Ripasso di matematica

Richiami di matematica
Potenze
Le proprietà fondamentali delle potenze sono
a0 = 1 ,
an · am = an+m ,
an
= an−m .
am
Da queste proprietà segue che
m
(an )
a−n
= an·m ,
1
= n .
a
Esercizio 1
Si verifichi che
103 · 102 = 105 ,
2
103 = 106 ,
103
= 10 ,
102
(3 · 106 ) · (8 · 10−2 )
= 2 · 10−18 ,
(2 · 1017 ) · (6 · 105 )
320 · 0, 0048
= 2 · 10−3 .
0, 32 · 2400
Esercizio 2
L’età dell’universo è circa 13, 7 miliardi di anni. Si dimostri che essa equivale
a 4, 3 · 1017 secondi.
Soluzione
1 anno
=
365 giorni ,
1 giorno =
24 ore ,
1 ora =
1 minuto
60 minuti ,
=
60 secondi .
Perciò
1 anno = 365 · 24 · 60 · 60 secondi = 3, 15 · 107 secondi ,
da cui
13, 7 miliardi di anni = 13, 7 · 109 · 3, 15 · 107 secondi = 4, 3 · 1017 secondi .
1
Logaritmo
Si definisce logaritmo in base a di x (si scrive loga x) la quantità da dare come
esponente ad a per ottenere x.
Ad esempio
log2 4 = 2 inf atti 22 = 4 ,
log2 8 = 3 inf atti 23 = 8 ,
log10 100 = 2 inf atti 102 = 100 .
Sulle calcolatrici il tasto log è una abbreviazione di log10 mentre il tasto ln
indica loge .
Le proprietà fondamentali del logaritmo sono
loga 1 = 0 ,
loga (x · y) = loga x + loga y ,
x
= loga x − loga y .
loga
y
Da queste proprietà segue che
loga xn = n loga x .
Soluzione delle equazioni di secondo grado
Per risolvere l’equazione
ax2 + bx + c = 0 ,
come prima cosa si calcola ∆,
∆ = b2 − 4ac .
Dopodiché
• Se ∆ < 0 non esiste alcun numero reale che sia soluzione dell’equazione.
• Se ∆ > 0 l’equazione ha due soluzioni distinte
√
−b + ∆
x+ =
,
2a√
−b − ∆
x− =
.
2a
• Se ∆ = 0 l’equazione ha una sola soluzione
x=−
2
b
.
2a
Esercizio 3
Si studino le soluzioni delle seguenti equazioni
1) 2x2 − 4x + 3 = 0 ,
2) 2x2 − 4x + 2 = 0 ,
3) 2x2 − 4x + 1 = 0 .
Soluzione
Per
non ha
Per
ha una
la prima equazione si calcola che ∆ = −8. Perciò la prima equazione
soluzioni.
la seconda equazione si calcola che ∆ = 0. Perciò la seconda equazione
sola soluzione,
x=1.
Per la terza equazione si calcola che ∆ = 8. Perciò la terza equazione ha
due soluzioni,
1
1
x+ = 1 − √ , x − = 1 + √ .
2
2
Esercizio 4
Se al tempo t1 = 0 si lancia verticalmente un sasso in aria da una quota
iniziale x0 e con una velocità iniziale v0 allora al tempo t2 = t la quota x
raggiunta dal sasso è
g
x = x0 + v0 t − t2 ,
2
dove g = 9, 8m/s2 .
Ammesso che x0 = 1m e v0 = 5m/s, si calcoli a quale istante x = 20m e
x = 2m.
Soluzione
Nel caso in cui x = 20m dobbiamo risolvere l’equazione
−4, 9
m2 2
m
t + 5 t − 19m = 0 ,
2
s
s
2
dove ora la nostra incognita è t. Si calcola che ∆ = −347, 4 m
s2 < 0. Perciò
l’equazione non ha soluzioni. Fisicamente ciò significa che il sasso non arriverà
mai alla quota di 20m. Ma se abbassiamo la quota che il sasso deve raggiungere
al livello x = 2m l’equazione da risolvere diviene
−4, 9
m2 2
m
t + 5 t − 1m = 0 .
2
s
s
2
Si calcola che ∆ = 5, 4 m
s2 > 0. Perciò si hanno le due soluzioni seguenti
3
t+ = 0, 27s ,
t− = 0, 75 .
Esse rappresentano i due istanti in cui il sasso si trova alla quota di 2m: il
tempo minore è relativo alla fase di ascesa del sasso mentre quello maggiore è
relativo alla fase di discesa del sasso.
Trigonometria
c
a
α
sin α =
a
opposto
=
c
ipotenusa
cos α =
b
adiacente
=
c
ipotenusa
tan α =
a
opposto
=
b
adiacente
b
l
α(in radianti) =
α
r
α(in gradi) =
l
r
180◦
α(in radianti)
π
Esercizio 5
θ
L’Empire State Building è alto 380m. Un osservatore si trova a 2 km dal
grattacelo, Quale angolo sottende il grattacielo ?
Soluzione
L’osservatore, la cima del grattacelo e la sua base formano un triangolo
rettangolo. L’angolo sotteso dal grattacielo è quello che si forma dalla posizione
dell’osservatore. Quindi
4
altezza edificio
380 m
cateto opposto
=
=
cateto adiacente
distanza edificio
2 km
3.8 · 102 m
=
= 1.9 · 10−1 = 0.19
2 · 103 m
=⇒ θ = arctan(0.19) = 0.18 rad = 10.7◦
tan(θ) =
Esercizio 6
B
θ/2
A
O
Il sole ha un diametro di circa 1, 392 · 109 m e dista dalla terra 1, 496 · 1011 m;
la luna invece ha un diametro di 3, 474 · 106 m e dista dalla terra 3, 844 · 108 m.
Calcolare in gradi e in radianti la larghezza angolare vista dalla terra.
Soluzione
I punti A, O e B individuano un triangolo rettangolo. Bisogna fare attenzione che: 1) l’angolo OAB è solo la metà dell’angolo che ci interessa 2) il cateto
OB corrisponde al raggio e non al diametro dell’astro.
tan
θsole
2
=
cateto opposto
OB
0.696 · 109 m
=
=
= 4.652 · 10−3
cateto adiacente
OA
1, 496 · 1011 m
=⇒ θsole = 2 · arctan(4.652 · 10−3 ) = 9.304 · 10−2 rad = 0.5331◦
1, 737 · 106 m
θluna
=
= 4.518 · 10−3
tan
2
3, 844 · 108 m
=⇒ θluna = 2 · arctan(4.518 · 10−3 ) = 9.034 · 10−2 rad = 0.5178◦
5