Soluzione prova scritta di Statistica Traccia A docente: I. Oliva 14/2

Soluzione prova scritta di Statistica Traccia A
docente: I. Oliva
14/2/2014
Le soluzioni fanno riferimento ai soli esercizi pratici. Per le domande a risposta aperta
e quelle a risposta multipla, si faccia riferimento ad un testo di Statistica o alle dispense
rilasciate dal Docente durante lo scorso a.a.
Esercizi
1. Si supponga che il numero di chiamate che arrivano ogni secondo ad un centralino
telefonico sia una variabile casuale di Poisson con paramentro d'intensitá pari a 5.
Determinare la probabilitá che in un determinato secondo non arrivi nessuna chiamata
e la probabiltá che in un determinato secondo arrivino 3 chiamate. (8 CFU/10 CFU)
[4 punti ]
La distribuzione di probabilitá della variabile aleatoria di Poisson é P (X = x) =
λx e−λ
x! , per x = 0, 1, 2, . . .
La probabilitá che al centralino non arrivino chiamate in un determinato secondo si
ottiene ponendo x = 0 e λ = 5 (come specicato nella traccia), quindi P (X = 0) =
50 e−5
0!
= 0, 0067.
La probabilitá che al centralino arrivino 3 chiamate in un determinato secondo si
ottiene ponendo x = 3 e λ = 5 (come specicato nella traccia), quindi P (X = 3) =
53 e−5
3!
= 0, 14.
2. Un'azienda stipula un contratto per vendere barattoli di marmellata da 500 g. La
quantitá di marmellata messa in ciascun barattolo é predeterminata meccanicamente
ed é distribuita come una normale con media µ e deviazione standard σ = 25 g. A
quale valore minimo di µ deve essere tarata la macchina perché non piú del 2% dei
barattoli contenga meno di 500 g di marmellata? [4 punti ] (8 CFU/10 CFU)
X é una normale di media µ da determinare e di deviazione standard σ = 25. Si
richiede di calcolare µ in modo che P (X < 500) = 0, 02. Standardizzando, si ha
P (Z < z0 ) = 0, 02, dove z0 = 500 − µ/25.
Dalla teoria si sa che P (Z < −z0 ) = Φ(−z0 ) = 1 − Φ(z0 ) = 0, 02, da cui Φ(z0 ) = 0, 98
e, dalle tavole, si ricava z0 = 2, 05, quindi µ = 500 + 25 ∗ 2, 05 = 551, 25.
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3. Un'indagine recente, condotta su un campione casuale di 80 cittadini residenti, ha evidenziato che la spesa media bisettimanale per l'utilizzo dei mezzi di pubblico trasporto
ammonta a 15 e. Da indagini precedenti era emerso che tale spesa puó essere considerata come una variabile aleatoria normale con varianza pari a 5 e2 .
(a) Determinare l'intervallo di condenza al livello del 95% e commentare il risultato.
(8 CFU/10 CFU) [3.5 punti ]
Nel caso in esame, il campione é pari a n = 80 e dalla traccia si evince che la
varianza data é quella corretta, quindi la formula per la risoluzione dell'esercizio
é
h
σ
σ i
X̄ − z(α/2) √ , X̄ + z(α/2) √ ,
n
n
dove X̄ é la media campionaria data data traccia, α é il livello di condenza dato
e z(α/2) si ottiene dalle tavole per la normale standard.
(b) Determinare quanto debba essere grande il campione casuale se si desidera ottenere un intervallo di condenza di ampiezza 1.1. (Hint: porre uguale all'ampiezza
ssata la dierenza tra gli estremi di un generico intervallo di condenza e risolvere l'equazione rispetto ad n.) (8 CFU) [2 punti ]
Sia A l'ampiezza dell'intervallo di condenza, allora
σ
σ
X̄ + z(α/2) √ − X̄ + z(α/2) √ = A
n
n
σ
2z(α/2) √ = A
n
!2
2 ∗ σ ∗ z(α/2)
∗
n=
A
Sostituendo gli opportuni valori, si ottiene n ∼
= 82.
4. Una macchina per il riempimento delle buste di patatine ha uno scarto quadratico
medio di 6 g e una media incognita. La macchina é stata costruita per un riempimento
delle buste da 100 g. Per vericare la conformitá del riempimento a quello previsto
dalle speciche costruttive, si estrae un campione di 100 buste, ottenendo un contenuto
medio di 99 g. Eettuare un test di ipotesi per stabilire se il riempimento medio di
100 g é accettabile con un livello di signicativitá di 0.05. (10 CFU) [4 punti ]
Test d'ipotesi bilaterale, con H0 : µ = µ0 = 100 e H1 = µ 6= µ0 . La zona di riuto
sará l'insieme {z : z < −z(α/2) e z > z(α/2)}.
Ora, z si ottiene standardizzando X ∼ N (99, 6) e z(α/2) si ricava dalle tavole.
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5. I valori inseriti nella seguente tabella riguardano le etá di diverse coppie di sposi:
Etá mogli (X) Etá mariti (Y )
17
21
24
23
18
20
28
25
18
22
19
23
24
24
21
25
22
24
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27
Determinare il coeciente di correlazione e calcolare i paramentri relativi alla retta
di regressione nel caso in cui X sia la variabile indipendente. (8 CFU/10 CFU) [3
punti ]
Si chiede di calcolare il coeciente di correlazione
PN
− µX )(yi − µY )
.
PN
2
2
(y
−
µ
)
(x
−
µ
)
Y
X
i=1 i
i=1 i
r = qP
N
i=1 (xi
Eettuando gli opportuni calcoli, si ottiene r = 0, 85.
La retta di regressione é, in questo caso, Y = aX + b, dove
b = cov(X, Y )/var(X) = 0, 4, a = µY − b ∗ µX = 14, 78.
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