seguenti PROPRIETA’:
1.
TEOREMA DELLA FORMA - il quadrilatero è una figura deformabile, aumentando la simmetria interna si ottengono
tutti i quadrilateri conosciuti;
2.
TEOREMA DELLE DIAGONALI - il quadrilatero ha due diagonali;
dtot = n(n − 3) : 2 = 4(4 − 3) : 2 = 2
3.
TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI E ESTERNI - la somma degli angoli interni di un quadrilatero è uguale a quella
degli angoli esterni, cioè uguale a un angolo giro, ossia 360°;
SI = (n − 2) ⋅180° = (4 − 2) ⋅180° = 360°
SE = 360°
1.
IL TRAPEZIO
E’ un quadrilatero con 2 lati paralleli.
AH = proiezione del lato obliquo
Le caratteristiche sono:
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•
•
•
2 lati paralleli differenti tra loro (sono detti BASI e si distinguono in maggiore e minore)
2 lati non paralleli differenti tra loro (sono detti LATI OBLIQUI)
2 diagonali differenti tra loro e non perpendicolari
4 angoli differenti tra loro
TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI DEI TRAPEZI: i due angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono supplementari.
 + D̂ = B̂ + Ĉ = 180°
Classificazione: la maggiore simmetria crea una classificazione:
trapezio RETTANGOLO
trapezio ISOSCELE
- un lato è perpendicolare alle basi
(AD)
- i lati obliqui sono congruenti (AD = BC)
- le diagonali sono congruenti (AC = BD)
- gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti
(A = B) e (D = C)
- le proiezioni dei lati obliqui sono congruenti (AH=KB)
PROBLEMI CON IL PERIMETRO DEI TRAPEZI
ES1 : Un trapezio isoscele ha il perimetro di 72 cm e il lati obliqui che misurano ciascuna 12 cm. Sapendo che la base
maggiore è 5 della minore, calcola la misura delle proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore.
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ES2 : Un trapezio rettangolo ha il perimetro di 50 cm e il lato obliquo che misura 20 cm. Sapendo che la base maggiore
supera la minore di 8 cm e che una è 1 dell’altra, calcola l’altezza del trapezio.
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PROBLEMI CON GLI ANGOLI INTERNI DEI TRAPEZI
ES : Calcola la misura degli angoli di un trapezio isoscele sapendo che gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono
uno i 5 dell’altro.
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2.
IL PARALLELOGRAMMA
E’ un quadrilatero con i lati opposti uguali e paralleli.
Le caratteristiche sono:
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AH = altezza del lato DC
AK = altezza del lato CB
2 lati paralleli uguali dette BASI
altri 2 lati paralleli uguali tra loro sono detti LATI OBLIQUI
2 diagonali differenti tra loro e non perpendicolari
angoli opposti uguali
TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI DEI PARALLELOGRAMMI : i due angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari.
 + D̂ = D̂ + Ĉ = B̂ + Ĉ =  + B̂ = 180°
PROBLEMI CON IL PERIMETRO DEI PARALLELOGRAMMI
ES1 : Un parallelogramma ha il perimetro di 96 cm. Sapendo che un lato è 5 del suo consecutivo, calcola la misura dei
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lati del parallelogramma.
PROBLEMI CON GLI ANGOLI INTERNI DEI PARALLELOGRAMMI
ES : Calcola la misura degli angoli interni di un parallelogramma sapendo che gli angoli adiacenti allo stesso lato
obliquo sono uno i 2 dell’altro.
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3.
IL RETTANGOLO
E’ un quadrilatero con i lati opposti uguali e paralleli.
I lati consecutivi sono perpendicolari
Le caratteristiche sono:
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2 lati paralleli e uguali sono detti BASI
2 lati paralleli e uguali sono dette ALTEZZE
2 diagonali uguali tra loro e non perpendicolari
4 angoli uguali di 90°
PROBLEMI CON IL PERIMETRO DEI PARALLELOGRAMMI
ES1 : Un rettangolo ha il perimetro di 36 cm. Sapendo che la base è 5 dell’altezza, calcola la misura dei lati del
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rettangolo.
ES1 : Un rettangolo ha il perimetro di 112 cm. Sapendo che la differenza della base e dell’altezza misura 35 cm, calcola le
dimensioni del rettangolo.
4.
IL ROMBO
E’ un quadrilatero equilatero con gli angoli a due a due opposti uguali .
Le caratteristiche sono:
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•
4 lati uguali a due a due paralleli
2 diagonali differenti, ma perpendicolari
gli angoli opposti uguali
TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI DEI PARALLELOGRAMMI : i due angoli adiacenti allo stesso lato sono supplementari.
 + D̂ = D̂ + Ĉ = B̂ + Ĉ =  + B̂ = 180°
TEOREMA DELLA DIAGONALE MINORE: se gli angoli tagliati dalla diagonale maggiore sono di 60° ciascuno, allora la
diagonale minore è congruente al lato
TEOREMA DELL’ALTEZZA: se il rombo è considerato un parallelogramma allora avrà l’altezza perpendicolare al lato.
PROBLEMI CON GLI ANGOLI INTERNI DEI ROMBI
ES1: Calcola la misura degli angoli interni di un rombo sapendo che gli angoli adiacenti allo stesso lato sono uno i 2
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dell’altro.
ES2: Calcola la misura del perimetro di un rombo avente gli angoli minori da 60° ciascuno e sapendo che la somma della
diagonale maggiore con la diagonale minore è 54 cm e una è 1 dell’altra.
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5.
IL QUADRATO
E’ un quadrilatero equilatero ed equiangolo
Le caratteristiche sono:
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•
•
4 lati uguali
i lati opposti uguali e paralleli
2 diagonali uguali tra loro e perpendicolari
4 angoli uguali di 90°