1. Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore Definizione 1.1

1. Massimo, minimo, estremo superiore e inferiore
Definizione 1.1. Sia A un sottoinsieme non vuoto di IR; un numero M ∈ A tale che
per ogni elemento a ∈ A si ha M ≥ a si chiama massimo di A. Un numero m ∈ A tale
che per ogni elemento a ∈ A si ha m ≤ a si chiama minimo di A.
Osservazione 1.2.
Non tutti gli insiemi hanno massimo (minimo); ad esempio
l’intervallo aperto (0, 1) = {x ∈ IR : 0 < x < 1} non ha né massimo né minimo.
Lo stesso vale per la semiretta (0, +∞).
Osservazione 1.3. Il massimo (minimo) di A, se esiste, è unico. Infatti, se M1 , M2
sono due massimi di A, per definizione, M1 , M2 appartengono ad A e M1 ≥ M2 ≥ M1 ,
ossia M1 = M2 . Analogamente per il minimo.
Definizione 1.4. Sia A un sottoinsieme di IR ; diciamo che Λ ∈ IR è un maggiorante
di A se
a≤Λ
∀a ∈ A;
diciamo che λ ∈ IR è un minorante di A se
a≥λ
∀a ∈ A.
Definizione 1.5. Sia A un sottoinsieme di IR; esso si dirà limitato superiormente
(inferiormente) se ammette un maggiorante (minorante). Un insieme limitato sia superiormente che inferiormente si dirà limitato.
Esempio 1.6. L’insieme dei maggioranti dell’intervallo aperto (0, 1) è
M((0, 1)) = {x ∈ IR : x ≥ 1} = [1, +∞).
Infatti ogni Λ ≥ 1 è evidentemente un maggiorante; mentre se λ ∈ [0, 1), allora λ non è
λ+1
un maggiorante dal momento che λ+1
2 ∈ (0, 1) e
2 > λ . Se poi λ < 0, allora λ < x,
∀ x ∈ (0, 1), e quindi non è un maggiorante. Analogamente si trova che l’insieme dei
minoranti è
m((0, 1)) = {x ∈ IR : x ≤ 0} = (−∞, 0].
Osserviamo che 1 è il minimo dell’insieme dei maggioranti dei maggioranti e 0 il massimo
dei minoranti, ma né 1 né 0 appartengono a (0, 1). D’altra parte se dovessimo scegliere
un numero che gioca il ruolo del massimo e uno che gioca il ruolo del minimo sceglieremmo
proprio 1 e 0, rispettivamente.
La nozione di estremo superiore generalizza quella di più grande elemento dell’insieme, formalizza l’idea del punto dove “termina” l’insieme, e la nozione di estremo inferiore
quella di più piccolo elemento dell’insieme (punto dove “inizia” l’insieme).
Definizione 1.7. Sia A un sottoinsieme non vuoto limitato superiormente. Diremo
estremo superiore, e denoteremo con sup A, il minimo dei maggioranti di A. Analogamente se A è limitato inferiormente, chiameremo estremo inferiore, e denoteremo con
inf A , il massimo dei minoranti di A.
In altre parole, L = sup A se:
(1) L è un maggiorante di A, ossia L ≥ a, ∀a ∈ A;
(2) L è il più piccolo maggiorante di A, ossia ∀λ < L, λ non è un maggiorante : ∃ a ∈
A tale che a > λ.
La condizione (2) equivale a
(3) ∀ε > 0 ∃ a = a(ε) : a > L − ε .
Analogamente, l = inf A se:
(4) l è un minorante di A, ossia l ≤ a, ∀a ∈ A;
(5) l è il più grande minorante di A, ossia ∀λ > l , λ non è un minorante : ∃ a ∈
A tale che a < λ.
La condizione (5) equivale a
(6) ∀ε > 0 ∃ a = a(ε) : a < l + ε .
Osservazione 1.8. Il massimo (minimo) di un insieme, se esiste, è anche estremo
superiore (inferiore).
Teorema 1.9. Sia A un sottoinsieme di IR limitato superiormente (inferiormente).
Allora esiste ed è unico l’estremo superiore (inferiore) di A.
Per dimostrare il Teorema 1.9 utilizzeremo l’assioma di Dedekind:
Assioma di Dedekind. Se A e B sono due sottoinsiemi non vuoti di IR tali che
a≤b
∀a ∈ A, ∀b ∈ B , allora
∃ c ∈ IR : ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, a ≤ c ≤ b.
Si dice che c è un elemento separatore di A e B .
Dimostrazione del Teorema 1.9.
Dimostriamo l’esistenza dell’estremo superiore. Poiché
A è limitato superiormente, l’insieme M(A) dei maggioranti di A è non vuoto, e, per
definizione,
∀a ∈ A, ∀Λ ∈ M(A), a ≤ Λ.
Sono verificate le ipotesi dell’assioma di Dedekind applicato agli insiemi A e M(A),
dunque esiste un elemento separatore:
∃ L ∈ IR : ∀a ∈ A, ∀Λ ∈ M(A), a ≤ L ≤ Λ;
per la diseguaglianza di sinistra, L è un maggiorante di A, e, per la diseguaglianza di
destra, è più piccolo degli altri maggioranti, cioè è l’estremo superiore di A.
Definizione 1.10. Sia A un sottoinsieme di IR . Se A non è limitato superiormente,
definiamo sup A = +∞ ; se A non è limitato inferiormente, definiamo inf A = −∞.
Vediamo ora qualche esempio.
Esempio 1.11. Sia A l’insieme definito da
nn − 1
A = x ∈ IR : x = (−1)
, n ∈ IN ;
n
calcoliamo l’estremo superiore e inferiore di A. L’insieme A è contenuto nell’intervallo
aperto (−1, 1), infatti, se x ∈ A, allora |x| = n−1
n < 1, ∀n ∈ IN. Verifichiamo che 1
è l’estremo superiore di A . Abbiamo già osservato che 1 è un maggiorante, proviamo
che è il più piccolo tra essi. Sia dunque ε > 0, dobbiamo provare che 1 − ε non è un
maggiorante, cioè che esiste un elemento x = x(ε) ∈ A tale che x > 1 − ε . Si tratta
dunque di risolvere in n la diseguaglianza (−1)n n−1
n > 1−ε . Essa è certamente risolubile
n−1
se n ∈ IN è pari, poiché n > 1 − ε equivale a n > 1ε . Per esempio, se ε = 1, basterà
scegliere n > 1 , n pari; se ε = 12 , n > 2, n pari, e cosı̀ via.
Analogamente si dimostra che −1 è l’estremo inferiore di A.
Esempio 1.12. Sia A l’insieme definito da
1
A = x ∈ IR : x = n + , n ∈ IN ;
n
calcoliamo l’estremo superiore e inferiore di A. L’insieme A è illimitato superiormente,
poiché x = n + n1 > n, ∀n ∈ IN . Dunque sup A = +∞ . D’altra parte, ∀n ∈ IN, vale la
diseguaglianza n +
1
n
≥ 2, essendo essa equivalente a n2 + 1 ≥ 2n , cioè (n − 1)2 ≥ 0, e
l’uguaglianza si ottiene per n = 1. Dunque inf A = min A = 2 .
Le prossime proposizioni mostrano qualche importante proprietà degli estremi superiore ed inferiore.
Proposizione 1.13. Sia A un sottoinsieme non vuoto di IR . Allora
inf A ≤ sup A;
l’uguaglianza vale se e solo se l’insieme A contiene un solo punto.
Dimostrazione. Sia a un qualsiasi elemento di A; allora, per definizione,
inf A ≤ a ≤ sup A,
che prova la diseguaglianza. Inoltre se inf A = sup A = k , abbiamo che k è sia un
maggiorante che un minorante di A, dunque, ogni elemento a ∈ A è tale che
k ≤ a ≤ k,
cioè a = k , per ogni a ∈ A .
Proposizione 1.14. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di IR . Allora
sup(A ∪ B) = max{sup A, sup B},
inf(A ∪ B) = min{inf A, inf B}.
Dimostrazione. Dimostriamo la prima uguaglianza, supponendo che entrambi gli insiemi
A e B siano limitati superiormente (in caso contrario è evidente che anche A ∪ B è
illimitato superiormente, e l’uguaglianza è ovvia). Definiamo LA∪B = sup(A ∪ B),
LA = sup A, e LB = sup B . Per definizione LA∪B è un maggiorante di A ∪ B , dunque,
sia di A che di B , da cui deduciamo che LA∪B ≥ LA e LA∪B ≥ LB , cioè sup(A ∪ B) ≥
max{sup A, sup B}.
Dobbiamo dunque dimostrare la diseguaglianza opposta. Per le proprietà dell’estremo superiore, dato ε > 0, esiste x ∈ A∪B tale che x ≥ LA∪B −ε , x essendo un elemento
di A oppure di B . Dunque x ≤ max{LA , LB }, cioè max{LA , LB } ≥ LA∪B − ε . Per
l’arbitrarietà di ε , questo significa che sup(A ∪ B) ≤ max{sup A, sup B} e dunque il
teorema è provato. Analogamente si dimostra la proprietà per l’estremo inferiore.
Un immediato corollario è il seguente.
Corollario 1.15. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di IR con A ⊆ B . Allora
sup A ≤ sup B,
inf A ≥ inf B.
Dimostriamo ora un teorema di esistenza del limite per la classe delle successioni reali
monotone. Ricordiamo che una successione {an }n∈IN di numeri reali si dice crescente
(decrescente) se
an ≤ an+1 (an ≥ an+1 ),
∀n ∈ IN .
Teorema 1.16. Sia {an } una successione crescente (decrescente) di numeri reali. Allora
esiste il limite della successione:
lim an = sup{an }
n→∞
(= inf{an }).
Dimostrazione. Consideriamo il caso della crescenza di {an }; chiamiamo L = sup{an }
e iniziamo dal caso in cui L < +∞ . Allora, per definizione di estremo superiore,
L ≥ an ,
∀n ∈ IN,
∀ε > 0 ∃ nε ∈ IN : L − ε < anε .
Poiché la successione {an } è crescente si avrà, ∀n ≥ nε ,
L − ε < anε ≤ an ≤ L,
dunque limn→∞ an = L. Se invece L = +∞ , la successione an non è limitata superiormente: ∀M > 0 ∃ nM ∈ IN : anM > M . D’altra parte ricordando che la successione è
crescente, ∀n > nM si ha an ≥ anM > M , e il teorema è dimostrato anche in questo
caso.