Applicazioni economiche del Teorema di Nash

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Università degli Studi di Siena
Facoltà di Economia “Richard M. Goodwin”
Dipartimento di economi politica e statistica
Anno Accademico 2012/2013
APPLICAZIONI ECONOMICHE DEL TEOREMA DI NASH
Relatore Chiar.mo Prof.
Paolo Pin
Candidato
Sebastiano Della Lena
INTRODUZIONE_____________________________________________________ 2
1 DEFINIZIONI FORMALI_____________________________________________4
1.1 Definizione di gioco_________________________________________________ 4
1.2 Definizione di equilibrio di Nash______________________________________ 7
1.3 Teorema di Nash___________________________________________________ 7
2
ESEMPI DI GIOCHI E SPIEGAZIONI________________________________8
2.1 Matching pennies__________________________________________________ 8
2.2 Battaglia dei sessi__________________________________________________ 8
2.3 Falco e colomba____________________________________________________9
2.3.1 Diverse possibili interpretazioni del gioco con diverse teorie della
giustizia__________________________________________________________10
2.4 Dilemma del prigioniero____________________________________________11
2.5 Dilemma del viaggiatore____________________________________________12
3
OBIEZIONI AI GIOCHI___________________________________________ 14
3.1 Economia comportamentale________________________________________ 14
3.2 Teoremi dell’incompletezza di Godel_________________________________ 16
4
TEOREMI DI PUNTO FISSO_______________________________________18
4.1 Teorema di Brower________________________________________________18
4.2 Teorema di Kakutani______________________________________________ 18
5
APPLICAZIONI ECONOMICHE___________________________________ 20
5.1 Cournot competition_______________________________________________20
5.2 Situazioni più estese e complicate____________________________________ 23
CONCLUSIONI______________________________________________________26
BIBLIOGRAFIA_____________________________________________________ 29
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1!
INTRODUZIONE
“Quando si è vissuti a lungo ci si può domandare se sia possibile trovare un equilibrio
di Nash, una strategia vincente nella vita. Una vita lunga evoca un’idea umana molto
comune, il sogno di essere immortali, e l’equilibrio affinché le cose non cambino
implicherebbe l’immortalità, e anche la strategia vincente potrebbe implicare
l’immortalità. Ma questo è il gioco, è la battaglia a cui, a quanto pare, tutti devono
perdere, la battaglia per conquistare l’immortalità, per non morire mai. Se si accetta il
fatto di perdere ci si può adattare, forse esiste un aldilà, forse c’è la reincarnazione, ma
non voglio commentare le mie credenze personali {…} Sono riuscito ad entrare nelle
accademie scientifiche a cui appartengono matematici ed economisti, ma ci sono entrato
solo grazie al premio Nobel. Non mi considero un grande vincitore nel gioco della vita,
so che in certi settori sembra che io sia un perdente, quindi mi considero un vincente in
certe aree e un perdente in altre, non si tratta di pretendere di avere una vasta area di
successo, successo in famiglia, successo nel lavoro, successo negli sport, e così via…e
penso che occorra prenderla con filosofia, sentirsi felici anche se non si è vincitori, io la
prendo con filosofia, voglio dire, essere soddisfatti è qualcos’altro logicamente {…} la
malattia può rendere la vita meno monotona, in questo senso, può sembrare che una
persona che attraversa periodi di malattia e periodi di buona salute abbia una vita più
interessante” {John Nash}
Possiamo far coincidere la nascita della teoria dei giochi come è conosciuta oggi1 nel
1944, anno dell’uscita del testo “Theory of Games and Economic Behavior”, dove i due
autori John von Neumann e Oskar Morgestern cercano di spiegare matematicamente i
comportamenti di agenti economici. Il contributo di von Neumann è notevole per
quanto riguarda i giochi a somma zero e per il teorema minmax, teorema che mostra
una strategia che consente ai giocatori di minimizzare la massima perdita. La teoria dei
giochi è un modello molto versatile e trova applicazioni in una vasta gamma di settori.
Oltre ad essere alla base delle scelte strategiche politiche e militari ed essere largamente
utilizzata in economia e finanza, ha una rilevante impiego, tra le altre, anche in scienze
come la psicologia, la sociologia e la biologia.
.
Un punto di svolta nella teoria dei giochi lo abbiamo con il contributo di John Nash, un
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1!precedentemente sono da sottolineare gli studi di E. Zermelo e A. Borel sul gioco degli scacchi e sul
poker.!
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2!
giovane studente di Princeton, che nel 1950 pubblica nel “Proceedings of the National
Academy of Sciences” un articolo nel quale per la prima volta comparve il concetto che
oggi definiamo come equilibrio di Nash. In questo articolo Nash utilizza il teorema del
punto fisso di Kakutani per dimostrare l’esistenza di punti di equilibrio in giochi con n
giocatori.
Questo lavoro nasce come una ricerca, dettata dalla curiosità personale, sulla teoria dei
giochi. Sono state fornite le principali definizioni formali e successivamente sono stati
mostrati alcuni esempi di gioco così da far meglio comprendere in cosa consiste e al
fine di mostrare differenti situazioni di interazione strategica, con i conseguenti esiti.
Per quanto riguarda il gioco del falco e della colomba è stato mostrato come
l’interpretazione dell’esito del gioco sia fortemente influenzata dal concetto di giustizia
che scegliamo di utilizzare per compiere la nostra analisi.
.
Di particolare rilevanza è il concetto di equilibrio di Nash e il teorema del punto fisso di
Kakutani che ne ha permesso la dimostrazione, infatti, partendo proprio dalle sue
implicazioni ho cercato di presentare alcune delle possibili applicazioni economiche,
mostrando anche alcuni classici esempi di letteratura come l’oligopolio di Cournot o il
modello Arrow-Debreu. Solitamente in economia la teoria dei giochi e il concetto di
equilibrio di Nash vengono utilizzati solamente in situazioni di perfetta concorrenza,
con funzioni di produzioni lineari, in assenza di esternalità ecc ecc, in realtà
sviluppando quanto detto vediamo come sia possibile estendere le applicazioni di questi
concetti anche a modelli economici molto più verosimili. È stato dedicato anche un
capitolo all’economia comportamentale, così da mostrare un approccio alla teoria dei
giochi diverso rispetto a quello proposto della teoria economica classica. In generale
l’intento del lavoro è di mostrare alcune implicazioni della teoria dei giochi che non
sempre vengono prese in considerazione dall’analisi classica.
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3!
1 DEFINIZIONI FORMALI
1.1 DEFINIZIONIE DI GIOCO
Definiamo un gioco come un modello che descrive situazioni d’interazione strategica
dove il risultato (o payoff) per ciascun giocatore dipende sia dalla propria scelta che da
quella degli altri giocatori. Il gioco è quindi un oggetto matematico (N,{Ai},{Πi}) che
consiste in:
•
N insieme finito dei giocatori;
•
Ai insieme non vuoto delle possibili azioni ∀ i ∈ N;
•
Πi preferenze di ogni giocatore i ∀ i ∈ N su A = xj ∈ N Aj.
Definiamo ora la funzione di reazione del giocatore i come l’insieme delle risposte
ottime di i ad a-i ∀ a-i∈ A-i Bi(a-i)
Bi(a-i) = (ai ∈ Ai: (a-i ,ai) > (a-i, a’i) ∀ a’i ∈ Ai)2
per ben analizzare un gioco, comprenderne il funzionamento e capire la differenza tra le
varie tipologie dobbiamo capire quali sono i suoi elementi
•
I giocatori: chi è coinvolto nel gioco
•
Le regole del gioco: come e quando vengono effettuate le scelte (giochi
simultanei o giochi sequenziali, giochi “one shot” o giochi ripetuti nel tempo), le
informazioni in possesso dei giocatori al momento della scelta (giochi a
informazione perfetta, giochi a informazione completa), e il tipo di scelte che
possono operare i giocatori (strategie pure, miste oppure, strategie dominanti e
strategie dominate)
•
I risultati: quali sono i risultati del gioco per ogni possibile insieme di azioni?
(giochi a somma zero o giochi a somma non zero)
•
I payoffs: il premio dei giocatori, ossia le loro preferenze circa il risultato del
gioco.
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2!dove: ai azione giocatore i, a-i azione di ogni altro giocatore!
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4!
Soffermandoci sulle possibili strategie è possibile distinguere le strategie miste da
quelle pure. Una strategia pura fornisce una definizione completa del modo in cui un
giocatore gioca una partita. In particolare, essa determina quale scelta farà il giocatore
in qualsiasi situazione che potrebbe affrontare. Una strategia mista per un giocatore è
una distribuzione di probabilità sull'insieme delle strategie pure che costui ha a
disposizione. Se un giocatore ha a disposizione almeno due strategie pure, ci sono
infinite strategie miste a disposizione di questo giocatore, potendo scegliere, come
probabilità con la quale giocare una strategia pura, qualsiasi numero reale fra 0 ed 1.
Ogni strategia pura può essere vista come un caso particolare di strategia mista, che
assegna probabilità pari a 1 a quella strategia pura e 0 a tutte le altre strategie pure.
Parleremo, di strategia dominante come di quella che consente a un giocatore (impresa)
di avere risultati migliori rispetto ad ogni altra sua strategia, indipendentemente dalle
scelte dei rivali, mentre si definisce strategia dominata quella strettamente peggiore
delle altre, che indipendentemente dalle scelte dei rivali paga risultati peggiori al
giocatore (impresa).*3
A seconda del tipo di gioco che stiamo affrontando varia anche la rappresentazione
grafica che mostra meglio i risultati, per un gioco simultaneo preferiremo la
rappresentazione in forma strategica o normale ( matrice dei payoffs), al contrario per
uno sequenziale è più chiara una rappresentazione in forma estesa.
Vediamo due rappresentazioni di uno stesso gioco simultaneo a somma zero, nella sua
forma normale ed estesa.
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3!analizzare le varie tipologie di strategie sarà molto utile inseguito, il concetto di strategia mista lo
troveremo quando andremo a vedere il teorema di Nash, mentre i concetti di strategie dominanti/dominate
è utile per l’analisi dei vari giochi!
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5!
Matching pennies4
Questo gioco viene giocato tra due giocatori (A e B), ognuno dei quali ha una moneta e
deve scegliere, simultaneamente all’altro se girarlo dalla parte della testa o della croce.
Le scelte vengono rivelate contemporaneamente e se entrambi hanno fatto la medesima
scelta A riceve un euro da B (+1 per A, -1 per B) viceversa è A a dover pagare (-1 per
A, +1 per B).
Di seguito il gioco in forma strategica con la matrice dei payoff
...
Testa
Croce
Testa
1,-1
-1,1
Croce
-1,1
1,-1
Tabella 1
Mentre qui possiamo vedere la sua forma estesa5:
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4!Successivamente riprenderemo questo gioco e approfondiremo i suoi risultati alla luce del concetto di
equilibrio di Nash.!
5!La linea tratteggiata rappresenta la scelta casuale del giocatore due.!
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6!
La soluzione ottimale e più auspicabile di un gioco sarebbe quella più efficiente,
purtroppo se è vero che delle volte arriviamo ad un risultato pareto-efficiente, altre
volte, come vedremo nei prossimi paragrafi ciò non accade.
Definiamo ottimo paretiano una posizione nella quale non è possibile migliorare la
condizione di un individuo senza peggiorare quella di un altro.
1.2 DEFINIZIONE EQUILIBRIO DI NASH
Certamente possiamo affermare che il concetto più utilizzato come soluzione nella
teoria dei giochi sia quello di equilibrio di Nash.
“Un equilibrio di Nash è un profilo di strategie tale che ciascun giocatore massimizza il
suo payoff, date le strategie scelte da tutti gli altri giocatori. In un equilibrio di Nash
nessun giocatore è incentivato a variare il proprio comportamento in modo unilaterale.”
Formalmente un equilibrio di Nash per il gioco (N,{Ai},{Πi}) è un profilo di strategie
a* ∈ A, tale che ∀ i ∈ N Πi (a*i, a*-i ) ≥ Πi (ai, a*-i ) ∀ ai ∈ A.
Riprendendo il concetto di risposta ottima possiamo definire un equilibrio di Nash come
un profilo a* di azioni, tale che a*i ∈ Bi (a*-i) ∀ i ∈ N. Questa formulazione ci offre un
modo alternativo di trovare degli equilibri di Nash , calcolando la funzione di reazione
di ogni giocatore e trovare a* che soddisfi la relazione di prima, questo metodo, come
vedremo, viene utilizzato nel modello di Cournot.
1.3 TEOREMA DI NASH
Nel 1950 Nash servendosi del teorema del punto fisso di Kakutani6 riesce a dimostrare
l’esistenza di punti di equilibrio in un gioco G = (N,{Ai},{Πi) se:
•
Ai sottoinsieme compatto e convesso di uno spazio euclideo ∀ i ∈ N;
•
Πi funzione continua quasi-concava ∀ i ∈ N.
Da questo possiamo già affermare, come vedremo meglio inseguito, che in ogni gioco
strategico finito esiste almeno un equilibrio di N.
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6!!Vedremo nel dettaglio questo teorema nel capitolo 4.!
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7!
2 ESEMPI DI GIOCHI E SPIEGAZIONI
2.1 MATCHING PENNIES
Andiamo analizzare il preso in considerazione al punto 1.1.
Il matching pennies è un classico esempio di gioco a somma zero.7
È interessante notare come in questo particolare gioco non esista un equilibrio di Nash
con strategie pure, questo perché non esiste una strategia pura che è una risposta ottima
alla strategia avversaria. Per trovare l’equilibrio di Nash del gioco dobbiamo analizzarlo
con strategie miste. In questo modo vediamo come l’unico equilibrio lo abbiamo se
ogni giocatore sceglie testa o croce con la stessa probabilità, così che per l'altro
sia indifferente scegliere testa o croce e nessun giocatore avrà alcun incentivo a
provare un'altra strategia.
2.2 BATTAGLIA DEI SESSI
Questo è un esempio di gioco di coordinamento, ossia un gioco nel quale l’interesse dei
due giocatori in parte coincide. I due giocatori sono marito e moglie che devono
decidere come passare la serata, entrambi vogliono stare insieme L’uomo preferisce
andare a vedere il football, mentre la donna l’opera. Gli equilibri di Nash sono,
rispettivamente (opera, opera) e (football, football).
Opera
Football
Opera
3,2
0,0
Football
0,0
2,3
Tabella 2
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7!gioco a somma zero: quando la vincita di un giocatore è sempre pari alla perdita dell’altro. Per la
soluzione dei giochi a somma zero vedere minmax von neuman-morgesten!
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8!
2.3 FALCO E COLOMBA
In “The Logic of Animal Conflict” (1973) Maynard Smith e Price, per avvallare la
loro teoria della strategia evoluzionisticamente stabile (ESS: evolutionary stable
strategy), mostrano l’interazione strategica fra 5 possibili animali per la spartizione
di un’unica risorsa. Noi proponiamo una versione semplificata, conosciuta nella teoria
dei giochi come gioco del falco e della colomba. 8
I due animali rappresentano due diverse strategie, il falco è combattivo, mentre la
colomba può essere definita pacifica. Come vediamo dalla matrice dei payoff, quando
due falchi si trovano a contendere una risorsa dal valore V, combatteranno e il guadagno
di ognuno dei due sarà (½(V-C), che può essere negativo nel momento in cui
C(costo del combattimento) > V, ogni volta che una colomba contende con un
falco fugge lasciando tutto V, mentre se sono due colombe a contendersi la
risorsa, data la loro natura pacifica, se la dividono.
Falco
Falco
Colomba
Colomba
(½(V-C), ½(V-C))
(0,V)
(V,0)
(V/2,V/2)
Tabella 3
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8!per la versione estesa, rimando all’articolo originale!
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9!
2.3.1 DIVERSE POSSIBILI INTERPRETAZIONI DEL GIOCO CON DIVERSE
TEORIE DELLA GIUSTIZIA
Analizzando le possibili strategie vediamo come ogni animale preferisce comportarsi da
falco, se l’altro si comporta da colomba, e da colomba se l’altro è un falco. Quindi
questo gioco ha due equilibri di Nash (Falco, Colomba) e (Colomba, Falco).
Possiamo discutere se gli equilibri che troviamo in questo gioco siano desiderabili
oppure no, infatti se la situazione falco-falco è palesemente la meno efficiente, al
contrario se entrambi i giocatori si comportassero da colomba, la somma dei due payoff
sarebbe uguale alla somma dei payoff negli equilibri di Nash, la differenza sta quindi
nella distribuzione. Analizzando la situazione secondo i principi paretiani, sia nella sua
accezione forte che debole, non riusciamo a preferire una o l’altra circostanza.
La risposta alla nostra domanda non è univoca, infatti dipende con quale teoria della
giustizia andiamo a verificare i vari stati del mondo che si possono verificare a partire
da un gioco di questo tipo.
.
Stando alla teoria della giustizia di Rawls è indubbiamente preferibile quando i due
giocatori si dividono in modo equo i payoff, infatti: “nel pensiero di Rawls un assetto
distributivo è giusto quando è equo, nel senso che offre le stesse opportunità ai vari
soggetti”. (Economia del benessere, Acocella, p. 45) In questa teoria della giustizia si
pongono gli individui in una situazione di assoluto disinteresse, cioè ci poniamo dietro a
un “velo d’ignoranza” per quanto riguarda: lo status sociale, la distribuzione, le
preferenze (avversione al rischio), altro (situazione politica, economica, generazione di
appartenenza ecc), così che, secondo Rawls, verrebbero accettati da tutti due principi di
giustizia: “Ogni persona ha un uguale diritto al più ampio sistema totale di eguali libertà
fondamentali compatibilmente con un simile sistema di libertà per tutti” e “le
inuguaglianze economiche e sociali devono essere: a) per il più grande beneficio dei
meno avvantaggiati, compatibilmente con il principio di giusto risparmio , e b) collegate
a cariche e posizioni aperte a tutti in condizioni di equa eguaglianza di opportunità”
(Rawls, 1971, p. 255). Questi principi portano al così detto principio di differenza, ossia
quel principio che sostiene che le disuguaglianze sono giustificabili soltanto se portano
a
un
miglioramento
dell’individuo
che
sta
nella
situazione
peggiore.
Un punto di vista diverso lo abbiamo in Nozick, la sua teoria della giustizia non è
consequanzilista, cioè non guarda al risultato finale, ma alle procedure che utilizziamo
per avvicinarci ad esso, elabora infatti la teoria “del titolo valido”. Nozick sostiene
infatti che “se una distribuzione è giusta o no dipende da come è avvenuta” (Nozick,
!
10!
1974, p 163), volendo così garantire la libertà e l’esercizio dei diritti, non
necessariamente alla soddisfazione delle preferenze di tutti. In quest’ottica vediamo
come l’esito del gioco falco e colomba non sia di per se ingiusto o poco desiderabile, in
un contesto dove, non vi sono divieti rispetto ai due tipi di atteggiamento. Mostriamo
come, secondo questa teoria, la soluzione di questo gioco potrebbe essere interpretata
come che il giocatore che si comporta da falco “merita” un payoff così superiore, perché
il suo vantaggio essenzialmente è acquisito nel rispetto della giustizia e grazie alle
proprie capacità (mantenendo così il diritto di appropriarsi dei frutti del proprio lavoro).
L’intento di questi due brevi esempi è solamente quello di far vedere come
l’interpretazione di un gioco così semplice possa non essere così scontata come può
sembrare, e come tutto dipenda dal punto di vista che scegliamo, e da cosa vogliamo
ritenere come “giusto”.
2.4 DILEMMA DEL PRIGIONIERO
Quello del dilemma del prigioniero forse è il gioco più famoso in assoluto ed è stato
proposto per la prima volta dal matematico Albert Tucker. È un gioco strategico non
coperativo a informazione completa
9
che presenta importarti caratteristiche e
implicazioni economiche, in particolar modo per quanto riguarda la competizione
oligopolistica. Inoltre si presta anche molto bene nella spiegazione della corsa agli
armamenti tra Stati Uniti e Unione Sovietica, negli anni della guerra fredda.
In questo gioco i giocatori sono due criminali arrestati perché sospettati di aver
commesso un reato e chiusi in due celle separate, rigorosamente senza la possibilità di
comunicare tra di loro. I due criminali hanno due possibili strategia confessare il reato
oppure non confessare. Se nessuno offre una confessione dopo un solo anno di
reclusione i due verranno rilasciati per assenza di prove certe, se uno dei due decidesse
di confessare sarebbe rilasciato immediatamente mentre l’altro sconterebbe una pena
pari a 10 anni di reclusione, ma nel caso confessino entrambi, sconteranno ciascuno una
pena pari a 5 anni.
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9! è un gioco a informazione completa un gioco nel quale ogni giocatore ha tutte le informazioni sul
contesto e sulle strategie degli avversari, ma non necessariamente sulle loro azioni.
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!
11!
confessare
non confessare
confessare
(-5,-5)
(0,-10)
non confessare
(-10,0)
(-1,-1)
Tabella 4 : valori inseriti in con il segno meno, perché gli anni di prigione sono payoff negativi per i giocatori
Come possiamo vedere dalla matrice dei payoff qua sopra, analizzando le strategie è
chiaro che confessare è sempre una strategia dominate, mentre non confessare è una
strategia strettamente dominata, quindi l’equilibrio di questo gioco è inevitabilmente
(confessa, confessa).
Questo gioco mostra chiaramente come l’equilibrio di Nash, quindi la soluzione del
gioco, non sempre corrisponda a un ottimo paretiano. In un certo senso quest’evidenza
contraddice la visione economica classica che tende a far corrispondere al bene
individuale il bene sociale, sotto ipotesi di razionalità, infatti vediamo come ogni
giocatore se agisce razionalmente e in modo auto-interessato porta ad un esito peggiore
per se e per il gruppo di appartenenza. Questo problema è possibile superarlo solamente
se il gioco viene ripetuto, in questo caso i giocatori possono attuare la così detta trigger
strategy (strategia a grilletto) detta anche tit for tat cooperare (in questo caso, non
confessare) finché l’altro coopera e punire l’altro non cooperando più se c’è da parte
dell’altro giocatore una “deviazione” . Approfondendo questo argomento in realtà
vediamo come questo valga solamente nel caso di giochi ripetuti un numero indefinito
di volte.
2.5 DILEMMA DEL VIAGGIATORE
Il dilemma del viaggiatore è un problema più recente, formulato nel 1994, e mostra,
come e forse anche più del dilemma del prigioniero, che non sempre una strategia
razionale porta ai risultati più desiderabili per i giocatori. In questo gioco i giocatori
sono i due passeggeri di un aereo, ai quali è stato perso il bagaglio, che per casualità è
perfettamente identico. Volendo rimborsare i due viaggiatori, ma non potendo verificare
!
12!
il reale valore dei due bagagli, la compagnia aerea dà la possibilità a ciascun giocatore
di scrivere il valore che attribuisce al proprio bagaglio (valore limitato inferiormente e
superiormente) e poi rimborserà entrambi della cifra più bassa. Per scoraggiare i
viaggiatori a dichiarare un valore più alto di quello effettivo, chi avrà scritto la cifra più
bassa riceverà, come premio per la propria onestà, una somma N che sarà tolta all’altro
giocatore. Nella teoria il valore di può essere fissato arbitrariamente senza che ciò
influisca sull'esito del gioco. Analizzando questo gioco alla luce del concetto di
equilibrio di Nash e strategie dominanti/dominate vediamo che due giocatori razionali si
troveranno in equilibrio solamente quanto entrambi scriveranno il valore più basso.
Infatti ponendo 50 valore minimo, 300 valore massimo e N= 20, se entrambi
scegliessero 300, ciascuno dei due trarrebbe più vantaggio a scegliere 299 così da
appropriarsi di N e ricevere 319. Ovviamente vale lo stesso per 299 e così via, fino al
valore minimo di 50.
300
299
….
50
300
299
…
50
(300,300)
(280,319)
…..
(30,70)
(319,280)
(299,299)
….
(30,70)
…..
…..
…
…..
(70,30)
(70, 30)
…..
(50,50)
Tabella 5 : in questo caso la matrice è più estesa perché le possibili strategie dei giocatori sono > 2. Abbiamo
riportato solamente alcuni casi per far comprendere il funzionamento del gioco.
Le prove empiriche in questo caso si discostano notevolmente dalla teoria, infatti il
valore di N non è indifferente, tanto più N è alta e tanto più i giocatori tendono a
comportarsi come decritto dalla teoria, mentre con un N percepito basso gli individui
difficilmente.
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13!
3 OBIEZIONI AI GIOCHI
3.1 ECONOMIA COMPORTAMENTALE
Ci sono punti di vista diversi da quello della teoria economica classica secondo i quali
analizzare i giochi.
Una branca relativamente giovane dell’economia è quella della così detta “economia
comportamentale”, la quale cerca di analizzare come gli agenti economici compiano
realmente le loro scelte e secondo quali criteri formano le loro preferenze. Questa
analisi cerca di superare gli assiomi semplificati della teoria economica classica quali, la
totale razionalità, l’individualismo metodologico, la massimizzazione dell’utilità, la
mancanza di senso di giustizia e l’assenza di asimmetrie informative. Avvalendoci degli
strumenti offerti dalla teoria dei giochi vediamo, come i risultati empirici che abbiamo
siano molto diversi da ciò che la teoria classica propone. I giocatori, infatti, non
rispettano perfettamente i principi soprelencati di razionalità ed egoismo; spesso
preferiscono cooperare o arrivare a soluzioni più eque e vantaggiose per la collettività e
meno individualiste rispetto a ciò che la teoria propone. Un esempio di questo lo
troviamo nell’Ultimatum Game. In questo gioco ci sono due giocatori, il proposer e il
responder. Il proposer è in possesso di una certa somma (ipotiziamo10 euro) e deve
decidere come dividere questa dotazione tra lui e l' altro giocatore. Il responder, una
volta osservata l'offerta del proposer, deve decidere se accettare o meno l’offerta. In
caso di rifiuto nessuno prende nulla (payoff (0;0)) se accetta riceverà la quantità offerta
dal proposer. Per risolvere questo gioco ci mettiamo nei panni del proposer, il rifiuto
dell' offerta da parte del responder risulta essere una minaccia non credibile, in quanto
rifiutare è costoso, dato che 1 è sempre meglio di 0: per questo motivo il proposer offre
il meno possibile. Se la dotazione iniziale è pari a 10 i payoff saranno pari a (9;1) e ciò è
perfettamente in linea con la teoria economica. Analizzando gli esperimenti però
notiamo che la maggioranza dei proposer offre circa 1/2 della cifra, mentre i responder
rifiutano offerte inferiori a 1/3. Ciò è in contrasto con la teoria. Se le scelte del proposer
sono comprensibili ipotizzando che, attraverso l'esperienza, hanno potuto intuire che un
offerta di circa 1/2 ha una maggiore probabilità di essere accettata, il rifiuto dei
responder non trova una giustificazione nella teoria classica, ma lascia supporre che ci
sia una sorta di punizione per un atteggiamento considerato non equo, e quindi la
presenza di un senso di giustizia nei giocatori. Questo esempio è molto interessante
perché fa vedere in modo semplice questa discrepanza tra teoria classica e evidenza
!
14!
empirica, facendoci così sorgere qualche dubbio sugli assiomi che stanno alla base del
concetto di homo oeconomicus e della teoria economica. Tuttavia credo che i risultati
empirici qui presentati siano leggermente viziati dalle modalità con le quali esso si
svolge, infatti nella maggior parte di questi esperimenti vengono messe in palio cifre
irrisorie o comunque che non portano a un incremento effettivo del benessere di uno dei
due giocatori. Volendo anche considerare un esempio di una posta pari a 1000 se viene
offerto 100, probabilmente l’offerta non verrà accettata, sia per un motivo di “giustizia”
ma anche perché è una cifra che non condiziona in modo rilevante il responser, cioè il
costo del rifiuto è minore della “soddisfazione” che riceve nel punire il proposer per
l’offerta poco equa. Al contrario se le cifre in ballo fossero molto più elevate il risultato
sarebbe diverso. Con una posta pari a 1.000.000, ponendo anche che l’offerente offra
una cifra molto inferiore a 1/3, probabilmente sarebbe ugualmente accettata; infatti
l’offerta pari a 1/10 del totale è 100.000 e addirittura 1/100 corrisponde a 10.000.
Personalmente credo che un individuo medio non potrebbe rifiutare cifre del genere. Se
è vero che con cifre basse, quindi con un’utilità quasi irrilevante, mediamente si
preferisce punire per la puntata disonesta10, con cifre così elevate, rifiutare per punire
l’altro, non solo andrebbe contro il principio di razionalità ma sarebbe addirittura
“folle”.
Altri giochi simili a quello proposto sono il gioco del dittatore e il gioco della fiducia,
anche in questi casi i risultati sono molto simili, anche qui i risultati empirici mostrano
come i giocatori tendono a un comportamento reciproco e come spesso siano mossi da
un senso di giustizia ed equità. Notiamo anche come gli individui tendano molte volte a
valutare i propri guadagni relativamente a quelli degli altri giocatori, questo ci spiega il
comportamento di “punizione” nell’ultimatum game.
Un altro fattore da analizzare che l’analisi classica dei giochi non prende in
considerazione è quello che riguarda la funzione di utilità degli agenti. Nella teoria
classica, infatti, non è influenzata dal consumo o dall’utilità di altri soggetti, ma nella
realtà questo non è sempre valido, in molte situazioni, la soddisfazione di un giocatore
non può essere considerata completamente indipendente dalla soddisfazione degli altri.
Per esempio se i due giocatori sono legati da amicizia o parentela difficilmente saranno
individualisti nel valutare i propri payoff. Riprendendo il gioco del prigioniero, se i due
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10!senza necessariamente contravvenire al principio di razionalità (data la bassa utilità di alcune cifre).!
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15!
giocatori sono marito e moglie, essi non avranno alcun incentivo a competere tra di
loro, in quanto le loro funzioni di utilità sono interdipendenti.
Altre critiche mosse si riferiscono proprio all’impossibilità di un gioco che assuma
l’ipotesi di piena razionalità. Herbert Simon propone il principio di razionalità limitata
ipotizzando che gli agenti economici cerchino di raggiungere una situazione
soddisfacente dato che è molto difficile raggiungere l’ottimo assoluto. Infatti, gli agenti
economici sono condizionati nelle loro scelte, dalla possibilità di considerare solo
alcune tra tutte le alternative possibili e dall’impossibilità di conoscere tutte le
conseguenze di una scelta. Questi due condizionamenti comprometterebbero il principio
di piena razionalità solitamente proposto.
.
Un altro punto di vista è quello della teoria evolutiva, che presuppone lo sviluppo
dinamico della conoscenza che si modella sulla base dell’esperienza degli individui e
dei nuovi elementi economici e sociali che si sviluppano nel corso del tempo. In questa
teoria si parte dall’impossibilità di arrivare ad una situazione di equilibrio economico
stabile, l’equilibrio qui rappresenta solamente un punto di partenza dal quale iniziare lo
sviluppo e tentare i miglioramenti.
3.2 TEOREMI DELL’INCOMPLETEZZA DI GODEL
La teoria dei giochi ed in particolare quanto emerge dal dilemma del prigioniero, ci
mostra qualcosa di estremamente interessante. In un primo momento emerge quanto la
logica e la razionalità siano fondamentali e possano aiutare l’essere umano nella
risoluzione di un numero vastissimo di problemi (interazioni strategiche), allo stesso
vediamo come, talvolta, procedendo in modo prettamente logico e razionale si possa
arrivare a risultati poco desiderabili. Sembra quasi che portando la logica alle sue
massime conseguenze essa arrivi a negare se stessa. Per comprendere questo paradosso
possiamo trovare un suggerimento teorico in Godel e nei suoi teoremi
dell’incompletezza,
i
quali
mostrano
come
non
sempre
un’asserzione
contenutisticamente vera sia dimostrabile in un determinato sistema formale e che anzi
è possibile ottenere un sistema coerente all’interno del quale è dimostrabile una
proposizione contenutisticamente falsa.
Enunciato 1: In ogni teoria matematica T sufficientemente espressiva da contenere
!
16!
l'aritmetica, esiste una formula
negazione
tale che, se T è coerente, allora né
né la sua
sono dimostrabili in T.
semplificando:
In ogni formalizzazione coerente della matematica che sia sufficientemente potente da
poter assiomatizzare la teoria elementare dei numeri naturali (la struttura dei numeri
naturali dotati delle operazioni di somma e prodotto) è possibile costruire una
proposizione sintatticamente corretta che non può essere né dimostrata né confutata
all'interno dello stesso sistema.
Enunciato 2: Sia T una teoria matematica sufficientemente espressiva da contenere
l'aritmetica: se T è coerente, non è possibile provare la coerenza di T all'interno di T.
semplificando:
Nessun sistema coerente può essere utilizzato per dimostrare la sua stessa coerenza, e
cioè se un sistema assiomatico può dimostrare la sua stessa coerenza, allora esso deve
essere incoerente.
Se quelli che abbiamo appena presentato sono problemi matematici teorici, sono stati
compiuti alcuni studi anche su i giochi per verificare se effettivamente il principio di
piena razionalità fosse soddisfatto. È stata dimostrata l’esistenza di un equilibrio, ma
non la possibilità di raggiungerlo, che rimane per i giocatori incomputabile. Questo
paradosso va nettamente in contrasto con l’assunto di piena razionalità dei giocatori alla
base di tutta l’analisi. Un esempio di un gioco che si occupa della non computabilità è
quello introdotto nel 1962 da T. Radò nell’articolo On Non-Computable Functions, il
“busy-beaver”, mediante il quale l’autore arriva a sostenere:
Enunciato: Per ogni funzione computabile f da N a N esiste un naturale k(f) tale che,
per ogni k > k(f), risulta Σ(k) > f(k). In particolare, Σ non può essere computabile.
!
17!
4 KAKUTANI FIXED POINT THEOREM
I l teorema del punto fisso di Kakutani è un’estensione del teorema del punto fisso di
Brouwer alle funzioni a più valori dimostrato, nel 1941, dal matematico Shizuo
Kakutani. Nash utilizza il teorema del punto fisso per dimostrare l’esistenza di equilibri
in un gioco n-plo.
4.1 TEOREMA DI BROWER
Enunciato: Se K è un insieme non vuoto, compatto (cioè, chiuso e limitato) e convesso
n
in R e f : R  R è una funzione continua, allora vi è un punto fisso, esiste cioè un x*
tale che f (x*)= x*
4.2 TEOREMA DI KAKUTANI
Enunciato: Sia X ⊆ Rn , X compatto,11 convesso e non vuoto. Sia f : X  X una
corrispondenza a valori non vuoti e conveessi, ed a grafico ridotto chiuso. Allora F ha
un punto fisso, cioè: ∃ x* ∈ X tale che x* ∈ f(x).
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
11!definiamo insieme compatto un insieme chiuso e limitato.!
!
18!
Questi due teoremi, date la validità di certe ipotesi, ci assicurano l’esistenza di un punto
fisso. Questo però non basta a garantirci l’unicità di tale punto, può verificarsi infatti
l’esistenza di più di un punto fisso. Definiamo punto fisso quel punto del dominio che
non è sotto l’influenza della funzione stessa.
!
19!
5 APPLICAZIONI ECONOMICHE
5.1 COURNOT COMPETITION
Le possibili applicazioni economiche della teoria dei giochi e soprattutto del concetto di
equilibrio di Nash sono molteplici, soprattutto in modelli di oligopolio statico vediamo
come abbiano elementi molto simili a quelli che troviamo nella teoria dei giochi. I due
modelli più famosi sono quelli di Cournot e di Bertrand. Soffermandoci sul modello del
matematico francese Agustin Cournot, vediamo come sebbene risalga al XIX secolo,
più precisamente al 1836, anno della sua pubblicazione, anticipa il concetto di equilibrio
di Nash, proposto più di un secolo dopo da John Nash.
Il modello di Cournot è inserito in una situazione in cui ci siano due imprese che
producono lo stesso bene12, l’esempio preso in considerazione dal matematico era
quello di due imprese produttrici di acqua minerale, dove una è già operante nel
mercato, come monopolista, mentre l’altra ha intenzione di entrare. Ovviamente, poiché
il monopolista produce a prezzi maggiori del costo marginale, per l’impresa entrante
sarà molto appetibile entrare nel mercato.
All’entrata nel mercato della nuova impresa ci sarà una reazione del monopolista che
aveva, in precedenza, ottimizzato i propri profitti in un mercato senza concorrenti, e
adesso si trova costretta a rispondere all’entrante con una nuova quantità ottima di
output13. Ogni volta che l’impresa sul mercato sceglie il livello di output, l’entrante avrà
una sola risposta ottima per massimizzare i profitti, e viceversa. La rappresentazione
grafica delle varie risposte ottime, sono le così dette “curve di reazione”.
Formalmente ipotizziamo che la curva di domanda inversa dell’industria presa in
considerazione sia lineare, quindi P = A – BQ = A – B(q1+ q2) con q1 output impresa 1 e
q2 output impresa 2 e il costo marginale di ciascun impresa sia costante e pari a c.
Per ottenere la curva di domanda di una delle due imprese trattiamo l’output dell’altra
come una costante. Prendendo in considerazione la curva di domanda dell’impresa 2
abbiamo P = (A – Bq1) – Bq*2 dove i primi due termini sul lato destro possono essere
presi come dati, poiché indipendenti dalla sua decisione. Ovviamente una scelta diversa
di output da parte dell’impresa 1 farà si che si modifichi la curva di domanda
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
12!le due imprese, in questo modello, sono in tutto identiche, sia nel prodotto che offrono che nel costo di
produzione.!
13!nell’oligopolio di Cournot le imprese concorrono sulla quantità di output, differentemente da quello à
la Bertrand, dove fissano il livello dei prezzi.!
!
20!
dell’impresa 2, spingendola così a modificare
il proprio livello di output per
massimizzare i profitti. È intuitivo capire che la scelta ottima dell’impresa 2 dipende
dall’output dell’impresa 1. Vediamo come la curva dei ricavi marginali dell’impresa
due sia anche funzione di q1 R’2 = (A – Bq1) – 2Bq2 poniamo i ricavi marginali uguali
al costo marginale c  R’2 = c  q*2 = (A – c)/2B – q1/2. Abbiamo così trovato “la
funzione di reazione”14 dell’impresa 2, che mostra la risposta ottima di output data la
scelta di output da parte dell’impresa 1. Volendo vedere la funzione di reazione di 1 la
troviamo simmetricamente q*1 = (A – c)/2B – q2/2. La relazione, nelle funzioni di
reazione, è di tipo negativo, infatti ad ogni incremento di q1 corrisponde una
diminuzione della domanda e delle curve dei ricavi marginali di 2, facendo, a costo
marginale costante, diminuire i profitti di 1.
Vediamo l’interazione strategica delle due imprese nella figura seguente.
Andiamo ad analizzare le funzioni di reazione delle due imprese, questa situazione è
assimilabile a quella di un gioco, dove ogni impresa sceglie simultaneamente e in modo
ottimale alla scelta del proprio rivale, chiaramente la scelta di ciascun impresa sarà fatta
sulla previsione della quantità di output dell’altra. Quando la previsione di entrambe le
imprese sarà corretta ci troveremo nel punto C, ossia in equilibrio. L’equilibrio di
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
14!il termine più corretto sarebbe quello di funzione di risposta ottimale, piuttosto che funzione di
reazione, poiché in questo modello la scelta dell’output è simultanea e non sequenziale. Infatti come
vedremo più avanti questo modello è in tutto paragonabile a un gioco simultaneo, la cui soluzione è un
equilibrio di Nash.!
!
21!
Cournot-Nash richiede che entrambe le imprese siano sulle proprie funzioni di reazione.
Algebricamente:
q*1 = (A - c)/2B - q*2/2 
q*2 = (A - c)/2B - q*1/2 
q*2 = (A - c)/2B - (A - c)/4B + q*2/4 
3q*2/4 = (A - c)/4B  In equilibrio l’output delle due imprese sarà rispettivamente q*1
= (A - c)/3B e q*2 = (A - c)/3B.
L’output totale è pari a Q* = 2(A - c)/3B
Per ottenere il prezzo di equilibrio partiano dalla domanda e sostituiamo P = A – BQ 
P* = A - 2(A - c)/3 = (A + 2c)/3. A questo punto possiamo calcolarci il profitto delle
due imprese, che sarà per entrmbe:
(P* - c)q*1 = (A - c)2/9B.
L’oligiopolio di Cournot potrebbe non rientrare nei limiti descritti dal teorema del punto
fisso di kakutani, in quanto, dato che le aziende sono libere di fissare qualsiasi livello di
output, l’insieme di definizione potrebbe non essere compatto. Però vediamo come
aumentando l’output, prodotto dall’intera industria, fino a un certo livello rimane
profittevole per le aziende operanti sul mercato, ma aumentando oltre un certo livello i
profitti si annullano. Facendo vedere l’analisi dell’output totale dell’ industria (senza
dividere in q1 e q2) vediamo che I ricavi marginali sono R’ = A-2BQ, così che quando
Q > A/2B i profitti diventano negativi.
Possiamo vedere chiaramente che questo modello implica il concetto di equilibrio di
Nash poiché, l’equilibrio è un livello di output dove, per ciascuna impresa, la scelta
ottima di una è la risposta che massimizza i profitti alla fissazione di output dell’altra.
Vediamo però come la soluzione più naturale in una situazione di duopolio sia la
collusione, così che entrambe le imprese massimizzano i propri profitti evitando di farsi
concorrenza. Parte proprio da questo punto la critica di Bertrand al modello proposto da
Cournot. Bertrand obietta la mancanza di attinenza alla realtà di questo modello di
competizione: infatti basterebbe che una sola delle due imprese abbassasse il prezzo in
modo da attrarre su di se tutto il mercato. Quindi la proposta di Bertrand è quella di un
modello in cui la competizione fra le imprese avviene sul prezzo e non più sulla quantità
prodotta.
!
22!
5.2 SITUAZIONI Più ESTESE E COMPLICATE
Usualmente la teoria dei giochi viene applicata in ambito economico in circostanze
ottimali, quali l’ipotesi di perfetta concorrenza, l’assenza di esternalità, preferenze ben
definite e funzioni di pruduzione lineari. L’oligopolio di Cournot ne è un chiaro
esempio. Ciò che vorrei far emergere da questo lavoro è che grazie ai teoremi che
abbiamo visto in precedenza possiamo estendere le applicazioni a situazioni molto più
realistiche. Il contributo di Nash è in questo senso molto utile: esso ci permette di
risolvere un gioco come problema di punto fisso, garantendoci l’esistenza di almeno un
equilibrio, date certe condizioni di partenza.
Analizziamo una forma generalizzata di Cournot competition, dove le aziende
competono sulle quantità da produrre, e il prezzo e le quantità acquistate dal mercato a
ciascuna azienda sono funzioni di tutte le quantità prodotte. Per assicurarci
dell’esistenza di almeno un equilibrio di Nash ci basta verificare che l’insieme di
definizione sia compatto, convesso e non vuoto, e che la funzione sia continua e abbia
grafico chiuso. Queste condizioni sono facilmente dimostrabili, abbiamo fatto vedere
nel capitolo precedente l’analisi sulla compattezza dell’insieme in un oligopolio di
Cournot.
È possibile complicare maggiormente le situazioni del mercato e arrivare a verificare
l’esistenza di un equilibrio anche in situazioni molto più estese, complicate e vicine alla
realtà.
Prendiamo in esame una situazione in cui abbiamo m consumatori price-takers che
consumano panieri di beni in Rn, sotto un determinato un vincolo di bilancio. Possiamo
ipotizzare che le funzioni di utilità abbiano qualsiasi forma di esternalità, cioè che
l’utilità di ogni consumatore nel consumare un bene sia influenzata dal livello di
consumo dello stesso bene da parte degli altri (un esempio di esternalità positiva lo
abbiamo nel caso di effetti di rete); formalmente l'utilità del consumatore i sarebbe una
funzioni di (Rn) m. Anche in questa circostanza se valgono tutte le condizioni
sopraelencate è garantita l’esistenza di almeno un equilibrio.
La forma di mercato semplificata che viene proposta nella teoria classica è spesso molto
distante dalla realtà; infatti, per fare un esempio, la presenza di esternalità o di funzioni
non lineari è estremamente comune. Questo però non significa che non sia possibile
ipotizzare un equilibrio nell’economia. Infatti, come visto in precedenza, per quanto
!
23!
difficili o estese siano le circostanze, per verificare l’esistenza di un punto fisso, e
quindi un equilibrio, è sufficiente riuscire a dimostrare che l’insieme di definizione sia
compatto, convesso e non vuoto, e che la funzione sia continua e abbia grafico chiuso.
Questo però, come abbiamo visto anche per i teoremi di punto fisso, non ci assicura che
l’equilibrio sia unico, o che sia facilmente raggiungibile.
Un altro esempio di come le implicazioni del teorema del punto fisso siano importanti
per assicurarci dell’esistenza di un equilibrio, lo troviamo nel modello Arrow-Debreu.
Nel 1954 esce su Econometrica un articolo dei due autori chiamato “Existence of an
equilibrium for a competitive economy”, dove si dimostra che, se sono soddisfatte le
condizioni di convessità delle preferenze, concorrenza perfetta e indipendenza della
domanda, ci sarà una serie di prezzi tali che per ogni bene dell’economia l’offerta
aggregata sarà uguale alla sua domanda aggregata, ossiao come è verificata l’esistenza
di un equilibrio economico generale (di tipo Warlasiano).
Per dimostrare questo i due autori utilizzarono proprio il teorema del punto fisso di
Kakutani.!!
Questo modello è una rielaborazione rigorosa della teoria dell'equilibrio economico
generale volta a superarne i limiti. Si individuano : n, numero delle merci; l, numero dei
produttori; m, numero dei consumatori; la tecnologia a disposizione di ogni produttore;
i vincoli fisici e i gusti di ogni consumatore, e la sua dotazione iniziale di risorse; la
quota dei profitti di ogni produttore che appartiene a ogni consumatore. Ognuno di
questi soggetti viene rappresentato matematicamente.
Le merci, beni e servizi, si differenziano tra loro anche in base alla collocazione nello
spazio e nel tempo. Perciò uno stesso bene è considerato una merce diversa se è
disponibile diversamente sul piano temporale o spaziale. Questo ci permette di
costruire, semplicemente come caso particolare della teoria generale delle merci, una
teoria del risparmio (e del capitale e dell'interesse), del commercio internazionale e
dell'incertezza.
A ogni merce è associato un prezzo. Tutti i contratti vengono stipulati in un istante
iniziale, mentre la loro esecuzione avviene in modo automatico nei periodi successivi,
parliamo infatti di equilibrio intertemporale.
Ciascun produttore sceglierà la combinazione tecnica fra input e output che massimizza
il profitto così come ciascun consumatore sceglie la combinazione di merci che il
consumatore vende (il lavoro) e acquista per massimizzare la propria soddisfazione.
!
24!
Il mercato è perfettamente concorrenziale e per ogni merce, la quantità domandata
uguaglia la quantità offerta. Da qui deduciamo le grandezze di equilibrio, cioè quantità e
prezzo di ogni merce scambiata in ogni istante, anche futuro.
Per arrivare a affermare l’esistenza dell'equilibrio gli autori introducono il postulato
della convessità nella produzione e nel consumo, ricavato dal teoremi di punto fisso.
Ipotesi fondamentale, in quanto per la produzione, la convessità esclude rendimenti di
scala crescenti, e per il consumo esclude che si preferisca consumare soltanto una merce
anziché una combinazione delle merci esistenti. Ciò garantisce, inoltre, che le domande
e le offerte siano continue per ogni prezzo (che non vi siano “buchi”) e rende possibile
l'incontro, a un dato prezzo, fra la domanda e l'offerta complessiva.
È evidente l'inutilità della moneta in un modello di questo tipo.
Pare ovvio, dato ciò che avevamo detto in precedenza riguardo ai teoremi di punto fisso,
che con questo modello incontriamo delle difficoltà nel dimostrare l’unicità e la stabilità
dell'equilibrio. Per dimostrare l'unicità e la stabilità dovremo introdurre ipotesi molto
più restrittive, ma non è rilevante ai nostri fini.
!
!
25!
CONCLUSIONI
Se pur brevemente abbiamo visto quanto possa essere vasto il panorama della teoria dei
giochi, e come le sue applicazioni in ambito economico possano essere molteplici e
molto diverse per il tipo di approccio.
Un punto che merita di essere approfondito è quello che riguarda il dilemma del
prigioniero. Tornando ad analizzare ciò che è emerso da questo gioco possiamo vedere
come le credenze e i valori dei giocatori influenzino l’esito del gioco. Infatti, come
abbiamo visto, la situazione più desiderabile sarebbe la cooperazione, ma in situazioni
con una profonda incertezza, asimmetrie informative, una sfiducia di base negli altri
giocatori e un’idea di massimizzazione dei profitti che in realtà si mostra più come una
minimizzazione delle perdite, l’interazione strategica porta i giocatori a un equilibrio
non efficiente e meno desiderato da tutti. È necessario che i giocatori partano con
l’intento di non subire perdite “inutili”, allo stesso tempo, però, ogni giocatore dovrebbe
cercare di superare questo “equilibrio negativo” e per farlo lo stato psicologico è
fondamentale. Come abbiamo visto, è chiaro come in giochi di questo tipo se i giocatori
sono legati tra loro, quindi i payoff sono interdipendenti, se vogliamo, in modo simile a
quello dei giochi di coordinamento, si tenda verso situazioni più desiderabili. Nel caso
del gioco del prigioniero la cooperazione porterebbe a una pareto efficienza. Riuscendo
a far entrare nel modello del gioco dei valori “intrinseci”, come per esempio la fiducia e
non fermandoci a un analisi meramente “estrinseca” del problema in questione, appare
chiaro, tralasciando per un momento l’analisi classica, come sia possibile superare
momentaneamente il concetto di strategia dominante/dominata e lavorare su un piano
diverso da quello meramente utilitaristico e riuscire ad ottenere profitti migliori proprio
dalla sintesi dei due diversi tipi di approcci. Ciò che viene proposto non è un’interazione
strategica che dall’assunto di fiducia, onestà e che tralascia completamente l’idea di
ottimizzazione, razionalità e auto interesse. Sarebbe un errore ipotizzare alla base di
tutto l’ipotesi più “bella”, in quanto la realtà non è dicotomica ma presenta molte
sfaccettature, quindi partire dall’accettazione dell’ipotesi peggiore, e da qui sviluppare
un modello che tenda sempre verso il miglioramento, risulta essere più efficiente, ci
permette di evitare errori di approssimazione e l’ ”impatto psicologico15” sia, tutto
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
15!Per impatto psicologico intendo le ripercussioni che determinate aspettative se realizzate o meno
provocano negli individui, per esempio dando o togliendo entusiasmo. Ovviamente, oltre che per una
questione di preferenze individuali, individui più entusiasti saranno sicuramente sia più produttivi che più
!
26!
sommato, molto più leggero rispetto al presupporre il meglio per poi dover rivedere al
ribasso le nostre aspettative..
I giocatori del dilemma del prigioniero si presuppongono essere classici “homo
oeconomicus”, Sen definiva “folle razionale” l’identikit di questi tipi di persone,
sottolineando proprio come un atteggiamento pienamente razionale, portato avanti in
modo miope, porti a risultati definibili “assurdi”. Ciò che sembra mostrarci l’analisi
classica di queste interazioni sociali è un’interazione fra giocatori “deboli” e “insicuri” e
un gioco dominato dalla paura. Come già ribadito un approccio del genere risulta essere
necessario, sia per comprendere il gioco, che per acquistare abbastanza “forza” da poter
poi in un secondo momento superare la paura dell’altro e accettare di scegliere una
strategia che può essere vista come debole, senza compromettere, di fatto, la propria
posizione (in ambito economico sul mercato, e in ambito umano, sociale) grazie proprio
alla “forza” ormai intrinseca
nei giocatori. Tale forza può essere vista come un
deterrente per l’altro, oppure come un incentivo alla cooperazione. Possiamo intendere
il termine incentivo alla cooperazione anche nel modo più “brutale”, ossia come
incentivo alla “non- competizione” quando quest’ultima non è profittevole.
L’idea è che partendo proprio dall’analisi più razionale, auto-interessata, utilitaristica e
se vogliamo “cattiva” nei confronti dell’essere umano, come quella presentata dalla
tradizione economica e in un certo senso anche dal dilemma del prigioniero, si possa di
trascenderla
Per capire questo punto di vista può esserci utile riprendere la riformulazione del
secondo teorema dell’incompletezza di Godel, che mostra come la coerenza di un
sistema sia possibile solamente se il sistema stesso è incoerente. Quindi, anche un
sistema basato sulla razionalità, come quello dell’economica classica, per essere
pienamente razionale dovrebbe accettare di essere in dei brevi tratti incoerente, e
contraddire se stesso, introducendo l’irrazionalità16 all’interno del proprio sistema.
Questo approccio permette di compiere un analisi “diversa”, partendo dagli assunti
classici di razionalità e auto-interesse.
Infatti, se è stato ampiamente dimostrato
l’erroneità e la limitatezza di tali assunti, per descrivere l’essere umano, è anche vero
che non è dimostrabile nemmeno l’ipotesi che vuole partire dalla visione dell’essere
umano come votato alla cooperazione e a alti valori morali, rilegando gli individui
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
tendenti alla cooperazione, perché meno sfiduciati nei confronti dl prossimo, migliorando così sia
l’efficienza che il benessere e la serenità della collettività.
16!Scegliere di cooperare in una situazione tipo dilemma del prigioniero, senza nessuna garanzia sul
comportamento dell’altro è un esempio di razionalità.
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27!
mossi da “utilitarismo” a sociopatici. In realtà l’essere umano ha caratteristiche che
spaziano tra i due estremi e quindi ogni approssimazione è di per se erronea.
Fondamentale in questo lavoro è l’importanza del teorema di Nash e dei teoremi di
punto fisso. Come abbiamo visto permettono di estendere i risultati teorici e il concetto
di equilibrio a circostanze molto meno astratte. Possiamo così vedere come, sotto la
validità delle premesse, in qualsiasi situazione ci troviamo, esiste almeno un punto
fisso, un equilibrio verso il quale tendere e, nonostante nulla ci assicuri di riuscire a
raggiungerlo, questo basta per darci la speranza e la forza di continuare a cercare.
“Dal verbo "suchen" (cercare) i Tedeschi fanno il participio presente, "suchend", e lo
usano sostantivato, "der Suchende" (colui che cerca) per designare quegli uomini che
non s'accontentano della superficie delle cose, ma d'ogni aspetto della vita vogliono
ragionando andare in fondo, e rendersi conto di se stessi, del mondo, dei rapporti che tra
loro e il mondo intercorrono. Quel cercare che è già di per sé un trovare, come disse uno
dei più illustri "cercatori", Sant' Agostino; quel cercare che è in sostanza vivere nello
spirito.” Massimo Mila (introduzione a Siddharta)
!
28!
Bibliografia
• Acocella Nicola, Economia del benessere, Carrocci editore.
• Andreu Mas-Collel, Michael D. Whinston and Jerry R. Green (1995),
Microeconomic theory.
• Arrow K. J.,Debreu G. (1954), Existence of an equilibrum for a competitive
economy, Econometrica 22 p. 265–290.
• Lynne Pepall, Daniel J. Richards, George Nerman (anno), Organizzazione
industriale, Mcgraw-Hill.
• Maynard Smith, Price (1973), The Logic of Animal Conflict.
• Morgestern Oskar, Teoria dei giochi, Bollati Boringhieri.
• Nash, JF (1950). Equilibrium Points in N-person Games". Proceedings of the
National Academy of Sciences 36 p. 48–9.
• Radò Tidor (1962), On non-computable functions, Bell Syst. T. 41, pp. 877-884
• Osborne Martin, Rubistein J. Ariel (1998), A course in game theory.
• Knut Sydsæter, Arne Strøm and Peter Berck (2005), Economists’ Mathematical
Manual.
!
29!