Riduzione per righe 29/09

Riduzione per righe
29/09
Riassunto
Per risolvere un sistema AX = B, il metodo di Gauss
consiste in applicare una successione di operazioni sulle
righe di
M = ( A | B) ∈ Rm,n+1 .
Il primo passo è di trovare una matrice M ′ ridotta (preferabilmente, a scala). Il numero r delle righe non-nulle
di M ′ non dipende della scelta di operazioni; si chiama
il rango di M, scritto r (M).
Se M ′ = ( A′ | B ′) allora anche A′ sarà ridotta a scala e ci
sono due possibilità:
1. r (A) < r ( A | B). In questo caso ( A′ | B ′) avrà una riga
del tipo 0 · · · 0 | c con c 6= 0, da cui segue che il sistema
è inconsistente.
2. r (A) = r ( A | B). In questo caso, ci sono soluzioni che
dipendono da n−r parametri liberi. Andando avanti con
altre operazioni sulle righe di M ′ , si può sempre trovare una matrice M ′′ totalmente ridotta, da cui si riesce a
scrivere direttamente la soluzione generale del sistema.
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Altri appunti della lezione
Le operazioni sulle righe applicate ad una matrice M =
( A | B) per risolvere il sistema lineare con equazione matriciale AX = B sono:
• scambiare due righe:
r i ←→ r j
• moltiplicare una riga (ma non per zero):
ri ⇝ c ri ,
c 6= 0
• aggiungere un multiplo di una riga ad un altra:
ri ⇝ ri + λ rj ,
i 6= j
• togliere o inserire una riga nulla 0 · · · 0
Se le righe rappresentano equazioni allora le operazioni
possono cambiare la forma del sistema lineare ma non le
sue soluzioni. Per questo motivo, permettiamo la quarta
operazione anche se cambia l’ordine della matrice.
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Una riga di una matrice M si dice non-nulla se possiede almeno un elemento diverso da 0. Il primo elemento diverso
da 0 (da sinistra) si chiama indicatore della riga.
Definizione M si dice ridotta a scala se:
• non ci sono due indicatori nella stessa colonna,
• andando giù da alto in basso, gli indicatori si spostano
da sinistra a destra,
• eventuali righe nulle sono tutte in basso.
Proposizione È possibile trasformare una qualsiasi matrice
M in una ridotta a scala M ′ , mediante una successione
opportuna di operazioni sulle righe.
Il rango di M, scritto r (M), è il numero delle righe nonnulle nella matrice ridotta M ′ . Esempio:


1 1 5 4 2


 0 1 3 3 1
′
,
r (M) = r (M ′) = 3.
M =
 0 0 0 −2 4 
0 0 0 0 0
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Una matrice M ′′ si dice totalmente ridotta se, oltre le tre
condizioni precedenti:
• non ci sono righe nulle,
• tutti gli indicatori sono uguali a 1,
• ogni indicatore è l’unico elemento diverso da zero
nella sua colonna.
Proposizione È possibile trasformare una qualsiasi matrice M in una totalmente ridotta M ′′ . La matrice M ′′ che
risulta dipende solo da M.
Conoscendo M ′′ , è facile scrivere la soluzione generale del
sistema lineare. Esempio: da M ′ sopra, otteniamo


1 0 2 0 3


M ′′ =  0 1 3 0 7  ,
r (M ′′) = 3,
0 0 0 1 −2
rappresenta il sistema


 x1 + 2x3 = 3
x2 + 3x3 = 7


x4 = −2.
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