Introduzione al formalismo dei molti corpi a temperatura finita

Meccanica statistica in RNO
Propagatore per temperature finite
Diagrammi e regole di Feynman
Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
Bibliografia
Introduzione al formalismo dei molti corpi a temperatura
finita
Gabriele Sicuro
4 Agosto 2010
Gabriele Sicuro
Formalismo dei molti corpi a temperatura finita
Meccanica statistica in RNO
Propagatore per temperature finite
Diagrammi e regole di Feynman
Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
Bibliografia
Introduzione
Problema: la teoria sviluppata delle funzioni di Green suppone T = 0 K. Tale ipotesi è più che
valida per la materia nucleare, ma non per plasmi, interni delle stelle. . . È utile sviluppare
tecniche diagrammatiche simili a quelle per temperature nulle che permettano lo studio
della Meccanica Statistica Quantistica.
Nota importante! Indicheremo con Ô un operatore in rappresentazione di interazione, con Õ un operatore in
rappresentazione di Heisenberg.
1
Meccanica statistica in RNO
Caratteristiche statistiche generali del sistema
Distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein
2
Propagatore per temperature finite
Real time Green’s function
Equazione di Bloch
Funzione di Green-Matsubara e sue proprietà
Propagatore libero
Teorema di Wick
3
Diagrammi e regole di Feynman
Regole di Feynman
Equazioni di Dyson
Approssimazione al primo ordine
Operatori termodinamici e funzione di Matsubara
4
Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
Approssimazione Hartree-Fock
Entropia del sistema
Gabriele Sicuro
Formalismo dei molti corpi a temperatura finita
Meccanica statistica in RNO
Propagatore per temperature finite
Diagrammi e regole di Feynman
Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
Bibliografia
Caratteristiche statistiche generali del sistema
Distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein
Caratteristiche statistiche generali del sistema
Manterremo la caratteristica intrinseca della RNO di tenere conto di un sistema con numero
di particelle N variabile.
Di conseguenza
occorrerà considerare un ensemble statistico grancanonico (il sistema può scambiare
sia energia che particelle con il termostato, che tiene fissa la temperatura a T );
se H è l’hamiltoniana del sistema, i suoi autostati H|ψi 〉 = Ei |ψi 〉, essendo N variabile,
dipenderanno da N anch’essi;
la probabilità che il sistema sia in un dato autostato dell’hamiltoniana |ψi 〉 è dato dalla
distribuzione grancanonica
e−β(Ei −µNi )
ρi
≡
,
−β(En −µNn )
Z
ne
Pi = P
con Z funzione di partizione, Ni numero di particelle nello stato i-esimo, β = k 1T e µ
B
potenziale chimico (energia richiesta per la rimozione di una particella dal sistema).
Gabriele Sicuro
Formalismo dei molti corpi a temperatura finita
Meccanica statistica in RNO
Propagatore per temperature finite
Diagrammi e regole di Feynman
Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
Bibliografia
Caratteristiche statistiche generali del sistema
Distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein
Caratteristiche statistiche generali del sistema
Manterremo la caratteristica intrinseca della RNO di tenere conto di un sistema con numero
di particelle N variabile.
Di conseguenza
occorrerà considerare un ensemble statistico grancanonico (il sistema può scambiare
sia energia che particelle con il termostato, che tiene fissa la temperatura a T );
se H è l’hamiltoniana del sistema, i suoi autostati H|ψi 〉 = Ei |ψi 〉, essendo N variabile,
dipenderanno da N anch’essi;
la probabilità che il sistema sia in un dato autostato dell’hamiltoniana |ψi 〉 è dato dalla
distribuzione grancanonica
e−β(Ei −µNi )
ρi
≡
,
−β(En −µNn )
Z
ne
Pi = P
con Z funzione di partizione, Ni numero di particelle nello stato i-esimo, β = k 1T e µ
B
potenziale chimico (energia richiesta per la rimozione di una particella dal sistema).
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Caratteristiche statistiche generali del sistema
Distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein
Caratteristiche statistiche generali del sistema
Manterremo la caratteristica intrinseca della RNO di tenere conto di un sistema con numero
di particelle N variabile.
Di conseguenza
occorrerà considerare un ensemble statistico grancanonico (il sistema può scambiare
sia energia che particelle con il termostato, che tiene fissa la temperatura a T );
se H è l’hamiltoniana del sistema, i suoi autostati H|ψi 〉 = Ei |ψi 〉, essendo N variabile,
dipenderanno da N anch’essi;
la probabilità che il sistema sia in un dato autostato dell’hamiltoniana |ψi 〉 è dato dalla
distribuzione grancanonica
e−β(Ei −µNi )
ρi
≡
,
−β(En −µNn )
Z
ne
Pi = P
con Z funzione di partizione, Ni numero di particelle nello stato i-esimo, β = k 1T e µ
B
potenziale chimico (energia richiesta per la rimozione di una particella dal sistema).
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Caratteristiche statistiche generali del sistema
Distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein
Caratteristiche statistiche generali del sistema
Manterremo la caratteristica intrinseca della RNO di tenere conto di un sistema con numero
di particelle N variabile.
Di conseguenza
occorrerà considerare un ensemble statistico grancanonico (il sistema può scambiare
sia energia che particelle con il termostato, che tiene fissa la temperatura a T );
se H è l’hamiltoniana del sistema, i suoi autostati H|ψi 〉 = Ei |ψi 〉, essendo N variabile,
dipenderanno da N anch’essi;
la probabilità che il sistema sia in un dato autostato dell’hamiltoniana |ψi 〉 è dato dalla
distribuzione grancanonica
e−β(Ei −µNi )
ρi
≡
,
−β(En −µNn )
Z
ne
Pi = P
con Z funzione di partizione, Ni numero di particelle nello stato i-esimo, β = k 1T e µ
B
potenziale chimico (energia richiesta per la rimozione di una particella dal sistema).
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Caratteristiche statistiche generali del sistema
Distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein
In forma operatoriale la distribuzione diventa
ρ = e−β(H−µN)
dove N =
†
k ak ak è l’operatore numero di particelle. Dalla formula sopra
P
ρ i = 〈ψi |ρ|ψi 〉,
£ ¤
Z = tr ρ ,
Pi =
〈ψi |ρ|ψi 〉
£ ¤ .
tr ρ
Per calcolare il valore medio di un operatore O occorrerà dunque pesarlo secondo la
distribuzione:
£ ¤
tr O ρ
£ ¤
〈O 〉 =
tr ρ
Definiamo
K = H − µN
H = H0 + H1
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K0 = H0 − µN,
K1 = H1 .
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Caratteristiche statistiche generali del sistema
Distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein
Sistema non interagente
Supponiamo di avere a che fare con un sistema non interagente (K1 = 0) e utilizziamo come
vettori di base gli autovettori |φi 〉 dell’hamiltoniana H0 (supposti noti):
P
i,p 〈φi |O |φp 〉〈φp |ρ|φi 〉
〈O 〉 =
P
i 〈φi |ρ|φi 〉
In RNO, rispetto a tale base |φi 〉 = |ni1 , ni2 , . . . , nik , . . .〉
H0 =
X 0 †
²k ak ak ,
ρ 0,ii = 〈φi |e
k
P
Y −β(²0 −µ)ni
−β k (²0 −µ)a† ak
k
k
k
k |φi 〉 =
e
k
〈n1 , n2 , . . . |e−β(H−µN) |n1 , n2 , . . .〉
n1 ,n2 ,...,nk ,...
P
Y X −β(²0 −µ)n
X
−β k (²0 −µ)nk X −β(²0 −µ)n1 X −β(²0 −µ)n2
k
k
k
1
2
= e
e
··· =
e
=
e
n1
n2
n1 ,n2 ,...,nk ,...
k nk
Z 0 = tr ρ 0 =
£
¤
X
Z0 =
Y
µ
k
1 ± e−β(²0 −µ)
¶±1
k
Il segno superiore d’ora in poi corrisponde ai fermioni, quello inferiore ai bosoni.
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Caratteristiche statistiche generali del sistema
Distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein
Distribuzioni di Fermi-Dirac e Bose-Einstein
Calcoliamo ora il valore medio di nk = ak† ak per il sistema non interagente utilizzando il
seguente ragionamento:
〈N〉0 =
XXY
X­ ®
e
nk 0 =
µ
k
k i
j
−β(²0j −µ)nij
1±e
−β(²0j −µ)
†
i i
i
i i
i
¶∓1 〈n1 , n2 , . . . , nk , . . . |ak ak |n1 , n2 , . . . , nk , . . .〉
{z
}
|
vale 0 o 1 per i fermioni, nik per i bosoni

Z0
z
}|
{

XX i Y
e
∂  1 X Y −β(²0 −µ)ni 

k
k
=
nk
=
e
− ln
µ
¶
∓1

∂µ  β
−β(²0j −µ)
j
i k
k i
1±e
{z
}
|

−β(²0j −µ)nij
Ω0
µ
¶
¶±1
µ
Y
1X ∂
1 ∂
−β(²0 −µ)
−β(²0 −µ)
k
k
=−
ln
1±e
=∓
ln 1 ± e
β ∂µ
β k ∂µ
k
X
X
1
=
≡ fk .
0
k eβ(²k −µ) ± 1
k
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Propagatore per temperature finite
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Bibliografia
Real time Green’s function
Equazione di Bloch
Funzione di Green-Matsubara e sue proprietà
Propagatore libero
Teorema di Wick
Real time Green’s function
Il propagatore per T = 0 K è
h
i
Gαβ (x, x0 , t − t 0 ) = −ı〈ψ0 |T ψ̃α (x, t)ψ̃†β (x0 , t 0 ) |ψ0 〉.
P
con ψ̃α (x, t) = k φα,k (x)e−ıωk t ak . Sulla base di quanto detto sopra, si può generalizzare a
temperatura T
Real time Green’s function di singola particella
D h
iE
Ḡαβ (x, x0 , t − t 0 ) = −ı T ψ̃α (x, t)ψ̃†β (x0 , t 0 )
h h
i i
tr T ψ̃α (x, t)ψ̃†β (x0 , t 0 ) ρ
£ ¤
= −ı
.
tr ρ
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Real time Green’s function
Equazione di Bloch
Funzione di Green-Matsubara e sue proprietà
Propagatore libero
Teorema di Wick
Funzione ritardata
³ D
E´
³ D
E´
Ḡαβ (x, x0 , t, t 0 ) = θ(t − t 0 ) −ı ψ̃α (x, t)ψ̃†β (x0 , t 0 ) +θ(t 0 − t) ±ı ψ̃†β (x0 , t 0 )ψ̃α (x, t)
|
{z
}
{z
}
|
Ḡ> (x,x0 ,t,t 0 )
Ḡ< (x,x0 ,t,t 0 )
αβ
αβ
Funzione di Green ritardata
h
i
>
<
R
Ḡαβ
(x, x0 , t, t 0 ) = θ(t − t 0 ) Ḡαβ
(x, x0 , t, t 0 ) − Ḡαβ
(x, x0 , t, t 0 )
Dh
i E
= −iθ(t − t 0 ) ψ̃α (x, t), ψ̃†β (x, t)
±
In rappresentazione di Lehmann, con |n〉 autostati di K , N e P, se ψα (x) = e−ıP·x ψα (0)e ıP·x
R
Ḡαβ
(k, ω) =
〈n|ψα (0)|n0 〉〈n0 |ψ†β (0)|n〉 ³
´
1 X
(2π)3 δ [k − (Pn − Pm )]
e−βKn ± e−βKn0
Z nn0
ω + Kn − Kn0 + ıη
La funzione di Green ritardata è utile nel calcolare valori di aspettazione di osservabili.
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Vai
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Equazione di Bloch
Funzione di Green-Matsubara e sue proprietà
Propagatore libero
Teorema di Wick
Equazione di Bloch
Nella forma attuale tuttavia Ḡ non può essere espansa così come si è fatto grazie
all’equazione di Dyson nel caso T = 0 K, in quanto non esiste un teorema di Wick per
temperature maggiori di zero applicabile alla sua espressione così com’è. Dal fatto che
ρ = e−β(H−µN ) ⇒
∂ρ
= −(H − µN)ρ
∂β
(equazione di Bloch)
L’equazione di Bloch è un’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo, che può essere
messa nella forma usuale con
Ψ ↔ ρ,
H ↔ H − µN ≡ K ,
ıt ≡ τ ↔ β,
t ∈C
Di conseguenza è possibile definire un operatore di evoluzione U(τ) e procedere
analogamente al caso T = 0 K trovando uno sviluppo per U(τ). Se H = H0 + H1 , in
rappresentazione di interazione,
Û(τ, τ0 ) = eτK0 e−(τ−τ0 )K e−τ0 K0
Û(τ, 0) = eτK0 e−τK ≡ Û(τ)
Z τ
∞ (−1)n Z τ
X
£
¤
∂ Û(τ)
= K̂1 (τ)Û(τ) ⇒ Û(τ) =
···
dτ1 · · · dτn Tτ K̂1 (τ1 ), · · · , K̂1 (τn )
∂τ
n!
0
0
n=0
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Real time Green’s function
Equazione di Bloch
Funzione di Green-Matsubara e sue proprietà
Propagatore libero
Teorema di Wick
Propagatore con tempo immaginario: funzione di Green-Matsubara
Le relazioni ottenute suggeriscono di eseguire la sostituzione ıt → τ per ricavare uno
sviluppo simile a quello ottenuto per G. Riscrivendo la relazione per Ḡ secondo le nuove
variabili introdotte
Matsubara Green’s function di singola particella
h h
i i
tr T ψ̃α (x, t)ψ̃†β (x0 , t 0 ) ρ
£ ¤
Ḡαβ (x, x0 , t − t 0 ) = −ı
tr ρ
−−−−−−−−−−→ Gαβ (x, x0 , τ − τ0 ) = −
ıt 0 =τ0 ,
ıt=τ
i i
ı h h
tr Tτ ψ̃α (x, τ)ψ̃†β (x0 , τ0 ) ρ
Z
D’ora in poi ometteremo la ı anteriore come si è soliti in letteratura.
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Funzione di Green-Matsubara e sue proprietà
Propagatore libero
Teorema di Wick
Proprietà della funzione G
Consideriamo τ0 = 0; G (x, x0 , τ) gode delle seguenti proprietà (omettiamo temporaneamente
gli indici α, β per semplicità).
τ ∈ [0, β]. Infatti
h
i
G (x, x0 , τ) = − Z1 tr ρ ψ̃(x, τ)ψ̃† (x0 , 0)
X
0
−βK τK
= − Z1
φk (x)φ∗
e ak e−τK ak† |ψi 〉
k (x )〈ψi |e
ik
= − Z1
X
ijk
0 (−β+τ)Ki
〈ψi |ak |ψj 〉e
φk (x)φ∗
k (x )e
−τKj
〈ψj |ak† |ψi 〉
Poiché Ki ed Kj possono essere arbitrariamente grandi, 0 < τ < β. Dunque
τ − τ0 ∈ [−β, β].
h
i
Per −β < τ < 0, G (x, x0 , τ) = ± Z1 tr e−βK ψ̃† (x0 , 0)ψ̃(x, τ) =
h
i
h
i
± Z1 tr ψ̃(x, τ)e−βK ψ̃† (x0 , 0) = ± Z1 tr e−βK ψ̃(x, τ + β)ψ̃† (x0 , 0) = ∓G (x, x0 , τ + β) (quasi
periodicità nel caso fermionico).
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Propagatore libero
Teorema di Wick
Proprietà della funzione G
Consideriamo τ0 = 0; G (x, x0 , τ) gode delle seguenti proprietà (omettiamo temporaneamente
gli indici α, β per semplicità).
τ ∈ [0, β]. Infatti
h
i
G (x, x0 , τ) = − Z1 tr ρ ψ̃(x, τ)ψ̃† (x0 , 0)
X
0
−βK τK
= − Z1
φk (x)φ∗
e ak e−τK ak† |ψi 〉
k (x )〈ψi |e
ik
= − Z1
X
ijk
0 (−β+τ)Ki
〈ψi |ak |ψj 〉e
φk (x)φ∗
k (x )e
−τKj
〈ψj |ak† |ψi 〉
Poiché Ki ed Kj possono essere arbitrariamente grandi, 0 < τ < β. Dunque
τ − τ0 ∈ [−β, β].
h
i
Per −β < τ < 0, G (x, x0 , τ) = ± Z1 tr e−βK ψ̃† (x0 , 0)ψ̃(x, τ) =
h
i
h
i
± Z1 tr ψ̃(x, τ)e−βK ψ̃† (x0 , 0) = ± Z1 tr e−βK ψ̃(x, τ + β)ψ̃† (x0 , 0) = ∓G (x, x0 , τ + β) (quasi
periodicità nel caso fermionico).
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Funzione di Green-Matsubara e sue proprietà
Propagatore libero
Teorema di Wick
Proprietà della funzione G : Trasformata di Fourier
Il fatto che τ ∈ [−β, β] non permette di passare in trasformata di Fourier. Supponiamo di aver
già eseguito la trasformata per le variabili spaziali.
Consideriamo una funzione con stessa periodicità ripetuta tra −∞ a +∞ con una serie di
Fourier:
Gper (k, τ) =
Z
∞
∞
1 X
1 +β
1 X
ıτ πn
−ıτ πn
β
e
dτe β G (k, τ) ≡
e−ıτωn G (k, ωn )
β n=−∞
2 −β
β n=−∞
Per costruzione G (k, τ) ≡ Gper (k, τ) in (−β, β); la trasformata di Fourier di Gper (k, τ) è
G (k, ωn ).
nel caso di fermioni, G è quasi periodica, dunque i termini con n pari sono nulli e si
può porre ωn = 2n+1
π;
β
in caso di bosoni, G è periodica, dunque i termini con n dispari sono nulli e si può
porre ωn = 2n
π.
β
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Propagatore libero
Teorema di Wick
Collegamento tra G (k, ωl ) e ḠR (k, ω)
In rappresentazione di Lehmann, secondo la notazione già introdotta
R
Ḡαβ
(k, ω) =
〈n|ψα (0)|n0 〉〈n0 |ψ†β (0)|n〉 ³
´
1 X
(2π)3 δ [k − (Pn − Pm )]
e−βKn ± e−βKn0
Z nn0
ω + Kn − Kn0 + ıη
Ripetendo gli stessi calcoli su G (k, ωl ) si ha:
Gαβ (k, ωl ) =
〈n|ψα (0)|n0 〉〈n0 |ψ†β (0)|n〉 ³
´
1 X
(2π)3 δ [k − (Pn − Pm )]
e−βKn ± e−βKn0
Z nn0
ıωl + Kn − Kn0
ℑz
i n
i 
ℜz
−i 
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Teorema di Wick
Propagatore libero
K0 = H0 − µN =
X 0
(²k − µ)ak† ak = K ⇒ âk (τ) = eτK0 ak e−τK0 = ãk (τ)
k
0
Gαβ
(x, x0 , τ − τ0 ) = −δαβ
k
0
φk (x)φ∗
k (x )e
δαβ
0
G (k, ωn ) =
X
−(²0 −µ)(τ−τ0 ) £
θ(τ − τ0 )(1 ∓ fk ) ∓ θ(τ0 − τ)fk
k
¤
1
essendo φk (x) = p e−ik·x
V
ıωn − ²0k + µ
Per T = 0 K invece si aveva per i fermioni
0
Gαβ
(x, x0 , t − t 0 ) = −ıδαβ
Ã
0
Gαβ
(k, ω) = δαβ
X
k
0
φk (x)φ∗
k (x )e
θ(k − kF )
ω − ²0k + ıη
+
−i²0 (t−t 0 ) £
¤
θ(t − t 0 )θ(k − kF ) − θ(t 0 − t)θ(kF − k)
k
θ(kF − k)
!
ω − ²0k − ıη
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Funzione di Green-Matsubara e sue proprietà
Propagatore libero
Teorema di Wick
Teorema di Wick
Si prova∗ che vale anche in questo caso un teorema analogo a quello di Wick temperature
nulle, provato per la prima volta da Matsubara nel 1955.
Definizione (contrazione)
Definiamo contrazione tra due operatori in rappresentazione di interazione la quantità
­
®
ÂB̂ = Tτ [ÂB̂] 0
Teorema di Wick
Il teorema generale di Wick afferma che
#
·
¸ "
­ £
¤®
Tτ ÂB̂Ĉ D̂ · · · 0 = ÂB̂Ĉ D̂ · · · + ÂB̂Ĉ D̂ · · · + tutte le possibili contrazioni complete
Le parentesi quadre indicano che occorre aggiungere una fase ±1 a seconda del numero di
permutazioni di operatori prima di eseguire le contrazioni nel caso fermionico.
∗ Fetter et al., op. cit.
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Regole di Feynman
Equazioni di Dyson
Approssimazione al primo ordine
Operatori termodinamici e funzione di Matsubara
Analisi dei diagrammi
Dato il fatto che il teorema di Wick per temperature finite è totalmente equivalente a quello a
0
0
temperatura nulla e che l’operatore di evoluzione Û(τ, τ0 ) = e ıτK0 e−ı(τ−τ )K e−ıτ K0 ha
proprietà analoghe a quelle di Û(t), si prova che
P∞
0
0
Gαβ (x, x , τ − τ ) = −
n=0
D h
iE
Rβ
†
(−1)n R β
0
n!
0 · · · 0 dτ1 · · · dτn Tτ K̂1 (τ1 ), · · · , K̂1 (τn )ψ̂α (x, τ)ψ̂β (x, τ ) 0
­ £
¤®
P∞ (−1)n R β R β
n=0 n!
0 · · · 0 dτ1 · · · dτn Tτ K̂1 (τ1 ), · · · , K̂1 (τn ) 0
Nella dimostrazione si usa la tecnica¯ dell’accensione
adiabatica dell’interazione (usando, ad
¯
¯
¯
−²¯tan πτ ¯
2β ), in modo da poter mediare sugli autostati
esempio, un’espressione del tipo e
dell’hamiltoniana K0 . Il denominatore, come nel caso T = 0 K, semplifica i diagrammi non
connessi. Dunque la funzione di Green-Matsubara ha la forma:
Gαβ (x, x0 , τ − τ0 ) = −
Z β
h
h
ii
∞ (−1)n Z β
X
dτ1 . . .
dτn tr ρ 0 Tτ K̂1 (τ1 ) · · · K̂1 (τn )ψ̂α (x, τ)ψ̂† (x0 , τ0 )
β
n!
connessi
0
0
n=0
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Meccanica statistica in RNO
Propagatore per temperature finite
Diagrammi e regole di Feynman
Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
Bibliografia
Regole di Feynman
Equazioni di Dyson
Approssimazione al primo ordine
Operatori termodinamici e funzione di Matsubara
Regole di Feynman (spazio delle coordinate)
Si quindi procede esattamente come nel caso T = 0 K, ovvero per il contributo all’ordine n:
si disegnano tutti i diagrammi topologicamente distinti con n interazioni e 2n + 1 linee
orientate di particelle;
0 (y, x);
ad ogni linea di particella orientata da x a y si associa Gαβ
se V (x1 , τ1 , x2 , τ2 ) ≡ V (x1 − x2 )δ(τ1 − τ2 ) è l’interazione e dunque
Î 3
Rβ
K̂1 (τ) = 21
d x1 d3 x2 0 dτ2 ψ̂† (x1 , τ)ψ̂† (x2 , τ2 )V (x1 , τ, x2 , τ2 )ψ̂(x2 , τ2 )ψ̂(x1 , τ), ad
ogni linea di interazione si associa un fattore V (x1 , τ, x2 , τ2 );
R
Rβ
si integra sulle variabili interne d3 xi 0 dτ;
poiché in K1 gli operatori di campo compaiono nell’ordine ψ† ψ, si pone
0 (x, x0 , τ, τ) = lim
0
0
0
Gαβ
τ0 →τ+ Gαβ (x, x , τ, τ ).
si moltiplica ogni diagramma per (−1)n (−1)L , dove L è il numero di loops fermionici
chiusi;
se sono presenti indici relativi ad ulteriori numeri quantici (ad esempio spin) occorre
0 , tenendo eventualmente conto delle degenerazioni.
contrarre sugli indici ripetuti Gαα
Gabriele Sicuro
Formalismo dei molti corpi a temperatura finita
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Regole di Feynman
Equazioni di Dyson
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Operatori termodinamici e funzione di Matsubara
Regole di Feynman (spazio delle coordinate)
Si quindi procede esattamente come nel caso T = 0 K, ovvero per il contributo all’ordine n:
si disegnano tutti i diagrammi topologicamente distinti con n interazioni e 2n + 1 linee
orientate di particelle;
0 (y, x);
ad ogni linea di particella orientata da x a y si associa Gαβ
se V (x1 , τ1 , x2 , τ2 ) ≡ V (x1 − x2 )δ(τ1 − τ2 ) è l’interazione e dunque
Î 3
Rβ
K̂1 (τ) = 21
d x1 d3 x2 0 dτ2 ψ̂† (x1 , τ)ψ̂† (x2 , τ2 )V (x1 , τ, x2 , τ2 )ψ̂(x2 , τ2 )ψ̂(x1 , τ), ad
ogni linea di interazione si associa un fattore V (x1 , τ, x2 , τ2 );
R
Rβ
si integra sulle variabili interne d3 xi 0 dτ;
poiché in K1 gli operatori di campo compaiono nell’ordine ψ† ψ, si pone
0 (x, x0 , τ, τ) = lim
0
0
0
Gαβ
τ0 →τ+ Gαβ (x, x , τ, τ ).
si moltiplica ogni diagramma per (−1)n (−1)L , dove L è il numero di loops fermionici
chiusi;
se sono presenti indici relativi ad ulteriori numeri quantici (ad esempio spin) occorre
0 , tenendo eventualmente conto delle degenerazioni.
contrarre sugli indici ripetuti Gαα
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Regole di Feynman (spazio delle coordinate)
Si quindi procede esattamente come nel caso T = 0 K, ovvero per il contributo all’ordine n:
si disegnano tutti i diagrammi topologicamente distinti con n interazioni e 2n + 1 linee
orientate di particelle;
0 (y, x);
ad ogni linea di particella orientata da x a y si associa Gαβ
se V (x1 , τ1 , x2 , τ2 ) ≡ V (x1 − x2 )δ(τ1 − τ2 ) è l’interazione e dunque
Î 3
Rβ
K̂1 (τ) = 21
d x1 d3 x2 0 dτ2 ψ̂† (x1 , τ)ψ̂† (x2 , τ2 )V (x1 , τ, x2 , τ2 )ψ̂(x2 , τ2 )ψ̂(x1 , τ), ad
ogni linea di interazione si associa un fattore V (x1 , τ, x2 , τ2 );
R
Rβ
si integra sulle variabili interne d3 xi 0 dτ;
poiché in K1 gli operatori di campo compaiono nell’ordine ψ† ψ, si pone
0 (x, x0 , τ, τ) = lim
0
0
0
Gαβ
τ0 →τ+ Gαβ (x, x , τ, τ ).
si moltiplica ogni diagramma per (−1)n (−1)L , dove L è il numero di loops fermionici
chiusi;
se sono presenti indici relativi ad ulteriori numeri quantici (ad esempio spin) occorre
0 , tenendo eventualmente conto delle degenerazioni.
contrarre sugli indici ripetuti Gαα
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Regole di Feynman (spazio delle coordinate)
Si quindi procede esattamente come nel caso T = 0 K, ovvero per il contributo all’ordine n:
si disegnano tutti i diagrammi topologicamente distinti con n interazioni e 2n + 1 linee
orientate di particelle;
0 (y, x);
ad ogni linea di particella orientata da x a y si associa Gαβ
se V (x1 , τ1 , x2 , τ2 ) ≡ V (x1 − x2 )δ(τ1 − τ2 ) è l’interazione e dunque
Î 3
Rβ
K̂1 (τ) = 21
d x1 d3 x2 0 dτ2 ψ̂† (x1 , τ)ψ̂† (x2 , τ2 )V (x1 , τ, x2 , τ2 )ψ̂(x2 , τ2 )ψ̂(x1 , τ), ad
ogni linea di interazione si associa un fattore V (x1 , τ, x2 , τ2 );
R
Rβ
si integra sulle variabili interne d3 xi 0 dτ;
poiché in K1 gli operatori di campo compaiono nell’ordine ψ† ψ, si pone
0 (x, x0 , τ, τ) = lim
0
0
0
Gαβ
τ0 →τ+ Gαβ (x, x , τ, τ ).
si moltiplica ogni diagramma per (−1)n (−1)L , dove L è il numero di loops fermionici
chiusi;
se sono presenti indici relativi ad ulteriori numeri quantici (ad esempio spin) occorre
0 , tenendo eventualmente conto delle degenerazioni.
contrarre sugli indici ripetuti Gαα
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Regole di Feynman (spazio delle coordinate)
Si quindi procede esattamente come nel caso T = 0 K, ovvero per il contributo all’ordine n:
si disegnano tutti i diagrammi topologicamente distinti con n interazioni e 2n + 1 linee
orientate di particelle;
0 (y, x);
ad ogni linea di particella orientata da x a y si associa Gαβ
se V (x1 , τ1 , x2 , τ2 ) ≡ V (x1 − x2 )δ(τ1 − τ2 ) è l’interazione e dunque
Î 3
Rβ
K̂1 (τ) = 21
d x1 d3 x2 0 dτ2 ψ̂† (x1 , τ)ψ̂† (x2 , τ2 )V (x1 , τ, x2 , τ2 )ψ̂(x2 , τ2 )ψ̂(x1 , τ), ad
ogni linea di interazione si associa un fattore V (x1 , τ, x2 , τ2 );
R
Rβ
si integra sulle variabili interne d3 xi 0 dτ;
poiché in K1 gli operatori di campo compaiono nell’ordine ψ† ψ, si pone
0 (x, x0 , τ, τ) = lim
0
0
0
Gαβ
τ0 →τ+ Gαβ (x, x , τ, τ ).
si moltiplica ogni diagramma per (−1)n (−1)L , dove L è il numero di loops fermionici
chiusi;
se sono presenti indici relativi ad ulteriori numeri quantici (ad esempio spin) occorre
0 , tenendo eventualmente conto delle degenerazioni.
contrarre sugli indici ripetuti Gαα
Gabriele Sicuro
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Si quindi procede esattamente come nel caso T = 0 K, ovvero per il contributo all’ordine n:
si disegnano tutti i diagrammi topologicamente distinti con n interazioni e 2n + 1 linee
orientate di particelle;
0 (y, x);
ad ogni linea di particella orientata da x a y si associa Gαβ
se V (x1 , τ1 , x2 , τ2 ) ≡ V (x1 − x2 )δ(τ1 − τ2 ) è l’interazione e dunque
Î 3
Rβ
K̂1 (τ) = 21
d x1 d3 x2 0 dτ2 ψ̂† (x1 , τ)ψ̂† (x2 , τ2 )V (x1 , τ, x2 , τ2 )ψ̂(x2 , τ2 )ψ̂(x1 , τ), ad
ogni linea di interazione si associa un fattore V (x1 , τ, x2 , τ2 );
R
Rβ
si integra sulle variabili interne d3 xi 0 dτ;
poiché in K1 gli operatori di campo compaiono nell’ordine ψ† ψ, si pone
0 (x, x0 , τ, τ) = lim
0
0
0
Gαβ
τ0 →τ+ Gαβ (x, x , τ, τ ).
si moltiplica ogni diagramma per (−1)n (−1)L , dove L è il numero di loops fermionici
chiusi;
se sono presenti indici relativi ad ulteriori numeri quantici (ad esempio spin) occorre
0 , tenendo eventualmente conto delle degenerazioni.
contrarre sugli indici ripetuti Gαα
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Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
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Regole di Feynman (spazio delle coordinate)
Si quindi procede esattamente come nel caso T = 0 K, ovvero per il contributo all’ordine n:
si disegnano tutti i diagrammi topologicamente distinti con n interazioni e 2n + 1 linee
orientate di particelle;
0 (y, x);
ad ogni linea di particella orientata da x a y si associa Gαβ
se V (x1 , τ1 , x2 , τ2 ) ≡ V (x1 − x2 )δ(τ1 − τ2 ) è l’interazione e dunque
Î 3
Rβ
K̂1 (τ) = 21
d x1 d3 x2 0 dτ2 ψ̂† (x1 , τ)ψ̂† (x2 , τ2 )V (x1 , τ, x2 , τ2 )ψ̂(x2 , τ2 )ψ̂(x1 , τ), ad
ogni linea di interazione si associa un fattore V (x1 , τ, x2 , τ2 );
R
Rβ
si integra sulle variabili interne d3 xi 0 dτ;
poiché in K1 gli operatori di campo compaiono nell’ordine ψ† ψ, si pone
0 (x, x0 , τ, τ) = lim
0
0
0
Gαβ
τ0 →τ+ Gαβ (x, x , τ, τ ).
si moltiplica ogni diagramma per (−1)n (−1)L , dove L è il numero di loops fermionici
chiusi;
se sono presenti indici relativi ad ulteriori numeri quantici (ad esempio spin) occorre
0 , tenendo eventualmente conto delle degenerazioni.
contrarre sugli indici ripetuti Gαα
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Operatori termodinamici e funzione di Matsubara
Regole di Feynman (spazio delle coordinate)
Si quindi procede esattamente come nel caso T = 0 K, ovvero per il contributo all’ordine n:
si disegnano tutti i diagrammi topologicamente distinti con n interazioni e 2n + 1 linee
orientate di particelle;
0 (y, x);
ad ogni linea di particella orientata da x a y si associa Gαβ
se V (x1 , τ1 , x2 , τ2 ) ≡ V (x1 − x2 )δ(τ1 − τ2 ) è l’interazione e dunque
Î 3
Rβ
K̂1 (τ) = 21
d x1 d3 x2 0 dτ2 ψ̂† (x1 , τ)ψ̂† (x2 , τ2 )V (x1 , τ, x2 , τ2 )ψ̂(x2 , τ2 )ψ̂(x1 , τ), ad
ogni linea di interazione si associa un fattore V (x1 , τ, x2 , τ2 );
R
Rβ
si integra sulle variabili interne d3 xi 0 dτ;
poiché in K1 gli operatori di campo compaiono nell’ordine ψ† ψ, si pone
0 (x, x0 , τ, τ) = lim
0
0
0
Gαβ
τ0 →τ+ Gαβ (x, x , τ, τ ).
si moltiplica ogni diagramma per (−1)n (−1)L , dove L è il numero di loops fermionici
chiusi;
se sono presenti indici relativi ad ulteriori numeri quantici (ad esempio spin) occorre
0 , tenendo eventualmente conto delle degenerazioni.
contrarre sugli indici ripetuti Gαα
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Approssimazione al primo ordine
Operatori termodinamici e funzione di Matsubara
Regole di Feynman (spazio degli impulsi)
Nello spazio degli impulsi, all’ordine n:
si disegnano tutti i diagrammi topologicamente distinti con n interazioni e 2n + 1 linee
orientate di particelle, assegnando ad ogni linea orientata un vettore d’onda e una
frequenza (discreta) in modo che si conservino ad ogni vertice;
0 (k, ω ) =
ad ogni linea di particella orientata si associa Gαβ
n
δαβ
ıωn −(²0 −µ)
;
k
si associa un fattore V (k, ωn ) ≡ V (k) ad ogni linea di interazione;
si integra sulle variabili interne;
si moltiplica ogni diagramma per (−1)n (−1)L
1 1
, dove L è il numero di loops
(2π)3 β
fermionici chiusi;
si inserisce un fattore di convergenza e ıωn η ogni volta che una linea di particella si
chiude su se stessa o su una stessa linea di interazione.
se sono presenti indici relativi ad ulteriori numeri quantici (ad esempio spin) occorre
contrarre sugli indici ripetuti, tenendo eventualmente conto delle degenerazioni.
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Approssimazione al primo ordine
Operatori termodinamici e funzione di Matsubara
Regole di Feynman (spazio degli impulsi)
Nello spazio degli impulsi, all’ordine n:
si disegnano tutti i diagrammi topologicamente distinti con n interazioni e 2n + 1 linee
orientate di particelle, assegnando ad ogni linea orientata un vettore d’onda e una
frequenza (discreta) in modo che si conservino ad ogni vertice;
0 (k, ω ) =
ad ogni linea di particella orientata si associa Gαβ
n
δαβ
ıωn −(²0 −µ)
;
k
si associa un fattore V (k, ωn ) ≡ V (k) ad ogni linea di interazione;
si integra sulle variabili interne;
si moltiplica ogni diagramma per (−1)n (−1)L
1 1
, dove L è il numero di loops
(2π)3 β
fermionici chiusi;
si inserisce un fattore di convergenza e ıωn η ogni volta che una linea di particella si
chiude su se stessa o su una stessa linea di interazione.
se sono presenti indici relativi ad ulteriori numeri quantici (ad esempio spin) occorre
contrarre sugli indici ripetuti, tenendo eventualmente conto delle degenerazioni.
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Regole di Feynman (spazio degli impulsi)
Nello spazio degli impulsi, all’ordine n:
si disegnano tutti i diagrammi topologicamente distinti con n interazioni e 2n + 1 linee
orientate di particelle, assegnando ad ogni linea orientata un vettore d’onda e una
frequenza (discreta) in modo che si conservino ad ogni vertice;
0 (k, ω ) =
ad ogni linea di particella orientata si associa Gαβ
n
δαβ
ıωn −(²0 −µ)
;
k
si associa un fattore V (k, ωn ) ≡ V (k) ad ogni linea di interazione;
si integra sulle variabili interne;
si moltiplica ogni diagramma per (−1)n (−1)L
1 1
, dove L è il numero di loops
(2π)3 β
fermionici chiusi;
si inserisce un fattore di convergenza e ıωn η ogni volta che una linea di particella si
chiude su se stessa o su una stessa linea di interazione.
se sono presenti indici relativi ad ulteriori numeri quantici (ad esempio spin) occorre
contrarre sugli indici ripetuti, tenendo eventualmente conto delle degenerazioni.
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Regole di Feynman (spazio degli impulsi)
Nello spazio degli impulsi, all’ordine n:
si disegnano tutti i diagrammi topologicamente distinti con n interazioni e 2n + 1 linee
orientate di particelle, assegnando ad ogni linea orientata un vettore d’onda e una
frequenza (discreta) in modo che si conservino ad ogni vertice;
0 (k, ω ) =
ad ogni linea di particella orientata si associa Gαβ
n
δαβ
ıωn −(²0 −µ)
;
k
si associa un fattore V (k, ωn ) ≡ V (k) ad ogni linea di interazione;
si integra sulle variabili interne;
si moltiplica ogni diagramma per (−1)n (−1)L
1 1
, dove L è il numero di loops
(2π)3 β
fermionici chiusi;
si inserisce un fattore di convergenza e ıωn η ogni volta che una linea di particella si
chiude su se stessa o su una stessa linea di interazione.
se sono presenti indici relativi ad ulteriori numeri quantici (ad esempio spin) occorre
contrarre sugli indici ripetuti, tenendo eventualmente conto delle degenerazioni.
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Regole di Feynman (spazio degli impulsi)
Nello spazio degli impulsi, all’ordine n:
si disegnano tutti i diagrammi topologicamente distinti con n interazioni e 2n + 1 linee
orientate di particelle, assegnando ad ogni linea orientata un vettore d’onda e una
frequenza (discreta) in modo che si conservino ad ogni vertice;
0 (k, ω ) =
ad ogni linea di particella orientata si associa Gαβ
n
δαβ
ıωn −(²0 −µ)
;
k
si associa un fattore V (k, ωn ) ≡ V (k) ad ogni linea di interazione;
si integra sulle variabili interne;
si moltiplica ogni diagramma per (−1)n (−1)L
1 1
, dove L è il numero di loops
(2π)3 β
fermionici chiusi;
si inserisce un fattore di convergenza e ıωn η ogni volta che una linea di particella si
chiude su se stessa o su una stessa linea di interazione.
se sono presenti indici relativi ad ulteriori numeri quantici (ad esempio spin) occorre
contrarre sugli indici ripetuti, tenendo eventualmente conto delle degenerazioni.
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Nello spazio degli impulsi, all’ordine n:
si disegnano tutti i diagrammi topologicamente distinti con n interazioni e 2n + 1 linee
orientate di particelle, assegnando ad ogni linea orientata un vettore d’onda e una
frequenza (discreta) in modo che si conservino ad ogni vertice;
0 (k, ω ) =
ad ogni linea di particella orientata si associa Gαβ
n
δαβ
ıωn −(²0 −µ)
;
k
si associa un fattore V (k, ωn ) ≡ V (k) ad ogni linea di interazione;
si integra sulle variabili interne;
si moltiplica ogni diagramma per (−1)n (−1)L
1 1
, dove L è il numero di loops
(2π)3 β
fermionici chiusi;
si inserisce un fattore di convergenza e ıωn η ogni volta che una linea di particella si
chiude su se stessa o su una stessa linea di interazione.
se sono presenti indici relativi ad ulteriori numeri quantici (ad esempio spin) occorre
contrarre sugli indici ripetuti, tenendo eventualmente conto delle degenerazioni.
Gabriele Sicuro
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Approssimazione al primo ordine
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Nello spazio degli impulsi, all’ordine n:
si disegnano tutti i diagrammi topologicamente distinti con n interazioni e 2n + 1 linee
orientate di particelle, assegnando ad ogni linea orientata un vettore d’onda e una
frequenza (discreta) in modo che si conservino ad ogni vertice;
0 (k, ω ) =
ad ogni linea di particella orientata si associa Gαβ
n
δαβ
ıωn −(²0 −µ)
;
k
si associa un fattore V (k, ωn ) ≡ V (k) ad ogni linea di interazione;
si integra sulle variabili interne;
si moltiplica ogni diagramma per (−1)n (−1)L
1 1
, dove L è il numero di loops
(2π)3 β
fermionici chiusi;
si inserisce un fattore di convergenza e ıωn η ogni volta che una linea di particella si
chiude su se stessa o su una stessa linea di interazione.
se sono presenti indici relativi ad ulteriori numeri quantici (ad esempio spin) occorre
contrarre sugli indici ripetuti, tenendo eventualmente conto delle degenerazioni.
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Regole di Feynman (spazio degli impulsi)
Nello spazio degli impulsi, all’ordine n:
si disegnano tutti i diagrammi topologicamente distinti con n interazioni e 2n + 1 linee
orientate di particelle, assegnando ad ogni linea orientata un vettore d’onda e una
frequenza (discreta) in modo che si conservino ad ogni vertice;
0 (k, ω ) =
ad ogni linea di particella orientata si associa Gαβ
n
δαβ
ıωn −(²0 −µ)
;
k
si associa un fattore V (k, ωn ) ≡ V (k) ad ogni linea di interazione;
si integra sulle variabili interne;
si moltiplica ogni diagramma per (−1)n (−1)L
1 1
, dove L è il numero di loops
(2π)3 β
fermionici chiusi;
si inserisce un fattore di convergenza e ıωn η ogni volta che una linea di particella si
chiude su se stessa o su una stessa linea di interazione.
se sono presenti indici relativi ad ulteriori numeri quantici (ad esempio spin) occorre
contrarre sugli indici ripetuti, tenendo eventualmente conto delle degenerazioni.
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Approssimazione al primo ordine
Operatori termodinamici e funzione di Matsubara
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Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
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Approssimazione al primo ordine
Operatori termodinamici e funzione di Matsubara
Equazioni di Dyson
Le equazioni di Dyson rimangono inalterate, in virtù della stessa formulazione
diagrammatica della teoria. In rappresentazione delle coordinate
G (x, x0 , τ − τ0 ) = G 0 (x, x0 , τ − τ0 ) +
Ï
d4 x1 d4 x2 G 0 (x, x1 , τ − τ1 )Σ̃(x1 , x2 , τ1 − τ2 )G 0 (x2 , x0 , τ2 − τ0 )
= G 0 (x, x0 , τ − τ0 ) +
Ï
d4 x1 d4 x2 G 0 (x, x1 , τ − τ1 )Σ(x1 , x2 , τ1 − τ2 )G (x2 , x0 , τ2 − τ0 )
sommando implicitamente su eventuali numeri di spin.
Nello spazio degli impulsi
G (k, ωn ) = G 0 (k, ωn ) + G 0 (k, ωn )Σ(k, ωn )G (k, ωn )
Gαβ (k, ωn ) = h
δαβ
1
=
i−1
0
0 (k, ω )
Gαβ
− Σ(k, ωn ) ıωn − (²k − µ) − Σ(k, ωn )
n
Abbiamo indicato con Σ l’autoenergia propria, con Σ̃ quella impropria.
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Equazioni di Dyson
Le equazioni di Dyson rimangono inalterate, in virtù della stessa formulazione
diagrammatica della teoria. In rappresentazione delle coordinate
G (x, x0 , τ − τ0 ) = G 0 (x, x0 , τ − τ0 ) +
Ï
d4 x1 d4 x2 G 0 (x, x1 , τ − τ1 )Σ̃(x1 , x2 , τ1 − τ2 )G 0 (x2 , x0 , τ2 − τ0 )
= G 0 (x, x0 , τ − τ0 ) +
Ï
d4 x1 d4 x2 G 0 (x, x1 , τ − τ1 )Σ(x1 , x2 , τ1 − τ2 )G (x2 , x0 , τ2 − τ0 )
sommando implicitamente su eventuali numeri di spin.
Nello spazio degli impulsi
G (k, ωn ) = G 0 (k, ωn ) + G 0 (k, ωn )Σ(k, ωn )G (k, ωn )
Gαβ (k, ωn ) = h
δαβ
1
=
i−1
0
0 (k, ω )
Gαβ
− Σ(k, ωn ) ıωn − (²k − µ) − Σ(k, ωn )
n
Abbiamo indicato con Σ l’autoenergia propria, con Σ̃ quella impropria.
Gabriele Sicuro
Formalismo dei molti corpi a temperatura finita
Meccanica statistica in RNO
Propagatore per temperature finite
Diagrammi e regole di Feynman
Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
Bibliografia
Regole di Feynman
Equazioni di Dyson
Approssimazione al primo ordine
Operatori termodinamici e funzione di Matsubara
Espansione di G per basse temperature
La dipendenza di G da T è contenuta sia in Σ sia in ωn . Esplicitando la dipendenza
nell’equazione di Dyson
G (k, ωn , T ) = G 0 (k, ωn ) + G 0 (k, ωn )Σ(k, ωn , T )G (k, ωn , T )
h
i−1
− Σ(k, ωn , T )
[G (k, ωn , T )]−1 = G 0 (k, ωn )
Dunque scriviamo le seguenti relazioni (la dipendenza da T esplicitata fa riferimento alla
dipendenza in Σ)
h
i−1
− Σ(k, ωn , T )
[G (k, ωn , T )]−1 = G 0 (k, ωn )
h
i−1
− Σ(k, ωn , 0)
[G (k, ωn , 0)]−1 = G 0 (k, ωn )
Sottraendo il secondo al primo e moltiplicando il risultato per G (k, ωn , 0) a sinistra e
G (k, ωn , T ) a destra
G (k, ωn , T ) = G (k, ωn , 0) + G (k, ωn , 0) [Σ(k, ωn , T ) − Σ(k, ωn , 0)] G (k, ωn , T ) −−−−−−−→
T piccolo
≈ G (k, ωn , 0) + G (k, ωn , 0) [Σ(k, ωn , T ) − Σ(k, ωn , 0)] G (k, ωn , 0)
Gabriele Sicuro
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Meccanica statistica in RNO
Propagatore per temperature finite
Diagrammi e regole di Feynman
Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
Bibliografia
Regole di Feynman
Equazioni di Dyson
Approssimazione al primo ordine
Operatori termodinamici e funzione di Matsubara
Approssimazione al primo ordine
Consideriamo lo sviluppo al primo ordine in figura, in assenza di campi esterni
0 = δ G 0 ); allora abbiamo
(Gαβ
αβ
G (k, ωn ) ≈ G 0 (k, ωn ) −
×
i2 1
1h 0
G (k, ωn )
β
(2π)3
X ıω η Z 3 0
e n0
d k (∓(2s + 1)V (0)G 0 (k0 , ωn0 ) + V (k − k0 )G 0 (k0 , ωn0 ))
n0
da confrontare con l’equazione G (k, ωn ) = G 0 (k, ωn ) + G 0 (k, ωn )Σ̃(k, ωn )G 0 (k, ωn ), dunque
al primo ordine l’autoenergia (impropria) è
Z
1 1 X ıω 0 η
n
Σ̃1 (k, ωn ) ≡ Σ̃1 (k) = −
e
d3 k0 (∓(2s + 1)V (0) + V (k − k0 ))G 0 (k0 , ωn0 )
β (2π)3 m
Z
X
d3 k0 ¡
e ıωn0 η
0 ¢
=
±(2s
+
1)V
(0)
−
V
(k
−
k
)
0
β(2π)3
n0 ıωn0 − ²k + µ
Gabriele Sicuro
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Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
Bibliografia
Regole di Feynman
Equazioni di Dyson
Approssimazione al primo ordine
Operatori termodinamici e funzione di Matsubara
Operatori a un corpo; numero di particelle
Supponiamo che ci sia dipendenza da un set di numeri quantici aggiuntivi, finora trascurati.
Per un operatore ad un corpo J,
Z
h
i
1 £ ¤ 1 X
usiamo la proprietà ciclica della traccia
tr ρJ =
lim Jβα (x)tr ρψ†β (x0 )ψα (x) d3 x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
0
Z
Z αβ x →x
per passare dalla rappresentazione S. alla H.
Z
XZ
£
¤
=±
lim lim Jβα (x)Gαβ (x, τ, x0 , τ0 ) d3 x = ± lim lim tr J(x)G (x, τ, x0 , τ0 ) d3 x
〈J〉 =
αβ
x0 →x τ0 →τ+
x0 →x τ0 →τ+
Per l’operatore numero di particelle
X
α
h
i
X
£
¤
Gαα = tr G (x, τ, x, τ+ ) = ± Z1 tr ρ ψ̃†α (x, τ)ψ̃α (x, τ) = ± 〈n(x)〉 ⇒
α
Z
£
¤
tr G (x, τ, x, τ+ ) d3 x
Z
X
V 1
=±
d3 k e ıωn η tr [G (k, ωn )]
(2π)3 β
n
N=
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Bibliografia
Regole di Feynman
Equazioni di Dyson
Approssimazione al primo ordine
Operatori termodinamici e funzione di Matsubara
Operatori a un corpo; numero di particelle
Supponiamo che ci sia dipendenza da un set di numeri quantici aggiuntivi, finora trascurati.
Per un operatore ad un corpo J,
Z
h
i
1 £ ¤ 1 X
usiamo la proprietà ciclica della traccia
tr ρJ =
lim Jβα (x)tr ρψ†β (x0 )ψα (x) d3 x −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
0
Z
Z αβ x →x
per passare dalla rappresentazione S. alla H.
Z
XZ
£
¤
=±
lim lim Jβα (x)Gαβ (x, τ, x0 , τ0 ) d3 x = ± lim lim tr J(x)G (x, τ, x0 , τ0 ) d3 x
〈J〉 =
αβ
x0 →x τ0 →τ+
x0 →x τ0 →τ+
Per l’operatore numero di particelle
X
α
h
i
X
£
¤
Gαα = tr G (x, τ, x, τ+ ) = ± Z1 tr ρ ψ̃†α (x, τ)ψ̃α (x, τ) = ± 〈n(x)〉 ⇒
α
Z
£
¤
tr G (x, τ, x, τ+ ) d3 x
Z
X
V 1
=±
d3 k e ıωn η tr [G (k, ωn )]
(2π)3 β
n
N=
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Regole di Feynman
Equazioni di Dyson
Approssimazione al primo ordine
Operatori termodinamici e funzione di Matsubara
Alcune grandezze di interesse statistico
³
¤´
R
∇2 £
Energia cinetica 〈T 〉 = ± limx0 →x − 2m
tr G (x, τ, x0 , τ+ ) d3 x.
Potenziale di interazione (supposto
indipendente
dallo spin)
³
´ £
¤
R
∇2
〈V 〉 = ± 21 limx0 →x limτ0 →τ −∂τ + 2m
+ µ tr G (x, τ, x0 , τ0 ) d3 x.
Dimostrazione
Energia totale
〈E〉 = 〈T + V 〉 = ± 21
±V
R
³
´ £
¤
∇2
limx0 →x limτ0 →τ −∂τ − 2m
+ µ tr G (x, τ, x0 , τ0 ) d3 x =
0
1 1 R P ıωn η ıωn +²k +µ
tr [G (k, ωn )] d3 k.
ne
2
(2π)3 β
Potenziale di Landau Ω: introducendo la variabile
ausiliaria
³
´ hλ in K (λ) = K0 i+ λK1 ,
R 1
R
∇2
Ω = Ω0 ± 01 λ
+ µ tr G λ (x, τ, x0 , τ0 ) =
dλ d3 x limx0 →x limτ0 →τ+ 12 −∂τ + 2m
h
i
0
R 1
1 R 3 P ıωn η ıωn −²k +µ
Dimostrazione
dλ 1 3 β
d k ne
tr G λ (k, ωn ) .
Ω0 ± V 01 λ
2
(2π)
Gabriele Sicuro
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Propagatore per temperature finite
Diagrammi e regole di Feynman
Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
Bibliografia
Approssimazione Hartree-Fock
Entropia del sistema
Conclusioni
Approssimazione Hartree-Fock
Supponiamo dunque di avere un gas di fermioni a spin s = 21 con interazioni non dipendenti
dallo spin, ovvero Gαβ = δαβ G . Usiamo l’approssimazione di Hartree-Fock:
Dalle regole di Feynman
Σ(k, T ) =
1 1
β (2π)3
Z
£
¤ X ıω 0 η
d3 q 2V (0) − V (k − q)
e n G (q, ωn0 , T )
n0
Z
£
¤ X ıω 0 η
1 1
=
d3 q 2V (0) − V (k − q)
e n
3
β (2π)
n0
n
o
× G (k, ωn , 0) + G 2 (k, ωn , 0) [Σ(k, T ) − Σ(k, 0)]
(osserviamo che Σ non dipende da T tramite ωn )
Gabriele Sicuro
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Propagatore per temperature finite
Diagrammi e regole di Feynman
Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
Bibliografia
Approssimazione Hartree-Fock
Entropia del sistema
Conclusioni
Approssimazione Hartree-Fock
1 R∞
1P
−−−→ 2π
Si prova a questo punto che il passaggio β
n−
−∞ dωn non è ammesso, in quanto
T →0
integrale e serie non convergono allo stesso limite† .
1 X iω 0 η
1X
eiωn0 η
∂
e n [G (q, ωn0 , 0)]2 =
=
β n0
β n0 (ıωn0 − ²q + µ)2 ∂²q
con ²q = ²0q + Σ(q, 0), fq (T ) =
Σ(k, T ) =
Σ(k, 0) =
1
#
∂fq (T )
1X
e ıωn0 η
=
β n0 ıωn0 − ²q + µ
∂²q
∂fq ¯
∂fq (T )
1
. Perciò, da ∂² ≈ ∂² ¯
+ O (T )
q
q T =0
eβ(²q −µ) +1
¯
Z
(
)
¯
∂fq ¯
£
¤
¯
d3 q 2V (0) − V (k − q) fq (T ) + [Σ(k, T ) − Σ(k, 0)]
∂²q ¯T =0
Z
£
¤
d3 q 2V (0) − V (k − q) θ(µ − ²q )
| {z }
(2π)3
1
"
(2π)3
fq (0)
Σ(k, T ) − Σ(k, 0) =
1
(2π)3
Z
)
¯
∂fq ¯
£
¤
¯
d3 q 2V (0) − V (k − q) fq (T ) − fq (0) + [Σ(k, T ) − Σ(k, 0)]
∂²q ¯T =0
(
† Si può provare con tecniche di Analisi Complessa che
X
e ıωn η
β
lim
=
,
η→0 n dispari ıωn − x
eβx + 1
X e ıωn η
β
lim
=
.
η→0 n pari ıωn − x
eβx − 1
Gabriele Sicuro
Dimostrazione
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Propagatore per temperature finite
Diagrammi e regole di Feynman
Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
Bibliografia
Approssimazione Hartree-Fock
Entropia del sistema
Conclusioni
Approssimazione Hartree-Fock
K (T , V , µ) =
=
+
=
V
V
d3 k
1 X ıωn η ıωn + ²k
e
tr [G (k, ωn , T )]
β n
2
Z
d3 k
1 X ıωn η
e
(ıωn + ²0k )G (k, ωn , 0)
β n
Z
d3 k
1 X ıωn η
e
(ıωn + ²0k )[G (k, ωn , 0)]2 [Σ(k, T ) − Σ(k, 0)]
β n
Z
£
¤
d3 k 2(²k − µ) − Σ(k, 0) fk (T )
(2π)3
V
(2π)3
V
(2π)3
0
Z
(2π)3
½
¾
Z
£
¤ ∂fk (T )
V
d3 k fk (T ) + 2(²k − µ) − Σ(k, 0)
[Σ(k, T ) − Σ(k, 0)]
∂²k
(2π)3
Z
Z
£
¤
∂f (0)
V
V
K (T , V , µ) − K (0, V , µ) =
2(²k − µ) fk (T ) − fk (0) d3 k +
2(²k − µ) k
[Σ(k, T ) − Σ(k, 0)] d3 k
∂²k
(2π)3
(2π)3
{z
}
|
+
= 0, essendo
+
V
(2π)3
|
Z
fk (0) [Σ(k, T ) − Σ(k, 0)] d3 k −
V
Z
(2π)3
∂fk (0)
= δ(²k − µ)
∂²k
¾
½
∂f (0)
Σ(k, 0) fk (T ) − fk (0) + k
[Σ(k, T ) − Σ(k, 0)] d3 k
∂²k
{z
}
si provano essere nulli sostituendo l’espressione per Σ(k, T ) − Σ(k, 0)
K (T , V , µ) − K (0, V , µ) =
V
(2π)3
Gabriele Sicuro
Z
£
¤
2(²k − µ) fk (T ) − fk (0) d3 k
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Bibliografia
Approssimazione Hartree-Fock
Entropia del sistema
Conclusioni
Approssimazione Hartree-Fock
K (T , V , µ) =
=
+
=
V
V
d3 k
1 X ıωn η ıωn + ²k
e
tr [G (k, ωn , T )]
β n
2
Z
d3 k
1 X ıωn η
e
(ıωn + ²0k )G (k, ωn , 0)
β n
Z
d3 k
1 X ıωn η
e
(ıωn + ²0k )[G (k, ωn , 0)]2 [Σ(k, T ) − Σ(k, 0)]
β n
Z
£
¤
d3 k 2(²k − µ) − Σ(k, 0) fk (T )
(2π)3
V
(2π)3
V
(2π)3
0
Z
(2π)3
½
¾
Z
£
¤ ∂fk (T )
V
d3 k fk (T ) + 2(²k − µ) − Σ(k, 0)
[Σ(k, T ) − Σ(k, 0)]
∂²k
(2π)3
Z
Z
£
¤
∂f (0)
V
V
K (T , V , µ) − K (0, V , µ) =
2(²k − µ) fk (T ) − fk (0) d3 k +
2(²k − µ) k
[Σ(k, T ) − Σ(k, 0)] d3 k
∂²k
(2π)3
(2π)3
{z
}
|
+
= 0, essendo
+
V
(2π)3
|
Z
fk (0) [Σ(k, T ) − Σ(k, 0)] d3 k −
V
Z
(2π)3
∂fk (0)
= δ(²k − µ)
∂²k
¾
½
∂f (0)
Σ(k, 0) fk (T ) − fk (0) + k
[Σ(k, T ) − Σ(k, 0)] d3 k
∂²k
{z
}
si provano essere nulli sostituendo l’espressione per Σ(k, T ) − Σ(k, 0)
K (T , V , µ) − K (0, V , µ) =
V
(2π)3
Gabriele Sicuro
Z
£
¤
2(²k − µ) fk (T ) − fk (0) d3 k
Formalismo dei molti corpi a temperatura finita
Meccanica statistica in RNO
Propagatore per temperature finite
Diagrammi e regole di Feynman
Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
Bibliografia
Approssimazione Hartree-Fock
Entropia del sistema
Conclusioni
Entropia del sistema
Dalla Meccanica Statistica sappiamo che dΩ = −S dT − µ dN − p dV ;
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∂K
∂Ω
∂S
∂S
=
+S+T
=T
∂T V ,µ
∂T V ,µ
∂T V ,µ
∂T V ,µ
µ
¶
µ
¶
Z
2 dk
3
supponiamo
k
∂S
∂K
∂
d k
d²k lentamente variabile
T
=
=V
2(²
−
µ)f
(T
)
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
k
k
² −µ
∂T V ,µ
∂T V ,µ
∂T
(2π)3
ξ= k
K = Ω + TS ⇒
µ
2kB T
µ
¶
µ
¶
Z ∞
dk
1
2
2
2
2 dk
2
2
≈ V kB
T k2
ξ
sech
ξ
dξ
=
V
k
T
k
B
d²k ² =µ π2 −∞
3
d²k ² =µ
k
k
S(T , V , µ) =
" µ
¶ #
d²k −1
1
2
V kB
T k2
3
dk
²k =µ
Gabriele Sicuro
Formalismo dei molti corpi a temperatura finita
Calcolo esplicito
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Propagatore per temperature finite
Diagrammi e regole di Feynman
Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
Bibliografia
Approssimazione Hartree-Fock
Entropia del sistema
Conclusioni
Entropia del sistema
Per ottenere un’espressione dell’entropia dipendente esplicitamente da N, possiamo usare
R
k3
per quest’ultimo l’approssimazione N = 2 V 3 θ(kF − k) d3 k = V F2 . Inoltre l’impulso di
(2π)
3π
Fermi è definito dalla relazione
µ = ²kF =
kF2
2m
+ Σ(kF , 0) =
kF2
2m
(Z
+
d3 q
(2π)3
)
[2V (0) − V (k − q)]θ(kF − q)
Definendo massa effettiva la quantità m∗ nella relazione
¯
¯
d²k ¯¯
kF
1
1
1 ∂Σ(k, 0) ¯¯
= ∗ ⇒ ∗ =
+
¯
dk kF m
m
m kF
∂k ¯k=kF
Grazie alle precedenti possiamo scrivere
2
S(T , V , N) = NkB
µ
¶
2m∗ π2
∂S
T =T
≡ CV
2
∂T V ,µ
kF 2
Gabriele Sicuro
Formalismo dei molti corpi a temperatura finita
k=kF
Meccanica statistica in RNO
Propagatore per temperature finite
Diagrammi e regole di Feynman
Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
Bibliografia
Approssimazione Hartree-Fock
Entropia del sistema
Conclusioni
Conclusioni
Per concludere, osserviamo che:
le funzioni termodinamiche in prossimità dello zero assoluto dipendono solo dallo
spettro di eccitazione a temperatura nulla;
dato che Σ(k, T ) non dipende da ωn , lo spettro di singola particella ²k risulta
semplicemente traslato;
la capacità termica è determinata dalle particelle in una shell energetica di spessore
kB T attorno all’energia di Fermi ²F : infatti a temperatura fissata
£
¤
R
R
∆E = kB T V 3 2(²k − µ) fk (T ) − fk (0) d3 k ∝ kB T V 3 |² −² |.k T d3 k.
(2π)
(2π)
Gabriele Sicuro
k
F
B
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Propagatore per temperature finite
Diagrammi e regole di Feynman
Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
Bibliografia
Approssimazione Hartree-Fock
Entropia del sistema
Conclusioni
Conclusioni
Per concludere, osserviamo che:
le funzioni termodinamiche in prossimità dello zero assoluto dipendono solo dallo
spettro di eccitazione a temperatura nulla;
dato che Σ(k, T ) non dipende da ωn , lo spettro di singola particella ²k risulta
semplicemente traslato;
la capacità termica è determinata dalle particelle in una shell energetica di spessore
kB T attorno all’energia di Fermi ²F : infatti a temperatura fissata
£
¤
R
R
∆E = kB T V 3 2(²k − µ) fk (T ) − fk (0) d3 k ∝ kB T V 3 |² −² |.k T d3 k.
(2π)
(2π)
Gabriele Sicuro
k
F
B
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Diagrammi e regole di Feynman
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Bibliografia
Approssimazione Hartree-Fock
Entropia del sistema
Conclusioni
Conclusioni
Per concludere, osserviamo che:
le funzioni termodinamiche in prossimità dello zero assoluto dipendono solo dallo
spettro di eccitazione a temperatura nulla;
dato che Σ(k, T ) non dipende da ωn , lo spettro di singola particella ²k risulta
semplicemente traslato;
la capacità termica è determinata dalle particelle in una shell energetica di spessore
kB T attorno all’energia di Fermi ²F : infatti a temperatura fissata
£
¤
R
R
∆E = kB T V 3 2(²k − µ) fk (T ) − fk (0) d3 k ∝ kB T V 3 |² −² |.k T d3 k.
(2π)
(2π)
Gabriele Sicuro
k
F
B
Formalismo dei molti corpi a temperatura finita
Meccanica statistica in RNO
Propagatore per temperature finite
Diagrammi e regole di Feynman
Calore specifico di un gas di Fermi basse temperature
Bibliografia
Fetter A.L., Walecka J.D., Quantum Theory of Many-Particle Systems, Courier Dover
Publications, 2003.
Mattuck R.D., A Guide to Feynman Diagram in the Many Body Problem, Courier Dover
Publications, 1992.
Matsubara T., A New Approach to Quantum-Statistical Physics, Progress of Theoretical
Physics, 1955.
Abrikosov A.A., Gorkov L.P., Dzyaloshinski, Methods of Quantum Field Theory in
Statistical Physics, Pergamon Press, 1965.
Landau L.D., Lifshitz, Course of Theoretical Physics, Vol. 9: Statistical Physics, part 2,
Pergamon Press, 1980.
Appunti del corso.
Gabriele Sicuro
Formalismo dei molti corpi a temperatura finita
Appendice
Risposta lineare
Grandezze termodinamiche
Somme di frequenze di Matsubara
Calcolo esplicito dell’entropia
Risposta lineare
Supponiamo di avere H = K0 + K1 (t) = K0 + BFt , dove Ft −−−−−→ 0 è un c-numero dipendente
t→−∞
debolmente dal tempo, K0 = H0 − µN; allora, detto O un generico operatore non dipendente
dal tempo
(
(
tr [ρ O ]
tr [ρ O ]
〈O 〉t = Zt
〈O 〉0 = Z0
−−−−−→
t→−∞
ρt
ρ 0 = e−βK0
(
(
ı ρ̇ t = [H0 , ρ t ]
ı ρ̂˙ t = [H, ρ̂ t ]
passo in rappresentazione
Equazioni per ρ
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
di interazione
limt→−∞ ρ t = ρ 0
limt→−∞ ρ̂ t = ρ 0
Con opportuni calcoli si arriva alla relazione
ρ̂ t = ρ 0 −ı
Z t
−∞
[K̂ (t 0 ), ρ̂ t 0 ] dt 0 ,
Z t
Z t
£
¤
£
¤
ı
ı
dt 0 tr ρ̂ t 0 [Ô (t), K̂ (t 0 )]] = 〈O 〉0 −
dt 0 tr ρ t 0 [Õ (t), K̃ (t 0 )]
Z −∞
Z −∞
Z t
0
R
Torna indietro
= 〈O 〉0 +
dt 0 ḠO
,K (t, t )
〈O 〉t = 〈O 〉0 −
−∞
1
Gabriele Sicuro
Formalismo dei molti corpi a temperatura finita
Appendice
Risposta lineare
Grandezze termodinamiche
Somme di frequenze di Matsubara
Calcolo esplicito dell’entropia
Potenziale V
Supponendo il potenziale indipendente dallo spin,
∂τ ψ̃α (x, τ) = [K̃ , ψ̃α (x, τ)] −−−−−−−−−−−−−−→
eseguendo i calcoli
Z
1 2
∇ ψ̃α (x, τ) + µψ̃α (x, τ) − d3 x00 ψ̃†γ (x00 , τ)ψ̃γ (x00 , τ)V (x − x00 )ψ̃α (x, τ)
2m
h
i
hρ
i
lim ∂τ Gαβ (x, τ, x0 , τ0 ) = ±tr
ψ̃†β (x0 , τ)∂τ ψ̃α (x, τ)
0
+
Z
τ →τ
µ
¶ Z
¸
·
1 2
ρ † 0
ψ̃β (x , τ)
∇ ψ̃α (x, τ) + µψ̃α (x, τ) − d3 x00 ψ̃†γ (x00 , τ)ψ̃γ (x00 , τ)V (x − x00 )ψ̃†β (x0 , τ)ψ̃α (x, τ)
= ±tr
Z
2m
D’altronde, per definizione
Ï
hρ
i
1
〈V 〉 ≡
d3 x d3 x0 V (x − x0 )tr
ψ† (x)ψ†γ (x0 )ψγ (x0 )ψα (x)
2
Z α
Ã
!
Z
£
¤
1
∇2
proprietà ciclica
Torna indietro
−−−−−−−−−−−−→ = ±
d3 x lim lim −∂τ +
+ µ tr G (x, τ, x0 , τ0 )
2
2m
della traccia
x0 →x τ0 →τ
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Risposta lineare
Grandezze termodinamiche
Somme di frequenze di Matsubara
Calcolo esplicito dell’entropia
Potenziale di Landau Ω
h
i
1
1
Se riscriviamo K (λ) = K0 + λK1 , dalla relazione Ωλ = − β
ln Z λ = − β
ln tr e−βK (λ)
∞ (−β)n ∂
£
¤
∂Ωλ
1 ∂Z λ
1 X
=−
=−
tr (K0 + λK1 )n
∂λ
βZ λ ∂λ
βZ λ n=1 n! ∂λ
i
h
i
∞ n(−β)n h
1 X
1
=−
tr (K0 + λK1 )n−1 K1 =
tr e−βK (λ) K1
βZ λ n=1 n!
Zλ
=
1
〈λK1 〉λ ,
λ
〈·〉λ
media su autostati di K (λ)
Z 1
1
〈λK1 〉λ dλ
0 λ
Ã
!
Z 1
Z
h
i
1
∇2
1
−∂τ +
= Ω0 ±
dλ d3 x lim lim
+ µ tr G λ (x, τ, x0 , τ0 )
0
0
+
2m
x→x τ →τ 2
0 λ
Ω = Ω0 +
= Ω0 ± V
Z 1
Z
i
ıωn − ²0k + µ h
X
1
1 1
dλ
d3 k e ıωn η
tr G λ (k, ωn )
3
λ
β
2
(2π)
0
n
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Somme di frequenze di Matsubara
Calcolo esplicito dell’entropia
Dimostrazione di alcune relazioni notevoli
Mostriamo ora come vengono valutate alcune somme ricorrenti, giustificando
l’introduzione del fattore e ıωn η in rappresentazione degli impulsi. Consideriamo la somma
X e ıωn η
n ıωn − x
ωn =
nπ
T
Il fattore e ıωn η è indispensabile perché la serie converga e va rimosso solo dopo averne
ıωn η
e
ha dei poli per
stimato la somma. Prolungando nel piano complesso, l’espressione ıω
n −z
z = ıωn . La somma corre solitamente o sugli interi pari o sugli interi dispari (bosoni e
fermioni rispettivamente).
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L’integrale
∓
Risposta lineare
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Calcolo esplicito dell’entropia
Z
eηz
β
dz
2πı C eβz ± 1 z − x
ha integrando con poli in z = 2πı
n = ıωn , n dispari e pari rispettivamente, e i suoi residui
β
1 e ıωn η
valgono ∓ β
ıωn −x ; dunque sul cammino C
∓
Z
X e ıωn η
β
dz
eηz
=
2πı C eβz ± 1 z − x
n ıωn − x
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Risposta lineare
Grandezze termodinamiche
Somme di frequenze di Matsubara
Calcolo esplicito dell’entropia
Deformando C in C 0 + Γ, con raggio di Γ che va all’infinito, allora è applicabile il lemma di
Jordan sia in ℜz > 0 sia in ℜz < 0 purché 0 < η < β. Possiamo dunque limitarci al calcolo
lungo C 0 . Sempre dal teorema dei residui,
lim
η→0
X
dispari
n pari
e ıωn η
±β
=
ıωn − x eβx ± 1
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Somme di frequenze di Matsubara
Calcolo esplicito dell’entropia
Calcolo esplicito dell’entropia
µ
T
µ
¶
µ
¶
¶
Z
Z
² −µ
∂
∂
∂K
d3 k
d3 k
∂S
2(²k − µ)fk (T ) = V
(²k − µ) 1 − tanh k
=
=V
3
3
∂T V ,µ
∂T V ,µ
∂T
∂T
2kB T
(2π)
(2π)
Z
3
²
−
µ
d k
V
(²k − µ)2 sech 2 k
=
2kB T
2kB T 2
(2π)3
Z ∞
dk
supponiamo k2 d²
lentamente variabile
² −µ
V
k
k2 (²k − µ)2 sech 2 k
dk −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
=
2
2
²
−µ
2kB T
4π kB T 0
ξ= k
2kB T
¶
µ
¶
µ
Z ∞
1
dk
2
dk
2
2
ξ2 sech 2 ξ dξ = V kB
≈ V kB
T k2
T k2
2
d²k ² =µ π −∞
3
d²k ² =µ
k
k
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