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Note sulle lezioni del corso di STATICA tenute dal Prof. Luis

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Note sulle lezioni del corso di STATICA tenute dal Prof. Luis
Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni”
Corso di Laurea 5 U.E.
A.A. 2001/2002 - II semestre
Note sulle lezioni del corso di
STATICA
tenute dal Prof. Luis Decanini
Con la collaborazione del Dott. Laura Liberatore
Parte 1
MOR
π2
MO1
V2
P2
MO2
O
π1
P1
V1
CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE
TEORIA DEI VETTORI
SISTEMI DI FORZE
10/03/2010
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
INDICE
1.1.
Modello di corpo rigido...........................................................................................................4
1.1.1.
Punto materiale o particella ..................................................................................................5
1.1.2.
Corpo rigido..........................................................................................................................6
1.1.3.
Sistema rigido di punti materiali...........................................................................................6
1.1.4.
Corpo deformabile................................................................................................................7
1.1.5.
Circostanze capaci di influire sulla quiete o sul moto di un corpo .......................................7
1.1.6.
Modelli e realtà.....................................................................................................................8
1.2.
Concetto di forza.....................................................................................................................9
1.2.1.
Unità di misura delle forze .................................................................................................12
1.2.2.
Somma delle forze ..............................................................................................................12
1.3.
Proprietà meccaniche dei materiali....................................................................................16
1.3.1.
Legge di Hooke (1678).......................................................................................................16
1.3.2.
Legami costitutivi ...............................................................................................................18
1.4.
Teoria dei vettori ...................................................................................................................19
1.4.1.
Rappresentazione dei vettori...............................................................................................19
1.4.2.
Vettori liberi .......................................................................................................................20
1.4.3.
Vettori applicati ..................................................................................................................21
1.4.4.
Vettore opposto ..................................................................................................................21
1.4.5.
Vettori unitari (versori).......................................................................................................22
1.4.6.
Retta di applicazione o retta di azione ................................................................................23
1.4.7.
Componente di un vettore secondo una retta orientata .......................................................23
1.4.8.
Componenti cartesiane di un vettore ..................................................................................26
1.5.
Algebra dei vettori. Operazioni tra vettori liberi ................................................................29
1.5.1.
Somma di due vettori..........................................................................................................29
1.5.1.1.
Differenza di due vettori............................................................................................31
1.5.1.2.
Somma di più vettori .................................................................................................32
1.5.2.
Prodotto di un vettore per uno scalare ................................................................................34
1.5.3.
Prodotto scalare ..................................................................................................................36
1.5.3.1.
Definizione del Prodotto Scalare ..............................................................................36
1.5.3.2.
Proprietà Distributiva del Prodotto Scalare.............................................................38
1.5.3.3.
Espressione matriciale del prodotto scalare.............................................................38
1.5.3.4.
Prodotto scalare – Lavoro di una forza ....................................................................39
1.5.3.5.
Esempio di applicazione del prodotto scalare. Calcolo del lavoro. .........................41
1.5.4.
Prodotto vettoriale ..............................................................................................................42
1.5.4.1.
Definizione del Prodotto Vettoriale ..........................................................................42
1.5.4.2.
Proprietà distributiva del prodotto vettoriale (vettori complanari)..........................44
1.5.4.3.
Prodotto vettoriale tra versori cartesiani .................................................................44
1
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.5.4.4.
Prodotto vettoriale tramite il determinante simbolico ..............................................46
1.5.4.5.
Espressione matriciale del prodotto vettoriale .........................................................48
1.5.5.
Prodotto misto ....................................................................................................................49
1.5.5.1.
Proprietà distributiva del prodotto vettoriale (vettori non complanari)...................50
1.5.6.
Effetti delle forze ................................................................................................................51
1.5.7.
Momento polare..................................................................................................................52
1.5.7.1.
Espressione matriciale del momento polare .............................................................53
1.5.7.2.
Proprietà del momento polare ..................................................................................55
1.5.8.
1.6.
Momento assiale di una forza .............................................................................................59
Sistemi di forze......................................................................................................................60
1.6.1.
Momento risultante.............................................................................................................60
1.6.2.
Coppie ................................................................................................................................61
1.6.2.1.
Proprietà delle coppie...............................................................................................63
Esercizio sulle coppie...................................................................................................................64
1.7.
Operazioni sulle forze e sui sistemi di forze .....................................................................67
1.7.1.
Trasporto di una forza.........................................................................................................67
1.7.2.
Riduzione di un sistema di forze al risultante più il momento risultante............................68
1.7.3.
Equivalenza statica di sistemi di forze applicate ..............................................................124
1.7.4.
Operazioni invariantive ....................................................................................................127
1.8.
Invariante scalare e asse centrale .....................................................................................71
1.8.1.
Invariante scalare di un sistema di forze.............................................................................71
1.8.2.
Asse centrale.......................................................................................................................74
1.8.2.1.
Asse centrale di un sistema di forze. Concetti preliminari........................................74
1.8.3.
Legame tra invariante scalare e asse centrale .....................................................................75
1.8.4.
Asse centrale. Sistemi piani di forze...................................................................................78
1.8.4.1.
Introduzione ..............................................................................................................78
1.8.4.2.
Asse Centrale di sistemi piani. Riduzione al solo Risultante ....................................79
1.8.4.3.
Equazione dell’Asse Centrale per i sistemi piani di forze.........................................82
1.8.4.4.
Sistemi piani di vettori (o forze). Deduzione vettoriale dell’Asse Centrale ..............84
Esercizio: Asse Centrale nel piano ..............................................................................................85
Esercizio: Asse Centrale di una trave di fondazione....................................................................87
Esercizio: Asse Centrale di forze parallele complanari...............................................................90
1.8.5.
Asse centrale. Sistemi di forze nello spazio........................................................................92
1.8.5.1.
Asse Centrale di un sistema di forze parallele ..........................................................92
1.8.5.2.
Asse Centrale di un sistema di forze comunque disposte nello spazio ......................94
1.8.5.3.
Ricerca analitica dell’Asse Centrale di un sistema spaziale.....................................95
1.8.5.4.
Asse Centrale nello spazio. Casi con invariante scalare nullo .................................97
Esercizio. Asse centrale di vettori paralleli nello spazio .............................................................99
Esercizio. Asse centrale di vettori complanari nello spazio.......................................................103
Esercizio. Asse centrale di vettori non complanari....................................................................105
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Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.8.6.
Teorema di Varignon (1725) ............................................................................................112
1.8.6.1.
Ricerca della posizione della risultante di un sistema di forze complanari e parallele
mediante il teorema di Varignon................................................................................................118
1.8.6.2.
Esempi d’applicazione del teorema di Varignon ....................................................119
Esercizio: applicazione del teorema di Varignon ad una trave di fondazione...........................121
1.8.7.
Sistemi di forze applicate. Sistema equilibrante ...............................................................128
1.8.8.
Sistema di forze nullo o equilibrato. Equazioni di equilibrio statico ................................130
Esercizio: equilibrio di un corpo rigido.....................................................................................131
Esercizio: calcolo delle reazioni vincolari, ossia del sistema equilibrante ...............................133
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Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.1.
Modello di corpo rigido
La schematizzazione e successiva formulazione di un problema meccanico implica
l’adeguata scelta di un sistema di riferimento e la modellazione sia delle azioni esterne
che dei corpi che intervengono.
Le azioni esterne corrispondenti a forze vengono rappresentate da vettori (ente geometrico atto a rappresentare grandezze dotate di intensità, direzione e verso).
Per quanto riguarda i corpi (strutture, elementi strutturali, connessioni), al fine di semplificare e chiarire l’impostazione e la risoluzione dei problemi, si fanno astrazioni nelle
quali i corpi reali vengono sostituiti con dei modelli.
Un corpo ideale (modello), dotato di proprietà che lo rendono atto a rappresentare in
modo semplice ed efficace il comportamento reale, viene scelto in funzione del tipo di
problema esaminato e del grado di approssimazione che si desidera ottenere nella sua
risoluzione.
Nell’ambito della Statica viene assunto il modello di Corpo Rigido, cioè un corpo in
cui si mantengono invariate le mutue distanze fra tutti i punti che lo costituiscono, per
qualunque spostamento esso subisca o per qualsiasi sistema di forze che agisca su di esso.
Perciò nel corpo rigido non esistono deformazioni e quindi, come più avanti si vedrà, si
deve soltanto esaminare l’effetto motrice del sistema di forze che agisce sul corpo.
Nella realtà, tutti i materiali strutturali (muratura, legno, acciaio, cemento armato etc.)
sono più o meno deformabili, conseguentemente il corpo rigido è un’astrazione, che si
adatta però molto bene alla realtà per semplificare lo studio di diversi problemi della
Meccanica.
Sebbene le strutture reali siano sempre, in maggior o minor grado, deformabili, il modello di corpo rigido risulta in molti casi un’approssimazione soddisfacente in vista di
una soluzione adeguata dal punto di vista pratico, che consente la risoluzione del problema dell’equilibrio e che, comunque, costituisce il passo iniziale per la realizzazione
di studi più dettagliati.
Le costruzioni in muratura o in pietra sono esempi di strutture che spesso risultano ben
modellate dall’ipotesi di corpo rigido.
Uno degli aspetti essenziali della sicurezza strutturale consiste nella verifica
dell’equilibrio, cioè una struttura, nella sua totalità e nelle sue singole componenti, deve
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Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
rimanere nello stato di quiete, ovvero il sistema costituito da tutte le forze agenti deve
essere in equilibrio.
Nel presente corso si esaminano le condizioni d’equilibrio dei sistemi isostatici adottando l’ipotesi di corpo rigido.
La risoluzione dei sistemi iperstatici che richiedono altri modelli (corpi deformabili elastici o elastoplastici) e la verifica delle resistenze, vengono effettuati nell’ambito di corsi successivi (Scienza delle Costruzioni, Tecnica delle Costruzioni).
L’introduzione del concetto di “punto materiale” o “particella” ha notevole importanza,
sia perché costituisce un elemento di partenza nelle formulazioni essenziali della Meccanica, sia perché consente una prima trattazione di molti fenomeni.
Lo studio del comportamento meccanico dei punti materiali risulta il primo passo
nell’analisi di situazioni più complesse.
Si intende per “punto materiale” una quantità molto piccola di materia concentrata attorno ad un punto dello spazio.
Tuttavia è opportuno segnalare che talvolta i corpi reali vengono modellati come “punti
materiali” senza essere limitati a piccole quantità di materia.
La modellazione con punti materiali comporta che le dimensioni e la forma dei corpi
considerati non influenzano la soluzione del problema e si può ammettere che tutte le
forze che agiscono sul corpo hanno il medesimo punto di applicazione.
1.1.1. Punto materiale o particella
Corpo di dimensioni molto piccole dotato di piccola quantità di materia che occupa un
punto nello spazio.
A volte corpi reali con particolari caratteristiche di dimensioni e forma possono modellarsi come “punti materiali”, purché tutte le forze che agiscono su di essi possano essere
considerate applicate su uno stesso punto (ad esempio l’intero peso di un corpo applicato nel baricentro, equivale all’insieme dei pesi elementari).
G
P
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Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.1.2. Corpo rigido
Insieme continuo o discreto di punti materiali, che mantengono inalterate le loro
mutue distanze.
Cioè si suppone che le distanze fra due qualsiasi punti del corpo siano invariabili per
qualsiasi spostamento che subisce l’insieme e per qualunque sistema di forze che agisce
sul corpo stesso.
L
B
A
B
A
a
a = costante
L = costante
1.1.3. Sistema rigido di punti materiali
I nodi vengono considerati come punti materiali e le aste rappresentano vincoli inestensibili che mantengono invariabile (costante) la distanza tra due nodi.
Sotto l’azione delle forze i corpi rigidi non subiscono alcuna deformazione.
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Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.1.4. Corpo deformabile
Insieme continuo o discreto di punti materiali, in cui la distanza fra due punti qualsiasi
si modifica per la presenza di un sistema di forze.
L
L1
L2
1.1.5. Circostanze capaci di influire sulla quiete o sul moto di
un corpo
L’espressione “sistema di forze in equilibrio” indica un sistema il cui “effetto motrice
risultante” sul corpo materiale è nullo.
Dal punto di vista dell’equilibrio le forze possono spostarsi lungo la loro retta d’azione
senza cambiare le condizioni dell’equilibrio. Tuttavia, se si considera l’effetto deformante delle forze si vede chiaramente che la situazione cambia, infatti la deformazione
del corpo dipende dai punti nei quali vengono applicate le forze.
Nello studio dell’equilibrio dei corpi rigidi le forze possono spostarsi lungo la loro retta
d’azione. Questa conclusione viene talvolta denominata, da alcuni autori, “Principio di
Trasmissibilità”.
Si consideri un sistema di due forze in equilibrio, condizione che può verificarsi soltanto se le due forze hanno la stessa retta d’azione, la medesima intensità e versi opposti.
Siano le due forze applicate inizialmente nel punto A. Se si modifica il sistema di forze
che originariamente agivano sul punto A, in maniera che agiscano in due punti diversi A
e B localizzati sulla retta di azione delle forze, il sistema continua a rimanere in equilibrio per quanto riguarda il moto del corpo, ma se il corpo è deformabile, la nuova situazione sarà differente da quella iniziale (il punto A si sposta in A’ e il punto B in B’).
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Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
A’
A
B
A
B’
corpo rigido
corpo deformabile
la distanza tra i due punti
la distanza tra i due
rimane costante
punti aumenta
Da quanto esposto emerge che il principio di trasmissibilità risulta completamente certo
nel caso dei corpi rigidi, ma non altrettanto nel caso di corpi deformabili.
Questo principio può essere visto piuttosto come una proprietà dei corpi rigidi che come
una proprietà delle forze.
1.1.6. Modelli e realtà
Come già precedentemente detto, gli elementi che costituiscono una struttura subiscono
sempre delle deformazioni quando sono soggetti ad azioni esterne (forze, spostamenti
impressi etc.) e l’entità di queste deformazioni dipende dalle caratteristiche del materiale considerato. Ma avendo fatto l’ipotesi di corpo perfettamente rigido, possiamo trascurare l’aspetto deformativo ed indagare unicamente le condizioni d’equilibrio (esterno,
interno) della struttura, rimandando a corsi posteriori il problema delle verifiche delle
resistenze.
La schematizzazione di un problema meccanico implica una opportuna scelta del sistema di riferimento e la modellazione del corpo o dei corpi che intervengono in funzione
degli scopi dell’analisi che si sta conducendo.
Di volta in volta, quindi, uno stesso corpo potrà essere ipotizzato come un punto materiale, come un sistema discreto di punti materiali connessi dal vincolo della rigidità,
come un sistema continuo rigido oppure come un sistema continuo deformabile.
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Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.2.
Concetto di forza
Il concetto di “forza” ha un carattere intuitivo che soddisfa il senso comune, tale da facilitarne l’apprendimento. Tuttavia, nella comune percezione una forza risulta spesso associata all’idea di una “spinta” o di una “trazione” esercitata dai muscoli. Ad esempio il
concetto di forza è messo in relazione all’azione necessaria per sollevare un corpo qualsiasi.
Come accade con altre grandezze fisiche, nella Scienza la forza viene definita considerando gli effetti da essa generati e precisando i procedimenti che ne consentono la misura, adottando una adeguata unità misura.
Si tratta evidentemente di una definizione di tipo operativo piuttosto che di una precisazione della natura intrinseca della grandezza.
Il concetto di forza rappresenta una efficace “invenzione” scientifica che permette di interpretare fenomeni fisici (naturali osservati o ideali derivati dall’astrazione teorica) ed
inquadrarli in teorie e leggi di validità generale.
Il concetto fisico di forza può esprimersi soltanto in funzione degli effetti che essa provoca su un corpo materiale. Tali effetti possono essere classificati in:
1) Effetto Motrice
2) Effetto Deformante
1) Effetto Motrice (o Dinamico)
Se un corpo è libero di spostarsi e si trova inizialmente in condizioni di quiete o di moto
rettilineo uniforme, l’applicazione di una forza provoca un’accelerazione proporzionale
alla forza applicata.
Il legame tra causa (forza) ed effetto (accelerazione) costituisce la ben nota “II Legge di
Newton” che postula:
Una forza ( F ) agente su un corpo di massa (m), genera un‘accelerazione ( a ), nella direzione e nel verso della forza, legata a questa dalla espressione: F = m ⋅ a
La massa (m) rappresenta una misura della inerzia del corpo ovvero della resistenza che
esso oppone ad acquistare un’accelerazione sotto l’azione di una assegnata forza.
Si consideri un carrello disposto su un piano orizzontale e si supponga che non esistano
attriti (condizioni ideali).
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m
F1
a1
m
(a)
F2
m
a2
(c)
(b)
All’applicazione della forza F 1 il carrello acquista l’accelerazione a 1
Applicando la forza F 2 il carrello acquista un’accelerazione pari ad a 2 .
Ripetendo l’esperimento e cambiando unicamente il valore della forza, si trova che sussiste la seguente relazione tra forza applicata e accelerazione prodotta:
F1 F 2
Fn
=
= ............ =
=m
a1
a2
an
2) Effetto Deformante o Statico
Se invece di un corpo libero si considera un corpo vincolato (tale che non sia permesso
alcuno spostamento), l’applicazione di una forza F produce una deformazione del corpo (ipotizzato non rigido) e sviluppa nel vincolo una forza reattiva R = − F in modo tale che il sistema rimane in stato di quiete (equilibrio).
E’ chiaro che non si innesca un moto poiché al corpo si è applicato un sistema di forze il
cui risultante è nullo.
m
F
R
m
a) corpo deformabile
F
m
R
b) corpo rigido
Nel caso a) corpo deformabile si produce un accorciamento del carrello sotto l’azione
concomitante delle forze F ed R . Naturalmente, se si ipotizza che il corpo è rigido (indeformabile) l’unico effetto di F è l’immediato sviluppo della reazione R ed il corpo
rimane in equilibrio.
Un altro esempio dell’effetto deformante generato da una forza può considerarsi il caso
di una molla (corpo deformabile) fissata al soffitto:
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Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
R
L
L + ∆L
P
Supponendo trascurabile il peso della molla, ed applicando ad essa un peso P , si ha un
allungamento di una quantità ∆L.
L’azione del peso P genera immediatamente la reazione R = − P che mette in equilibrio il sistema.
In sintesi, l’azione di una forza su un corpo materiale può produrre due tipi di effetti, secondo le condizioni in cui si trova il corpo:
a) se il corpo è libero, l’azione della forza provoca un’accelerazione;
b) se il corpo è vincolato adeguatamente, l’applicazione di una forza genera una
forza reattiva nel vincolo, in modo che perseverano le condizioni di equilibrio.
Se il corpo non è rigido l’azione delle forze attiva e reattiva provoca deformazioni.
Nell’ambito della Statica le situazioni esaminate ricadono nel caso b).
Si osservi, inoltre, che il caso b) corrisponde ad una situazione particolare del caso a),
quella in cui la risultante di tutte le forze applicate al corpo è nulla.
Entrambi i tipi di effetti individuati precedentemente possono essere utilizzati per definire e misurare una forza.
Usualmente l’intensità di una forza viene misurata mediante la deformazione che produce su una molla calibrata (dinamometro).
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Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.2.1. Unità di misura delle forze
L’unità di misura della forza nel sistema S.I., si ottiene a partire dalla equazione fondamentale:
F = m×a
se m ed a assumono valore unitario, cioè 1 kg e 1 m/sec2, si può definire l’unità di forza detta newton (N): 1 N è la forza capace di imprimere l’accelerazione di 1 m/sec2 ad
un corpo avente la massa di 1 kg.
m
a
F
m
a = 1 m/sec2
F=1N
m =1 kg
1.2.2. Somma delle forze
Dall’evidenza sperimentale si desume che due forze F1 ed F2 , agenti su un punto materiale, possono essere sostituite da una sola forza F che produce sul punto gli stessi effetti:
F1
F1
F
F2
F2
F = forza risultante
La forza F è la risultante delle forze F1 ed F2 e si ottiene come diagonale del parallelogramma che ha i lati uguali alle forze date F1 ed F2 .
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Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
Questa costruzione geometrica costituisce la ben nota regola del parallelogramma delle
forze, che risolve il problema della composizione e scomposizione dei vettori e quindi
delle forze.
La regola del parallelogramma delle forze costituisce un aspetto fondamentale della
Meccanica e, derivando dalle osservazioni sperimentali, non può essere né dimostrata,
né dedotta matematicamente, e non è altro che l’interpretazione di fatti osservati.
Da quanto esposto segue che le forze non ubbidiscono alle leggi della somma algebrica,
ma della somma che può essere denominata geometrica.
Ad esempio due forze, una di 30 kN e l’altra di 40 kN, normali fra loro, sommate geometricamente danno un risultante di 50 kN e non di 70 kN, come si potrebbe ipotizzare
erroneamente.
F1 = 30 kN
F = 50 kN
F2 = 40 kN
Ad ogni modo, le forze non sono le uniche grandezze fisiche che seguono la regola del
parallelogramma per la loro somma. Altre grandezze di questo tipo sono: accelerazione,
velocità, spostamenti, momenti, etc. Come si vedrà, queste grandezze possono essere
adeguatamente rappresentate dai vettori.
Per determinare compiutamente l’effetto di una forza su un corpo è necessario conoscere: l’intensità, la direzione, il verso ed il punto di applicazione della forza.
Tutto ciò può essere adeguatamente rappresentato mediante i vettori.
Ritornando all’equazione: F = m × a , può succedere che sul corpo (in questo caso è
opportuno considerare il modello di “punto materiale”) agiscono non una ma più forze,
in questa situazione F rappresenta la risultante di tutte le forze agenti sul punto.
Da ciò si desume che l’accelerazione a , che un corpo acquista sotto l’effetto di più forze simultanee, è la risultante delle accelerazioni dovute alle singole forze.
Nella Figura, per chiarezza, si sono considerate soltanto due forze, ma quanto detto è
valido per un numero qualsiasi di forze.
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Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
Il principio del parallelogramma delle accelerazioni, enunciato da Newton come corollario alle leggi della Dinamica, postula che “l’accelerazione prodotta dall’azione congiunta di due forze, è data dalla diagonale del parallelogramma delle accelerazioni provocate dalle due forze.”
F 1 provoca a 1
F 2 provoca a 2
Il punto materiale subisce un’accelerazione a data dalla diagonale del parallelogramma
delle accelerazioni a 1 e a 2
F1
F
a1
a
F2
a2
F1
equivale a
F
F2
le forze causano accelerazioni quindi:
a
a1
equivale a
a2
Se sul punto agiscono non due ma più forze, F sarà la risultante (geometrico) di tutte le
forze agenti sul punto e l’accelerazione a è la risultante di tutte le accelerazioni dovute
alle singole forze.
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Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
Essendo F 1 , F 2 , F 3 , …, F n le “n” forze simultanee ed F il loro risultante,
l’accelerazione a , che il corpo acquista sotto l’azione di queste forze, è la risultante delle accelerazioni a 1 , a 2 , a 3 , …, a n provocate da ciascuna delle forze.
F è la forza risultante capace di imprimere l’accelerazione risultante a :
F = F 1 + F 2 + F 3 + .... + F n
F = m a 1 + m a 2 + m a 3 + .... + m a n = m (a 1 + a 2 + a 3 + .... + a n ) = m a
Si consideri un punto materiale di massa m soggetto a quattro forze F 1 , F 2 , F 3 , F 4 ,
se si compongono le forze (o le accelerazioni) a due a due mediante il parallelogramma
delle forze, si può ottenere la risultante di tutte le forze (o accelerazioni):
F3
F3
F2
F2
F4
F4
W1
F1
F1
F3
F
W2
F4
F4
W2
W1
W 1 è la somma di F 1 e F 2 , W 2 è la somma di W 1 e F 3 , F è la somma di W 2 e F 4 e
rappresenta la risultante di tutte le forze che agiscono sul punto di massa m.
In altre parole la risultante è stato determinato mediante successive operazioni del parallelogramma delle forze, considerando le forze a due a due.
Una costruzione simile si può realizzare considerando le accelerazioni al posto delle
forze.
Quanto esposto mette in luce il principio di sovrapposizione degli effetti, che non è altro
che una generalizzazione del principio del parallelogramma delle accelerazioni.
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Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.3.
Proprietà meccaniche dei materiali
1.3.1. Legge di Hooke (1678)
Stato iniziale
Stato sotto carico
L
L + ∆L
L
∆L
P
* in questa figura non sono indicate
le deformazioni trasversali
Secondo la legge di Hooke l’allungamento è proporzionale alla forza applicata:
∆L =
∆L
P
⋅E =
L
A
P⋅L
A⋅ E
ε ⋅E =σ
dove:
L = lunghezza iniziale
∆L = allungamento
P = forza applicata
E = Modulo di Elasticità
A = area della sezione trasversale
σ = tensione =
P
A
ε = deformazione unitaria =
∆L
L
In campo elastico, il rapporto tensione su deformazione è costante per un dato materiale
e pari al modulo di elasticità E:
σ
=E
ε
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P
Legame Costitutivo
Elastico
σ
E
σ=Eε
E = tg α
1
α
ε
∆L
L’applicazione del carico P produce, oltre ad un allungamento, delle deformazioni laterali. La sezione trasversale di un elemento strutturale:
-
diminuisce se l’elemento è soggetto a trazione
-
aumenta se è soggetto a compressione
σ = P/A
y
ε/2
1 (lunghezza unitaria)
L
ε/2
σ = P/A
∆L
x
P
Il rapporto tra contrazione laterale unitaria εx e allungamento assiale unitario εy è costante e pari al coefficiente di Poisson ν.
−εx
εy
=ν
Il coefficiente di Poisson dipende dal materiale considerato, ad esempio per l’acciaio si
ha ν = 0.3, mentre per il calcestruzzo ν = 0.15÷0.20.
17
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1.3.2. Legami costitutivi
Il legame costitutivo di un dato materiale esprime il rapporto che intercorre tra tensioni
e deformazioni, il legame costitutivo elastico è espresso, come visto, dalla legge di Hooke.
Nelle seguenti figure sono riportati il legame elasto-fragile, elasto-plastico, rigidofragile e rigido-plastico.
elasico - plastico
elasico - fragile
σ
σ
(è un legame duttile)
R
R
limite elastico
ε
ε
rigido - fragile
σ
σ
rigido - plastico
(è un legame duttile)
R
R
ε
ε
R = punto di rottura
18
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1.4.
Teoria dei vettori
Il problema dell’equilibrio e del moto dei corpi richiede di rappresentare in modo conveniente e sintetico le cause che producono lo stato di quiete o il movimento di un corpo
ed i fenomeni ad esso connessi.
Un’adeguata rappresentazione di grandezze fisiche dotate di intensità, direzione e verso,
si ottiene mediante enti geometrici denominati “vettori”.
Il vettore è un ente geometrico caratterizzato da un’intensità (numero reale non negativo detto “modulo”), da una direzione e da un verso.
Il concetto di vettore e l’introduzione di un corrispondente algoritmo costituisce la cosiddetta “Teoria dei vettori”.
L’introduzione di questo ente geometrico risale alla prima metà del secolo XIX (Hamilton, Grassman, Bellavitis, etc.)
L’algebra dei vettori comprende le operazioni di somma, differenza e prodotto, con cui
possono essere rappresentati e risolti tutti i problemi della Meccanica in cui intervengono grandezze per la cui completa caratterizzazione risulta necessario precisare
un’intensità ed un orientamento (direzione e verso).
I primi concetti della Teoria dei vettori possono farsi risalire agli studi sul parallelogramma delle forze, condotti da Stevino (1548-1620), mentre lo sviluppo dell’attuale
formulazione risale alla prima metà del secolo XIX.
1.4.1. Rappresentazione dei vettori
Un vettore si indica con una lettera in neretto, o con una lettera soprassegnata (o sottolir
neata) con un segmento o una freccia, oppure fra due parentesi graffe: V, V , V , {V}
Graficamente un vettore si rappresenta con un segmento orientato, la cui lunghezza è
proporzionale al modulo del vettore.
La direzione ed il verso (indicato da una freccia) del vettore sono quelli relativi al segmento orientato.
19
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punto A: origine
punto P: estremità
P
V
α
A
E’ inoltre di uso corrente indicare un vettore anche con:
(P-A) = V
P-A è il segmento orientato che rappresenta il vettore V con origine in A.
Il modulo di un vettore rappresenta l’intensità della grandezza vettoriale ed è un numero
reale non negativo e si indica: V ; V ; V
1.4.2. Vettori liberi
Un vettore libero rappresenta infiniti segmenti orientati equipollenti (stessa lunghezza,
direzione e verso).
Nello spazio i segmenti orientati equipollenti sono tanti quanti sono i punti, cioè ∞3 .
Quindi un vettore libero non viene assegnato ad un determinato punto nello spazio, potendosi spostare liberamente purché si mantengano inalterati il modulo, la direzione ed
il verso.
z
V
V
U
V
U
U
y
x
Come si vedrà, nella meccanica i vettori liberi sono atti a rappresentare i momenti (possono spostarsi nello spazio).
20
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1.4.3. Vettori applicati
I vettori applicati sono atti a rappresentare grandezze fisiche dotate di intensità, direzione, verso e con un punto di applicazione.
Quindi il vettore applicato risulta dall’associazione di un vettore libero e di un punto di
applicazione:
z
(P1; V ): V applicato in P1
V
V
(P2; V ): V applicato in P2
(P3; V ): V applicato in P3
P2
P1
V
P3
x
Lo stesso vettore libero V , applicato in tre punti distinti, definisce tre vettori applicati.
Un vettore applicato è un vettore libero di cui si precisa l’origine (punto di applicazione).
In sintesi un vettore libero viene definito dal modulo, dalla direzione e dal verso, mentre
un vettore applicato richiede anche la precisazione del punto di applicazione.
Nella Meccanica il concetto di vettore applicato corrisponde a forze applicate ad un
punto materiale o ad un corpo rigido.
La Statica utilizza sostanzialmente i vettori forza (applicato), momento (libero), spostamento (applicato) e anche vettori rappresentativi di aree.
1.4.4. Vettore opposto
Dato il vettore V , il vettore - V , che ha lo stesso modulo, la stessa direzione, ma verso
opposto, dicesi vettore “opposto” di V :
V
-V
21
y
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Due vettori applicati opposti, che abbiano la stessa retta di applicazione, si dicono direttamente opposti:
-V
V
1.4.5. Vettori unitari (versori)
Il versore è un vettore unitario, cioè con modulo uguale ad 1, introdotto con l’obiettivo
di definire l’orientamento di una retta o di un vettore.
r r r
I versori corrispondenti agli assi cartesiani spesso sono indicati come i ; j ; k
z
k
i
j
y
x
Un versore può essere utilizzato anche per individuare la giacitura di un piano, per er
sempio in figura n è il versore caratterizzante la direzione ortogonale al piano π con
verso uscente dal piano stesso.
z
n
π
y
x
22
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1.4.6. Retta di applicazione o retta di azione
Dato un vettore applicato (P1; V ) si chiama retta di azione, la retta alla quale il vettore
appartiene.
Ovviamente non ha senso parlare di retta di applicazione di un vettore libero:
z
retta di azione
V
P1
y
x
1.4.7. Componente di un vettore secondo una retta orientata
Si consideri una retta orientata “r” ed un assegnato vettore V definito dal segmento orientato (P-A). In generale retta e vettore possono essere sghembi, cioè non avere alcun
punto in comune (proprio o improprio).
Proiettando ortogonalmente l’estremo P e l’origine A sulla retta orientata “r”, si ottengono i punti P’ ed A’. Per proiettare ortogonalmente un punto A sulla retta orientata “r”,
si fa passare per A un piano perpendicolare ad “r”, l’intersezione A’ della retta orientata
con detto piano sarà la proiezione ortogonale di A su “r”.
Il segmento orientato (P’-A’ = Vr ) costituisce la componente vettoriale di V secondo
“r”.
Il modulo di questo vettore Vr (lunghezza del segmento orientato) è la componente scalare di V secondo la retta “r” e sarà positiva se il verso di Vr è concorde con il verso di
“r”, altrimenti sarà negativa.
Indicando con ϕ l’angolo fra V e la retta “r” si può scrivere: Vr = V cos ϕ
Usualmente la componente scalare Vr viene definita “componente” ed è uno scalare (positivo o negativo) di dimensioni fisiche uguali a quelle del vettore proiettato.
23
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Risulta geometricamente evidente che se si sposta la retta “r” parallelamente a sé stessa
in modo di far coincidere A con A’, la componente Vr non cambia:
r
P’
Vr
A’
ϕ
Vr = V cos ϕ
P
A
V
Se il vettore e la retta sono complanari, le proiezioni dell’estremo e dell’origine di V si
ottengono mediante due rette normali ad “r”. Considerando nel piano (2D) un vettore V
ed una retta orientata “r”, si possono avere le seguenti situazioni:
V
V
ϕ
ϕ
r
Vr
ϕ < 90°
cos ϕ > 0
r
Vr
ϕ > 90°
Vr > 0
cos ϕ < 0
Vr < 0
Vr è positivo, infatti ha la stessa
Vr è negativo, infatti ha direzione opposta
direzione della retta orientata r
a quella della retta orientata r
Se il vettore V è perpendicolare alla retta “r”, la componente di V secondo “r” è nulla.
Infatti, dall’espressione Vr = V cos ϕ discende che un vettore non nullo ha componente
nulla secondo una retta orientata “r” soltanto se il vettore V è perpendicolare alla retta
(ϕ = 90° o 270°).
24
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Vr = 0
V
ϕ = 270°
ϕ = 90°
r
V
r
Vr = 0
Nello spazio (3D) la componente di V secondo “r” è nulla se V è contenuto in un piano perpendicolare alla retta stessa.
V appartiene
al piano π
r
V
π
se π è perpendicolare ad “r”
Vr = 0
Se V è parallelo e concorde con “r” (cos ϕ = 1), si ha Vr = V ; se V è parallelo e discorde con “r” (cos ϕ = -1), risulta Vr = −V .
V ed r concordi
V ed r discordi
ϕ = 180°
V
Vr = V
V
ϕ = 0°
r
Vr = -V
25
r
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1.4.8. Componenti cartesiane di un vettore
Si consideri lo spazio (3D) riferito ad una terna ortogonale destrogira Oxyz.
Gli assi coordinati individuano tre direzioni orientate, perciò dato un vettore è possibile
considerare le componenti secondo x, y, z:
z
V = (P-O)
Vz
P
ϕ3
V
ϕ2
Vy
O
y
ϕ1
Vx
x
Disponendo, per comodità di rappresentazione, l’origine del vettore V nell’origine O
del sistema di assi, le coordinate (xp, yp, zp) dell’estremità P, definiscono le tre componenti V x , V y e Vz del vettore V .
Inoltre si può notare che gli spigoli del parallelepipedo, che ha per diagonale V , sono le
componenti Vx , V y e Vz .
Nella figura sono stati indicati con ϕ1, ϕ2, e ϕ3 gli angoli che il vettore V forma con gli
assi cartesiani, ricordando l’espressione della componente di un vettore secondo una retta “r” (Vr = V cos ϕ), le componenti di V secondo gli assi “x”, “y” e “z” sono, in modulo:
Vx = V cos ϕ1 = V α
(a)
Vy = V cos ϕ2 = V β
Vz = V cos ϕ3 = V γ
26
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essendo α, β e γ i coseni direttori del vettore V . Quadrando e sommando membro a
membro queste espressioni, si ha:
Vx2 + Vy2 + Vz2 = V2 α2 + V2 β2 + V2 γ2
(b)
Vx2 + Vy2 + Vz2 = V2 (α2 + β2 + γ2)
(α2 + β2 + γ2) = 1 V = V x2 + V y2 + Vz2
in tal modo si è ottenuto il modulo del vettore V in funzione delle sue componenti secondo gli assi.
Noto il modulo si possono ricavare i coseni direttori:
(c)
α=
Vx
Vx
=
V
Vx2 + V y2 + Vz2
β=
Vy
γ =
Vz
Vz
=
2
V
V x + V y2 + Vz2
V
=
Vy
Vx2 + V y2 + Vz2
Prefissato un riferimento cartesiano è possibile, quindi, stabilire una corrispondenza
biunivoca tra i vettori dello spazio e le terne di numeri reali, potendo, infatti, individuare
le componenti cartesiane Vx, Vy e Vz di ogni vettore mediante le equazioni (a).
Viceversa, dati tre numeri reali (non tutti nulli), che definiscono le componenti Vx, Vy,
Vz è possibile individuare un vettore libero il cui modulo è dato dall’equazione (b) ed il
cui unico orientamento resta definito dalle equazioni (c), che forniscono i coseni direttori.
In sintesi un vettore libero può essere definito dandone le tre componenti oppure il modulo e l’orientamento.
Il vettore V individuato dalle tre componenti cartesiane si indica:
Vx 
 
V = V y 
V 
 z
E’ immediato che se V è unitario le sue componenti coincidono con i coseni direttori.
Nel caso in cui si conoscano le coordinate dell’estremo P del vettore e dell’origine A,
non coincidente con l’origine della terna cartesiana di riferimento, si ha:
27
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
Vx = xP - xA
Vy = yP - yA
Vz = zP - zA
il modulo del vettore sarà quindi uguale a:
V =
(x P − x A )2 + ( y P − y A )2 + (z P − z A )2
ed i coseni direttori rispettivamente saranno:
α=
xP − x A
V
β=
yP − y A
V
γ =
zP − z A
V
E’ evidente che, scelto un sistema di riferimento, le componenti di un assegnato vettore
libero non cambiano al variare del punto di applicazione.
Infatti le differenze tra le coordinate degli estremi del vettore non mutano benché cambino singolarmente tali coordinate.
Esempio: Le componenti Vx, Vy e Vz del vettore V non cambiano al variare delle coordinate dei punti origine ed estremo che lo rappresentano nel sistema di riferimento cartesiano:
P1 (3,2,2) O (0,0,0)
P2 (6,4,4) A (3,2,2)
P3 (1,3,3) B (-2,1,1)
in tutti e tre i casi si ha:
Vx = 3
Vy = 2
Vz = 2
28
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.5.
Algebra dei vettori. Operazioni tra vettori liberi
L’elenco delle operazioni tra vettori può essere così sintetizzato:
- SOMMA
- DIFFERENZA
Vettore per uno scalare
Prodotto Scalare
Prodotto di due vettori
- PRODOTTI
Prodotto Vettoriale
Combinazione Prodotto Scalare e Prodotto Vettoriale Prodotto Misto
1.5.1. Somma di due vettori
Siano V ed U due vettori liberi nello spazio.
In un punto A di tale spazio si immagini applicato il vettore U e nel suo estremo libero
P si pensi applicato il vettore V , si chiama “vettore somma” W il vettore che va
dall’origine A di U , all’estremo libero B di V :
z
B
W
A
V
U
P
y
x
La somma di due vettori U e V è quindi l’operazione che associa ai due vettori dati, un
terzo vettore W ottenuto nel modo seguente: scelto un punto qualsiasi A nello spazio si
spostano i vettori mantenendoli paralleli a sé stessi e si fa coincidere l’origine di U con
A e l’origine di V con l’estremità P di U , il vettore W risulta definito dal segmento o29
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
rientato con origine in A ed estremità in B. Allo stesso risultato si giunge prendendo in
primo luogo V e aggiungendo successivamente U .
La somma di due vettori si può ottenere anche applicando la “regola del parallelogramma”, trasportando i due vettori parallelamente a sé stessi e facendo coincidere l’origine
di ciascuno con un punto A prefissato.
“regola del parallelogramma”:
V
la diagonale del parallelogramma
W
indivividuato da U e V è il
A
vettore W = U + V
U
La somma o risultante di due vettori viene individuata dalla diagonale orientata, che ha
per lati i due vettori che si sommano.
La somma di due vettori gode della proprietà commutativa, infatti si ottiene ugualmente
il vettore W , sia aggiungendo al vettore U il vettore V (lato destro del parallelogramma), che aggiungendo a V il vettore U (lato sinistro).
U
W = U +V
V
W =V +U
A
B
W
V
U
Come conseguenza della proprietà commutativa, le componenti di W secondo gli assi
cartesiani, nel riferimento spaziale Oxyz, sono la somma delle componenti di U e V :
Wx = Vx + Ux = αVV + αUU
Wy = Vy + Uy = βVV + βUU
Wz = Vz + Uz = γVV + γUU
Nella seguente figura è rappresentato un esempio per il caso piano
30
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
y
Uy
P
B
U
W
Wy
Vy
V
x
Vx
Ux
Wx
1.5.1.1.Differenza di due vettori
La differenza di due vettori, W = V - U , si ottiene sommando al primo il secondo
cambiato di verso, e ripetendo, quindi, quanto precedentemente fatto per la somma di
due vettori:
W = V + (- U ),
-U
V
W
V
U
Si potrebbe arrivare allo stesso risultato applicando la regola del parallelogramma, si
vede così che la differenza dei due vettori è data dalla seconda diagonale del parallelogramma determinato dai vettori U e V , mentre la prima come già visto rappresenta la
somma:
somma
V
V
W
V
U
sottrazione
A
-U
A
U
31
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.5.1.2.Somma di più vettori
La somma (o composizione) di più vettori si realizza ripetendo la procedura impiegata
per sommare due vettori.
Dati n vettori liberi V 1 , V 2 , … V n si sceglie un qualsiasi punto A dello spazio, che si
suppone origine del vettore V 1 . Nell’estremo libero di V 1 si pensi applicato il vettore
V 2 , nell’estremo libero di V 2 si consideri applicato V 3 e così via fino al vettore V n . Si
costruisce in tal modo la “poligonale dei vettori”. Il vettore risultante R o somma geometrica dei vettori dati si ottiene congiungendo l’origine A del primo con l’estremo libero dell’ultimo. In altre parole il vettore somma o risultante è rappresentato dal lato di
chiusura della poligonale dei vettori.
n
La somma vettoriale si indica nel seguente modo: R = ∑V i
i =1
z
V4
V2
V3
V4
V1
y
R
V3
A
x
V1
V2
Si può notare che se si cambia l’ordine dei vettori, cambia la forma della poligonale, ma
non cambia la risultante.
32
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
z
V4
V2
V3
V4
V1
y
R
V2
A
V3
V1
x
Si osservi che nello spazio la poligonale dei vettori risulta sghemba se i vettori addendi
non sono complanari.
Può succedere che la poligonale dei vettori sia chiusa, in tal caso la risultante è nullo.
z
V4
V3
V2
V4
V3
y
V1
A
V1
V2
R=0
x
Il vettore R si può anche ottenere sommando a due a due i vettori di partenza, come già
visto.
A causa di una proprietà elementare delle poligonali, la lunghezza (modulo) della risultante è in genere minore della somma delle lunghezze (moduli) dei singoli vettori:
n
R ≤ ∑Vi
i =1
l’uguaglianza si verificherà soltanto nel caso che i vettori siano tutti paralleli e concordi.
33
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.5.2. Prodotto di un vettore per uno scalare
Il prodotto di un vettore V per uno scalare k è un vettore W che ha come modulo il
prodotto del valore assoluto di k per il modulo di V , come direzione la stessa di V e il
cui verso risulta definito dal segno di k: se lo scalare k è positivo il verso di W è uguale
a quello di V , se k è negativo il verso di W è opposto a quello di V
W = kV
se k è posistivo
V
W
W= kV
se k è negativo
W
La precedente definizione indica che un vettore qualsiasi V può essere considerato come il prodotto di uno scalare pari al modulo V per il versore r parallelo a V .
V =Vr
r
V
r = versore che definisce la
direzione ed il verso di V
Vr
Il versore r di un vettore V si può esprimere nel seguente modo:
r=
V
V
Se i , j e k sono i versori corrispondenti agli assi x, y, e z di una terna cartesiana, un
vettore V di componenti cartesiane Vx, Vy e Vz può essere espresso mediante la somma
vettoriale:
V = V x + V y + V z = Vx i + Vy j + Vz k
34
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
in cui è stata applicata la proprietà per la quale il prodotto di un versore per uno scalare
è pari al vettore di modulo pari allo scalare e direzione e verso definiti dal versore.
z
Vx = Vx i
Vy = Vy j
Vz = Vz k
V
k
Vz
Vx
i
y
j
Vy
x
35
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.5.3. Prodotto scalare
1.5.3.1.Definizione del Prodotto Scalare
Si definisce prodotto scalare fra due vettori U e V , e lo si indica con il simbolo “×”,
l’operazione che associa ai due vettori un numero reale W ottenuto dal prodotto del modulo di U per il modulo di V per il coseno dell’angolo ϕ compreso fra le due direzioni:
W = U × V = |U| |V| cos ϕ
L’espressione “ U × V ” si legge “U scalar V”.
Quindi il prodotto scalare è uguale al prodotto dei moduli per il coseno dell’angolo
compreso ϕ (con 0 ≤ ϕ ≤ π).
V
ϕ
U
Applicando la proprietà associativa della moltiplicazione, il prodotto scalare può essere
espresso in due modi:
U × V = |U| (|V| cos ϕ)
U × V = |V| (|U| cos ϕ)
si noti che il prodotto |V| cos ϕ non è altro che la componente di V secondo U , mentre
il prodotto |U| cos ϕ è la componente di U secondo V
V
V
U cos ϕ
ϕ
ϕ
U
U
V cos ϕ
36
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
Pertanto il prodotto scalare tra due vettori è pari al prodotto del modulo di uno dei due
vettori per la componente dell’altro vettore secondo la direzione orientata del primo.
Dalle precedenti considerazioni si deduce che il prodotto scalare gode della proprietà
commutativa:
U ×V =V ×U
Si può inoltre notare che:
•
Il prodotto scalare tra due vettori è nullo se i due vettori sono ortogonali tra loro
(ϕ = π/2).
•
Il prodotto scalare tra due vettori risulta positivo se i due vettori formano tra loro
un angolo acuto (ϕ < π/2).
•
Il prodotto scalare tra due vettori risulta negativo se i due vettori formano tra loro
un angolo ottuso (ϕ > π/2).
V
V
V
ϕ
ϕ
U
ϕ < π/2
cos ϕ > 0
(U x V) positivo
ϕ
U
ϕ = π/2
cos ϕ = 0
(U x V) nullo
37
U
ϕ > π/2
cos ϕ < 0
(U x V) negativo
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.5.3.2.Proprietà Distributiva del Prodotto Scalare
Si può dimostrare che il prodotto scalare gode della proprietà distributiva rispetto alla
addizione fra vettori:
(
)
U × V1 + V2 = U × V 1 + U × V 2
Considerato infatti U parallelo all’asse x e detto
V = V1 + V2
Si ha che
(
)
U × V1 + V2 = U V1, x + U V2, x
Ma anche
U × V = U Vx
Poiché per la definizione della somma di vettori
V x = V1, x + V2, x
Si è dimostrato quanto si intendeva.
1.5.3.3.Espressione matriciale del prodotto scalare
Se si esprimono U e V attraverso le loro componenti cartesiane moltiplicate per i rispettivi versori:
U = Uxi +U y j +Uz k
V = Vx i + V y j + Vz k
il prodotto scalare risulta:
U × V = (U x i + U y j + U z k ) × (V x i + V y j + Vz k ) =
= U xVx i × i + U xV y i × j + U xVz i × k
+ U yVx j × i + U yV y j × j + U yVz j × k
+ U zVx k × i + U zV y k × j + U zVz k × k
38
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
i prodotti scalari: i × i , j × j , k × k sono tutti e tre pari all’unità (1·1·cos 0 = 1), mentre
tutti gli altri termini sono nulli in quanto prodotti scalari tra vettori perpendicolari, pertanto si ha:
U × V = U xVx + U yV y + U zVz
In termini matriciali il prodotto scalare si può esprimere nella seguente forma:
U × V = {U } ⋅ {V } = {U x U y
T
Vx 
 
U z }V y 
V 
 z
che nel piano diventa:
Vx 
T
U × V = {U } ⋅ {V } = {U x U y } 
V y 
Diverse sono le applicazioni del prodotto scalare fra due vettori, tra cui: modulo di un
vettore, Invariante Scalare di un sistema di forze e Lavoro di una forza.
1.5.3.4.Prodotto scalare – Lavoro di una forza
Nella Meccanica l’esempio più frequente di applicazione del prodotto scalare è dato dal
LAVORO compiuto da una forza F . Se il punto di applicazione P di una forza F (di
intensità costante) subisce uno spostamento s , il lavoro compiuto dalla forza si definisce come il numero L dato dal prodotto scalare fra i vettori F e s :
L= F × s
Si osservi che lo spostamento di un punto ha intensità, direzione e verso e quindi può
essere rappresentato da un vettore.
Il lavoro della forza F nello spostamento s del suo punto di applicazione P è dato dal
prodotto dell’intensità della forza per la componente dello spostamento nella direzione
della forza.
39
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
il punto P si sposta a P’
F
P
sf
L = F x s = F s cos ϕ = F sf
s
ϕ
P’
sf = s cos ϕ = componente di s
secondo la direzione orientata di F
Dalla definizione di prodotto scalare si desume che il lavoro può anche essere visto come il prodotto del modulo dello spostamento per la componente della forza nella direzione dello spostamento.
F
L = F x s = F s cos ϕ = Fs s
ϕ
Fs
P
Fs = F cos ϕ = componente di F
secondo la direzione orientata di s
s
P’
•
Se il punto di applicazione della forza viene mosso in direzione ad essa ortogonale,
la forza non compie lavoro.
•
Considerando un corpo rigido in equilibrio, lo spostamento s può essere provocato
da una causa esterna non dipendente dalla forza (spostamento impresso reale o virtuale).
Il calcolo del lavoro può essere eseguito in modo agevole se si conoscono le componenti cartesiane della forza (Fx, Fy, Fz) e dello spostamento (sx, sy, sz). Infatti, come visto, il
prodotto scalare può essere calcolato come somma dei prodotti delle componenti omonime dei vettori, si ha pertanto:
L = Fx sx + Fy sy + Fz sz
40
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.5.3.5.Esempio di applicazione del prodotto scalare. Calcolo del lavoro.
Dato un corpo rigido, il punto P di applicazione della forza F (intensità 100 kN) subisce uno spostamento s di 60 mm di intensità. Le direzioni e i versi dei due vettori sono
indicati in figura. Determinare il lavoro compiuto dalla forza.
30°
P’
s
64°
F
P
a) L = F × s = |F|·|s|·cos ϕ = 100·60·cos 34° ≅ 4974 kN mm
Il lavoro è positivo, infatti il verso della forza e quello della componente dello spostamento nella direzione della forza sono concordi (ϕ < π/2)
b) L = Fx sx + Fy sy
Fx = F cos 30° = 100 cos 30° = 86.60 kN
Fy = F cos 60° = 100 cos 60° = 50.00 kN
sx = s cos 64° = 60 cos 64° = 26.30 mm
sy = s cos 26° = 60 cos 26° = 53.93 mm
L = 86.60 × 26.30 + 50.00 × 53.93 ≅ 4974 kN mm
F (kN)
s (mm)
34°
F
50,00
53,93
s
30°
F (kN)
s (mm)
26,30
86,60
41
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.5.4. Prodotto vettoriale
1.5.4.1.Definizione del Prodotto Vettoriale
Si definisce prodotto vettoriale fra due vettori U e V , e lo si indica con il simbolo “∧”,
l’operazione che associa ai due vettori un terzo vettore W così definito:
W = U ∧ V = r ⋅ U ⋅ V ⋅ senϕ
in cui:
• r è un versore normale al piano individuato dai vettori U e V , il verso di r è tale
che una vite che ruota descrivendo l’angolo ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π) avanza nel verso di r
• ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π) è l’angolo compreso tra i versi positivi di U e V
W
r
V
V
ϕ
ϕ
U
U
W è perpendicolare al piano
individuato dai vettori U e V
r è il versore che individua la
direzioen ed il verso di W
direzione
• il modulo del vettore prodotto vettoriale ( U ⋅ V ⋅ senϕ ) equivale all’area del parallelogramma individuato dai due vettori U e V
W
Ω = area del parallelogramma
Ω = |U| |V| senϕ
V
ϕ
V
Ω
ϕ
U
U
42
|U| senϕ
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L’espressione “ U ∧ V ” si legge “U vettor V”.
In altre parole il prodotto vettoriale di due vettori U e V è un vettore W normale al piano individuato dai primi due, avente per modulo il numero che esprime l’area del parallelogramma individuato da U e V e per verso quello che va dai piedi alla testa di un
osservatore che, disposto con i piedi sul piano, vede il primo vettore ( U ) descrivere, in
senso antiorario, l’angolo φ per sovrapporsi al secondo vettore ( V ).
W = U /\ V
Il verso di W è quello che va dai
V
piedi alla testa di un osservatore
che vede ruotare U in verso
ϕ
antioraio per sovrapporsi a V
U
Il verso corretto si può ottenere anche utilizzando la mano destra. Facendo corrispondere U al pollice e V all’indice il verso di W sarà concorde con il medio. Una terna di vettori così disposta si dice destrogira.
Il prodotto vettoriale non gode della proprietà commutativa. Infatti, cambiando l’ordine
dei fattori cambia il verso del vettore prodotto:
W = U /\ V
V
V
ϕ
ϕ
U
U
Z = V /\ U
U ∧V ≠ V ∧U
U /\ V
-V /\ U
V
ϕ
-V
U
U ∧ V = −V ∧ U
43
ϕ
U
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1.5.4.2.Proprietà distributiva del prodotto vettoriale (vettori complanari)
Il prodotto vettoriale gode della proprietà distributiva. Dati tre vettori complanari U , V
e W risulta
U ∧ (V + W ) = U ∧ V + U ∧ W
cioè
U ∧ S = U ∧V + U ∧W
dove
S = (V + W )
W
D
W
E
F
V
S
V
C
S
A
U
U
B
NB: i vettori sono complanari.
modulo U ∧ S = area ABCD
modulo U ∧ V = area ABFE
modulo U ∧ W = area EFCD
ma area ABCD = area ABFE + area EFCD | U ∧ S |=| U ∧ V | + | U ∧ W |
La dimostrazione generale, valida quindi anche per vettori non complanari, sarà data a
pagina 50, dopo aver definito il prodotto misto.
1.5.4.3.Prodotto vettoriale tra versori cartesiani
Si considerino i versori i , j e k di una terna cartesiana x, y e z
z
k
i
j
y
x
44
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Dalla definizione di prodotto vettoriale si ottiene:
i ∧i = 0
j∧ j=0
k ∧k =0
perché sono prodotti vettoriali tra vettori paralleli (ϕ = 0°, sen 0° = 0)
Inoltre
i∧ j=k
j∧k =i
k ∧i = j
questi sono prodotti vettoriali tra vettori perpendicolari (ϕ = 90°, sen 90° = 1), pertanto
il modulo del vettore prodotto vettoriale è unitario, mentre il verso e la direzione sono
proprio quelli del versore complementare:
z
z
z
k
k = i /\ j
k
ϕ
ϕ
i
j
y
j
y
j = k /\ i
i
i = j /\ k
x
x
x
si ha inoltre:
j ∧ i = −k
k ∧ j = −i
i∧k = −j
45
y
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1.5.4.4.Prodotto vettoriale tramite il determinante simbolico
Dati due vettori U e V definiti mediante le loro componenti:
U x 
 
U = U y 
U 
 z
Vx 
 
V = V y 
V 
 z
e indicando con i , j e k i versori diretti come gli assi x, y, z di una terna cartesiana, i
vettori U e V si possono esprimere nella seguente forma:
U = Uxi +Uy j +Uzk
V = Vx i + V y j + Vz k
il prodotto vettoriale di U e V è:
W = U ∧ V = (U x i + U y j + U z k ) ∧ (V x i + V y j + Vz k )
per la proprietà distributiva del prodotto vettoriale sarà:
W = U ∧ V = (U x i ∧ Vx i ) + (U x i ∧ V y j ) + (U x i ∧ Vz k )
+ (U y j ∧ Vx i ) + (U y j ∧ V y j ) + (U y j ∧ Vz k )
+ (U z k ∧ V x i ) + (U z k ∧ V y j ) + (U z k ∧ Vz k )
ma essendo:
(U x i ∧ Vx i ) = 0
(U y j ∧ V y j ) = 0
(U z k ∧ Vz k ) = 0
in quanto prodotti vettoriali fra vettori paralleli, si ha:
W = U ∧ V = U xV y (i ∧ j ) + U xVz (i ∧ k )
+ U yV x ( j ∧ i ) + U yVz ( j ∧ k )
+ U zVx ( k ∧ i ) + U zV y (k ∧ j )
tenendo conto che:
i∧ j=k
i∧k = −j
46
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j ∧ i = −k
j∧k =i
k ∧i = j
k ∧ j = −i
si ottiene:
W = U ∧ V = U xV y k − U xVz j − U yV x k + U yVz i + U zVx j − U zV y i
e, mettendo a fattore comune
W = U ∧ V = (U yVz − U zV y )i + (U zV x − U xVz ) j + (U xV y − U yVx )k
Questa espressione è uguale a quella che si ottiene risolvendo il seguente determinante
detto “determinante simbolico”:
i
j
k
Uy
W = U ∧V = Ux U y Uz =
Vy
V x V y Vz
Uz
Vz
i−
Ux Uy
Ux Uz
j+
k
Vx V y
V x Vz
da cui:
W = U ∧ V = (U yVz − U zV y )i + (U zV x − U xVz ) j + (U xV y − U yVx )k
Indicando Wx, Wy, e Wz le componenti di W secondo gli assi cartesiani di riferimento si
può pertanto scrivere:
Wx  U yVz − U zV y 
  

W = W y  = U zVx − U xVz 
W  U V − U V 
y x
 z  x y
oppure: Wx =
U y Uz
V y Vz
Wy = −
Ux Uz
V x Vz
Wz =
Ux Uy
Vx V y
Nel caso piano l’espressione si semplifica:
i
j
W = U ∧V = Ux Uy
Vx
Vy
k
0 = 0i − 0 j +
0
47
Ux Uy
Vx
Vy
k = (U xV y − U yVx )k
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1.5.4.5.Espressione matriciale del prodotto vettoriale
Indicando con W = U ∧ V il prodotto vettoriale e con Wx, Wy, Wz le sue componenti secondo gli assi di riferimento, si ha: W = Wx i + W y j + Wz k
z
W
Wz k
y
Wy j
Wx i
x
dove, come precedentemente visto
Wx = U yVz − U zV y
W y = U zVx − U xVz
Wz = U xV y − U yVx
Le quali possono essere ottenute anche mediante la seguente espressione matriciale:
W x   0
  
W = W y  =  U z
W  − U
y
 z 
−U z
0
Ux
U y  V x  U yV z − U zV y 
  

− U x  V y  = U zV x − U xV z 
0  V z  U xV y − U yV x 
che nel caso piano si riduce a:
Vx 
W = {− U y U x }  = {− U yVx + U xV y }
V y 
48
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1.5.5. Prodotto misto
Per prodotto misto si intende il prodotto scalare C fra due vettori U e Z , in cui
quest’ultimo è ottenuto come prodotto vettoriale dei vettori V e W , si può quindi scrivere:
C = U ×V ∧ W = U × Z
È naturale che nel prodotto misto occorre prima svolgere il prodotto vettoriale e poi
quello scalare, viceversa si incorrerebbe in un prodotto vettoriale tra uno scalare ed un
vettore, che per la definizione di prodotto vettoriale, non ha senso.
Tenendo presente che il prodotto scalare è la somma dei prodotti delle componenti omologhe:
C = U xZx + U yZ y + U zZz
e che le componenti di Z sono i minori estratti dal determinante simbolico:
Zx =
Vy
Wy
Vz
Wz
Zy = −
Vx Vz
Wx Wz
Zz =
Vx V y
Wx W y
si conclude che il prodotto misto è dato dallo sviluppo del seguente determinante:
Ux
Uy
C = Vx
Wx
Vz
Wy
Uz
Vy
Vz = U x
Wy
Wz
Vz
Wz
−U y
Vx
Vz
Wx
Wz
+Uz
Vx
Vy
Wx
Wy
Poiché il valore del determinante cambia segno se si scambiano fra loro due righe, ma
rimane invariato se si operano due trasposizioni, si deduce che, permutando circolarmente, i fattori il prodotto misto non cambia:
C = U ×V ∧ W = V ×W ∧ U = W ×U ∧ V
Il prodotto misto può essere interpretato geometricamente come il volume del parallelepipedo non retto avente per spigoli i vettori U , V e W . Infatti il prodotto vettoriale fra
V e W fornisce l’area del parallelogramma di lati i vettori fattori, base del parallelepipedo obliquo, che nel successivo prodotto scalare viene moltiplicata per l’altezza: proiezione di U sulla direzione perpendicolare al piano definito da V e W . Ne consegue
che se i tre vettori sono complanari il loro prodotto misto si annulla. Ecco perché
l’annullarsi del prodotto misto è definita condizione di complanarità fra tre vettori.
49
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L’interpretazione geometrica del prodotto misto come volume del parallelepipedo non
retto di spigoli i tre vettori consente di illustrare efficacemente la proprietà della permutazione ciclica. Infatti è evidente che il volume del parallelepipedo sarà lo stesso anche
se si scambia l’ordine degli spigoli, mentre il segno è conservato perché i tre vettori sono considerati secondo una successione che ne mantiene la destrogirità (cioè: rispetto
della regola della mano destra) o levogirità (cioè: mancato rispetto della regola della
mano destra o disposizione secondo la mano sinistra) iniziale.
1.5.5.1.Proprietà distributiva del prodotto vettoriale (vettori non complanari)
Sfruttando la proprietà della permutazione ciclica del prodotto misto si può dimostrare
la proprietà distributiva del prodotto vettoriale, già dimostrata per vettori complanari a
pagina 44 anche nel caso di vettori non complanari.
Si consideri infatti il prodotto misto:
(
U × V1 ∧ V2 + V3
)
Ricorrendo consecutivamente due volte alla permutazione ciclica, si ha:
(
)
(
)
(
)
U × V1 ∧ V2 + V3 = V1 × V2 + V3 ∧ U = V2 + V3 × U ∧ V1
Applicando ora la proprietà distributiva del prodotto scalare rispetto alla somma di vettori, si ha:
(V
2
)
+ V3 × U ∧ V1 = V2 × U ∧ V1 + V3 × U ∧ V1
Ricorrendo consecutivamente due volte alla permutazione ciclica, si ha:
V2 × U ∧ V1 + V3 × U ∧ V1 = V1 × V2 ∧ U + V1 × V3 ∧ U = U × V1 ∧ V2 + U × V1 ∧ V3
Raccogliendo a fattor comune il vettore U si ottiene:
(
U × V1 ∧ V2 + U × V1 ∧ V3 = U × V1 ∧ V2 + V1 ∧ V3
)
Confrontando con il prodotto di partenza è lecito scrivere l’equazione:
(
)
(
U × V1 ∧ V2 + V3 = U × V1 ∧ V2 + V1 ∧ V3
E semplificando U si ottiene finalmente:
(
)
V1 ∧ V2 + V3 = V1 ∧ V2 + V1 ∧ V3
Che è quanto si voleva dimostrare.
50
)
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1.5.6. Effetti delle forze
Gli effetti prodotti dalle forze dipendono da:
•
intensità, direzione e verso delle forze stesse
•
dalla loro posizione nello spazio, cioè dal loro punto di applicazione nel piano o nel-
lo spazio. Ad esempio l’effetto di una forza su un corpo sarà diverso se tale forza è applicata nel baricentro o in un altro punto; nel primo caso infatti l’effetto prodotto sarà
una semplice traslazione del corpo stesso, mentre nel secondo caso si avrà anche un effetto di rotazione:
G
F
G
F
Traslazione
Traslazione + Rotazione
“Una forza applicata ad un corpo tende a causare la traslazione del corpo nella direzione
della forza; dipendendo dalla ubicazione del punto di applicazione della forza, questa
può anche tendere a far ruotare il corpo”. Il momento caratterizza la tendenza che una
forza possiede per indurre un corpo a ruotare intorno ad un polo.
r
O
F
F
F
M=F xr
M=0
La forza F tende a far ruotare
il corpo intorno al polo O
Se la retta d’azione di F passa
per O, il momento della forza
rispetto a quel punto si annulla
(il braccio r è nullo)
51
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1.5.7. Momento polare
Il momento polare di una forza rappresenta una importante applicazione del prodotto
vettoriale.
Sia dato un vettore V applicato in un punto P di una retta r e si consideri un altro punto
O non appartenente ad r. Il momento polare di V rispetto ad O, o semplicemente il
momento di V rispetto ad O, è dato dal seguente prodotto vettoriale:
M O = ( P − O) ∧ V = D ∧ V
dove D = ( P − O ) è il vettore posizione di P rispetto ad O.
π
M0
r
O
V
D
d
ϕ
P
π
π: piano individuato da V e D
corpo rigido
r
O
D
d
ϕ
O = polo
V
P = punto di applicazione
P
d = braccio = D sen ϕ
Il modulo del momento polare rispetto ad O sarà:
52
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|MO| = |D| |V| sen ϕ = |V| d
dove d è il “braccio” del vettore V rispetto ad O, e rappresenta la minima distanza di O
dalla retta di applicazione di V . Si può dire quindi che il modulo del momento rispetto
al polo O è dato dal prodotto del modulo di V per il braccio d di V rispetto ad O.
MO
V
ϕ
D
|ΜΟ| = area del parallelogramma
La direzione del momento è perpendicolare al piano individuato da V e D , mentre il
verso è definito tramite la regola della vite o dell’osservatore.
•
Il verso del momento M O caratterizza il verso della rotazione che V tende ad imprimere al corpo rigido
•
L’intensità di M O misura la tendenza del vettore V ad imprimere un moto di rotazione al corpo rigido attorno ad un asse che contiene M O .
Se il vettore V è una forza, dimensionalmente il momento si può esprimere come una
forza per una lunghezza |MO| = |F · L|, ad esempio MO [kN m].
1.5.7.1.Espressione matriciale del momento polare
Si consideri una forza Vi definita mediante le sue componenti in una terna cartesiana
con origine in O applicata in un punto Pi di coordinate xi, yi, zi:
Vxi 
 
Vi = V yi 
V 
 zi 
Pi = ( xi, yi, zi)
Le componenti del vettore Di = ( Pi − O) , essendo il polo O l’origine del sistema di riferimento, sono:
53
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 Dxi   xi − 0   xi 
  
  
Di =  D yi  =  yi − 0 =  yi 
D   z − 0  z 
  i
 zi   i
z
MO i
Vi
O
ϕ
Di
d
y
P (xi, yi, zi)
x
Mediante l’espressione matriciale del prodotto vettoriale si può scrivere:
M Oi
− zi
 0
= D i ∧ V i =  z i
− y i
0
xi
y i  V xi 
 
− xi  V yi 
0  V zi 
Esprimendo poi le componenti del vettore Vi in funzione del modulo e dei coseni direttori (αi, βi, γi) della retta di applicazione (Vxi = αi Vi, Vyi = βi Vi, Vzi = γi Vi), si ricava:
M Oi
M Oix   0


= M Oiy  =  z i
 M  − y
 Oiz   i
− zi
0
xi
y i  α iVi   (− β i z i + γ i y i )Vi 

 

− xi   β iVi  =  (α i z i − γ i xi )Vi 
0  γ iVi  (−α i y i + β i xi )Vi 
che fornisce le componenti del momento del vettore Vi rispetto al polo O. Nel caso piano, con piano xy, essa si riduce a:
M Oiz = {− y i
α V 
x i } i i 
 β i Vi 
54
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1.5.7.2.Proprietà del momento polare
1. Il momento polare non cambia se si sposta il punto di applicazione della forza (del
vettore) lungo la propria retta d’azione r.
Cioè se si fa scorrere V lungo la sua retta d’azione il momento polare rispetto ad un
polo O non varia. Infatti, il braccio di V rispetto ad O, che rappresenta la distanza di
O dalla retta r, non cambia.
Se si considerano i due punti di applicazione P1 e P2, entrambi appartenenti alla retta
r il momento polare vale:
•
se si considera P1 come punto d’applicazione
|MO1| = |D1| |V| sen ϕ1 = |V| d
M O1 = ( P1 − O ) ∧ V = D1 ∧ V
•
se si considera P2 come punto d’applicazione
M O 2 = ( P2 − O ) ∧ V = D 2 ∧ V
|MO2| = |D2| |V| sen ϕ2 = |V| d
V
ϕ1
D1
O
P1
d
D2
d = D1 senϕ1 = D2 senϕ2
V
MO = V d
ϕ2
P2
Esempio (vedi disegno alla pagina seguente):
 10 
V =
 (componenti in kN)
− 10
a) applicato in P1 (3; 3) (in m)
b) applicato in P2 (6; 0) (in m)
i
j
k
a) M O = (P1 − O ) ∧ V = 3
3
0 = −30k − 30k = −60k
10 − 10 0
i
j
k
b) M O = (P2 − O ) ∧ V = 6
0
0 = −60k
10 − 10 0
55
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Il modulo del momento può anche essere calcolato come prodotto del modulo di V per
il suo braccio rispetto ad O:
(
)
d = 32 + 32 = 18
V = 10 2 + − 10 2 = 200
M O = 200 ⋅ 18 = 60 kN m
y
r
r = retta d’azione di V:
y= -x+6
P1 (3, 3)
V
d
P2 (6, 0)
x
il braccio “d” è
V
ad r
2. Il momento polare non cambia se si sposta il polo lungo una retta parallela a quella
d’azione della forza. Anche in questo caso il braccio d rimane invariato, pertanto il
momento polare non cambia
O1
D1
O
V
D
ϕ2
ϕ
O2
D2
P
ϕ1
d
r’ | | r
r
i vettori posizione e l’angolo ϕ variano ma il braccio rimane costante
d = D sen ϕ = D1 sen ϕ1 = D2 sen ϕ2
3. Il momento polare di una forza (vettore) rispetto ad un punto della sua retta d’azione
è nullo:
56
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M O = ( P − O) ∧ V
|MO| = |P-O| |V| sen ϕ = 0 in quanto ϕ = 0 sen ϕ = 0
V
P
(P - O) | | V
MO = 0
O
r
4. Cambio del polo: il momento polare di una forza V rispetto ad un punto O* è anche
uguale al momento di V rispetto al polo O aumentato del momento di V supposto
in O rispetto a O*
O*
D*
(O-O*)
V
V
O
D* = (P-O*)
D
P
D = (P-O)
D* = (O-O*) + D
r
M O* = ( P − O*) ∧ V
essendo
( P − O*) = ( P − O ) + (O − O*)
risulta:
M O* = ( P − O*) ∧ V = [( P − O ) + (O − O*)] ∧ V
e, per la proprietà distributiva del prodotto vettoriale:
M O* = ( P − O ) ∧ V + (O − O*) ∧ V = M O + (O − O*) ∧ V
il primo termine è il momento di V rispetto al polo O, mentre il secondo è momento
di V supposto applicato in O rispetto a O*.
57
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58
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1.5.8. Momento assiale di una forza
Dati un asse a e una forza V (non parallela né incidente ad a ) si definisce momento
assiale di V rispetto ad a il momento polare della proiezione di V su un piano π normale all’asse a rispetto al punto O dato dall’intersezione di a con il piano π.
Vπ = proiezione di V su π
asse “a”
a
V
O traccia di a su π
O
Vπ
P
π
“a”
a
b
π
M a = (P − O ) ∧ Vπ
il modulo del momento vale M a = Vπ ⋅ b
Quindi il momento di una forza rispetto ad un asse è il prodotto della proiezione della
forza su un piano normale all’asse, per la sua minima distanza dall’asse. Il momento assiale è nullo se la forza incontra l’asse o se è parallela ad esso, quindi se la forza ha in
comune con l’asse un punto, sia proprio sia improprio.
Il modulo del momento assiale di una forza si può ottenere anche come prodotto misto
fra il versore dell’asse a , il vettore posizione (che va da un punto dell’asse al punto di
applicazione della forza) e la forza stessa:
M a = a × (P − O ) ∧ V
Se tale prodotto è positivo il momento sarà concorde con a , viceversa se negativo.
59
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1.6.
Sistemi di momenti
1.6.1. Momento risultante
Dati due vettori V1 , applicato nel punto P1, e V2 , applicato nel punto P2, si dice momento risultante M OR rispetto al polo O la somma vettoriale dei momenti dei singoli vettori
rispetto ad O.
π1 contiene V1 e O
MOR
π2
MO1
π2 contiene V2 e O
V2
P2
MO2
O
π1
P1
MO1 è perpendicolare a π1
V1
MO2 è perpendicolare a π2
M O1 = ( P1 − O) ∧ V1
M O 2 = ( P2 − O) ∧ V2
I due vettori M O1 e M O 2 possono essere sommati vettorialmente dando luogo al momento risultante M OR
M OR = M O1 + M O 2
Nel caso di n vettori V1 , V2 , V3 ,…. Vn il momento risultante rispetto al polo O sarà dato dalla somma (vettoriale) dei momenti dei singoli vettori rispetto al polo O:
n
n
i =1
i =1
M OR = ∑ M Oi = ∑ ( Pi − O) ∧ V i
60
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1.6.2. Coppie
Due vettori applicati in due punti distinti formano una coppia se hanno la stessa intensità, linee d’azione parallele e versi opposti.
Cioè V 1 = V , V 2 = −V . È chiaro che il Risultante di tale sistema è nullo.
P2
-V
I due vettori che costituiscono
V
b
la coppia sono complanari
P1
poichè per ipotesi sono paralleli
2
R = ∑V i = 0
i =1
Il momento risultante del sistema rispetto ad un qualsiasi punto nello spazio O vale:
M O = ( P1 − O ) ∧ V + ( P2 − O ) ∧ (−V )
z
P1
V
(P1 - P 2)
P2
D1
-V
D2
y
x
per la proprietà distributiva si ha:
M O = [( P1 − O ) − ( P2 − O )] ∧ V
M O = ( D1 − D 2 ) ∧ V
ma la differenza tra i vettori posizione D1 e D 2 è il vettore ( P1 − P2 ) , definito dai punti
di applicazione dei due vettori che formano la coppia, sostituendo si ottiene:
M O = ( P1 − P2 ) ∧ V
61
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in tale espressione non compare il polo O, pertanto il momento di una coppia non dipende dal polo scelto.
Se il punto O appartiene al piano definito dai vettori V e - V si ha una rappresentazione
piana
V
P1
b
P2
-V
O
O’
Il momento rispetto ad un polo O vale:
M O = ( P1 − O ) ∧ V + ( P2 − O ) ∧ (−V )
M O = ( P1 − P2 ) ∧ V
il momento risultante rispetto ad un altro punto O’ appartenente allo stesso piano vale
M O ' = ( P1 − O ' ) ∧ V + ( P2 − O ' ) ∧ (−V )
M O ' = ( P1 − P2 ) ∧ V = M O
cioè il momento non cambia qualsiasi sia il punto rispetto al quale si ricerca il momento
risultante.
Il modulo di M O vale:
M O = P1 − P2 ⋅ V ⋅ sen ϕ
MO = V ⋅b
dove ϕ è l’angolo compreso tra i due vettori ( P1 − P2 ) e V e b=( P1 − P2 ⋅ sen ϕ ) è il
braccio della coppia.
Quindi il modulo del momento della coppia è sempre dato dal prodotto del modulo di
uno dei due vettori per il braccio della coppia, per qualsiasi punto rispetto al quale si
calcola il momento.
La direzione del momento della coppia è perpendicolare al piano individuato dai vettori
( P1 − P2 ) e V , che corrisponde al piano individuato dai due vettori della coppia.
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Il verso del momento della coppia è antiorario (positivo) se la coppia tende ad imprimere al corpo una rotazione antioraria, ed è orario (negativo) se la coppia tende ad imprimere al corpo una rotazione oraria.
MO
momento positivo (antiorario)
MO
momento negativo (orario)
1.6.2.1.Proprietà delle coppie
1. La coppia può essere rappresentata dal suo vettore momento (poiché la risultante è
nullo).
2. I due vettori che compongono la coppia possono essere ruotati intorno al loro punto
di applicazione purché si cambi il modulo dei vettori che la compongono in modo
che il modulo del momento che rappresenta la coppia rimanga costante. |V|·b =
|V*|·b*
b
V*
V
-V
-V*
b*
Quindi è possibile formare insiemi di coppie equivalenti modificando il braccio ed il
modulo dei vettori.
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1/2V
-1/2V
b
1/3V
-1/3V
V
2b
-V
3b
3. Una coppia può essere trasportata su un piano parallelo a quello su cui giace, senza
modificazioni al campo di momento che essa induce.
4. Una coppia può essere trasportata comunque nel piano in cui giace, senza modificazioni al campo di momento che essa induce.
5. Le coppie possono essere sommate mediante la somma dei loro vettori momento.
Esercizio sulle coppie
Dati i vettori V 1 e V 2 , applicati nei punti P1 e P2, rispettivamente, definiti attraverso le
loro componenti cartesiane
− 1
 
V1 =  2 
− 1
 
P1 = (1, 0, 4)
1
 
V 2 = − 2 
1
 
P2 = (0, 4, 1)
verificare che costituiscono una coppia.
z
V1
P1 (1, 0, 4)
B (1, 2, 2)
A: estremo di V1
B: estremo di V2
A (0, 2, 3)
P2 (0, 4, 1)
V2
y
π
Il piano π contiene la coppia
x
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Affinché i due vettori formino una coppia devono costituire un sistema con risultante
nulla, cioè devono avere lo stesso modulo ed essere paralleli ma con verso opposto.
V1 =
(− 1)2 + 2 2 + (− 1)2
= 6
V2 = 12 + (− 2 ) + 12 = 6
2
|V1| = |V2|
inoltre
−1 2
−1
=
=
= −1 le componenti sono proporzionali a meno del segno i due
1 −2 1
vettori sono paralleli ma con verso opposto.
Calcolo del momento risultante rispetto all’origine O del sistema di riferimento:
− z1
M O1
 0
=  z1
− y1
y1  V x1  0 − 4 0  − 1 − 8
 
   
− x1  V y1  = 4 0 − 1  2  = − 3
0  V z1  0 1
0  − 1  2 
− z2
M O2
 0
=  z1
− y 2
0
x1
0
x2
M O = M O1 + M O 2
y 2  V x 2   0 − 1 4  1   6 
 
   
− x 2  V y 2  =  1
0 0 − 2 =  1 
0  V z 2  − 4 0 0  1  − 4
− 8  6  − 2
     
= − 3 +  1  = − 2
 2  − 4  − 2 
     
Il momento di una coppia è anche dato dalla seguente espressione:
M O = (P1 − P2 ) ∧ V 1
oppure
M O = (P2 − P1 ) ∧ V 2
Dalla prima, applicando ad esempio, il metodo del determinante simbolico, si ottiene:
1 − 0   1 
(P1 − P2 ) = 0 − 4 = − 4
 4 − 1  3 

  
− 1
 
V1 =  2 
− 1
 
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i
MO = 1
−1
cioè
j
−4
2
k
−4 3
1 3
1 −4
3 =
i−
j+
k = −2i − 2 j − 2k
2 −1 −1 −1
−1 2
−1
− 2
 
M O = − 2
− 2
 
Dalla seconda si ottiene:
 0 − 1  − 1
(P2 − P1 ) = 4 − 0 =  4 
1 − 4  − 3

  
i
j
M O = −1
1
4
−2
k
−3 =
1
4
−3
−2
1
i−
1
 
V 2 = − 2 
1
 
−1 − 3
1
1
j+
−1
4
1
−2
k = −2i − 2 j − 2k
che è lo stesso risultato ottenuto precedentemente.
Il modulo del momento della coppia vale:
MO =
(− 2)2 + (− 2)2 + (− 2)2
= 12
L’equazione del piano su cui giace la coppia si ottiene tramite le coordinate di tre punti
appartenenti al piano (ad es. P1, P2 ed A, vedi figura), tramite lo sviluppo del seguente
determinante:
x − x1
y − y1
z − z1
x 2 − x1
x A − x1
y 2 − y1
y A − y1
z 2 − z1 = 0
z A − z1
x −1 y − 0 z − 4
0 −1 4 − 0 1− 4 = x + y + z − 5 = 0
0 −1 2 − 0 3 − 4
x + y + z − 5 = 0 piano su cui giace la coppia
66
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1.7.
Operazioni sui vettori e sui sistemi di vettori
1.7.1. Trasporto di un vettore
Un vettore può essere trasporto parallelamente a se stesso e fatto passare per un punto
qualunque, purché si aggiunga il momento che nasce da questo trasporto. In tal modo
non cambia il campo di momento generato dal vettore.
MO
O
V
O
V
P
P
MO = (P-O) /\ V
Dato un vettore V , applicato in P, è possibile spostare il punto di applicazione in O purché si aggiunga il momento di trasporto M O = ( P − O) ∧ V .
Per visualizzare la ragione dell’aggiunta del momento di trasporto si consideri il disegno seguente.
MO
V
V
O
P
V
V
P
P
O
O
-V
Nel punto O è possibile applicare due vettori, uno uguale a V e l’altro uguale a - V . Il
sistema costituito da questi due vettori ha risultante e momento risultante nulli, pertanto
non modifica l’azione del vettore originale sul corpo rigido.
Si può notare che il vettore originale V applicato in P e il vettore - V applicato in O costituiscono una coppia M O giacente sul piano formato da (P-O) e V . La coppia M O si
chiama “coppia di trasporto”.
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Un esempio pratico di trasporto di un vettore è quello di un pilastro soggetto ad una forza verticale applicata all’estremo P. È possibile applicare tale forza nel baricentro O
purché venga aggiunto il momento di trasporto MO = V b/2
MO = V b/2
V
V
O
O
P
b/2
P
b/2
b/2
b/2
1.7.2. Riduzione di un sistema di vettori alla risultante più il
momento risultante
Scelto un polo O, un sistema di vettori V i applicati nei punti Pi si riduce ad un insieme
di vettori concorrenti in O e di coppie M Oi . Questo perché ogni vettore del sistema può
essere trasportato nel punto O aggiungendo la relativa coppia di trasporto.
I vettori concorrenti in O possono essere sommati, originando la risultante R applicata
in O. Anche le coppie M Oi posso essere sommate dando luogo al momento risultante
M OR :
MO1
MO2
V1
D1
V1
P1
O
V2
O
D2
D3
P2
R
MOR
O
V3
V2
P3
MO3
V3
Forze comunque
Vettori
comunque
orientatenello
nellospazio
spazio
orientati
Forze concorrenti
Vettori
concorrentie e
coppiedi
di trasporto
trasporto
coppie
68
Riduzione del
sistema al polo O
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n
R = ∑V i
i =1
n
n
n
i =1
i =1
i =1
M OR = ∑ M Oi = ∑ (Pi − O ) ∧ V i = ∑ D i ∧ V i
Scelto un polo O ad arbitrio, si possono trasportare i singoli vettori in O aggiungendo le
relative coppie di trasporto. Si riduce così il sistema di vettori dato ad un sistema di vettori concorrenti e di coppie generate dai trasporti. I vettori, essendo concorrenti, si comporranno in un unico vettore R . Le coppie daranno origine ad un’unica coppia M OR .
Pertanto, un sistema qualunque di vettori applicati ad un corpo rigido si può sempre ridurre ad un vettore risultante R , passante per un punto arbitrariamente scelto O, e ad
una coppia risultante M OR .
La risultante R ha intensità, direzione e verso perfettamente determinati, indipendentemente dalla scelta del polo di riduzione adottato.
Invece la coppia M OR dipende dalla posizione del polo, perché è la somma dei vettori
M Oi = (Pi − O ) ∧ V i , che dipendono da O.
n
La coppia risultante M OR = ∑ M Oi giacerà in generale su un piano obliquo alla direi =1
zione della forza risultante R .
Esprimendo poi le componenti del vettore Vi in funzione del modulo e dei coseni direttori (αi, βi, γi) della retta di applicazione (Vxi = αi Vi, Vyi = βi Vi, Vzi = γi Vi), si ricava:
Vxi  n α iVi  ∑α iVi 
 

 

R = ∑V i = ∑ V yi  = ∑  β iVi  = ∑ β iVi 
i =1
i =1 
 i =1 γ V   γ V 
Vzi 
 i i  ∑ i i 
n
n
le componenti della risultante saranno:
 Rx  ∑α iVi 
  

R =  R y  = ∑ β iVi 
R   γ V 
 z  ∑ i i 
Mentre per il momento risultante si ottiene:
69
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n
M OR = ∑ M Oi
i =1
 0
= ∑  zi
i =1
− yi
n
− zi
0
xi
yi  Vix  n (− z iViy + yiViz )  ∑ (− ziViy + yiViz ) 

 

 
− xi  Viy  = ∑ ( ziVix − xiViz )  = ∑ ( ziVix − xiViz ) 
i =1 
 

0  Viz 
(− yiVix + xiViy ) ∑ (− yiVix + xiViy )
oppure, utilizzando i coseni direttori:
n
M OR = ∑ M Oi
i =1
 0
= ∑  z i
i =1
− yi
n
− zi
0
xi
yi  α iVi  n (− β i z i + γ i yi )Vi  ∑ (− β i zi + γ i yi )Vi 



 

− xi   β iVi  = ∑ (α i z i − γ i xi )Vi  = ∑ (α i z i − γ i xi )Vi 
i =1 
 

0  γ iVi 
(−α i yi + β i xi )Vi  ∑ (−α i yi + β i xi )Vi 
quindi le componenti sono:
M OR
M ORx  ∑ (− z iViy + yiViz )   ∑ (− β i z i + γ i yi )Vi 
 

 

= M ORy  = ∑ ( z iVix − xiViz )  =  ∑ (α i z i − γ i xi )Vi 
 M   (− y V + x V )  (−α y + β x )V 
i ix
i iy 
i i
i i
i
 ORz  ∑
∑
70
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1.8.
Invariante scalare e asse centrale
1.8.1. Invariante scalare di un sistema di forze
Dato un sistema di forze (vettori) applicate, il prodotto scalare del momento risultante rispetto ad un punto qualsiasi, per la risultante è sempre costante e non dipende
dal polo.
I = M OR × R = M O 'R × R = ...... = M AR × R = cost
Si può dire cioè che la componente del momento risultante secondo la direzione della
risultante non cambia qualsiasi sia il polo scelto. Ricordando infatti la definizione di
prodotto scalare si ha:
I = MOR R cos ϕ = MO’R R cos ϕ‘ =……= MAR R cos ϕA = cost
MOR cos ϕ = MO’R cos ϕ‘ =……= MAR cos ϕA = cost
r
r
R
r
R
R
MOR
|R|
MR
|MR|
O
MO’R
MR
ϕ
O’
MORN
ϕ’
MR = MAR
ϕA = 0
A
MO’RN
MARN = 0
Asse Centrale
M ORN ≠ M O 'RN ≠ M ARN
I = MOR R cos ϕ = MO’R R cos ϕ‘ =……= MAR R cos 0° = cost
Si consideri un sistema di n forze applicate V i . La risultante del sistema è:
n
R = ∑V i
i =1
71
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z
z
P1
V2
R
P2
V1
ϕ’
V5
P3
P5
R
MO’R
O’
V3
V4
ϕ
P4
O
MOR
O
Pi
y
y
Vi
MOR = MO’R
Vn
x
x
Pn
Il momento risultante rispetto al polo O vale:
n
n
i =1
i =1
M OR = ∑ M Oi = ∑ (Pi − O ) ∧ V i
Assumendo un altro polo O’ e operando la riduzione (trasporto di tutte le forze in O’), la
risultante R non cambia mentre varia il momento risultante M O 'R poiché cambiano i
momenti di trasporto delle forze:
n
n
i =1
i =1
M O 'R = ∑ M O 'i = ∑ (Pi − O ') ∧ V i
Tuttavia, ricordando l’espressione del momento per il cambio di polo, si può scrivere:
M O 'R = M OR + (O − O ') ∧ R
M OR è il momento risultante rispetto ad O, mentre (O − O') ∧ R rappresenta il momento
di trasporto di R da O ad O’.
Moltiplicando scalarmente M O 'R per R risulta:
(
)
[
R × M O ' R = R × M OR + (O − O ') ∧ R = R × M OR + R × (O − O ') ∧ R
[
]
]
Il prodotto misto R × (O − O ') ∧ R è nullo poiché, i tre vettori sono complanari. Di ciò
si ha conferma operando separatamente i prodotti scalare e vettoriale. Per la definizione
di prodotto vettoriale, il vettore (O − O ') ∧ R è perpendicolare ad R , ma il prodotto scalare tra due vettori perpendicolari è nullo. Pertanto risulta
R × M O 'R = R × M OR = invariante
72
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Si osservi che il momento risultante di un sistema di forze nello spazio, rispetto a qualsiasi polo O, O', O'' … può essere visto come la somma vettoriale di una componente
M R secondo la direzione della risultante, che è invariante, e di una componente M ORN
perpendicolare alla retta d’azione della risultante. Questa seconda componente è variabile al cambiare del polo.
M OR = M R + M ORN
INVARIANTE
VARIABILE (dipende dal polo)
L’invariante scalare I = MOR ·R · cos ϕ può assumere i seguenti valori:
•
I ≠ 0. Sistema spaziale di vettori. Nel caso più generale M OR ed R sono obliqui.
Come caso particolare M OR ed R sono paralleli.
•
I = 0. Tale situazione si verifica nei seguenti casi
1. M OR ed R sono perpendicolari. Ciò accade per i sistemi di vettori applicati complanari e per i sistemi spaziali di vettori concorrenti in un punto,
proprio o improprio (vettori paralleli). Per questi sistemi di vettori vale il
teorema di Varignon;
2. M OR = 0 ed R = 0 . Il sistema è equilibrato;
3. M OR ≠ 0 ed
R = 0 . Il sistema è costituito da una coppia di vettori;
4. M OR = 0 ed R ≠ 0 . Questo caso non è altro che il primo, quando il polo O rispetto al quale si sta calcolando il momento appartiene a una retta
particolare detta asse centrale.
73
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1.8.2. Asse centrale
1.8.2.1.Asse centrale di un sistema di forze. Concetti preliminari
Innanzitutto vengono ricordati alcuni concetti fondamentali.
Considerando il caso più generale di un sistema di forze comunque disposte nello spazio, la riduzione del sistema rispetto ad un punto O è intesa come l’insieme di operazioni necessarie per trovare un vettore risultante delle forze R ed un vettore momento risultante M OR tali da costituire un sistema equivalente all’originario.
La risultante è indipendente dal polo di riduzione scelto. Mentre intensità, direzione e
verso del momento risultante (coppia) dipendono dal punto di riduzione.
L’asse centrale è una retta rispetto ai cui punti la riduzione del sistema assume caratteristiche particolari. Infatti l’asse centrale è il luogo geometrico dei punti allineati rispetto ai quali il sistema di forze dato si riduce ad un risultante di forza più una
coppia risultante che giace su un piano ortogonale alla direzione della risultante.
Quindi sull’asse centrale il vettore risultante e il vettore momento risultante sono paralleli: R || M OR .
z
A: punto generico
dell’asse centrale
R
MR
MOR
asse centrale
R
A
O
y
x
Il modulo del vettore momento risultante calcolato rispetto a un punto dell’asse centrale
diviene minimo per un generico sistema spaziale di vettori, nullo se i vettori concorrono in punto proprio o improprio o se sono complanari.
Considerando i punti dell’asse centrale il sistema viene ridotto a due vettori paralleli.
Tale riduzione è possibile solo se l’invariante scalare è diverso da zero. Se l’invariante
scalare è nullo si ricade in casi particolari che verranno studiati nel seguito.
74
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1.8.3. Legame tra invariante scalare e asse centrale
Dall’espressione dell’invariante scalare I = M OR × R discende che la componente M R
del momento risultante secondo la direzione della risultante delle forze è sempre costante qualsiasi sia il polo di riduzione scelto. A partire da questa considerazione e dalla
stessa definizione dell’invariante scalare si può stabilire il legame esistente tra valore
dell’invariante scalare e caratteristiche dell’asse centrale.
a) Se I ≠ 0
MOR ·R · cos ϕ ≠ 0 cos ϕ ≠ 0 ϕ ≠ π/2
i vettori M OR e R non sono perpendicolari ma obliqui (o paralleli se il polo appartiene all’asse centrale). Questa situazione corrisponde al caso più generale di forze spaziali comunque disposte.
La riduzione del sistema ad un punto dell’asse centrale fornisce la risultante delle
forze R ed il vettore momento risultante M OR (somma delle coppie di trasporto)
parallelo ad R . Inoltre il modulo del momento risultante diviene minimo.
b) Se I = 0
cos ϕ = 0 ϕ = π/2 M OR e R sono perpendicolari
MOR ·R · cos ϕ = 0
R = 0 coppia
Se nella riduzione ad un generico punto O, il vettore momento risultante M OR risulta ortogonale al risultante R , l’invariante scalare è nullo. È cioè nulla la componente del momento risultante secondo la direzione di R .
z
R
MOR
I=0
R
A
ϕ = 90°
O
MOR
y
asse centrale
x
75
R
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
In tale situazione, se si effettua la riduzione rispetto ad un qualsiasi punto dell’asse
centrale, il sistema si riduce al solo risultante R che agisce lungo l’asse centrale.
L’asse centrale può essere identificato con la retta d’azione della risultante del sistema (l’asse centrale individua la posizione della risultante delle forze).
L’ortogonalità tra M OR e R si verifica nei seguenti casi:
b.1) Sistemi di forze complanari (nello spazio tutte le forze sono contenute in un piano). A questo caso sono riconducibili i sistemi piani di forze.
y
z
corpo rigido piano
piano contenente
le forze
y
x
MOR
R
I=0
x
b.2) Sistemi spaziali di forze parallele
z
z
MOR
R
I=0
O
O
y
y
x
x
76
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b.3) Sistemi spaziali di forze concorrenti
z
MOR
R
I=0
P
O
y
x
77
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1.8.4. Asse centrale. Sistemi piani di forze
1.8.4.1.Introduzione
L’analisi e la riduzione dei sistemi di forze spaziali frequentemente risultano complesse,
ma tali difficoltà diminuiscono notevolmente quando le forze appartengono tutte ad uno
stesso piano.
Quasi tutte le costruzioni si configurano tridimensionalmente, tuttavia in numerose situazioni è possibile ricondurre l’insieme strutturale ad una serie organizzata di strutture
piane a cui vengono assegnate funzioni portanti precise ma compatibili con il comportamento dell’intera costruzione.
Quando è possibile ipotizzare che le forze applicate su di una struttura (o su parte di essa) agiscono tutte in un medesimo piano, la risoluzione dei problemi della statica può
essere realizzata agevolmente sia in modo analitico che grafico. Tuttavia questa astrazione, che implica significative semplificazioni operative, deve essere meccanicamente
lecita e adeguata a garantire la sicurezza.
Da quanto detto si desume che lo studio delle riduzioni dei sistemi piani di forze e la determinazione dei corrispondenti assi centrali risulta di grande interesse per la risoluzione
di un vasto numero di problemi.
y
corpo rigido piano
sistema reticolare
x
arco a tre cerniere
trave
78
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1.8.4.2.Asse Centrale di sistemi piani. Riduzione al solo Risultante
Come detto, per i sistemi piani di forze è possibile ridurre il sistema al solo risultante. Si
consideri un corpo rigido bidimensionale a cui è applicato un sistema di forze complanari F 1 , F 2 , F 3 e F 4 , giacenti sul piano della figura (Fig. a).
Figura a) Sistema dato di forze complanari
y
F4
R
F4
F3
F1
F3
O
F1
F2
x
F2
Il poligono delle forze è
aperto quindi il risultante è
diverso da zero
Il sistema dato può essere ridotto al polo O. La risultante R delle forze è complanare al
sistema di forze dato. I vettori momenti di trasporto corrispondenti a ciascuna delle forze sono tutti perpendicolari al piano e quindi anche il momento risultante M OR è ortogonale al piano delle forze (la coppia risultante giace nel piano).
Il sistema dato è stato ridotto al risultante R applicato in O e al momento risultante
4
M OR (Fig. b) R = ∑ F i
i =1
4
4
i =1
i =1
M OR = ∑ M Oi = ∑ (Pi − O ) ∧ F i
Figura b) Riduzione al polo O
y
R = Σ Fi
R
MOR = Σ MOi
MOR
MOR
I=0
x
O
79
R
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Essendo R ortogonale ad M OR , l’invariante scalare è nullo I = M OR × R = 0
Il sistema è riconducibile al solo risultante R . Infatti, traslando la risultante ortogonalmente alla sua direzione si raggiunge una posizione in cui il momento risultante è nullo
(Fig. c). Tale posizione corrisponde all’asse centrale del sistema dato, che si identifica
con la retta d’azione della risultante.
Figura c) Riduzione ad una sola forza applicata lungo l’asse centrale
y
y
asse centrale
R
R
A
O
O
R
A
x
d
x
-R
d = MOR / R
A: punto generico
dell’asse centrale
Trasporto di R applicata in A all’
origine O: R applicata in A e -R
applicata in O costituiscono la
coppia MOR
l’asse centrale ha la direzione di R
Il sistema dato è così stato ridotto alla minima espressione (una sola forza che agisce
lungo l’asse centrale). La distanza fra l’asse centrale ed il polo O è data dalla relazione: d =
M OR
R
La risultante considerato applicato in un punto qualsiasi dell’asse centrale provoca sul
corpo rigido gli stessi effetti meccanici causati dal sistema di forze dato. Cioè: un sistema piano di forze con risultante non nullo è equivalente al solo vettore risultante applicato lungo l’asse centrale.
Stabilita l’esistenza dell’asse centrale di un sistema piano di forze applicate, si possono
rilevare le seguenti osservazioni:
•
L’asse centrale ha sempre la direzione della risultante delle forze R .
•
Dato un sistema piano di forze applicate, è nullo il momento risultante M AR rispetto
ad un punto qualsiasi A appartenente all’asse centrale: M AR = 0 . Infatti, essendo
80
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
nullo il momento della risultante rispetto ad un punto della propria retta d’azione,
deve essere nullo anche il momento risultante del sistema (somma dei momenti delle
singole forze applicate) rispetto a quel punto.
•
La posizione nel piano della risultante R di un sistema di forze complanari può essere determinata ricercando l’asse centrale sia in modo analitico che grafico (poligono funicolare).
•
Se la risultante è nullo ( R = 0 ) ma non è nullo il momento risultante ( M OR ≠ 0 ) il
sistema si riduce ad una coppia. In tale caso l’asse centrale non esiste.
•
In un sistema equilibrato ( M OR = 0 ed R = 0 ) l’asse centrale non esiste. Tuttavia è possibile distinguere l’asse centrale del sistema di forze attive e l’asse centrale
del sistema di forze reattive, i due assi devono essere coincidenti.
asse centrale forze attive P1 e P2
P1
P2
RA
Sistema equilibrato:
R A = -R R
R
RO
R
assi centrali coincidenti
RB
asse centrale forze reattive RO e RB
81
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.8.4.3.Equazione dell’Asse Centrale per i sistemi piani di forze
Un sistema piano di forze è equivalente al risultante R posto sull’asse centrale. Sia A
(xA, yA) un punto generico dell’asse centrale in cui si considera applicato la risultante.
Scomponendo la risultante secondo le direzioni degli assi, R x e R y sostituiscono R
R = Rx + Ry
R x = ∑ Fxi
con
R y = ∑ Fyi
asse centrale
asse centrale
y
y
R
Ry
A (xA, yA)
yA
A
Rx
O
x
O
xA
x
La somma dei momenti, rispetto ad O, delle componenti della risultante deve essere uguale al momento risultante del sistema dato (equivalenza dei sistemi), quindi:
MOR = Ry · xA - Rx · yA
Espressione che può scriversi:
Rx · yA - Ry · xA + MOR = 0
equazione dell’asse centrale nel piano
La precedente equazione di una retta rappresenta la condizione che devono soddisfare le
coordinate xA e yA dei punti appartenenti all’asse centrale (retta d’azione della risultante) di un sistema piano.
E’ possibile determinare le coordinate xA* e yA* corrispondenti alle intersezioni dell’asse
centrale con gli assi cartesiani x e y:
Rx · yA - Ry · xA + MOR = 0
M OR
Ry
Punto A1 (xA*, 0)
- Ry · xA* + MOR = 0
x *A =
Punto A2 (0, yA*)
Rx · yA* + MOR = 0
y *A = −
82
M OR
Rx
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
y
asse centrale
x*A
x
y*A
y
asse
centrale
y
asse
centrale
y
Ry
Ry
Ry
O
Rx
x
A1
MOR
Rx
x
x
y*A
A2
Rx
x* A
E’ possibile determinare direttamente le coordinate xA* e yA* considerando che la coppia
risultante MOR deve essere:
-
uguale al momento rispetto ad O della componente R y quando R è applicato in
A1 (xA*, 0) MOR = Ry · xA*
-
uguale al momento rispetto ad O della componente R x quando R è applicato in
A2 (0, yA*) MOR = - Rx · yA*
83
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.8.4.4.Sistemi piani di vettori (o forze). Deduzione vettoriale dell’Asse Centrale
Si consideri un sistema piano di vettori V i applicati nei punti Pi (xi, yi).
y
P2 (x2, y2)
V2
Vi
V1
Pi (xi, yi)
P1 (x1, y1)
O
x
Trattandosi di un sistema piano M OR ⊥ R (il momento risultante rispetto all’origine risulta perpendicolare al risultante), quindi l’invariante scalare è nullo I = M OR × R = 0
Il momento risultante M AR rispetto ad qualsiasi punto dell’asse centrale è nullo. Sia A
(xA, yA) un punto generico dell’asse centrale. Considerando l’espressione della trasposizione del polo, risulta:
M AR = M OR + (O − A) ∧ R = 0
dove
equazione vettoriale dell’asse centrale
n
n
n
i =1
i =1
i =1
M OR = ∑ M Oi = ∑ (Pi − O ) ∧ V i = ∑ {− y i
Vxi 
x i } 
Vyi 
Utilizzando l’espressione matriciale del prodotto vettoriale applicata al caso piano e te-
0 − x A   − x A 
nendo presente che (O − A) = 
=
 si ha:
0 − y A  − y A 
(O − A) ∧ R = {y A
R 
− x A } x 
R y 
quindi:
M AR = M OR + {y A
R 
− x A } x  = 0 M OR + y A ⋅ Rx − x A ⋅ R y = 0
Ry 
che è l’equazione cartesiana dell’asse centrale precedentemente trovata.
84
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
Esercizio: Asse Centrale nel piano
Dati i vettori:
2 
V1 =  
2 
applicato in
P1 = (2, 1)
− 1
V2 =  
1
applicato in
P2 = (1, 3)
y
5
4
V2
3
P2 (1, 3)
V1
2
P1 (2, 1)
1
O
1
2
3
4
5
x
determinare l’asse centrale del sistema.
2 − 1 1
R = V1 +V 2 =   +   =  
2  1  3
M O1 = {− y1
Vx1 
2 
x1 }  = {− 1 2}  = {2}
2 
V y1 
M O 2 = {− y 2
Vx 2 
− 1
x2 }  = {− 3 1}  = {4}
1
V y 2 
M OR = {2} + {4} = {6}
M OR = 6
MAR = Rx · yA - Ry · xA + MOR = 0
yA - 3 · xA + 6 = 0
equazione dell’asse centrale
Intersezioni con gli assi cartesiani:
punto A1 (xA*, 0) sostituendo:
- 3 · xA* + 6 = 0
punto A2 (0, yA*) sostituendo:
y A* + 6 = 0
85
xA* = 2
yA* = -6
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y
5
asse centrale
4
V2
3
P2
V1
2
Q
1
P1
O
-1
1
2
3
4
5
x
x*A
-2
-3
-4
-5
-6
y*A
Si noti che il punto Q di intersezione tra le rette d’azione di V 1 e V 2 soddisfa
l’equazione dell’asse centrale:
retta d’azione di V 1
y − Py
x − Px
=
Vx
Vy
retta d’azione di V 2
x −1 y − 3
=
1
−1
→
x − 2 y −1
=
2
2
y=x–1
y=-x+4
punto di intersezione Q (5/2, 3/2)
che soddisfa l’equazione dell’asse centrale yA - 3 · xA + 6 = 0
3/2 - 3 ·5/2 + 6 = 0
Dati due vettori non paralleli nel piano, l’asse centrale deve sempre passare per
l’intersezione delle loro rette d’azione. In tale punto il momento risultante è nullo (poiché sono nulli i bracci dei due vettori), quindi anche la retta d’azione della risultante dovrà passare per quel punto.
86
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
Esercizio: Asse Centrale di una trave di fondazione
Si consideri una trave rigida di fondazione soggetta ai carichi trasmessi dai pilastri, come indicato in figura. Si richiede di:
a) Ridurre al polo O il sistema di forze applicate
b) Determinare la posizione della retta di azione della risultante dei carichi (asse centrale)
c) Definire la lunghezza totale della trave in modo da produrre tensioni uniformi nel
terreno.
a) Riduzione al polo O del sistema di forze applicate
La trave in c.a. è intesa come corpo rigido. I carichi dei pilastri costituiscono un sistema
piano di forze parallele.
P4
P2
P3
500
P1
600 kN
400
300
Struttura data
3m
3m
4m
y
- 600 j
- 500 j
Rappresentazione
vettoriale
- 400 j
- 300 j
O
B
3m
C
D
3m
4m
R = ∑ P i = −300 j − 500 j − 400 j − 600 j = −1800 j
(
)
(
)
(
M OR = ∑ M Oi = 3i ∧ − 500 j + 6i ∧ − 400 j + 10i ∧ − 600 j
87
 0 
R=

− 1800
)
x
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
M OR = −1500k − 2400k − 6000k = −9900k MOR = - 9900
y
R = - 1800 j
MOR = - 9900 k
O
C
B
D
x
b) Determinazione dell’Asse Centrale
Applicando l’equazione cartesiana dell’asse centrale nel piano:
Rx · yA - Ry · xA + MOR = 0
1800 · xA - 9900 = 0 retta verticale
xA = 5.5 m
Applicando l’equazione vettoriale dell’asse centrale:
M AR = M OR + (O − A) ∧ R = 0
L’asse centrale deve essere parallelo ad R, quindi è verticale. Si sceglie come
punto A dell’asse centrale quello di intersezione con l’asse x
(
) (
(O − A) = − x A i
)
M AR = −9900k + − x A i ∧ − 1800 j = −9900k + 1800 x A k = 0
− 9900 + 1800 x A = 0 xA = 5.5 m
y
R
O
B
1800 kN
A C
D
asse centrale
xA = 5.5 m
88
x
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
c) Dimensioni della trave.
Affinché le tensioni nel terreno siano uniformi, la trave di fondazione deve essere centrata rispetto ad R.
asse centrale
pilastro
trave di
fondazione
fonadazione
σt = tensione
sul terreno
0.7
3
3
4
5.5 m
6.2 m
6.2 m
89
1.7
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
Esercizio: Asse Centrale di forze parallele complanari
Con riferimento al sistema di vettori indicato in figura, determinare l’asse centrale.
y
V2
V1
- 800
V3
- 480
O
- 500
A
2
B
5.5 m
4
 0 
V2 = 
 applicato nel punto B (7.5, 0)
− 800
 0 
V3 = 
 applicato nel punto C (11.5, 0)
− 500
 0 
V4 =
 applicato nel punto D (14.5, 0)
− 400
R  
0+0+0+0
  0 
R = x=
=

 R y  − 480 − 800 − 500 − 400 − 2180
M OR = M O1 + M O 2 + M O 3 + M O 4
M O1 = ( A − O ) ∧ V 1
Utilizzando il determinante simbolico si ha:
j
k
M O1 = 2
0
0 = −960k
0 − 480 0
Analogamente per gli altri vettori si ha:
90
- 400 kN
C
 0 
V1 = 
 applicato nel punto A (2, 0)
− 480
i
V4
D
3
x
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
M O2
i
= 7 .5
0
i
M O3 = 11.5
0
i
j
0
k
0 = −6000k
− 800 0
j
0
k
0 = −5750 k
− 500 0
j
k
M O 4 = 14.5
0
0 = −5800k
0
− 400 0
M OR
 0   0 

 

=  0  =  0  = −18510k
M  − 18510
 ORx  

MOR = -18510
L’equazione cartesiana dell’asse centrale nel piano vale:
Rx · yA - Ry · xA + MOR = 0
- 2180 xA + 18510 = 0
L’equazione trovata per asse centrale rappresenta una retta verticale che dista dall’asse y
della quantità xA = 18510/2180 = 8.49 m
y
asse centrale
R
V2
V1
O
A
B
V3
V4
C
D
x
x*A = 8.49 m
La posizione dell’asse centrale coincide ovviamente con la posizione della risultante determinata precedentemente tramite il teorema di Varignon (vedi esercizio di applicazione del teorema di Varignon).
91
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.8.5. Asse centrale. Sistemi di forze nello spazio
1.8.5.1.Asse Centrale di un sistema di forze parallele
Si ipotizzi di avere un sistema di forze parallele all’asse z: la risultante del sistema sarà
anch’esso parallelo a detto asse.
Poiché il vettore M Oi della forza F i è ortogonale alla forza stessa, il momento rispetto
al polo O di ciascuna delle forze del sistema e la loro somma (momento risultante) giaceranno sul piano xy.
Il sistema ridotto in O è costituito dal risultante R e dal momento risultante M OR che
sono ortogonali fra loro. Quindi
M OR ⊥ R I = M OR × R = 0
Essendo R ≠ 0 il sistema può essere ridotto alla sola forza risultante.
z
z
z
R
R
F2
F1
O
O
y
y
xA
F4
x
F5
yA
O
y
MOR
F3
x
asse centrale
x
z
R
MORy
O
y
MORx
MOR
x
92
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
La riduzione del sistema alla sola forza R può effettuarsi traslando R ad un punto A di
coordinate (xA, yA, 0) in modo tale che il momento di R applicato in A rispetto ad O sia
uguale a M OR :
M OR = ( A − O ) ∧ R
tale equazione esprime l’uguaglianza tra momento risultante e momento della risultante
rispetto al polo O, e quindi l’uguaglianza del sistema di forze dato con il solo risultante
applicato in A.
Le componenti di ( A − O ) sono
( A − O )x = x A
( A − O )y = y A
sviluppando il prodotto vettoriale si ottiene:
i
j
M OR = ( A − O ) ∧ R = x A
0
yA
0
k
0 = y A Ri − x A R j
R
M ORx
R
M ORy
= − xA R → xA = −
R
M ORx = y A R → y A =
M ORy
Sono così state dedotte le coordinate di un punto A appartenente all’asse centrale, la cui
direzione è nota in quanto deve essere la stessa della risultante (in questo esempio: verticale). Pertanto l’asse centrale risulta completamente definito: una retta verticale che
interseca il piano xy nel punto A di coordinate:
xA = −
M ORy
R
M ORx
R
zA = 0
yA =
93
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.8.5.2.Asse Centrale di un sistema di forze comunque disposte nello spazio
Nel caso più generale di un sistema di forze comunque disposte nello spazio l’invariante
scalare è diverso da 0
I = M OR × R ≠ 0
Si ricordi che la componente del vettore momento risultante M OR nella direzione della
risultante R è costante qualsiasi sia il polo scelto per la riduzione (l’invariante scalare è
costante).
Si consideri una sistema di n vettori Vi non complanari. La riduzione del sistema fornisce la risultante R e il momento risultante M OR
Vxi 
 
Vi = V yi  applicati nei punti Pi = ( xi, yi, zi)
V 
 zi 
M Oi
 0
= (Pi − O ) ∧ V i =  z i
− y i
− zi
n
R = ∑V i
i =1
y i  V xi 
 
− xi  V yi 
0  V zi 
0
xi
n
M OR = ∑ M Oi
i =1
Se il sistema ammette l’invariante scalare I = M OR × R ≠ 0 , i vettori R e M OR non risultano perpendicolari.
z
z
R
V1
V2
MR
MOR
R
A
O
Vi
y
V3
asse centrale
V4
x
x
94
y
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
Il vettore M OR (momento risultante rispetto al polo O) può essere decomposto in due
componenti, una parallela ad R e l’altra perpendicolare:
- M R parallelo ad R (componente invariante) non cambia al variare del polo O;
- M ORN ortogonale alla direzione di R , varia cambiando il polo di riduzione.
Traslando la retta d’azione di R parallelamente a sé stessa, esisterà una posizione nella
quale la componente M ORN (normale alla retta d’azione di R ) si annulla. In questa posizione la retta è denominata asse centrale del sistema.
Con riferimento ad un punto generico A dell’asse centrale il sistema si riduce al risultante e ad un momento risultante M R parallelo alla direzione di R (il cui modulo è il
minimo possibile).
In altre parole sull’asse centrale il sistema si riduce ad un vettore R più una coppia (di
momento M R ) che giace su piano ad esso perpendicolare.
r
R
r
MR = MAR
MO’R
R
A
r
MOR
MR ϕ’
MARN = 0
ϕA = 0
MO’RN
R
O’
MR
ϕ
Asse Centrale
MORN
O
1.8.5.3.Ricerca analitica dell’Asse Centrale di un sistema spaziale
Se il sistema ammette l’invariante scalare I = M OR × R ≠ 0, si può ricavare l’equazione
dell’asse centrale nel modo seguente.
Essendo R la risultante del sistema ed M OR il momento risultante rispetto all’origine
degli assi cartesiani di riferimento, si ha
95
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
n
R = ∑ Vi
i =1
n
M OR = ∑ M Oi
i =1
Sia A (xA, yA, zA) un punto generico dell’asse centrale, il momento risultante rispetto ad
A può esprimersi con la formula di trasposizione del polo:
M AR = M OR + (O − A) ∧ R
0 − x A   − x A 
(O − A) = 0 − y A  = − y A 
0 − z  − z 
A

 A
M ARx  M ORx   0

 
 
M ARy  = M ORy  + − z A
M  M   y
 ARz   ORz   A
zA
0
− xA
− y A   Rx 
 
x A   R y 
0   R z 
M ARx = M ORx + z A R y − y A Rz
M ARy = M ORy − z A Rx + x A Rz
M ARz = M ORz + y A Rx − x A R y
dove le componenti di M OR sono:
n
M OR = ∑ M Oi
i =1
M ORx  ∑ M Oix 

 

⇒ M ORy  = ∑ M Oiy 
M   M 
 ORz  ∑ Oiz 
Se il punto A appartiene all’asse centrale, M AR deve essere parallelo ad R . La condizione di parallelismo tra due vettori comporta la proporzionalità tra le componenti secondo gli assi cartesiani:
M ARx M ARy M ARz
=
=
Rx
Ry
Rz
M ARx M ARy
=
Rx
Ry
e
M ARx M ARz
=
Rx
Rz
Ciascuna delle due equazioni rappresenta un piano. La retta d’intersezione dei due piani
è l’asse centrale poiché contiene i punti che soddisfano entrambe le relazioni.
Se l’invariante scalare è nullo, questa deduzione cade in difetto e sono necessarie altre
considerazioni.
96
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.8.5.4.Asse Centrale nello spazio. Casi con invariante scalare nullo
I = M OR × R = 0
a) R = 0 il sistema si riduce ad una coppia, non esiste l’asse centrale
b)
M OR ⊥ R la proiezione di M OR sull’asse centrale è nulla: M R = 0
Poiché sull’asse centrale la componente M ARN (perpendicolare all’asse) è nulla, se si
annulla anche la componente parallela M R il momento risultante del sistema rispetto a
qualsiasi punto dell’asse centrale è nullo: M AR = 0. Pertanto, il sistema si riduce al solo vettore risultante sull’asse centrale.
z
R
A
R
asse centrale
MOR
90°
O
y
x
Sia A (xA, yA, zA) un punto generico dell’asse centrale, applicando la formula di trasposizione del polo, il momento risultante rispetto ad A risulta:
M AR = M OR + (O − A) ∧ R = 0
che svolgendo i passaggi come fatto nel precedente paragrafo, fornisce:
M ARx = M ORx + z A R y − y A Rz = 0
M ARy = M ORy − z A Rx + x A Rz = 0
M ARz = M ORz + y A Rx − x A R y = 0
Ponendo zA = 0 in queste equazioni si ottengono le coordinate x *A e y *A del punto A*
( x *A , y *A , 0) in cui l’asse interseca il piano xy
97
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
M ORx − y *A Rz = 0 ⇒ y *A =
M ORx
Rz
M ORy + x *A Rz = 0 ⇒ x *A = −
M ORy
Rz
z
y*A
y
x*A
asse centrale
x
*
*
A
*
A
Essendo A ( x , y , 0) un punto dell’asse centrale, e dovendo quest’ultimo essere parallelo ad R , l’equazione dell’asse centrale risulta:
x − x *A y − y *A z − z *A
=
=
Rx
Ry
Rz
Nella situazione b) ricade il caso di vettori complanari. Infatti, se tutti i vettori appartengono ad uno stesso piano, il momento di trasporto di ognuno sarà perpendicolare a detto
piano perciò M OR sarà anch’esso normale al piano e quindi al vettore risultante R .
z
z
R
MOR
90°
π
y
x
O
y
riduzione all’origine
vettori complanari
nel piano π
x
MOR
R
Il sistema si riduce al solo vettore R applicato lungo l’asse centrale. L’invariante scalare risulta nullo e perciò sono applicabili le precedenti considerazioni sull’asse centrale.
98
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
Esercizio. Asse centrale di vettori paralleli nello spazio
Riduzione di un sistema di vettori al risultante R più una coppia risultante M O e ricerca dell’asse centrale del sistema.
Dato un sistema di cinque vettori:
V 1 = −3.5k
applicato in
P1 (0; 1)
V 2 = −6.0k
applicato in
P2 (1.5; 0.5)
V 3 = −4.0k
applicato in
P3 (7; 0)
V 4 = −7.5k
applicato in
P4 (4; 3)
V 5 = −3.0k
applicato in
P5 (5; 5)
rappresentanti forze applicate ad un corpo rigido,
(1) ridurre il sistema nell’origine O e
(2) determinare la posizione dell’asse centrale.
L’unità di misura adottata per le forze é il kN (kilonewton), mentre le coordinate sono
espresse in m (metri).
z
y (m)
V4
V5
1
4
V2
2.5
corpo
rigido
2
V1
V3
5m
0.5
O
x (m)
0.5
1.5
7.5 m
(1) La risultante e la coppia risultante sono:
5
R = ∑V i
i =1
5
5
i =1
i =1
M O = ∑ M Oi = ∑ (Pi − O ) ∧ V i
99
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
dove:
(P1 − O ) = 0i + 1 j
(P2 − O ) = 1.5i + 0.5 j
(P3 − O ) = 7i + 0 j
(P4 − O ) = 4i + 3 j
(P5 − O ) = 5i + 5 j
i
(Pi − O )
Vi
M Oi = (Pi − O ) ∧ V i
1
0i + 1 j
− 3.5k
− 3.5i
2
1.5i + 0.5 j
− 6.0k
− 3i + 9 j
3
7i + 0 j
− 4.0k
28 j
4
4i + 3 j
− 7.5k
− 22.5i + 30 j
5
5i + 5 j
− 3.0k
− 15i + 15 j
R = −24k
M O = −44i + 82 j
∑
 0 


R= 0 
− 24


Rx = Ry = 0
− 44


M O =  82 
 0 


MOx = - 44 kN m
z
Rz = - 24 kN
y
|R| = 24 kN
MOy = 82 kN m
|R| = 24 kN
|MO x| = 44 kNm
|MOy| = 82 kNm
R = - 24 k
MOy = 82 j
MOx = - 44 i
O
x
100
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
(2) Essendo il momento M O ortogonale ad R , il momento del sistema rispetto ad un
punto dell’asse centrale è nullo. L’intero sistema si riduce al solo vettore risultante R
nell’asse centrale.
Se il punto A (xA; yA; 0) appartiene all’asse centrale (punto dell’asse centrale che interseca il piano xy) si ha:
M A = M O + (O − A) ∧ R = 0
quindi
(O − A) ∧ R = − M O
(O − A) ∧ R = 44i − 82 j
equazione (a)
Le componenti del vettore (O − A) sono:
(O - A)x = - xA
(O - A)y = - yA
(O - A) z = 0
sviluppando il prodotto vettoriale (O − A) ∧ R , utilizzando il determinante simbolico, si
ottiene:
(O − A) ∧ R =
i
j
k
− xA
0
− yA
0
0
= 24 y A i − 24 x A j
− 24
(O − A) ∧ R = 24 y A i − 24 x A j
equazione (b)
Sostituendo nell’equazione (a) si ricavano i valori di xA e yA del punto A in cui l’asse
centrale incontra il piano xy
24 y A i − 24 x A j = 44i − 82 j
da cui:
24 yA = 44
yA = 1.833 m
- 24 xA = -82
xA = 3.417 m
Si osservi che:
xA = −
M Oy
Rz
yA =
M Ox
Rz
101
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
z
y
Riduzione all’asse centrale
R = - 24 k
3.417 m
A
1.833 m
O
x
102
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Esercizio. Asse centrale di vettori complanari nello spazio
Dato il sistema costituito dai due vettori
1
 
V1 =  5 
− 6 
 
applicato in P1 (−1; 0; 6)
− 4 
 
V 2 =  − 1
5 
 
applicato in P2 (4; 1; 0)
individuare l’asse centrale.
z
P1 (- 1; 0; 6)
I vettori V1 e V2 sono contenuti
nel piano x + y + z - 5 = 0
V2
(vedi equazione di un piano a p.63)
V1
y
P2 (4; 1; 0)
x
 1  − 4 − 3
     
R =  5  +  − 1 =  4 
− 6  5   − 1
     
M OR = M O1 + M O 2
− z1
M O1
 0
=  z1
− y1
− z2
M O2
 0
=  z 2
− y 2
0
x1
0
x2
y1  V x1  0 − 6 0  1  − 30
 
  

− x1  V y1  = 6 0 1  5  =  0 
0  V z1  0 − 1 0 − 6  − 5 
y 2  V x 2   0 0 1  − 4  5 
 
  

− x 2  V y 2  =  0 0 − 4  − 1 = − 20
0  V z 2  − 1 4 0   5   0 
103
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
M OR
− 30  5  − 25

 
 

=  0  + − 20 = − 20
 −5   0   −5 

 
 

L’invariante scalare del sistema vale:
I = M OR × R = (− 3) (− 25) + (4) (− 20) + (− 1) (− 5) = 0
R≠0
Essendo
M OR ≠ 0
e
I=0
M OR ⊥ R
Essendo M OR perpendicolare ad R , si può determinare il punto A* ( x *A , y *A , 0)
y *A =
M ORx − 25
=
= 25
Rz
−1
x *A = −
M ORy
Rz
=
20
= −20
−1
e l’equazione dell’asse centrale è:
x − x *A y − y *A z − z *A
=
=
Rx
Ry
Rz
x + 20 y − 25 z
=
=
4
−1
−3
Si noti che i vettori dati sono complanari, contenuti nel piano x + y + z − 5 = 0, anche
l’asse centrale è contenuto in questo piano e le coordinate di A* (− 20, 25, 0) soddisfano
l’equazione del piano.
104
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
Esercizio. Asse centrale di vettori non complanari
Dato il sistema di due forze rappresentate dai due vettori V 1 e V 2
2 
 
V 1 = 2 
3 
 
applicato nel punto P1 (0; 2; 1)
− 1
 
V2 =0 
2
 
applicato nel punto P2 (3; 1; 2)
determinare:
(1) Il vettore risultante R
(2) Il momento rispetto all’origine O
(3) Il momento rispetto al punto O’ (3; 1; 1)
(4) L’asse centrale del sistema
z
V1z
V2
V1
V2z
P2
P1
V1y
V2x
y
V1x
x
(1) Risultante R
V 1 = 2i + 2 j + 3k
V1x = 2
V1y = 2
V1z = 3
V 2 = −i + 2 k
V2x = − 1
V2y = 0
V2z = 2
R = V 1 + V 2 = i + 2 j + 5k
Rx = 1
Ry = 2
Rz = 5
105
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1
 
R = 2 
5
 
R = Rx2 + R y2 + Rz2 = 12 + 2 2 + 5 2 = 30
Noto il modulo di R e le componenti secondo gli assi cartesiani, si possono trovare i
coseni direttori della direzione di R :
αr =
Rx
1
=
= 0.1826
R
30
βr =
Ry
γr =
Rz
5
=
= 0.9129
R
30
R
=
2
= 0.3651
30
e ricordando che la somma dei quadrati dei coseni direttori di una data retta deve essere
sempre pari ad uno, si può effettuare il seguente controllo
α r2 + β r2 + γ r2 = 1
0.18262 + 0.36512 + 0.91292 ≅ 1
(2) Calcolo del momento risultante rispetto all’origine O
Il momento risultante di un sistema di vettori applicati rispetto ad un punto O è la somma vettoriale dei vettori momento di ciascun vettore del sistema rispetto allo stesso punto O, cioè:
M OR = M O1 + M O 2 = (P1 − O ) ∧ V 1 + (P2 − O ) ∧ V 2
componenti di (P1 − O )
(P1 − O )x = x1 = 0
(P1 − O )y = y1 = 2
(P1 − O )z = z1 = 1
vettore (P1 − O ) = 2 j + k
componenti di (P2 − O )
(P2 − O )x = x2 = 3
(P2 − O )y = y2 = 1
(P2 − O )z = z 2 = 2
vettore (P2 − O ) = 3i + j + 2k
Ricordando che il prodotto vettoriale tra due vettori U e V può essere calcolato mediante la seguente espressione (determinante simbolico)
106
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
i
j
k
U ∧V = Ux Uy Uz
Vx
Vy
Vz
si ottiene
M OR = (P1 − O ) ∧ V 1 + (P2 − O ) ∧ V 2
i
j k
i
j k
M OR = 0 2 1 + 3
2 2 3
(
) (
)
1 2 = 4i + 2 j − 4k + 2i − 8 j + k = 6i − 6 j − 3k
−1 0 2
M OR = 6i − 6 j − 3k
M OR
6
 
= − 6
− 3
 
Il calcolo del momento risultante si può effettuare anche mediante l’espressione matriciale, che fornisce le componenti del momento in funzione delle componenti del vettore
V i e del vettore posizione che va dal polo al punto di applicazione Pi. Poiché il polo
coincide con l’origine, tali componenti non sono altro che le coordinate dei punti di applicazione Pi (xi; yi; zi).
M Oi
M Oix   0


= (Pi − O ) ∧ V i = M Oiy  =  z i
 M  − y
 Oiz   i
− zi
0
xi
y i  V xi 
 
− xi  V yi 
0  V zi 
Nel caso in esame si ottiene:
M O1
 M O1x   0 − 1 2 2  4 


   
= (P1 − O ) ∧ V 1 = M O1 y  =  1
0 0 2 =  2 
 M   − 2 0 0  3  − 4 
 O1z  
   
M O2
 M O 2 x   0 − 2 1  − 1  2 


   
= (P2 − O ) ∧ V 2 = M O 2 y  =  2
0 − 3  0  = − 8
 M  − 1 3
0   2   1 
 O2z  
M OR = M O1 + M O 2
 4+2   6 

  
=  2 − 8  = − 6 
− 4 + 1  − 3

  
che naturalmente è lo stesso ottenuto in precedenza.
107
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
(3) Calcolo del momento risultante rispetto al punto O’
Il momento risultante rispetto al polo O’ è la somma vettoriale dei vettori momento delle singole forze rispetto ad O’, cioè:
M O 'R = M O '1 + M O ' 2 = (P1 − O ') ∧ V 1 + (P2 − O ') ∧ V 2
componenti di (P1 − O')
(P1 − O')x = x1 − x O' = 0 − 3 = −3
(P1 − O')y = y1 − y O' = 2 − 1 = 1
(P1 − O')z = z1 − z O' = 1 − 1 = 0
vettore
(P2 − O')x = x2 − xO ' = 3 − 3 = 0
(P2 − O')y = y2 − yO ' = 1 − 1 = 0
(P2 − O')z = z 2 − zO ' = 2 − 1 = 1
vettore (P2 − O') = k
(P1 − O') = −3i + j
componenti di (P2 − O')
i
j k
i
j k
(
) ( )
M O 'R = − 3 1 0 + 0 0 1 = 3i + 9 j − 8k + − j = 3i + 8 j − 8k
2 2 3 −1 0 2
M O 'R
3
 
=8 
− 8
 
Il momento risultante rispetto al polo O’ si può anche determinare con la formula di trasposizione:
M O 'R = M OR + (O − O') ∧ R
M OR : momento risultante rispetto all’origine
(O − O') ∧ R : momento rispetto ad O’ della risultante
M OR = 6i − 6 j − 3k
R = i + 2 j + 5k
componenti di (O'−O )
(O − O')x = − xO ' = −3
(O − O')y = − yO ' = −1
(O − O')z = − zO ' = −1
quindi lo sviluppo della formula di trasposizione fornisce:
108
R supposto applicato in O
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
M O 'R
i
j
k
= 6i − 6 j − 3k + − 3 − 1 − 1 = 6i − 6 j − 3k + − 3i + 14 j − 5k
(
)
(
1
2
) (
5
M O 'R = 3i + 8 j − 8k
M O 'R
3
 
=8 
− 8
 
come ottenuto precedentemente.
(4) Ricerca dell’asse centrale del sistema
2 
 
V 1 = 2 
3 
 
applicata nel punto P1 (0; 2; 1)
− 1
 
V2 =0 
2
 
applicata nel punto P2 (3; 1; 2)
Il momento risultante rispetto ad un generico punto A (xA; yA; zA) vale:
M AR = M A1 + M A 2 = (P1 − A) ∧ V 1 + (P2 − A) ∧ V 2
dove
0 − x A 
(P1 − A) = 2 − y A 
1 − z 
A 

3 − x A 
(P2 − A) = 1 − y A 
2 − z 
A

quindi si ha:
i
M AR = (0 − x A )
2
j
k
i
j
k
(2 − y A ) (1 − z A ) + (3 − x A ) (1 − y A ) (2 − z A )
2
−1
3
0
2
sviluppando e mettendo a fattor comune si ottiene:
M AR = (− 5 y A + 2 z A + 6 )i + (5 x A − z A − 6 ) j + (− 2 x A + y A − 3)k
109
)
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
M ARx = (− 5 y A + 2 z A + 6 )
M ARy = (5 x A − z A − 6 )
M ARz = (− 2 x A + y A − 3)
Se il punto A (xA; yA; zA) appartiene all’asse centrale, il vettore M AR deve essere parallelo al vettore risultante R . La condizione di parallelismo implica la proporzionalità tra
le componenti di M AR e quelle di R :
M ARx M ARy M ARz
=
=
Rx
Ry
Rz
nel caso in esame risulta:
(− 5 y A + 2 z A + 6) = (5 x A − z A − 6) = (− 2 x A + y A − 3)
1
2
5
da cui si ricavano le equazioni:
a)
(− 5 y A + 2 z A + 6) = (5 x A − z A − 6 )
1
xA + 2 yA − z A −
b)
2
18
=0
5
equazione di un piano che contiene A
(− 5 y A + 2 z A + 6) = (− 2 x A + y A − 3)
1
x A − 13 y A + 5 z A +
5
33
=0
2
equazione di un piano che contiene A
La retta d’intersezione dei piani a) e b) contiene punti che soddisfano le due equazioni
ed è dunque l’asse centrale del sistema.
18

xA + 2 y A − z A − 5 = 0
asse centrale 
33
 x A − 13 y A + 5 z A +
=0
2

L’equazione della retta d’intersezione dei due piani si può determinare conoscendo due
punti (A1 e A2) della stessa.
Assegnando un valore zA1 = 0 (A1 intersezione della retta con il piano xy) il sistema diviene:
110
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
18

 x A1 + 2 y A1 − 5 = 0

33
 x A1 − 13 y A1 +
=0

2
che fornisce
xA1 ≅ 0.92
yA1 ≅ 1.34
Punto A1 dell’asse centrale A1 (0.92; 1.34; 0)
Assegnando un valore yA2 = 0 (A2 intersezione della retta con il piano xz) il sistema diviene:
18

 x A2 − z A2 − 5 = 0

33
 x A2 + 5z A2 +
=0

2
che fornisce
xA2 ≅ 0.25
zA2 ≅ − 3.35
Punto A2 dell’asse centrale A2 (0.25; 0; − 3.35)
L’equazione della retta passante per A1 e A2 è:
x − x A1
y − y A1
z − z A1
=
=
x A 2 − x A1 y A 2 − y A1 z A 2 − z A1
x − 0.92 y − 1.34
z
=
=
− 0.67
− 1.34
− 3.35
equazione dell’asse centrale
Analoga espressione si può ottenere considerando l’equazione della retta passante per
un punto dell’asse, per esempio A1 (0.92; 1.34; 0), e parallela alla direzione della risultante
1
 
R = 2 
5
 
x − x A1 y − y A1 z − z A1
=
=
Rx
Ry
Rz
x − 0.92 y − 1.34 z
=
=
1
2
5
che equivale alla precedente (come si evince dividendo tutti i membri per – 0.67)
111
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.9.
Teorema di Varignon (1725)
Un’importantissima proprietà riguardante i sistemi di forze (e più in generale, di vettori)
complanari è stata originariamente formulata dal matematico francese Pierre Varignon
(1654-1722), per essere pubblicata postuma nel 1725. Tale proprietà non è limitata soltanto ai sistemi di forze complanari, ma anche a quelli tridimensionali di vettori aventi
in comune un punto proprio o improprio (vettori paralleli). Tali sistemi hanno in comune il fatto di possedere risultante diversa da zero e invariante scalare uguale a zero. Pertanto si può enunciare il seguente teorema:
Dato un sistema di vettori avente risultante non nulla e invariante scalare nulla, il
momento risultante rispetto a un polo qualsiasi è uguale al momento della risultante, applicato in punto dell’asse centrale, rispetto allo stesso polo
M OR = ∑ (Pi − O ) ∧ Fi = ( A − O ) ∧ R = M R
dove
R=
∑F
i
Nel caso di un sistema di forze complanari, la dimostrazione si realizza inizialmente per
il caso di due forze concorrenti e successivamente si estende al caso di più forze complanari.
Siano F 1 ed F 2 due forze complanari applicate nei punti P1 e P2 e sia Q il punto di intersezione delle loro rette d’azione. Se P1, P2 e Q appartengono ad un corpo rigido, le
forze F 1 e F 2 si possono far scorrere lungo le rispettive rette d’azione (operazione invariantiva) fino a considerarle applicate in Q.
112
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
y
F1
P1
F2
R12
P2
Q
O
x
retta d’azione del risultante R12
Se O è un punto generico in cui si colloca l’origine degli assi di riferimento, il momento
del sistema formato da F 1 e F 2 rispetto ad O è:
M OR = M O1 + M O 2 = (Q − O ) ∧ F1 + (Q − O ) ∧ F2
Applicando la proprietà distributiva del prodotto vettoriale, si ottiene
(
)
M OR = (Q − O ) ∧ + F1 + F2 = (Q − O ) ∧ + R12 con R12 = F 1 + F 2
Quindi il momento rispetto ad O di due forze concorrenti è uguale al momento del-
la risultante rispetto allo stesso polo.
La forza R12 applicata nel punto Q è equivalente al sistema costituito dalle due forze F 1
e F 2 poiché hanno lo stesso risultante e lo stesso momento risultante rispetto ad O.
Quindi si può affermare che la risultante di un sistema di forze complanari, applicate su
punti appartenenti a un corpo rigido, è la forza che agendo in una definita posizione
produce sul corpo rigido gli stessi effetti meccanici che producono le forze date. E’ opportuno osservare che se le forze agiscono invece su un corpo deformabile, la risultante
non produce, in generale, i medesimi effetti delle forze che compongono il sistema di
partenza.
La precedente formulazione desunta per due forze concorrenti può essere generalizzata
al calcolo di più forze complanari comunque disposte. Infatti operando allo stesso modo
considerando come forze R12 e F 3 si ottiene la risultante R123 applicato in T (punto di
113
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
intersezione delle rette d’azione di R12 e F 3 ), poi si considera una quarta forza F 4 e
così via fino ad arrivare al risultante R dell’intero sistema applicato in A.
y
R123
Fi
R12
Pi
T
P3
F3
F1
P1
F2
R12
P2
F4
P4
Q
O
x
Si perviene cioè alla seguente espressione:
M OR = ∑ (Pi − O ) ∧ Fi = ( A − O ) ∧ R con
R=
∑F
i
momento della risultante ri-
somma dei momenti delle
spetto ad O
singole forze rispetto ad O
Nella forma generalizzata per i sistemi piani il teorema di Varignon dice: la somma dei
momenti di un sistema di forze complanari rispetto ad un polo del piano è uguale
al momento della risultante, applicata in un punto dell’asse centrale, rispetto allo
stesso polo.
Si può dimostrare che la formulazione di Varignon è valida per i sistemi di forze parallele (sia piani sia spaziali, § 1.8.5.1).
114
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y
z
R
F2
F1
F1
R
Fi
Fi
F3
O
O
x
y
F2
x
Il teorema di Varignon è anche valido per i sistemi spaziali di forze concorrenti in punto.
z
Vi
R
P
V3
V1
V2
O
y
x
Infatti se tutte le forze V i applicate nei punti Pi sono concorrenti in un punto P, è possibile far scorrere le singole forze lungo la loro retta d’azione fino ad applicarle in P, per
cui il momento risultante diventa:
n
M OR =
∑ (Pi − O ) ∧ Vi
i =1
n
=
∑ (P − O ) ∧ V
i
i =1
cioè
M OR = (P − O ) ∧ V1 + (P − O ) ∧ V2 + (P − O ) ∧ V3 + .....(P − O ) ∧ Vn
e, per la proprietà invariantiva del prodotto vettoriale
M OR = (P − O ) ∧
n
V i = (P − O ) ∧ R
∑
i 1
=
115
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che è proprio il momento della risultante rispetto ad O. Perciò, dato un sistema di vettori
concorrenti, la somma dei loro momenti rispetto ad un polo qualsiasi è uguale al momento della risultante rispetto allo stesso polo.
Esempio sui vettori concorrenti: dati i vettori V 1 , V 2 e V 3 applicati nel punto P
3 
 
V 1 = 2 
1 
 
0
 
V 2 = − 2 
3
 
 − 1
 
V3 = 4 
− 2 
 
P (1, 2, 0)
si calcolano a) il momento risultante e b) il momento della risultante
a) il momento rispetto all’origine O di un sistema di riferimento cartesiano dei singoli
vettori può essere calcolato tramite l’espressione matriciale del prodotto vettoriale:
− z1
MO
 0
=  z1
− y1
M O1
 0 0 2  3   2 
   
=  0 0 − 1 2 =  − 1
− 2 1 0  1 − 4
M O2
 0 0 2  0   6 
   
=  0 0 − 1 − 2 =  − 3
   
− 2 1 0   3  − 2
M O3
 0 0 2   − 1  − 4 
   
=  0 0 − 1  4  =  2 
− 2 1 0  − 2  6 
0
x1
y1  V x 
 
− x1  V y 
0  V z 
il momento risultante è dato dalla somma dei singoli momenti:
M OR = M O1 + M O 2 + M O 3
4
 
= − 2 
0
 
b) per il momento rispetto ad O della risultante, applicato in P, si ha:
 3 + 0 − 1  2 

  
R = 2 − 2 + 4  = 4 
 1 + 3 − 2  2 

  
116
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M OR
 0 0 2   R x   0 0 2  2   4 
 
   
=  0 0 − 1  R y  =  0 0 − 1 4 = − 2
− 2 1 0   R z  − 2 1 0  2  0 
che è lo stesso ottenuto per il momento risultante. E’ così nuovamente verificato il teorema di Varignon per i vettori concorrenti.
In generale, il teorema di Varignon è applicabile a tutti i casi in cui il sistema di forze
dato può essere ridotto al solo risultante delle forze R .
La formulazione di Varignon consente la rapida determinazione della posizione della
risultante. In particolare, il calcolo può essere agevolato considerando la componenti
delle forze secondo gli assi di riferimento.
y
Fyi
Fi
Fxi
F1
Fy1
Fx1
O
x
117
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.9.1.1.Ricerca della posizione della risultante di un sistema di forze complanari e parallele mediante il teorema di Varignon.
Dato un sistema di forze complanari parallele F 1 , F 2 , e F 3 applicate nei punti P1, P2 e
P3, la risultante R ha la direzione delle forze, perciò per definire la posizione di R è
sufficiente determinare le coordinate di un punto della sua retta d’azione.
retta di azione del risultante
r
y
r
r
P3
P2
P1
F1
O
Fx1
B1
Fx2
F3
F2
Rx
B2
A
Fx3
B3
x
Fy1
Fy2
b1
Fy3
Ry
b2
R
R = F1 + F2 + F3
d
b3
Assunto un sistema di assi di riferimento, si possono spostare le forze F 1 , F 2 , e F 3
lungo la loro retta d’azione fino a portarle nei punti B1, B2 e B3 d’intersezione con l’asse
x (operazione invariantiva). Inoltre ogni forza può essere sostituita dalle rispettive componenti cartesiane F xi e F yi (altra operazione invariantiva).
118
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Secondo il teorema di Varignon, il momento della risultante rispetto all’origine O è uguale alla somma dei momenti, rispetto allo stesso polo, di ciascuna delle forze. Inoltre
il momento rispetto ad O di una singola forza F i è uguale alla somma dei momenti delle sue componenti F xi e F yi , sempre rispetto allo stesso polo.
Si può poi osservare che le componenti F xi hanno braccio nullo rispetto ad O in quanto
la loro retta d’azione è incidente in O. Quindi il momento rispetto ad O della generica
forza F i applicata in Bi è uguale al momento della sua componente F yi (il momento
della componente F xi è nullo).
Adottando la notazione indicata in figura, si può quindi scrivere:
M OR =
∑F
yi
⋅ bi = Fy1 ⋅ b1 + Fy 2 ⋅ b2 + Fy 3 ⋅ b3
La retta d’azione della risultante R interseca l’asse x in un punto A di coordinate (xA,
0). Sostituendo la risultante con le sue componenti cartesiane si ottiene:
M OR = R y ⋅ d = R y ⋅ x A
con R y =
∑F
yi
Dalle precedenti espressioni si ricava:
d=
M OR
=
Ry
∑F ⋅b
∑F
yi
i
yi
Noto d risulta determinata la posizione della retta d’azione della risultante del sistema
dato (come si vedrà più avanti tale retta è l’asse centrale).
1.9.1.2.Esempi d’applicazione del teorema di Varignon
•
Sistema di forze complanari parallele Determinazione posizione della risultante
dei carichi verticali agenti su un semiarco in muratura.
y
R = Σ Pi
R
P1
P2
P3
P4
P5
x x
P6
119
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•
Sistema di forze complanari comunque disposte Determinazione posizione della
risultante delle forze agenti su una diga di calcestruzzo massivo (corpo rigido). La
stabilità è legata al peso dell’opera stessa.
y
P1
S = spinta dell’acqua
R = P1 + P2 + P3 + S
S
P2
R
O
P3
x
•
Sistema spaziale di forze parallele Determinazione posizione della risultante dei
carichi verticali dei pilastri agenti su platea rigida di fondazione.
z
R = V1 + V2 + V3 + V4
V2
V4
R
V3
V1
y
x
120
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Esercizio: applicazione del teorema di Varignon ad una trave di fondazione.
Dati i quattro pilastri con carichi assiali
V1 = 480 kN, V2 = 800 kN, V3 = 500 kN, V4 = 400 kN
nelle posizioni indicate in figura, determinare le dimensioni della trave di fondazione
con tensioni uniformi nel terreno. Si consideri la trave di fondazione come un corpo rigido.
Assumendo l’origine del sistema di riferimento nel punto A, si ha
b2 = 5.50 m, b3 = 9.50 m, b4 = 12.5 m,
b1 =0
y
30
30
45
30
30
30
30
30
dimensioni trasversali dei
pilastri in cm
V3
A
V4
B
- 400
- 500
- 800
- 480 kN
V2
V1
C
5.5 m
4
D
x
3
Si determina innanzitutto la posizione della risultante R mediante il teorema di Varignon
Risultante
R = – 480 – 800 – 500 – 400 = – 2180
Momento risultante MAR = – (V2·b2) – (V3·b3) – (V4·b4)
(verso orario nega-
tivi)
MAR = –(800·5.50) –(500·9.50) –(400·12.50) = – 14150 kN m (orario)
La somma dei momenti delle singole forze rispetto ad A è uguale al momento della risultante rispetto allo stesso punto:
Momento della risultante
MAR = R·d
121
d=
M AR − 14150
=
≅ 6.49 m
− 2180
R
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y
R
V2
V1
V3
V4
La somma dei momenti delle
singole forze rispetto ad A è
A
x
uguale al momento del risultante
rispetto allo stesso punto
d = 6.49 m
6.01 m
Affinché le tensioni nel terreno siano uniformi, la trave di fondazione deve essere
centrata rispetto ad R.
V2
V1
V3
5.5
30
per ragioni
costruttive
0.50
4.0
3.0
45
5.125
V4
30
3.625
30
2.7
0.98
per centrare la trave
di fondazione con R
1m
R
7.14
7.14
14.28 m
122
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
7.14
1m
1m
14.28 m
Peso della trave di fondazione F = 14.28 × 1.00 × 1.00 × 25 ≅ 357 kN ≈ 360 kN
(peso specifico del calcestruzzo armato γC.A. = 25 kN/m3)
Carico totale sul terreno di fondazione R* = R + F = 2180 + 360 = 2540 kN
Superficie di contatto terreno-fondazione S = 14.28 × 1.00 = 14.28 m2
Tensione sul terreno σ t =
R* 2540
=
= 177.9 kN/ m2
S 14.28
R* = 2540 kN
σt = 177.9 kN/m2
1m
14.28 m
123
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1.10.
Sistemi di forze applicate
1.10.1.
Equivalenza statica
Il concetto di equivalenza statica risulta fondamentale per trattare numerosi problemi
della statica.
Quando un sistema di forze applicate ad un corpo rigido può essere sostituito da
un altro sistema di forze applicate allo stesso corpo senza provocare alcun cambiamento negli effetti meccanici (tendenza alla traslazione e alla rotazione) i due sistemi di forze si definiscono staticamente equivalenti.
Più brevemente, due sistemi di forze applicate si dicono equivalenti se tendono a provocare gli stessi effetti meccanici sul corpo rigido cui sono applicati.
Ad esempio la forza R applicata in P è staticamente equivalente al sistema di forze
concorrenti V ed H applicate nello stesso punto P. Le tendenze alla traslazione e alla
rotazione indotte dal sistema costituito da V ed H sono uguali a quelle provocate da
R.
Deve cioè risultare:
•
R = V + H (uguale tendenza alla traslazione)
•
M OR = M OR il momento risultante del primo sistema deve essere uguale al momen-
I
II
to risultante del secondo (uguale tendenza alla rotazione)
Sistema I
Sistema II
V
R
H
P
P
h
O
O
d
v
v = braccio della forza V rispetto ad O
h = braccio della forza H rispetto ad O
d = braccio della forza R rispetto ad O
Nel caso piano della figura deve essere:
124
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R·d = V·v - H·h
I
essendo M OR
= R ⋅d
II
M OR
= V⋅v − H⋅h
Più in generale dati due sistemi S e S* di forze applicate ad un corpo rigido che hanno
come risultanti R e R * , e come momenti risultanti rispetto ad un polo qualsiasi O
M OR e M * OR , tali sistemi si definiscono equivalenti se e solo se hanno il medesimo ri-
sultante (forza) e lo stesso momento risultante (coppia) rispetto ad un qualsiasi polo.
Quindi si può affermare che due sistemi di forze applicate sono equivalenti se entrambi
possono essere ridotti allo stesso sistema Forza-Coppia (Risultante e Momento Risultante) in un generico punto O.
Si ricordi che un dato sistema di forze che agisce su di un corpo rigido può essere ridotto in un punto qualsiasi ad un sistema Forza-Coppia (Risultante e Momento Risultante)
che caratterizza completamente gli effetti del sistema dato sul corpo.
Sistema S
Sistema S*
R
R*
M OR
M * OR
EQUIVALENTI
SE
R = R*
Condizioni vettoriali
M OR = M * OR
per l’equivalenza dei
due sistemi dati
125
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Sistema S
Sistema S*
z
z
F* i
F1
F* 6
Fi
F* 5
MOR
M*OR R*
R
F* 1
F2
F5
O
F* 4
O
y
x
y
F4
F* 3
x
F3
F* 2
R = Σ Fi
R* = Σ F* i
MOR = Σ MOi
M*OR = Σ M*Oi
Riduzione ad O del sistema S R , M OR
Riduzione ad O del sistema S* R * , M * OR
S è equivalente a S* se R = R * e M OR = M * OR
A partire dalla definizione di equivalenza espressa vettorialmente
R = R* ∑F = ∑F
M OR = M * OR i
∑M
Oi
*
i
= ∑ M * Oi
e operando con le componenti cartesiane, si ottiene:
 ∑ Fxi = ∑ Fxi* ⇒ Rx = Rx*

*
*
∑ Fyi = ∑ Fyi ⇒ R y = R y
 F = F * ⇒ R = R*
z
z
 ∑ zi ∑ zi
*
*
∑ M Oxi = ∑ M Oxi
⇒ M ORx = M ORx

*
*
∑ M Oyi = ∑ M Oyi ⇒ M ORy = M ORy
*
*
 M =
 ∑ Ozi ∑ M Ozi ⇒ M ORz = M ORz
Quindi due sistemi sono equivalenti se tendono a provocare la stessa traslazione secondo gli assi x, y e z e la stessa rotazione attorno agli assi x, y e z.
126
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
Dovendo essere uguali i campi vettoriali dei momenti generati da due sistemi equivalenti, risulta che l’uno può essere ricavato dall’altro mediante operazioni invariantive (operazioni che non modificano il campo dei momenti)
1.10.2.
Operazioni invariantive
Sono quelle operazioni che non modificano il campo dei momenti stabilito dal sistema di forze applicate. Quindi queste operazioni non cambiano gli effetti meccanici delle
forze applicate ad un corpo rigido.
Le seguenti operazioni sono invariantive:
1. Spostare il punto di applicazione di una forza lungo la propria retta d’azione.
2. Aggiungere due forze uguali ed opposte agenti sulla stessa retta d’azione (tali forze
costituiscono una coppia di momento nullo).
3. Sostituire più forze agenti su rette d’azione concorrenti in un punto con il loro risultante applicato in tale punto. Viceversa si può decomporre una forza secondo più direzioni.
4. Spostare un forza in direzione perpendicolare alla sua retta d’azione aggiungendo la
corrispondente coppia di trasporto.
5. Sostituire più coppie con una sola coppia che ha come momento il momento risultante dei vettori momento di ciascuna delle coppie date.
6. Trasportare una coppia su un piano parallelo a quello su cui giace.
127
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.10.3.
Sistema equilibrante
A
A
Dato un sistema SA di forze applicate avente risultante R e momento risultante M OR
rispetto ad un polo O qualsiasi, si da il nome di sistema equilibrante (del sistema dato)
R
R
al sistema SR di risultante R e momento risultante M OR rispetto allo stesso polo tale
che si verifichi:
A
R
A
R +R =0
A
R e R
R
R
A
M OR + M OR = 0
sono forze opposte
R
M OR e M OR sono coppie opposte
Sistema dato
Sistema equilibrante
+
SA
FORZE ATTIVE
SR
+
Sistema nullo o equilibrato
=
FORZE REATTIVE
Sistema dato S A
EQUILIBRIO
Sistema equilibrante S R
z
Sistema equilibrato
z
z
RA
RA
A
A
MOR
MOR
y
y
R
MOR
x
x
y
R
MOR
RR
x
RR
Si può dire che il sistema SR è equilibrante di SA se il sistema formato da tutte le forze
appartenenti a SA e a SR costituisce un sistema nullo. Quindi il sistema equilibrante
sommato al sistema dato produce un sistema equilibrato (risultante e momento risultante
nulli).
In genere, data un corpo rigido vincolato, sono note le forze attive applicate in diversi
punti del corpo, mentre sono incognite le forze reattive agenti nei vincoli. Se l’insieme è
128
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
in equilibrio, le reazioni vincolari devono costituire un sistema equilibrante il sistema
delle forze attive. Pertanto, la determinazione delle reazioni vincolari può essere vista
come la ricerca del sistema equilibrante delle forze attive.
129
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
1.10.4.
Sistema di forze nullo o equilibrato. Equazioni di
equilibrio statico
Quando la risultante R e il momento risultante M OR di un dato sistema di forze applicate sono uguali a zero si dice che il sistema dato è nullo o equilibrato. Questa situazione rappresenta un caso particolare di notevole importanza riguardante la riduzione dei
sistemi.
Dal punto di vista meccanico, un sistema nullo non provoca nessun effetto sul corpo rigido su cui agisce. Infatti non è presente alcuna tendenza alla traslazione o alla rotazione, quindi il corpo rigido rimane in stato di quiete o di equilibrio.
z
z
R = Σ Fi = 0
MOR = Σ MOi = 0
F1
Fi
Fn
F2
F5
O
O
y
F4
x
F3
y
x
se il sistema di forze applicate è un
sistema nullo il corpo rigido è in equilibrio
Si può affermare che un corpo rigido è in equilibrio quando le forze agenti sul corpo costituiscono un sistema nullo (o equivalente a zero), cioè, condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un corpo inteso come rigido è che le forze agenti su di esso costituiscano un sistema nullo
R=0
(la risultante delle forze agenti è nullo)
M OR = 0
(il momento risultante è nullo rispetto ad un polo qualsiasi)
queste equazioni rappresentano, in forma vettoriale, le equazioni cardinali della stati-
ca.
Operando con le componenti cartesiane si ricavano le equazioni in forma scalare. Nello
spazio si ha:
130
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
 Rx = 0 ⇒ ∑ Fxi = 0

 R y = 0 ⇒ ∑ Fyi = 0
R = 0 ⇒ F = 0
∑ zi
 z
M ORx = 0 ⇒ ∑ M Oxi = 0

M ORy = 0 ⇒ ∑ M Oyi = 0
M = 0 ⇒ M = 0
∑ Ozi
 ORz
dove le sommatorie
∑ M ,∑ M ,∑ M
Oxi
Oyi
Ozi
possono essere viste come la somma dei
momenti delle forze rispetto agli assi x, y e z.
Nel piano le equazioni cardinali della statica si riducono a:
 Rx = 0 ⇒ ∑ Fxi = 0

 R y = 0 ⇒ ∑ Fyi = 0
M ORz = 0 ⇒ ∑ M Ozi = 0
Esercizio: equilibrio di un corpo rigido
Verificare se il corpo libero OABCDE è in equilibrio sotto l’azione delle forze F 1 , F 2 ,
F3 e F4.
z
E
Coordinate vertici corpo
D
O (0, 0, 0)
A (6, 0, 0)
F1
C
12 m
B (3, 4, 0)
C (6, 0, 12)
4m
D (3, 4, 12)
E (0, 0, 12)
O
6m
3m
B
F4
A
3m
F3
F2
x
131
y
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
144
 
F 1 = 192
 0 
 
 0 


F 2 = − 384
 576 


 0 


F3 =  0 
− 576


− 144


F 4 =  192 
 0 


F 1 applicata in D (3, 4, 12)
F 2 applicata in B (3, 4, 0)
F 3 applicata in O (0, 0, 0)
F 4 applicata in A (6, 0, 0)
Le condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio del corpo rigido sono:
∑ Fxi = 0

∑ Fyi = 0
 F =0
∑ zi
∑ M Oxi = 0

∑ M Oyi = 0
 M =0
∑ Ozi
∑ Fxi = Fx1 + Fx 4 = 144 − 144 = 0

∑ Fyi = Fy 1 + Fy 2 + Fy 4 = 192 − 384 + 192 = 0
 F = F + F = 576 − 576 = 0
z2
z3
∑ zi
∑ M Oxi = − Fy1 ⋅ z D + Fz 2 ⋅ y B = −192 ⋅12 + 576 ⋅ 4 = 0

∑ M Oyi = Fx1 ⋅ z D − Fz 2 ⋅ x B = 144 ⋅12 − 576 ⋅ 3 = 0
 M = − F ⋅ y + F ⋅ x − F ⋅ x + F ⋅ x = −114 ⋅ 4 + 192 ⋅ 3 − 384 ⋅ 3 + 192 ⋅ 6 = 0
x1
D
y1
D
y2
B
y4
A
∑ Ozi
Essendo verificate le sei condizioni, si conclude che il corpo rigido OABCDE è in equilibrio.
Dal punto di vista operativo, può essere conveniente considerare alternativamente la
condizione vettoriale per il momento risultante M OR :
M OR = 0
M OR = M O1 + M O 2 + M O 4 = 0 (è evidente che M O 3 = 0 )
i
j
k
M O1 = (D − O ) ∧ F 1 = 3
4 12 = −2304i + 1728 j
144 192 0
M O2
i
j
k
= (B − O ) ∧ F 2 = 3
4
0 = 2304i − 1728 j − 1152k
0 − 384 576
132
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
i
6
M O4 = (A − O) ∧ F 4 =
j
0
k
0 = 1152k
− 144 192 0
M OR = M O1 + M O 2 + M O 4 = −2304i + 1728 j + 2304i − 1728 j − 1152k + 1152k = 0
Esercizio: calcolo delle reazioni vincolari, ossia del sistema equilibrante
Data la trave riportata in figura, determinare le reazioni vincolari applicando il concetto
di sistema equilibrante.
y
P1 = 3 P
P2 = P
B
O
A
C
RO
RB
L
L
L
Le forze P1 = −3P j e P 2 = − P j costituiscono il sistema attivo
Le forze R O = RO j e R B = RB j costituiscono il sistema reattivo
Si effettua la riduzione al polo O delle forze attive
A
R = P1 + P 2 = −3P j − P j = −4 P j
A
M OR = M O1 + M O 2
(
)
(
M OR = ( A − O ) ∧ − 3P j + (C − O ) ∧ − P j
A
A
(
)
(
)
)
M OR = Li ∧ − 3P j + 3Li ∧ − P j = −3PL k − 3PL k = −6 PL k (verso orario)
133
x
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
Riduzione al punto O delle forze attive
RA = - 4P j
A
MOR = - 6PL k
O
Il sistema equilibrante costituito da R O e R B deve avere risultante e momento risultante
opposti a quelli del sistema attivo, cioè deve essere:
R
R = R O + R B = 4P j
R
M OR = 6 PL k
calcolando il momento delle forze reattive rispetto ad O si ottiene:
M OR = (B − O ) ∧ RB j = 2 Li ∧ RB j = 2 LRB k
R
R
ma dovendo anche essere M OR = 6 PL k si ha
2 LRB k = 6 PL k
da cui si ricava il modulo della reazione in B
RB = 3P R B = 3P j
Dovendo poi essere
R
R = R O + R B = 4P j
si ottiene la reazione in O
R O + 3P j = 4 P j
RO = P j
La procedura applicata per la determinazione delle reazioni nei vincoli utilizzando il sistema equilibrante e la risoluzione delle equazioni vettoriali può essere semplificata
mediante l’impiego diretto delle equazioni cardinali della statica, che nel caso piano sono:
1)
2)
3)
∑F
∑F
∑M
x
=0
=0
O =0
y
134
Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze
La direzione di R B è nota in quanto deve risultare ortogonale al piano in cui giace il
carrello (direzione verticale). Essendo verticali tutte le forze attive, anche R O sarà verticale.
Dalla equazione 1) risulta infatti:
ROx = 0
equazione 2)
– 3P – P + RO + RB = 0 RO + RB = 4P
equazione 3)
– 3P ·L – P ·3L + RB ·2L = 0 RB 2L= 6PL
RB = 3P (il modulo di RB è risultato positivo, pertanto il verso ipotizzato per la reazione è corretto)
Sostituendo nella equazione 2):
RO + 3P = 4P
RO = P (anche il verso supposto per RO è corretto)
135
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