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Punti fissi, Classificazione e Linearizzazione
Home Page Titolo della pagina Indice slides JJ II J I Slides 1 di 20 Slide precedente Pieno Schermo Chiudi Esci Punti fissi, Classificazione e Linearizzazione Pietro Pantano Dipartimento di Matematica Università della Calabria Indice slides Home Page Titolo della pagina Indice slides JJ II J I Slides 2 di 20 1 Punti fissi 4 2 Classificazione dei punti fissi 5 3 Classificazione dei punti fissi /2 6 4 Classificazione dei punti fissi /3 7 5 Classificazione dei punti fissi /4 8 6 Classificazione dei punti fissi /5 9 7 Linearizzazione 10 8 Linearizzazione /2 11 9 Esempio: Sistema preda-predatore 12 10 Parametri di controllo 13 11 Punti fissi 14 Slide precedente Pieno Schermo Chiudi Esci 12 Linearizzazione del sistema 15 Home Page 13 Linearizzazione del sistema /2 16 Titolo della pagina 14 Linearizzazione del sistema /3 17 15 Sistema di van der Pol: Ciclo limite 18 16 Ciclo limite 20 Indice slides JJ II J I Slides 3 di 20 Slide precedente Pieno Schermo Chiudi Esci 1. Home Page Punti fissi Dato un sistema ẋ = F(x) Titolo della pagina i punti fissi sono le soluzioni dell’equazione Indice slides JJ II J I Slides 4 di 20 Slide precedente Pieno Schermo Chiudi Esci F(x) = 0 Esempio 3 Per il sistema: ẋ1 = x2 ẋ2 = − mb x2 − k x m 1 l’unico punto fisso é (x1 , x2 ) = (0, 0)) 2. Home Page Titolo della pagina Indice slides JJ II J I Slides 5 di 20 Slide precedente Pieno Schermo Chiudi Esci Classificazione dei punti fissi Consideriamo un sistema lineare omogeneo scritto in forma matriciale ẋ = Ax con det(A) 6= 0. Il punto (x1 , x2 ) = (0, 0) é l’unico punto fisso. Distinguiamo 4 tipi di punti fissi in base alla natura degli autovalori della matrice A. 3. Home Page Titolo della pagina Classificazione dei punti fissi /2 (0, 0) é un punto di SELLA se gli autovalori sono reali e di segno opposto (Figura 1) Indice slides JJ II J I Slides 6 di 20 Slide precedente Pieno Schermo Figure 1: Sella Chiudi Esci 4. Home Page Titolo della pagina Indice slides JJ II J I Classificazione dei punti fissi /3 (0, 0) é un NODO se gli autovalori sono reali e con lo stesso segno, in particolare si ha: 1. Nodo Stabile se gli autovalori sono entrambi negativi; 2. Nodo Instabile se gli autovalori sono entrambi positivi (Figura 2); Slides 7 di 20 Slide precedente Pieno Schermo Chiudi Esci Figure 2: Nodo instabile 5. Home Page Titolo della pagina Indice slides JJ II J I Classificazione dei punti fissi /4 (0, 0) é un FUOCO se gli autovalori sono complessi coniugati: λ = α ± iβ, in particolare si ha: 1. Fuoco Stabile se Reλ < 0 2. Fuoco instabile se Reλ > 0, (Figura 3); Slides 8 di 20 Slide precedente Pieno Schermo Chiudi Esci Figure 3: Fuoco instabile 6. Home Page Titolo della pagina Classificazione dei punti fissi /5 (0, 0) é un Centro se gli autovalori sono puramente immaginari: Reλ = 0 (Figura 4) Indice slides JJ II J I Slides 9 di 20 Slide precedente Pieno Schermo Chiudi Esci Figure 4: Centro 7. Home Page Titolo della pagina Indice slides JJ II J I Slides 10 di 20 Slide precedente Pieno Schermo Chiudi Esci Linearizzazione Consideriamo un sistema bidimensionale ẋ1 = f1 (x1 , x2 ) ẋ2 = f2 (x1 , x2 ) dove almeno una tra f1 , f2 é non lineare . Sia x = (x1 , x2 ) = (a, b) un punto fisso del sistema. Definiamo sistema linearizzato nell’intorno di x il sistema lineare che si ottiene troncando lo sviluppo di Taylor al primo ordine: ( ∂f ∂f x˙1 = ∂x (a, b)(x1 − a) + ∂x (a, b)(x2 − b) 1 2 ∂g ∂g x˙2 = ∂x1 (a, b)(x1 − a) + ∂x2 (a, b)(x2 − b) 8. Home Page Titolo della pagina Indice slides JJ II J I Slides 11 di 20 Slide precedente Pieno Schermo Chiudi Esci Linearizzazione /2 Posto y = x − x, il sistema linearizzato scritto in forma compatta é: ẏ = J(x̄)y dove J(x̄) é la matrice Jacobiana. Il punto fisso sará classificato in relazione agli autovalori della matrice Jacobiana. 9. Home Page Titolo della pagina Indice slides JJ II J I Slides 12 di 20 Slide precedente Pieno Schermo Chiudi Esci Esempio: Sistema preda-predatore Modello preda-predatore Ṅ1 = rN1 1 − Nk1 − αN1 N2 Ṅ2 = −cN2 + βN1 N2 dove N1 indica l’andamento delle prede e N2 l’andamento dei predatori in funzione del tempo. 10. Home Page Titolo della pagina Indice slides JJ II J I Slides 13 di 20 Slide precedente Pieno Schermo Chiudi Esci Parametri di controllo Nel sistema sono presenti i seguenti parametri di controllo: • α Indica l’efficacia della ricerca da parte dei predatori nello scovare le prede. • β Indica il tasso di accrescimento dei predatori per preda mangiata • k Fattore di ripopolamento della specie (non dovuto a cause naturali) • r Indica il tasso di accrescimento delle prede • c Tasso di mortalitá dei predatori Si assumono i parametri α, β, r,c numeri reali positivi compresi tra 0 ed 1, il parametro k maggiore di 1. 11. Home Page Punti fissi Il sistema presenta i seguenti punti fissi: Titolo della pagina (N1 , N2 ) = (0, 0) Indice slides (N1 , N2 ) = (k, 0) c βk − c (N1 , N2 ) = ( , r ) β αβk JJ II J I Slides 14 di 20 Slide precedente Pieno Schermo Chiudi Esci soluzioni del sistema: 0 = rN1 1 − Nk1 − αN1 N2 0 = −cN2 + βN1 N2 0 = N1 r 1 − Nk1 − αN2 0 = N2 (−c + βN1 ) 12. Linearizzazione del sistema Home Page J(N1 , N2 ) = Titolo della pagina Indice slides JJ II J I ∂f ∂N1 ∂g ∂N1 ∂f ∂N2 ∂g ∂N2 ! = −αN1 −c + βN1 (N1 , N2 ) = (0, 0) ha la matrice Jacobiana: J(0, 0) = r 0 0 −c Gli autovalori della matrice Jacobiana sono: Pieno Schermo Esci − aN2 Il sistema linearizzato nell’intorno del punto fisso Slides 15 di 20 Chiudi 2rN1 k βN2 Slide precedente r− λ1 = −r, λ2 = c. Il punto fisso (N1 , N2 ) = (0, 0) é una sella. (Verificare per α = β = 0.6,r = 0.8, c = 3, k = 15.) 13. Home Page Titolo della pagina Indice slides JJ II J I Slides 16 di 20 Slide precedente Pieno Schermo Chiudi Esci Linearizzazione del sistema /2 Il sistema linearizzato nell’intorno punto fisso (N1 , N2 ) = (k, 0) ha la matrice Jacobiana: −r −αk J(k, 0) = 0 −c + βk Gli autovalori della matrice jacobiana sono: λ1 = −r, λ2 = −c + βk < 0 ↔ βk − c < 0 → k < λ1 < 0, λ2 → = 0 ↔ βk − c = 0 → k = > 0 ↔ βk − c > 0 → k > c β c β c β Per α = β = 0.6,r = 0.8, c = 3, k = 15 il punto é una sella. Per k = 3 il punto é un nodo stabile. 14. Home Page Titolo della pagina Indice slides JJ II J I Linearizzazione del sistema /3 Il sistema linearizzato nell’intorno punto fisso c r (βk − c) (N1 , N2 ) = , β αβk ha la matrice Jacobiana: −cr c βk − c βk J( , r ) = r(βk−c) β αβk αk −αc β 0 Slides 17 di 20 Gli autovalori sono: Slide precedente Pieno Schermo Chiudi Esci cr (βk − c) cr λ+ =0 βk βk p c2 r2 − 4crβk (βk − ck) cr λ=− ± 2βk 2βk Per α = β = 0.6,r = 0.8, c = 3, k = 15, il punto é un fuoco stabile. λ2 + 15. Home Page Titolo della pagina Indice slides JJ II J I Slides 18 di 20 Slide precedente Pieno Schermo Chiudi Sistema di van der Pol: Ciclo limite Nei sistemi 2D é possibile che si presenti un nuovo tipo di attrattore: un’orbita chiusa, chiamata ciclo limite. L’equazione di van der Pol é la seguente ẍ + x + (x2 − 1)ẋ = 0 Sotto forma di sistema diventa: ẋ1 = x2 ẋ2 = (x21 − 1)x2 − x1 Punti fissi (x1 , x2 ) = (0, 0). Matrice Jacobiana: ! ∂f1 ∂f1 0 1 ∂x1 ∂x2 J(x1 , x2 ) = ∂f2 ∂f2 = −2x1 x2 − 1 (1 − x21 ) ∂x ∂x 1 2 Esci J(0, 0) = 0 1 −1 Autovalori JJ II −λ 1 2 −1 − λ = λ − λ + 1 = 0 √ ± 2 − 4 λ= 2 • e ≤ −2 Nodo Stabile J I • −2 < < 0 Fuoco Stabile Home Page Titolo della pagina Indice slides Slides 19 di 20 • = 0 Centro Slide precedente • 0 < < 2 Fuoco Instabile Pieno Schermo • ≥ 2 Nodo Instabile Chiudi Esci 16. Home Page Titolo della pagina Indice slides JJ II J I Ciclo limite Il diagramma di fase in Figura 5 per il valore di = −1 mostra l’esistenza un’orbita chiusa (una sola) che attrae tutte le traiettorie che partono fuori dell’orbita e dall’interno dell’orbita. Un’orbita periodica isolata è detta ciclo limite(stabile o instabile). Nel caso mostrato in figura, si ha un ciclo limite stabile. Slides 20 di 20 Slide precedente Pieno Schermo Chiudi Figure 5: Piano delle fase dell’oscillatore di van der Pol per = −1 Esci