7.3. Sezione a T a semplice armatura Le travi in c.a. con sezione a T

7.3. Sezione a T a semplice armatura
Le travi in c.a. con sezione a T o a L, con soletta in compressione, sono originate dalla
collaborazione tra la trave rettangolare e una parte della soletta degli impalcati degli edifici
(Fig. 7.6).
B
B
SOLETTA PIENA
EUROCODICE 2
EUROCODICE 2
B=b+
o
5
o=
< B1
distanza tra due punti
di momento nullo
( o =70% luce effettiva
per travi continue)
B=b+
o
5
< B2
b
b
B1
B2
Fig. 7.6
Se la soletta, anziché piena, è alleggerita con pignatte di laterizio o polistirolo, in genere
non si considera la collaborazione tra la fascia piena e la trave, verificando (o progettando) la
stessa come sezione rettangolare.
Per un momento flettente negativo (M<0 soletta tesa) la sezione si comporta come una
sezione rettangolare di larghezza “b” e altezza utile “d” (Fig. 7.7a). Non occorre quindi
aggiungere nulla a quanto già riportato a proposito dei problemi di progettazione e verifica di
una sezione rettangolare.
B
B
n
As
h
B
n
x
s
x
n
d
n
n
n
a
x
As
b
b
b
As
c
b
Fig. 7.7
Per M>0 (soletta compressa) possono invece presentarsi due casi:
-
l’asse neutro taglia la soletta (Fig. 7.7b)
-
l’asse neutro taglia l’anima (Fig. 7.7c).
E’ necessario stabilire preliminarmente in quale delle due situazioni ci si trova.
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
76
7.3.1 Progetto della sezione
Si tratta in effetti di un semiprogetto, in quanto si assumono già note le dimensioni
geometriche della sezione e restano da determinare solo la retta di rottura e l’area
dell’armatura.
I dati del problema sono pertanto: B, b, h, s, d’, fcd, fyd, MSd .
Le incognite sono: x, As .
Procedimento.
Per esigenze di duttilità si impone che la rottura della sezione avvenga nel Campo 3, nel
quale l’armatura è snervata (si trascura l’incrudimento). Supponendo che l’asse neutro tagli
la soletta o che tagli l’anima con x ≤ 1.25 ⋅ s e ponendo MRd=MSd, l’equazione di equilibrio
alla rotazione intorno al baricentro dell’armatura si scrive:
MSd = 0.8 ⋅ fcd ⋅ B ⋅ x (d − 0.4 x )
e da essa si ricava la posizione della retta di rottura:
0.4 x 2 − d ⋅ x +
MSd
=0
0.8fcdB
⇒
x=
d − d2 − 2 MSd (fcdB )
0 .8
.
Determinato il valore di “x”, si controlla che esso ricada nell’intervallo relativo al Campo 3
[0.049d; 0.641d] e che risulti x ≤ 1.25 ⋅ s . Se tali condizioni sono tutte soddisfatte,
l’equazione di equilibrio alla traslazione permette di valutare l’area di armatura occorrente:
C = Fs
⇒
0.8fcd ⋅ B ⋅ x = f yd ⋅ A s
⇒
As =
0.8fcd ⋅ B ⋅ x
.
f yd
In caso negativo, suddivisa l’area della sezione di calcestruzzo reagente nei due rettangoli
1 e 2 (Fig. 7.8), l’equazione di equilibrio alla rotazione rispetto al baricentro dell’armatura
diventa:
MSd = C1 ⋅ z1 + C 2 ⋅ z 2 = 0.8 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ x (d − 0.4 x ) + fcd (B − b ) s (d − s 2) .
B
s
fcd
B
2
2
1
n
h d
cu
C2
x
s/2 0.4x
C1
n
z2
As
yd
z1
Fs
d'
b
s
Fig. 7.8
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
77
Ricavato da tale equazione il valore di “x” e verificate ulteriormente le condizioni
x ∈ [0.049 d; 0.641d] (Campo 3) e x > 1.25 ⋅ s , l’equazione di equilibrio alla traslazione
fornisce:
C1 + C 2 = Fs
0.8fcd ⋅ b ⋅ x + fcd (B − b ) s = f yd ⋅ A s
⇒
⇒
As =
0.8fcd ⋅ b ⋅ x + fcd (B − b ) s
f yd
7.3.2 Verifica della sezione
Si ipotizza che l’asse neutro sia tale che risulti x ≤ 1.25 ⋅ s e quindi che la sezione a T si
comporti come una sezione rettangolare di larghezza “B” e altezza utile “d” con sezione
resistente costituita dalla zona di calcestruzzo compressa (di dimensioni B·0.8x) e
dall’armatura As tesa.
Si valuta il rapporto geometrico dell’armatura ρ = A s B ⋅ d e dalla Tab. I si controlla se la
rottura avviene nel Campo 3. In tale eventualità l’equazione di equilibrio alla traslazione
fornisce la posizione della retta di rottura:
C = Fs
⇒
0.8fcd ⋅ B ⋅ x = fyd ⋅ A s
⇒
x=
fyd ⋅ A s
0.8 B ⋅ fcd
.
Se x ≤ 1.25 ⋅ s , la zona reagente è effettivamente contenuta nella soletta ed il momento
resistente vale:
MRd = C ⋅ z = Fs ⋅ z = 0.8fcd ⋅ B ⋅ x (d − 0.4 x ) = fyd ⋅ A s (d − 0.4 x ) .
Se x > 1.25 ⋅ s , le ali risultano reagenti per l’intero spessore “s” e, analogamente al
problema di progetto, si suddivide la zona di calcestruzzo compresso nei due rettangoli 1 e 2
(Fig. 7.8). Dall’equazione di equilibrio alla traslazione si ricava il valore di “x”:
C1 + C2 = Fs
⇒
0.8fcd ⋅ b ⋅ x + fcd (B − b ) s = fyd ⋅ A s
⇒
x=
fyd ⋅ A s
0.8fcd ⋅ b
−
(B − b)s
0.8b
e, dopo aver verificato la condizione x ∈ [0.049 d; 0.641d] (Campo 3), l’equazione di equilibrio
alla rotazione rispetto al baricentro dell’armatura fornisce il momento resistente (Fig. 7.8):
MRd = C1 ⋅ z1 + C2 ⋅ z 2 = 0.8 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ x (d − 0.4x ) + fcd (B − b ) s (d − s 2) .
In conclusione la sezione risulta verificata se:
MSd ≤ MRd .
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
78
7.4. Sezione a T con doppia armatura
7.4.1 Progetto della sezione
Sono dati: B, b, h, s, d’, fcd, fyd, Msd
Sono incognite: As, A’s, la posizione x della retta di rottura.
Procedimento
Nel rispetto della condizione di duttilità, si fissa il valore di “x” in modo che la rottura
avvenga nel Campo 3” (entrambe le armature snervate, l’una in trazione e l’altra in
compressione) delimitato inferiormente da x c " (≥ 0.135d) e superiormente da x d = 0.641d
(ved. §7.2).
Il valore di “x” può essere assunto minore o maggiore di 1.25 ⋅ s .
Se si assume x ≤ 1.25 ⋅ s , la sezione si comporta come una sezione rettangolare di
larghezza “B” e altezza utile “d” (Fig. 7.9).
cu
B
s
s'
A's
n
x
B
-
n
fcd
F's
0.8x
d'
0.4x
C
yd
h d
d-d'
z
A s =As1 + A s2
yd
Fs1 Fs2
d'
b
s
Fig. 7.9
Occorre innanzi tutto stabilire se è necessaria l’armatura in zona compressa. A tale scopo
si suddivide idealmente l’area dell’armatura tesa As in due aliquote:
-
As1
armatura il cui sforzo equilibra quello di compressione nel calcestruzzo;
-
As2
armatura il cui sforzo equilibra quello dell’armatura compressa A’s .
Il momento resistente interno dovuto al solo calcestruzzo compresso vale:
MRc = C ⋅ z = 0.8fcd ⋅ B ⋅ x (d − 0.4 x ) .
Se MSd<MRc non occorre armatura in zona compressa e pertanto si ricade nel caso di
sezione a T a semplice armatura analizzato precedentemente.
Se MSd>MRc, occorre armare anche in zona compressa per assorbire lo sforzo dovuto al
momento M*=MSd-MRc:
A 's = A s2 =
M*
.
fyd ⋅ (d − d')
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
79
L’equazione di equilibrio alla traslazione fornisce l’aliquota As1:
Fs1 = C
e quindi:
⇒
fyd ⋅ A s1 = 0.8fcd ⋅ B ⋅ x
⇒
A s1 =
0.8fcd ⋅ B ⋅ x
fyd
A s = A s1 + A s2 .
Se invece si assume x > 1.25 ⋅ s , è opportuno scomporre l’area di calcestruzzo
compresso nei due rettangoli 1 e 2 (Fig. 7.10).
cu
B
s
A's
2
-
2
1
n
h d
s'
B
fcd
F's
C2
C1
yd
x
n
d' s/2
0.4x
z2
A s =A s1 + A s2
z1
Fs1 Fs2
yd
d'
b
s
Fig. 7.10
Per stabilire se è necessaria l’armatura in zona compressa si procede in maniera analoga
al caso precedente, scomponendo l’armatura As in due aliquote e valutando il momento
resistente del solo calcestruzzo compresso:
MRc = C1 ⋅ z1 + C 2 ⋅ z 2 = 0.8fcd ⋅ b ⋅ x (d − 0.4 x ) + fcd (B − b ) s (d − s 2) .
Se risulta MSd>MRc, l’armatura A’s in grado di sopportare lo sforzo dovuto al momento
M*=MSd-MRc è data da:
A 's = A s2 =
M*
.
fyd ⋅ (d − d')
L’equazione di equilibrio alla traslazione permette di calcolare l’aliquota As1 dell’armatura:
Fs1 = C1 + C2
⇒
fyd ⋅ A s1 = 0.8fcd ⋅ b ⋅ x + fcd (B − b ) s
⇒
A s1 =
fcd [0.8b ⋅ x + (B − b )s]
fyd
e quindi: A s = A s1 + A s2 .
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
80
7.4.2 Verifica della sezione
Sono dati: B, b, h, s, d’, fcd, fyd, As, A’s, Msd
Sono incognite: la posizione x della retta di rottura, MRd.
Procedimento
Calcolati i parametri:
µ=
A's
As
δ=
;
d'
d
e, supponendo che l’asse neutro sia tale che risulti x ≤ 1.25 ⋅ s , il rapporto geometrico
ρ=
As
,
B⋅d
dall’analisi delle tabelle relative al Campo 3” riportate nel §7.2.1 si controlla che la rottura
avvenga proprio in quel Campo. In caso affermativo l’equazione di equilibrio alla traslazione
permette di calcolare il valore di “x”:
C + F' s = Fs
⇒
0.8fcd ⋅ B ⋅ x + f yd ⋅ A ' s = f yd ⋅ A s
⇒
x=
f yd (A s − A ' s )
0.8 fcd ⋅ B
.
Se x ≤ 1.25 ⋅ s la sezione a T si comporta effettivamente come una sezione rettangolare
di larghezza “B” e altezza utile “d” ed il momento resistente vale (Fig. 7.9):
MRd = C ⋅ z + F' s (d − d') = 0.8fcd ⋅ B ⋅ x (d − 0.4 x ) + f yd ⋅ A ' s (d − d' ) .
Se invece risulta x > 1.25 ⋅ s , la retta di rottura taglia l’anima della sezione e quindi, con
riferimento alla Fig. 7.10, l’equazione di equilibrio alla traslazione si scrive:
C1 + C 2 + F' s = Fs
⇒
0.8fcd ⋅ b ⋅ x + fcd (B − b ) s + f yd ⋅ A ' s = f yd ⋅ A s
e fornisce il valore di “x”:
x=
f yd (A s − A ' s )
0.8fcd ⋅ b
−
(B − b) s
0.8b
.
Dopo aver ulteriormente controllato che risulti:
x ∈ [x c " ; x d ] e
x > 1.25 ⋅ s ,
il momento resistente ha la seguente espressione (Fig. 7.10):
MRd = C1 ⋅ z1 + C 2 ⋅ z 2 + F' s (d − d') = 0.8fcd ⋅ b ⋅ x (d − 0.4 x ) + fcd (B − b ) s (d − s 2) + f yd ⋅ A ' s (d − d')
La verifica è positiva se risulta: MSd ≤ MRd .
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
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