Elementi di Matematica Finanziaria Rendite e ammortamenti
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Elementi di Matematica Finanziaria Rendite e ammortamenti
Elementi di Matematica Finanziaria Rendite e ammortamenti Università Parthenope 1 Rendite Si chiama rendita una successione di capitali da riscuotere (o da pagare) a scadenze determinate Si chiamano rate della rendita i singoli capitali da riscuotere (o da pagare) Università Parthenope 2 Rendite Le rendite si distinguono per varie tipologie •Rendite certe •Le rate sono fissate a priori nel numero, ammontare e epoche •Rendite aleatorie Università Parthenope 3 Rendite Le rendite si distinguono per varie tipologie •Periodiche • le scadenze delle rate sono equispaziate; l’intervallo costante tra una rata e l’altra è detto periodo •aperiodiche Università Parthenope 4 Rendite Le rendite si distinguono per varie tipologie •Posticipate • il pagamento della rata avviene alla fine del periodo •{0, R1, R2,..., Rk,...,Rn-1, Rn,}/{t0, t1, t2,...,tk,...,tn-1, tn}. •Anticipate •il pagamento della rata avviene all’inizio del periodo •{R1, R2, R3, ..., Rk+1,..., Rn, 0}/{t0, t1, t2,...,tk,...,tn-1, tn}. Università Parthenope 5 Rendite Le rendite si distinguono per varie tipologie •Temporanee • il numero delle rate è finito (prefissato) •Perpetue •il numero delle rate è infinito Università Parthenope 6 Rendite Le rendite si distinguono per varie tipologie •costanti • le rate hanno tutte lo stesso valore •unitarie se le rate hanno ammontare unitario •variabili Università Parthenope 7 Rendite Valore di una rendita ad un tempo t •Valore ritenuto finanziariamente equivalente alla rendita: • somma di tutte le rate attualizzate al tempo t •Occorre fissare la legge finanziaria di riferimento •normalmente si opera in interesse composto Università Parthenope 8 Rendite Valore di una rendita ad un tempo t •se t<=t0 , istante iniziale, si parla di • valore attuale della rendita che è immediata se t=t0, differita altrimenti •La somma che risulta sufficiente per produrre tutte le rate della rendita •se t=tn , istante finale, si parla di • montante della rendita •solo per rendite temporanee Università Parthenope 9 Rendite Il caso base •Valore attuale di una rendita unitaria annua posticipata immediata di durata n anni, valutato secondo il regime dell’interesse composto con tasso di interesse i. •Si ha: n V (0) = ∑ (1 + i ) k =1 −k 1− vn 1 1− vn 1− vn = , = ⋅ = ∑v = v⋅ 1− v 1+ i 1− 1 i k =1 1+ i n k Università Parthenope (v ≠ 1, i ≠ 0) 10 Rendite Il caso base •Valore attuale di una rendita unitaria annua posticipata immediata di durata n anni, valutato secondo il regime dell’interesse composto con tasso di interesse i. •Si pone: 1 − v n 1 − (1 + i ) − n an i = i = i che si legge "a figurato n al tasso i" Università Parthenope 11 Rendite Applicazione •Valore attuale di una rendita costante annua posticipata immediata di durata n anni, valutato secondo il regime dell’interesse composto con tasso di interesse i e rata R •Si ha: 1− v 1 − (1 + i ) V(0) = R ⋅ an i = R ⋅ = R⋅ i i n Università Parthenope −n 12 Rendite ESEMPIO 1 •Calcolare il valore attuale di una rendita costante annua posticipata immediata di durata 5 anni, valutato secondo il regime dell’interesse composto con tasso di interesse 8% e rata 100 euro. V(0) = 100 ⋅ a5 0.08 1 − 1.08−5 = 100 ⋅ = 399,271 0.08 Università Parthenope 13 Rendite Conseguenze del caso base •Valore attuale di una rendita unitaria annua anticipata immediata di durata n anni, valutato secondo il regime dell’interesse composto con tasso di interesse i. •Si ha: n 1 1− v a&&n i = ⋅ an i = (1 + i ) ⋅ an i = v 1− v che si legge "a anticipato figurato n al tasso i" Università Parthenope 14 Rendite ESEMPIO 2 •Calcolare il valore attuale di una rendita costante annua anticipata immediata di durata 5 anni, valutato secondo il regime dell’interesse composto con tasso di interesse 8% e rata 100 euro. V(0) = 100 ⋅ a&&5 0.08 1 − 1.08−5 = 100 ⋅ (1.08) = 431,213 0.08 Università Parthenope 15 Rendite Conseguenze del caso base •Valore attuale di una rendita unitaria annua posticipata differita di t e di durata n anni, valutato secondo il regime dell’interesse composto con tasso di interesse i. •Si ha: −t t/ an i = (1 + i ) ⋅ an i = v ⋅ an i t che si legge "a figurato n al tasso i differito t" Università Parthenope 16 Rendite Conseguenze del caso base •Valore attuale di una rendita unitaria annua anticipata differita di t e di durata n anni, valutato secondo il regime dell’interesse composto con tasso di interesse i. •Si ha: t v −t & & ⋅ an i = (1 + i ) (1 + i ) ⋅ an i t / an i = v che si legge "a anticipato figurato n al tasso i differito t " Parthenope Università 17 Rendite Conseguenze del caso base •Montante di una rendita unitaria annua posticipata immediata e di durata n anni, valutato secondo il regime dell’interesse composto con tasso di interesse i. •Si ha: −n sn i = (1 + i ) ⋅ an i = v ⋅ an i n Università Parthenope 18 Rendite Conseguenze del caso base •Montante di una rendita unitaria annua posticipata differita di t e di durata n anni, valutato secondo il regime dell’interesse composto con tasso di interesse i. •Si ha: t/ −n sn i = (1 + i ) ⋅t / an i = v ⋅t / an i n Università Parthenope 19 Rendite Conseguenze del caso base •Valore attuale di una rendita unitaria annua posticipata immediata perpetua, valutato secondo il regime dell’interesse composto con tasso di interesse i. •Si ha: 1− vn 1 a∞ i = lim an i = lim n n Università Parthenope i = i 20 Rendite Conseguenze del caso base •Valore attuale di una rendita unitaria annua anticipata immediata perpetua, valutato secondo il regime dell’interesse composto con tasso di interesse i. •Si ha: 1 1+ i 1 a&&∞ i = ⋅ a∞ i = (1 + i ) ⋅ a∞ i = = v i d Università Parthenope 21 Rendite Conseguenze del caso base •Valore attuale di una rendita unitaria annua posticipata differita di t e perpetua, valutato secondo il regime dell’interesse composto con tasso di interesse i. •Si ha: −t t/ a∞ i = (1 + i ) ⋅ a∞ i = v ⋅ a∞ i Università Parthenope t 22 Rendite Conseguenze del caso base •Rendite frazionate: •Rendite che pagano in una frazione di anno, ad esempio, 1/m, una rata pari ad 1/m, ovvero complessivamente una unità all’anno •Si ha: − n ⋅m n ⋅m 1 1 − (ν 1/m ) 1 1 − (1 + i1/m ) (m) an i = = m i1/m m i1/m Università Parthenope 23 Rendite Conseguenze del caso base •Rendite continue: •Rendita ideale ottenuta al tendere di m all’infinito in una rendita frazionaria •Si ha: _ a n i = lim a m (m) ni = 1 δ an i = Università Parthenope 1 − e − δn δ 24 Rendite Conseguenze del caso base •Rendite continue •Per le rendite continue, il tempo n può essere una numero non intero Università Parthenope 25 Rendite •Concorrono a definire parametri interdipendenti •V(0), R, i, n una rendita 4 1 − (1 + i ) − n V(0) = R ⋅ an i = R ⋅ i •conoscendone 3 la relazione permette di risalire al quarto Università Parthenope 26 Rendite V(0) Noti V(0), n, i ⇒ R = an i R − V(0) ⋅ i log R Noti V(0), R, i ⇒ n = log(1 + i) R ⋅ (1 − (1 + i ) − n ) Noti V(0), R, n ⇒ i = V(0) Università Parthenope 27 Ammortamenti •Una particolare classe di rendita è quella che rappresenta il piano di ammortamento di un debito, ossia in quali tempi e con quali importi si realizza la restituzione di un capitale S, congiuntamente alla corresponsione degli interessi Università Parthenope 28 Ammortamenti •Informazioni riportate nel piano ammortamento: • periodo (k=0,1,2,…,n); rata Rk (in caso di rata costante); quota capitale Ck; quota interesse Ik; debito residuo Dk Università Parthenope di 29 Ammortamenti •Ammortamento francese •Rate costanti posticipate S R= an |i 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. D0=S I1=D0.i C1=R-I1 D1=D0-C1 I2=D1.i C2=R-I2 D2=D1-C2 Si prosegue fino a quando Dn=0 Università Parthenope 30 Ammortamenti •Ammortamento italiano •Quote capitali costanti posticipate S C = n 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. D0=S I1=D0.i R1=C+ I1 D1=D0-C I2=D1.i R2=C+ I2 D2=D1-C Si prosegue fino a quando Dn=0 Università Parthenope 31 Ammortamenti •Possibilità di gestire contratti più complessi Esempio • Costo del bene: • Durata operazione: • Canoni trimestrali: • Canoni alla stipula: • Tasso annuo: • Prezzo di riscatto: X=100 milioni n=2,5 anni m=4 s=2 i=8,2432% P=0 Determinare il piano di ammortamento. Università Parthenope 32 Ammortamenti Esempio • Numero rate trimestrali: • Tasso trimestrale: • a figurato • Rata • Somma residua: • Ammortamento Francese. Università Parthenope 8 2% 7,3255 10,7233 78,5534 33