ALGEBRA 2 — FOGLIO DELLE COSE FALSE • Un gruppo nel quale

ALGEBRA 2 — FOGLIO DELLE COSE FALSE
1. O RDINE DI ELEMENTI E SOTTOGRUPPI
• Un gruppo nel quale ogni elemento 6= id ha lo stesso ordine p primo non è necessariamente
abeliano. A lezione abbiamo visto che le matrici triangolari superiori 3 × 3 a coefficienti in Fp ,
p ≥ 3 sono un gruppo con p3 elementi nel quale la p-esima potenza di ogni elemento è l’identità.
Tale gruppo, però, non è abeliano.
• Ogni elemento commuta con le sue potenze; tuttavia, in generale, un elemento non commuta
soltanto con le sue potenze. Ad esempio, l’identità commuta con ogni elemento di qualsiasi
gruppo, ma la sua unica potenza è se stessa.
• Sappiamo mostrare che HK è un sottogruppo di G se HK = KH, ed effettivamente questa condizione è necessaria. Ad esempio, in S3 , scegliendo H = h(12)i, K = h(23)i, si vede facilmente che
HK possiede 4 elementi, e non può quindi essere un sottogruppo per il Teorema di Langrange,
dal momento che 4 non divide 6.
• In generale, l’ordine del prodotto di elementi in un gruppo non abeliano non ha nulla a che
vedere con l’ordine degli elementi che si sono moltiplicati. Ad esempio, nel gruppo diedrale Dn ,
il prodotto di due simmetrie “adiacenti” ha ordine n, mentre le due simmetrie hanno chiaramente
ordine 2. In effetti si può anche costruire un gruppo nel quale il prodotto di due elementi di ordine
2 ha ordine infinito.
• Un gruppo di ordine 2d, con d dispari, possiede un sottogruppo di indice 2. Un sottogruppo di
ordine pari, invece, non deve necessariamente possederlo. Ad esempio, A4 ha ordine 12, che è
pari, ma non possiede sottogruppi di ordine 6.
• Se H, K sono sottogruppi di G, e [G : H] = 2, allora K ⊂ H oppure [K : K ∩ H] = 2. Questa
affermazione fallisce se l’indice è diverso da 2, anche se è primo. Si può soltanto dire che l’indice
[K : K ∩H] è minore o uguale a [G : H], ma è falso in generale, ad esempio, che ne sia un divisore.
Ad esempio, se G = S3 , H = h(12)i, K = h(23)i, si ha [G : H] = 3, ma H ∩ K = {id}, e quindi
[K : K ∩ H] = 2.
• Teorema di Lagrange. In un gruppo finito, l’ordine di ogni sottogruppo divide l’ordine del gruppo. E’ tuttavia falso che per ogni divisore d di |G| esista un sottogruppo di G di ordine d. Il
controesempio più piccolo è A4 che non ha sottogruppi di ordine 6. Se H < A4 ha ordine 6, non
può essere ciclico perché non ci sono elementi di ordine 6 in A4 ; pertanto deve essere isomorfo a
S3 , e deve quindi contenere tre elementi di ordine 2. Gli unici tre elementi di ordine 2 in A4 sono
(12)(34), (13)(24), (14)(23), e si avrebbe quindi V4 ⊂ H, contro il Teorema di Lagrange.
• Teorema di Cauchy. Se un primo p divide l’ordine di un gruppo finito G, allora in G si può
trovare un elemento di ordine p. Questo è falso se p non è primo: basta considerare un qualsiasi
gruppo non ciclico di ordine p non primo.
• Teorema di Sylow II. I p-Sylow di G sono tutti coniugati tra loro. In generale, sottogruppi dello
stesso ordine di un dato gruppo non sono coniugati. Basta prendere due gruppi H, K non isomorfi ma dello stesso ordine, e G = H×K, e ricordare che sottogruppi coniugati sono necessariamente
isomorfi.
2. O MOMORFISMI DI GRUPPI
• Se ρ : G → H è un omomorfismo di gruppi, l’immagine di ρ è un sottogruppo di H, che però
può non essere normale. Per convincersene, basta considerare l’inclusione di un sottogruppo in
un dato gruppo, che è certamente un omomorfismo.
• Se N C G, allora vi è una corrispondenza biunivoca tra sottogruppi di G/N e sottogruppi di G che
contengono N , che conserva la normalità. Se N non è normale, non si ha nessuna corrispondenza,
dal momento che G/N non è nemmeno un gruppo.
• Se ρ : G → H è un omomorfismo di gruppi, e g ∈ G è un elemento di ordine finito, allora l’ordine
di ρ(g) è un divisore dell’ordine di G. E’ invece falso che l’ordine di ρ(g) sia uguale all’ordine di
g, come si vede scegliendo un qualsiasi omomorfismo non iniettivo.
Date: 17 agosto 2010.
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3. R ELAZIONE DI CONIUGIO PER ELEMENTI E SOTTOGRUPPI , EQUAZIONE DELLE CLASSI E
p- GRUPPI FINITI
• Elementi coniugati hanno lo stesso ordine. Elementi con lo stesso ordine non sono necessariamente coniugati: ad esempio, nel gruppo abeliano Cn ogni elemento fa classe di coniugio a se,
ma ci sono elementi distinti con lo stesso ordine.
• Sottogruppi coniugati sono isomorfi. Sottogruppi isomorfi, comunque, non sono necessariamente
coniugati: ad esempio, nel gruppo abeliano C2 × C2 tutti i sottogruppi di ordine 2 sono isomorfi
tra loro, ma non coniugati. In effetti, in un gruppo abeliano, l’unica coniugazione è l’identità.
• Due elementi di Sn sono coniugati se e solo se hanno la stessa struttura ciclica. Questo è però
falso nei sottogruppi di Sn . Ad esempio: (123) e (132) hanno la stessa struttura ciclica in A3 , ma
non possono essere coniugati, essendo A3 abeliano. Si può vedere anche che (12345) e (13524)
non sono coniugati in A5 .
• Se |G| = pn , con p primo, il centro di G non può contenere solo l’identità, e non può avere indice
p. Tuttavia vi sono gruppi che hanno centro banale, come ad esempio S3 .
• Se |G| = p2 , con p primo, allora G è abeliano. Esistono invece gruppi non abeliani di ordine
pn , n ≥ 3.
4. R ISOLUBILITÀ E SEMPLICITÀ
• L’unico sottogruppo normale non banale di Sn , n ≥ 5, è An . Tuttavia i sottogruppi normali non
banali di S4 sono V4 e A4 .
• Il gruppo An , n ≥ 5 è semplice. Tuttavia non lo è se n = 4, dal momento che V4 C A4 .
5. A ZIONI DI GRUPPI SU INSIEMI
• Lo stabilizzatore Stab(x) = {g ∈ G | g.x = x} di un elemento x ∈ X è un sottogruppo di G; in
generale non è però normale. In realtà si può ottenere qualsiasi sottogruppo come stabilizzatore:
ad esempio, lasciando agire G per moltiplicazione sinistra sull’insieme G/H dei laterali sinistri di
H si vede che lo stabilizzatore di H è proprio H.
• Il numero di elementi nella G-orbita di x ∈ X è uguale all’indice di Stab(x) in G, ed è quindi un
divisore di |G|. Il numero di elementi di X è invece soltanto una somma di divisori di |G|, e non
ha quindi particolari proprietà.
• I laterali (sia destri che sinistri) di H in G hanno tutti la stessa cardinalità. I laterali doppi HgK
possono invece avere cardinalità diverse.
6. P RODOTTI DIRETTI E SEMIDIRETTI
• Se tre sottogruppi normali H, K, L di un gruppo G soddisfano G = HKL ed hanno intersezioni
due a due banali, non è vero che G sia loro prodotto diretto. Ad esempio, V4 possiede tre sottogruppi di indice 2 che soddisfano tale proprietà, ma non è loro prodotto diretto — in tal caso
dovrebbe possedere 8 elementi.
• H oφ K è abeliano se e solo se H e K sono entrambi abeliani, ed il prodotto è diretto — questo
capita se e solo se φ : K → Aut H applica ogni elemento di K in idH . Tuttavia, se il prodotto
semidiretto non è diretto, l’abelianità dei sottogruppi non garantisce nulla. Ad esempio, S3 è
prodotto semidiretto (non banale) di sottogruppi ciclici, e quindi abeliani, ma non è abeliano.
• Ogni gruppo abeliano finito è prodotto diretto dei suoi sottogruppi di Sylow. Se un gruppo finito
è prodotto diretto dei suoi sottogruppi di Sylow, che sono quindi normali, questo non garantisce
l’abelianità del gruppo. In effetti, la normalità di ogni sottogruppo di Sylow di un dato gruppo è
equivalente alla sua nilpotenza, e non all’abelianità.
• Ogni sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico. In particolare, il gruppo
moltiplicativo di un campo finito è ciclico. Z/(p)× è ciclico se p è primo. Tuttavia, il gruppo
moltiplicativo di un anello finito si guarda bene dall’essere ciclico. Ad esempio, Z/(8)× non è
affatto ciclico.
7. A UTOMORFISMI DI GRUPPI
• x 7→ x−1 è un automorfismo di G se e solo se G è abeliano. Tuttavia questo non mostra che ogni
gruppo abeliano possiede un automorfismo diverso dall’identità, se tutti gli elementi di G hanno
ordine 1 o 2. In effetti ogni gruppo abeliano finito ha automorfismi non banali, ma il ragionamento
di sopra non basta a dimostrarlo.
• Se H < K < G, H è caratteristico in K, e K è normale in G, allora H è normale in G. Se H CK CG,
in generale non si può dire nulla sulla normalità di H in G. In effetti, h(12)(34)i C V4 C A4 , ma
h(12)(34)i non è normale in A4 .
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• Se p è un primo dispari, e n > 0, allora Z/(pn )× è ciclico. Tuttavia, utilizzando il Teorema cinese
del resto, si vede facilmente che se due primi dispari compaiono nella fattorizzazione di n, allora
Z/(n)× non è mai ciclico. In effetti, gli unici n che forniscono un gruppo moltiplicativo ciclico
sono: 2, 4, ph , 2ph , dove p è un primo dispari e h > 0.
8. E STENSIONI DI CAMPI , ELEMENTI ALGEBRICI E TRASCENDENTI
• La caratteristica di un dominio di integrità è ben definita, ed è sempre 0 oppure un numero primo.
Anelli che non sono domini possono avere invece comportamenti più inusuali. Ad esempio,
occorre sommare 6 volte 1 in Z/(6) per ottenere 0, ma solo 2 o 3 volte altri elementi.
• In un dominio di integrità un polinomio di grado n ha al più n soluzioni. In Z/(6) il polinomio
x3 −x ha 6 radici. In Z/(30) il polinomio x5 −x ha 30 radici. E’ importante anche la commutatività:
nel corpo dei quaternioni reali, il polinomio x2 + 1 ha infinite radici!
• Esistono campi infiniti di caratteristica diversa da 0. Il campo Fp (x) delle funzioni razionali a
coefficienti in Fp ha caratteristica p, ma possiede infiniti elementi — ad esempio, tutte le potenze
di x sono distinte.
• Se ogni elemento di L è algebrico su K, non è detto che l’estensione K ⊂ L sia finita. Ad esempio,
la chiusura algebrica K̄ è un’estensione algebrica di K, ma non è mai finita. Tuttavia, se α1 , . . . , αr
sono algebrici su K, l’estensione K ⊂ K(α1 , . . . , αr ) è sicuramente finita.
• Non è detto che se un polinomio è irriducibile su un campo, sia irriducibile anche su sue estensioni. Ad esempio, x2 + 1 è irriducibile su R, ma non su C.
• Per lo stesso motivo, non è detto che il grado di un algebrico α su un campo K e su una sua
estensione√debbano essere uguali. Ad esempio, se
√ j = ζ3 è una radice cubica complessa di 1, il
grado di j 3 2 su Q è 3, mentre il suo grado su Q( 3 2) è 2.
9. C AMPI DI SPEZZAMENTO E CHIUSURE ALGEBRICHE
• Non ogni polinomio irriducibile è separabile. Ad esempio, se K = F2 (t), il polinomio x2 −t ∈ K[x]
è certamente irriducibile, ma la√sua derivata è 0, e non è √
quindi separabile. In effetti, nel suo
campo di spezzamento L = F2 ( t) si fattorizza come (x − t)2 , ed ha quindi fattori multipli.
• Un polinomio può essere separabile pur avendo derivata nulla. Ad esempio, in caratteristica p,
ogni p-esima potenza di un polinomio separabile è ancora separabile (e non irriducibile) ma ha
derivata nulla.
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