INFERENZA SUL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE Richiami

INFERENZA SUL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE
Richiami sulla normale doppia
La distribuzione normale doppia è descritta dalla funzione di densità
seguente
−
1
f ( x, y ) =
2πσ X σY 1 − ρ
2
e
  x −µ
X

2 (1−ρ )   σ X

1
2
2

 x −µ X
 −2ρ

 σX
 y −µY

 σY
  y −µY
+
  σY



2


,
∞ < x , y < ∞,
dove σ X > 0, σY > 0, e ρ ∈ [−1, 1]. Graficamente.
…
10.4.1. Inferenza sul coefficiente di correlazione
Sia ( X 1 , Y1 ), ( X 2 , Y2 ), K , ( X n , Yn ) un campione proveniente da una
popolazione normale doppia. Si può dimostrare (Sadowski, 1971, pp. 2457) che lo stimatore di massima verosimiglianza di ρ è il coefficiente di
correlazione del campione
r=
∑1n( X i − X )(Yi − Y )
∑1n( X i
− X ) 2 ∑1n(Yi − Y ) 2
.
Un’espressione equivalente di r, utile per i calcoli, è data da
r=
∑1n X i Yi − (∑1n X i ∑1nYi ) n
[∑1n X i2 − ( ∑1n X i ) 2 n][∑1nYi 2 − ∑1nYi ) 2 n]
Nel caso particolare in cui ρ = 0, si può dimostrare (Birnbaum, 1964, pp.
226-7) che la variabile casuale
T=
r
1− r
2
n − 2 , per n ≥ 3 ,
ha dimostrazione t di Student con n − 2 gradi di libertà. Nel caso generale,
la distribuzione di r è alquanto complicata; tuttavia si può dimostrare
(Birnbaum, 1964, p. 226) che la distribuzione della variabile casuale
1
U=
1 1+ r
ln
,
2 1− r
nota come trasformata di Fisher, è prossima alla normale con media e
varianza date, rispettivamente, da
ρ
1 1+ ρ
1
E(U ) = ln
+
, Var(U ) =
.
2 1 − ρ 2( n − 1)
n−3
Quando il campione ha ampiezza sufficientemente elevata, si può prendere
come media approssimata di U la quantità
1
ln (1 + ρ) (1 − ρ) .
2
Intervallo fiduciario per ρ
Usando la trasformata di Fisher, è facile determinare un intervallo
fiduciario per
1 1+ ρ
ln
. Si può scrivere infatti
2 1− ρ


0,5 ln[(1 + r ) (1 − r )] − 0,5 ln[(1 + ρ) (1 − ρ)]
P − z α 2 ≤
≤ z α 2  ≈ 1 − α,
1 n−3


da cui, risolvendo rispetto a ρ, dopo qualche passaggio algebrico, si ricava
 (1 + r ) − (1 − r )e 2 zα 2
P
 (1 + r ) + (1 − r )e 2 zα 2

n −3
n−3
≤ρ≤
(1 + r ) − (1 − r )e
(1 + r ) + (1 − r )e
− 2 zα 2
− 2 zα 2

 ≈ 1 − α.
n −3 

n −3
Esempio 10.8. Si voglia determinare un intervallo fiduciario per ρ al
95% con i dati dell’Esempio 10.1 che qui si riproducono.
2
Individuo
Pressione
Età
Individuo
Pressione
Età
i
Yi
xi
i
Yi
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
144
220
138
145
162
142
170
124
158
154
162
150
140
110
39
47
45
47
65
46
67
42
67
56
64
56
59
34
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
130
135
114
116
124
136
142
120
120
160
158
144
130
125
48
45
17
20
19
36
50
39
21
44
53
63
29
25
15
128
42
30
175
69
Si ha
r=
199.576 − (1.354 × 4.276) 30
[67.894 − 1.35 4 2 30][624.260 − 4.2 76 2 30]
I limiti fiduciari al 95% per
ρ
(1 + 0,66) − (1 − 0,66)e 2×1,96
27
(1 + 0,66) + (1 − 0,66)e 2×1,96
27
= 0,66.
sono:
= 0,39,
(1 + 0,66) − (1 − 0,66)e − 2×1,96
27
(1 + 0,66) + (1 − 0,66)e − 2×1,96
27
= 0,82.
In altri termini ρ è compreso verosimilmente nell’intervallo (0,39, 0,82).
Verifica di ipotesi su ρ
Per la verifica dell’ipotesi nulla H 0 : ρ = ρ 0 contro l’alternativa H 1 : ρ ≠ ρ 0
(si farà riferimento, per brevità, solo a questa ipotesi alternativa, negli altri
casi si procede in modo simile), si usa come statistica test la trasformata di
1
2
Fisher di r, U = ln
1+ r
. Tenendo presente quanto detto poc’anzi intorno
1− r
alla distribuzione di U, è facile stabilire che la zona di rifiuto del test è
R = {z : | z | ≥ z α 2 },
dove naturalmente
3
z=
u − E(U )
Var(U)
.
Se ρ 0 = 0, si può utilizzare come statistica test il rapporto
t=
r
1− r2
n − 2.
In questo caso, la zona di rifiuto è
R = {t : | t | ≥ t α 2 },
dove t α 2 è il centile della distribuzione t di Student con n − 2 gradi di
libertà.
Esempio 10.9. Riprendendo ancora i dati dell’Esempio 10.1, si voglia
verificare l’ipotesi H 0 : ρ = 0,5, contro l’alternativa H 1 : ρ ≠ 0,5 ad un
livello di significatività del 5%. Poiché r = 0,66, si ha
u=
1 1,66
ln
= 0,79.
2 0,34
Essendo
z=
0,79 − [ln(1,5 0,5)] 2 + 0,5 (2 × 29)
1
27
= 1,20 < 1,96,
l’ipotesi nulla non viene rifiutata.
Si consideri ora il problema della verifica dell’ipotesi H 0 : ρ = 0, contro
l’alternativa H 0 : ρ ≠ 0. In questo caso, si ha
t=
Siccome t 0, 025
= 2,048,
0,66
1 − 0,66 2
28 = 4,65.
si deve concludere che r è significativamente diverso da 0.
4