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Elementi di Matematica Finanziaria Rendite e ammortamenti

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Elementi di Matematica Finanziaria Rendite e ammortamenti
Elementi di Matematica Finanziaria
Rendite e ammortamenti
Università Parthenope
1
Rendite
Si chiama rendita una successione di capitali
da riscuotere (o da pagare) a scadenze
determinate
Si chiamano rate della rendita i singoli
capitali da riscuotere (o da pagare)
Università Parthenope
2
Rendite
Le rendite si distinguono per varie tipologie
•Rendite certe
•Le rate sono fissate a priori nel numero,
ammontare e epoche
•Rendite aleatorie
Università Parthenope
3
Rendite
Le rendite si distinguono per varie tipologie
•Periodiche
• le scadenze delle rate sono equispaziate;
l’intervallo costante tra una rata e l’altra è
detto periodo
•aperiodiche
Università Parthenope
4
Rendite
Le rendite si distinguono per varie tipologie
•Posticipate
• il pagamento della rata avviene alla fine del periodo
•{0, R1, R2,..., Rk,...,Rn-1, Rn,}/{t0, t1, t2,...,tk,...,tn-1, tn}.
•Anticipate
•il pagamento della rata avviene all’inizio del periodo
•{R1, R2, R3, ..., Rk+1,..., Rn, 0}/{t0, t1, t2,...,tk,...,tn-1, tn}.
Università Parthenope
5
Rendite
Le rendite si distinguono per varie tipologie
•Temporanee
• il numero delle rate è finito (prefissato)
•Perpetue
•il numero delle rate è infinito
Università Parthenope
6
Rendite
Le rendite si distinguono per varie tipologie
•costanti
• le rate hanno tutte lo stesso valore
•unitarie se le rate hanno ammontare
unitario
•variabili
Università Parthenope
7
Rendite
Valore di una rendita ad un tempo t
•Valore ritenuto finanziariamente equivalente
alla rendita:
• somma di tutte le rate attualizzate al
tempo t
•Occorre fissare la legge finanziaria di
riferimento
•normalmente si opera in interesse composto
Università Parthenope
8
Rendite
Valore di una rendita ad un tempo t
•se t<=t0 , istante iniziale, si parla di
• valore attuale della rendita che è
immediata se t=t0, differita altrimenti
•La somma che risulta sufficiente per
produrre tutte le rate della rendita
•se t=tn , istante finale, si parla di
• montante della rendita
•solo per rendite temporanee
Università Parthenope
9
Rendite
Il caso base
•Valore attuale di una rendita unitaria annua
posticipata immediata di durata n anni,
valutato secondo il regime dell’interesse
composto con tasso di interesse i.
•Si ha:
n
V (0) = ∑ (1 + i )
k =1
−k
1− vn
1 1− vn
1− vn
=
,
=
⋅
= ∑v = v⋅
1− v 1+ i 1− 1
i
k =1
1+ i
n
k
Università Parthenope
(v ≠ 1, i ≠ 0)
10
Rendite
Il caso base
•Valore attuale di una rendita unitaria annua
posticipata immediata di durata n anni,
valutato secondo il regime dell’interesse
composto con tasso di interesse i.
•Si pone:
1 − v n 1 − (1 + i ) − n
an i =
i
=
i
che si legge "a figurato n al tasso i"
Università Parthenope
11
Rendite
Applicazione
•Valore attuale di una rendita costante annua
posticipata immediata di durata n anni,
valutato secondo il regime dell’interesse
composto con tasso di interesse i e rata R
•Si ha:
1− v
1 − (1 + i )
V(0) = R ⋅ an i = R ⋅
= R⋅
i
i
n
Università Parthenope
−n
12
Rendite
ESEMPIO 1
•Calcolare il valore attuale di una rendita
costante annua posticipata immediata di
durata 5 anni, valutato secondo il regime
dell’interesse composto con tasso di interesse
8% e rata 100 euro.
V(0) = 100 ⋅ a5 0.08
1 − 1.08−5
= 100 ⋅
= 399,271
0.08
Università Parthenope
13
Rendite
Conseguenze del caso base
•Valore attuale di una rendita unitaria annua
anticipata immediata di durata n anni,
valutato secondo il regime dell’interesse
composto con tasso di interesse i.
•Si ha:
n
1
1− v
a&&n i = ⋅ an i = (1 + i ) ⋅ an i =
v
1− v
che si legge "a anticipato figurato n al tasso i"
Università Parthenope
14
Rendite
ESEMPIO 2
•Calcolare il valore attuale di una rendita
costante annua anticipata immediata di durata
5 anni, valutato secondo il regime
dell’interesse composto con tasso di interesse
8% e rata 100 euro.
V(0) = 100 ⋅ a&&5 0.08
1 − 1.08−5
= 100 ⋅ (1.08)
= 431,213
0.08
Università Parthenope
15
Rendite
Conseguenze del caso base
•Valore attuale di una rendita unitaria annua
posticipata differita di t e di durata n anni,
valutato secondo il regime dell’interesse
composto con tasso di interesse i.
•Si ha:
−t
t/
an i = (1 + i ) ⋅ an i = v ⋅ an i
t
che si legge "a figurato n al tasso i differito t"
Università Parthenope
16
Rendite
Conseguenze del caso base
•Valore attuale di una rendita unitaria annua
anticipata differita di t e di durata n anni,
valutato secondo il regime dell’interesse
composto con tasso di interesse i.
•Si ha:
t
v
−t
&
&
⋅ an i = (1 + i ) (1 + i ) ⋅ an i
t / an i =
v
che si legge "a anticipato figurato n al tasso i differito t
" Parthenope
Università
17
Rendite
Conseguenze del caso base
•Montante di una rendita unitaria annua
posticipata immediata e di durata n anni,
valutato secondo il regime dell’interesse
composto con tasso di interesse i.
•Si ha:
−n
sn i = (1 + i ) ⋅ an i = v ⋅ an i
n
Università Parthenope
18
Rendite
Conseguenze del caso base
•Montante di una rendita unitaria annua
posticipata differita di t e di durata n anni,
valutato secondo il regime dell’interesse
composto con tasso di interesse i.
•Si ha:
t/
−n
sn i = (1 + i ) ⋅t / an i = v ⋅t / an i
n
Università Parthenope
19
Rendite
Conseguenze del caso base
•Valore attuale di una rendita unitaria annua
posticipata immediata perpetua, valutato
secondo il regime dell’interesse composto
con tasso di interesse i.
•Si ha:
1− vn 1
a∞ i = lim an i = lim
n
n
Università Parthenope
i
=
i
20
Rendite
Conseguenze del caso base
•Valore attuale di una rendita unitaria annua
anticipata immediata perpetua, valutato
secondo il regime dell’interesse composto
con tasso di interesse i.
•Si ha:
1
1+ i 1
a&&∞ i = ⋅ a∞ i = (1 + i ) ⋅ a∞ i =
=
v
i
d
Università Parthenope
21
Rendite
Conseguenze del caso base
•Valore attuale di una rendita unitaria annua
posticipata differita di t e perpetua, valutato
secondo il regime dell’interesse composto
con tasso di interesse i.
•Si ha:
−t
t/
a∞ i = (1 + i ) ⋅ a∞ i = v ⋅ a∞ i
Università Parthenope
t
22
Rendite
Conseguenze del caso base
•Rendite frazionate:
•Rendite che pagano in una frazione di
anno, ad esempio, 1/m, una rata pari ad
1/m, ovvero complessivamente una unità
all’anno
•Si ha:
− n ⋅m
n ⋅m
1 1 − (ν 1/m )
1 1 − (1 + i1/m )
(m)
an i =
=
m
i1/m
m
i1/m
Università Parthenope
23
Rendite
Conseguenze del caso base
•Rendite continue:
•Rendita ideale ottenuta al tendere di m
all’infinito in una rendita frazionaria
•Si ha:
_
a n i = lim a
m
(m)
ni
=
1
δ
an i =
Università Parthenope
1 − e − δn
δ
24
Rendite
Conseguenze del caso base
•Rendite continue
•Per le rendite continue, il tempo n può
essere una numero non intero
Università Parthenope
25
Rendite
•Concorrono a definire
parametri interdipendenti
•V(0), R, i, n
una
rendita
4
1 − (1 + i ) − n
V(0) = R ⋅ an i = R ⋅
i
•conoscendone 3 la relazione permette di
risalire al quarto
Università Parthenope
26
Rendite
V(0)
Noti V(0), n, i ⇒ R =
an i
R − V(0) ⋅ i
log
R
Noti V(0), R, i ⇒ n =
log(1 + i)
R ⋅ (1 − (1 + i ) − n )
Noti V(0), R, n ⇒ i =
V(0)
Università Parthenope
27
Ammortamenti
•Una particolare classe di rendita è quella
che rappresenta il piano di ammortamento
di un debito, ossia in quali tempi e con
quali importi si realizza la restituzione di
un capitale S, congiuntamente alla
corresponsione degli interessi
Università Parthenope
28
Ammortamenti
•Informazioni riportate nel piano
ammortamento:
•
ƒperiodo (k=0,1,2,…,n);
ƒrata Rk (in caso di rata costante);
ƒquota capitale Ck;
ƒquota interesse Ik;
ƒdebito residuo Dk
Università Parthenope
di
29
Ammortamenti
•Ammortamento francese
•Rate costanti posticipate
S
R=
an |i
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
D0=S
I1=D0.i
C1=R-I1
D1=D0-C1
I2=D1.i
C2=R-I2
D2=D1-C2
Si prosegue fino a quando Dn=0
Università Parthenope
30
Ammortamenti
•Ammortamento italiano
•Quote capitali costanti posticipate
S
C =
n
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
D0=S
I1=D0.i
R1=C+ I1
D1=D0-C
I2=D1.i
R2=C+ I2
D2=D1-C
Si prosegue fino a quando Dn=0
Università Parthenope
31
Ammortamenti
•Possibilità di gestire contratti più complessi
Esempio
• Costo del bene:
• Durata operazione:
• Canoni trimestrali:
• Canoni alla stipula:
• Tasso annuo:
• Prezzo di riscatto:
X=100 milioni
n=2,5 anni
m=4
s=2
i=8,2432%
P=0
Determinare il piano di ammortamento.
Università Parthenope
32
Ammortamenti
Esempio
• Numero rate trimestrali:
• Tasso trimestrale:
• a figurato
• Rata
• Somma residua:
• Ammortamento Francese.
Università Parthenope
8
2%
7,3255
10,7233
78,5534
33
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