Esercizi - Università degli Studi dell`Aquila

Esercizi proposti di Meccanica Razionale
Corso di laurea in matematica
Docente Alessandro Teta
1. Sistemi unidimensionali
Esercizio 1.1
Si consideri un punto materiale di massa m = 1 che si muove lungo l’asse delle x soggetto ad
una forza di energia potenziale
V (x) = −x3 + x2
Discutere qualitativamente le orbite nel piano delle fasi.
Esercizio 1.2
Si consideri il sistema unidimensionale
ẍ = −
g
sin x + Ω2 sin x cos x,
R
g, R > 0
Discutere qualitativamente le orbite nel piano delle fasi al variare del parametro λ =
g
.
RΩ2
Esercizio 1.3
Si consideri il sistema unidimensionale
mẍ = −kx +
kλ
,
a−x
k, a > 0
Discutere qualitativamente le orbite nel piano delle fasi al variare del parametro λ.
Esercizio 1.4 (prova intermedia 13/5/2002)
Si consideri un punto materiale di massa m = 1 che si muove lungo l’asse delle x soggetto ad
una forza di energia potenziale
V (x) =
e−λx
,
1 + x2
λ≥0
1) Trovare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilita’ al variare del parametro λ.
1
2) Posto λ ∈ (0, 1), discutere qualitativamente le orbite nel piano delle fasi.
√
3) Posto λ = 23 , si consideri il moto x(t) corrispondente al dato iniziale x0 = −2, v0 = 0 e si
√
stimi il tempo impiegato per andare da x√
0 = −2 a x1 = − 3.
(Si assuma che V 00 (x) > 0 per x ∈ [−2, − 3]).
4) Posto λ = 1, si determini un dato iniziale (x0 , v0 ) corrispondente ad un moto asintotico.
5) Sempre nel caso λ = 1, si consideri il moto x(t) corrispondente al dato iniziale x0 = 0, v0 = 0
e si verifichi che
√
lim ẋ(t) = 2
t→+∞
Si dimostri inoltre che esiste finito il limite
lim
t→+∞
x(t) −
√ 2t
Esercizio 1.5
Si consideri un punto materiale di massa m = 1 che si muove lungo una retta soggetto ad una
forza di energia potenziale
V (x) =
x6 x4 x2
−
+
18
3
2
1) Studiare qualitativamente le orbite nel piano delle fasi.
2) Si consideri il dato iniziale
1
x(0) = ,
3
s
ẋ(0) = −
4
1
− 2V ( )
9
3
e si stimi superiormente il tempo impiegato a raggiungere l’origine.
3) Discutere la stima quando si prendono i dati iniziali
2
x(0) = ,
3
s
ẋ(0) = −
4
2
− 2V ( )
9
3
√
4) Si consideri la posizione iniziale x(0) = 2 e si determinino
i valori della velocita’ iniziale
√
ẋ(0) per cui il punto materiale raggiunge il punto x = − 2.
2
Esercizio 1.6
Si consideri un punto materiale di massa m = 1 che si muove lungo una retta soggetto ad una
forza di energia potenziale
V (x) =
x2
1 + x4
1) Trovare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilita’.
2) Discutere qualitativamente le orbite nel piano delle fasi.
3) Determinare autovalori e autovettori del sistema linearizzato nell’intorno di una posizione di
equilibrio instabile.
4) Dare una stima dall’alto e dal basso del periodo dell’orbita corrispondente al dato iniziale
x0 = 14 , v0 = 0.
5) Detta x(t) la soluzione corrispondente ai dati iniziali x0 = 0, v0 = 2, dimostrare che esiste
una costante c tale che
lim |x(t) − (2t + c)| = 0
t→∞
Esercizio 1.7
Si consideri un punto materiale di massa m che si muove lungo una retta soggetto ad una forza
di energia potenziale
V (x) = (x2 − 1)(x + 2)2
1)
2)
3)
4)
Discutere qualitativamente le orbite nel piano delle fasi.
Trovare le equazioni delle tangenti alla separatrice nel punto di equilibrio instabile.
Verificare che per E = 0 esistono moti periodici e√stimarne il periodo.
Stimare il periodo del moto quando E → V (− 1+2 3 ).
3
2. Forze centrali
Esercizio 2.1
Si consideri un punto materiale P soggetto ad una forza centrale di energia potenziale
1
V (r) = kr2 ,
2
k>0
1) Ridurre il problema alle quadrature e discutere qualitativamente il moto.
2) Determinare l’equazione intrinseca dell’orbita.
Esercizio 2.2
Si consideri un punto materiale P soggetto ad una forza centrale di energia potenziale
k
V (r) = − + 2 ,
r r
k, > 0
1) Ridurre il problema alle quadrature e discutere qualitativamente le il moto.
2) Trovare i dati iniziali corrispondenti a moti circolari uniformi.
3) Determinare l’equazione intrinseca dell’orbita e l’angolo di precessione.
Esercizio 2.3
Si consideri un punto materiale P soggetto ad una forza centrale di energia potenziale
α
1
V (r) = kr2 − 2 ,
2
r
k, α > 0
1) Ridurre il problema alle quadrature e discutere qualitativamente il moto.
2) Trovare almeno un dato iniziale per cui si ha un moto circolare uniforme.
3) Trovare almeno un dato iniziale per cui il punto P raggiunge il centro di forza con velocita’
finita.
4) Determinare i dati iniziali per cui il punto P raggiunge il centro di forza con velocita’ infinita
(caduta nel centro).
Esercizio 2.4
Si consideri un punto materiale P di massa m soggetto alla forza centrale f = (−r + r5 )er , dove
r indica la distanza di P dal centro O e er e’ il versore radiale.
1) Indicare per quali valori dei dati iniziali il moto avviene in una regione limitata.
2) Mostrare che sono possibili due moti circolari uniformi se il momento angolare L e’ sufficientemente piccolo; trovare i corrispondenti dati iniziali e determinare il periodo.
4
3) Determinare le posizioni di equilibrio e studiarne la stabilita’.
4) Posto L = 0, discutere qualitativamente le orbite nel piano delle fasi del corrispondente
problema unidimensionale.
5) Trovare un dato iniziale per cui il punto P raggiunge il centro O.
6) Posto r(0) = 31/4 , ṙ(0) = 0, θ̇(0) = 0, stimare dall’alto e dal basso il tempo che P impiega a
raggiungere l’infinito.
Esercizio 2.5 (prova intermedia 12/5/2003)
Si consideri un punto materiale P di massa m che si muove in un piano soggetto ad una forza
centrale di centro O con energia potenziale
V (r) =
α
β
− 3,
4
4r
3r
α, β > 0
dove r indica la distanza di P da O.
1) Verificare che se il momento angolare e’ sufficientemente grande allora non esistono moti
limitati.
2) Trovare i dati iniziali corrispondenti a moti circolari uniformi.
3) Posto uguale a zero il momento angolare, studiare qualitativamente le orbite nel piano delle
fasi del corrispondente problema unidimensionale.
5
3. Sistemi lagrangiani
Esercizio 3.1 (prova finale 19/6/2002)
Sia Oxy un riferimento cartesiano ortogonale in un piano verticale π con asse delle y orientato
come la verticale ascendente.
Un disco D omogeneo, di raggio R e massa M , e’ contenuto in π e ha il centro C libero di
scorrere sull’asse delle x.
Un punto materiale P di massa m e’ fissato in un punto del bordo del disco ed e’ legato
all’origine O con una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla.
1) Scrivere la lagrangiana del sistema.
2) Posto α ≡ mg
> 1, trovare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilita’.
kR
3) (Facoltativo) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni intorno ad una posizione di
equilibrio stabile per α 1.
4) Posto l’ulteriore vincolo |OC| = R, studiare qualitativamente le orbite nel piano delle fasi
del corrispondente sistema unidimensionale.
Esercizio 3.2 (prova di recupero 23/7/2002)
Sia Oxyz un riferimento cartesiano ortogonale in R3 con asse z orientato come la verticale
ascendente e sia T la superficie di equazioni
x = (a + cos φ) sin θ, y = (a + cos φ) cos θ, z = sin φ
con a > 1 e φ, θ ∈ [0, 2π) (toro bidimensionale ottenuto facendo ruotare intorno all’asse z la
circonferenza contenuta nel piano yz di raggio uno e centro C = (0, a, 0)).
Un punto materiale P di massa m e’ vincolato a muoversi senza attrito su T ed e’ soggetto, oltre
alla gravita’, ad una molla di costante elastica k, lunghezza a riposo nulla e centro A = (0, 0, l),
l > 0.
1) Scrivere la lagrangiana del sistema.
2) Verificare che, oltre all’energia E, esiste un’altra costante del moto I e ridurre il moto alle
quadrature.
3) Posto mg = kl, trovare le possibili condizioni iniziali corrispondenti a moti circolari uniformi
su circonferenze parallele al piano xy.
4) Posto mg < kl e introdotto l’ulteriore vincolo θ = 0, si consideri il sistema unidimensionale
risultante.
Studiare qualitativamente le orbite nel piano delle fasi e determinare le condizioni iniziali corrispondenti a moti a meta asintotica.
6
Esercizio 3.3 (prova di recupero 27/9/2002)
Sia Oxy un sistema di riferimento cartesiano ortogonale in un piano orizzontale e sia C una
circonferenza di centro O e raggio R.
Su C si muovono senza attrito due punti materiali P1 e P2 , entrambi di massa m, soggetti ad
una stessa forza costante diretta lungo le y negative e di modulo F .
Inoltre, i due punti P1 ,P2 interagiscono fra loro con una forza di energia potenziale U = |P kP |2 ,
1 2
dove k > 0 e |P1 P2 | e’ la distanza tra P1 e P2 .
1) Scrivere la lagrangiana del sistema.
2) Nel caso F = 0, verificare che I = mR2 (φ̇1 + φ̇2 ) e’ una costante del moto e ridurre il sistema
alle quadrature. (φi denota l’angolo che OPi forma col semiasse delle x positive).
3) Posto F 6= 0, verificare che il sistema ammette due configurazioni di equilibrio, simmetriche
nello scambio tra P1 e P2 .
4) sempre nel caso F 6= 0, si introduca l’ulteriore vincolo |P1 P2 | = 2R e si studino qualitativamente le orbite nel piano delle fasi del corrispondente sistema unidimensionale.
Esercizio 3.4
Si consideri in un piano verticale un sistema di assi cartesiani Oxy, con asse y diretto lungo la
verticale ascendente, e una retta (senza massa) γ di equazione y = (tan α)x, con α ∈ (0, π2 ).
Sulla retta γ rotola senza strisciare un disco D omogeneo di massa M , raggio R e centro C.
Sull’asse delle y e’ libero di scorrere un punto materiale P di massa m. Il punto P e’ legato al
centro C da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla.
1) Verificare che il vincolo di puro rotolamento si riduce ad un vincolo olonomo.
2) Scrivere la lagrangiana del sistema.
3) (Facoltativo) Il sistema si puo’ ridurre alle quadrature. Perche’ ?
Esercizio 3.5
Si consideri un sistema di coordinate fissi con asse z orientato lungo la verticale ascendente. Un
punto materiale P di massa m e’ vincolato a muoversi senza attrito sul paraboloide di equazione
z = a(x2 + y 2 ),
a>0
Il punto P e’ soggetto ad una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla e centro nel
punto A di coordinate (0, 0, β), β > 0. Inoltre sul punto agisce una forza costante F ≡ (b, 0, 0),
b > 0.
1) Scrivere la lagrangiana del sistema.
1
+ mg
, trovare le posizioni di equilibrio e studiarne la stabilita’.
2) Posto β = 2a
k
7
3) Si trovino le frequenze delle piccole oscillazioni intorno ad una configurazione di equilibrio
stabile.
Esercizio 3.6
Si consideri in un piano verticale un sistema di assi cartesiani Oxy, con l’asse delle y orientato
lungo la verticale ascendente. Lungo l’asse delle x rotola senza strisciare un disco D omogeneo,
di massa M , di raggio R e centro C. Inoltre un punto materiale P di massa m e’ libero di
scorrere senza attrito lungo la parabola di equazione y = −x2 − 1. Infine i punti P e C sono
legati da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla.
1) Si scriva la lagrangiana del sistema.
2) Si determinino le posizioni di equilibrio.
3) Si studi la stabilita’ per almeno una delle posizioni di equilbrio.
4) Si determinino le frequenze delle piccole oscillazioni intorno ad una posizione di equilibrio
stabile.
Esercizio 3.7
Sia Oxy un sistema di assi cartesiano ortogonale posto in un piano verticale, con asse y diretto
come la verticale ascendente.
Nel piano e’ posto un disco omogeneo di massa m e raggio R, con il centro G vincolato a
scorrere lungo l’asse y.
Un punto P del bordo del disco e’ legato al punto C di coordinate (a, 0), a > R, da una molla
di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla.
Risulta inoltre mg > kR.
1) Si scriva la lagrangiana del sistema.
2) Si verifichi che esistono due posizioni di equilibrio.
3) Si discuta la stabilita’ delle posizioni di equilibrio.
Esercizio 3.8
Sia Oxy un sistema di assi cartesiano ortogonale in un piano verticale π, con asse y orientato
secondo la verticale ascendente.
Un punto materiale P1 di massa m e’ vincolato a muoversi in π lungo una circonferenza di
centro O e raggio R.
Un altro punto materiale P2 di massa m e’ vincolato a muoversi in π lungo una circonferenza
di centro P1 e raggio r, r < R.
Infine il punto P2 e’ legato all’origine O da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo
nulla.
1) Si scriva la lagrangiana del sistema.
8
2) Si verifichi che ci sono quattro configurazioni di equilibrio quando i punti O, P1 , P2 sono
allineati.
3) Posto mg
> 1+ Rr , si verifichi che la configurazione in cui le ordinate di P1 e di P2 assumono il
kr
loro valore minimo e’ di equilibrio stabile per il sistema e si trovino le corrispondenti frequenze
delle piccole oscillazioni.
Esercizio 3.9
Sia Oxy un sistema di assi cartesiani ortogonale posto in un piano verticale π e sia γ una retta
in π passante per O e libera di ruotare intorno a O.
Sia poi C un punto di γ posto a distanza a dal punto O.
Il punto C e’ il centro di una circonferenza di raggio R contenuta in π e su cui e’ libero di
scorrere senza attrito un punto materiale P di massa m.
Sul punto P agisce la gravita’ ed inoltre il punto C e’ collegato all’asse y mediante una molla
di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla.
1) Si scriva la lagrangiana del sistema.
2) Si trovino le posizioni di equilibrio.
, supponendo α 6= 1.
3) Si studi la stabilita’ degli equilibri al variare del parametro α = mg
ka
4) Si trovino le frequenze delle piccole oscillazioni intorno alla configurazione di equilibrio
(stabile) che si ha quando l’ordinata di P e’ minima e se ne studi il limite per α → ∞.
5) Si studi la stabilita’ degli equilibri per α = 1.
Esercizio 3.10
Sia Oxy un sistema di assi cartesiano ortogonale posto in un piano verticale con asse y diretto
come la verticale ascendente. Si consideri poi un punto materiale P di massa m vincolato a
muoversi senza attrito lungo l’ellisse di equazione
x = a cos φ,
y = b sin φ,
φ ∈ [0, 2π), a > b
e un punto Q di massa M vincolato a muoversi senza attrito lungo l’asse y. I punti P e Q sono
legati da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla.
1) Scrivere la lagrangiana del sistema.
)gb
.
2) Trovare le posizioni di equilibrio al variare del parametro α = (m+M
ka2
3) Discutere la stabilita’ degli equilibri nel caso a = b.
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