Teorema Se A ⊂ IR é un sottoinsieme non vuoto e limitato

Teorema Se A ⊂ IR é un sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente, allora esiste
sup A.
Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che esiste certamente qualche x ∈ IR tale che x
non é un maggiorante per A; infatti basta scegliere a ∈ A e considerare ad esempio
x = a.
x = a − 1.
x = a + 1.
nessuna delle precedenti opzioni garantisce che x non limiti superiormente A.
Teorema Se A ⊂ IR é un sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente, allora esiste
sup A.
Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che esiste certamente qualche x ∈ IR tale che x
non é un maggiorante per A; infatti basta scegliere a ∈ A e considerare ad esempio x = a−1.
Sia ora y ∈ IR un maggiorante per A, e consideriamo il punto medio dell’intervallo chiuso
I1 = [x, y], cioè il punto y2 =
x−y
.
2
x+y
.
2
I1
.
2
nessuna delle precedenti
Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che esiste certamente qualche x ∈ IR tale che x
non é un maggiorante per A; infatti basta scegliere a ∈ A e considerare ad esempio x = a−1.
Sia ora y ∈ IR un maggiorante per A, e consideriamo il punto medio dell’intervallo chiuso
x+y
I1 = [x, y], cioè il punto y2 =
. Si hanno due alternative: o y2 limita superiormente A,
2
oppure non lo limita superiormente.
Nel primo caso consideriamo l’intervallo chiuso I2 = [x, y2 ], nel secondo invece prendiamo
I2 = [y2 , y]; in questo modo la scelta di I2 individua un sottointervallo di I1 che ha ancora
la caratteristica che
l’estremo destro non limita superiormente A mentre il sinistro sı̀.
l’ estremo sinistro non limita superiormente A mentre l’estremo destro sı̀.
l’estremo sinistro non limita superiormente A o l’estremo destro sı̀.
l’estremo sinistro limita superiormente A o l’estremo destro non è un maggiorante.
1
Ripetiamo il ragionamento con il punto medio di I2 , e consideriamo come I3 quella, tra
le due metà di I2 , che é ancora caratterizzata dall’avere estremo sinistro che non limita
superiormente A ed estremo destro maggiorante per A.
Proseguendo in questo modo per bisezioni successive costruiamo una successione di intervalli
chiusi incapsulati (In )n tale che :
i) la lunghezza del generico intervallo In é
y−x
;
2n−1
x−y
2n−1
y−x
2n
y+x
2n−1
Ripetiamo il ragionamento con il punto medio di I2 , e consideriamo come I3 quella, tra
le due metà di I2 , che é ancora caratterizzata dall’avere estremo sinistro che non limita
superiormente A ed estremo destro maggiorante per A.
Proseguendo in questo modo per bisezioni successive costruiamo una successione di intervalli
chiusi incapsulati (In )n tale che :
y−x
i) la lunghezza del generico intervallo In é n−1 ;
2
ii) l’estremo sinistro di ciascun intervallo non limita superiormente A, mentre l’estremo destro
ne é un maggorante.
Grazie alla i) possiamo applicare la Proprietà degli Intervalli Incapsulati, e trovare quindi
s ∈ In per ogni n ∈ IN .
A questo punto dimostriamo che s è proprio l’estremo superiore di A.
Cominciamo col provare che s é un maggiorante per A, cioè che
a < s per ogni a ∈ A.
a ≤ s per ogni a ∈ A.
a < s per ogni s ∈ A.
a ≤ s per ogni s ∈ A.
A questo punto dimostriamo che s è proprio l’estremo superiore di A.
Cominciamo col provare che s é un maggiorante per A, cioè che a ≤ s per ogni a ∈ A.
Procediamo per assurdo, supponendo cioè
che per ogni a ∈ A sia a > s.
che per ogni a ∈ A sia a ≥ s.
che esista a ∈ A tale che a > s.
2
che esista a ∈ A tale che a ≥ s.
A questo punto dimostriamo che s è proprio l’estremo superiore di A.
Cominciamo col provare che s é un maggiorante per A, cioè che a ≤ s per ogni a ∈ A.
Procediamo per assurdo, supponendo cioè che esista a ∈ A tale che a > s. Allora in
y−x
corrispondenza a a − s > 0 dovrebbe esistere no ∈ IN tale che no < a − s. ( (Infatti basta
2
y−x
no
cioè che
che 2 >
a−s
y−x
no = log2
)
a−s
y−x
no > log
)
a−s
y−x
no > log2
)
a−s
y−x
no < log2
)
a−s
A questo punto dimostriamo che s è proprio l’estremo superiore di A.
Cominciamo col provare che s é un maggiorante per A, cioè che a ≤ s per ogni a ∈ A.
Procediamo per assurdo, supponendo cioè che esista a ∈ A tale che a > s. Allora in
y−x
corrispondenza a a − s > 0 dovrebbe esistere no ∈ IN tale che no < a − s. ( (Infatti basta
2
y
−
x
y
−
x
che 2no >
cioè che(7) no > log2
)
a−s
a−s
Ora s ∈ Ino +1 (perchè sta in tutti) e quindi a 6∈ Ino +1 (perchè se due punti appartengono
allo stesso intervallo, la loro distanza non può eccedere la lunghezza dell’intervallo), cioè,
ponendo Ino +1 = [ano +1 , bno +1 ],
bno +1 ∈ A
bno +1 < s
bno +1 < a
bno +1 − ano +1 < a − s
Ora s ∈ Ino +1 (perchè sta in tutti) e quindi a 6∈ Ino +1 (perchè se due punti appartengono
allo stesso intervallo, la loro distanza non può eccedere la lunghezza dell’intervallo), cioè,
ponendo Ino +1 = [ano +1 , bno +1 ], bno +1 < a che equivale a dire che bno +1 non è un maggiorante
per A, il che contraddice il criterio di scelta ii).
In conclusione s deve limitare superiormente A.
Passiamo a provare la seconda proprietà del sup, proviamo cioè che
per ogni ε > 0 esiste qualche aε ∈ A tale che aε > s − ε.
esiste ε > 0 tale che esiste qualche aε ∈ A tale che aε > s − ε.
3
per ogni ε > 0 e per ogni a ∈ A risulti a > s − ε.
esiste ε > 0 tale che per ogni a ∈ A risulti a > s − ε.
Passiamo a provare la seconda proprietà del sup, proviamo cioè che per ogni ε > 0 esiste
qualche aε ∈ A tale che aε > s − ε.
Procediamo anche in questo caso per assurdo, cioè supponiamo che
esista ε̄ > 0 tale che per ogni a ∈ A risulti a ≤ s − ε̄.
per ogni ε̄ > 0 e per ogni a ∈ A risulti a ≤ s − ε̄.
esista ε̄ > 0 tale che risulti a ≤ s − ε̄.
esista ε̄ > 0 ed esista a ∈ A risulti a ≤ s − ε̄.
Passiamo a provare la seconda proprietà del sup, proviamo cioè che per ogni ε > 0 esiste
qualche aε ∈ A tale che aε > s − ε.
Procediamo anche in questo caso per assurdo, cioè supponiamo che esista ε̄ > 0 tale che per
ogni a ∈ A risulti a ≤ s − ε̄.
Anche in questo caso esiste no ∈ IN tale che
y−x
< ε̄
2no
y−x
= ε̄
2no
y−x
> ε̄
2no
nessuna delle precedenti
Passiamo a provare la seconda proprietà del sup, proviamo cioè che per ogni ε > 0 esiste
qualche aε ∈ A tale che aε > s − ε.
Procediamo anche in questo caso per assurdo, cioè supponiamo che esista ε̄ > 0 tale che per
ogni a ∈ A risulti a ≤ s − ε̄.
y−x
Anche in questo caso esiste no ∈ IN tale che no < ε̄ e con considerazioni analoghe alle
2
precedenti dovrebbe allora aversi
s − ε̄ < ano +1
ano +1 < s − ε̄
s + ε̄ < ano +1
s − ε̄ ∈ Ino +1
Passiamo a provare la seconda proprietà del sup, proviamo cioè che per ogni ε > 0 esiste
qualche aε ∈ A tale che aε > s − ε.
Procediamo anche in questo caso per assurdo, cioè supponiamo che esista ε̄ > 0 tale che per
ogni a ∈ A risulti a ≤ s − ε̄.
y−x
Anche in questo caso esiste no ∈ IN tale che no < ε̄ e con considerazioni analoghe alle
2
precedenti dovrebbe allora aversi s − ε̄ < ano +1 che è l’estremo sinistro dell’(no + 1)-esimo
intervallo. Dunque a ≤ s − ε̄ < ano +1 per ogni a ∈ A, che significa che
4
ano +1 ∈ A
ano +1 > 0
a ∈ Ino +1
nessuna delle precedenti
Esatto! Infatti significa che ano +1 limita superiormente A, che di nuovo contraddice il criterio
di scelta della i).
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