Lez6_Resistenza delle sezioni

Analisi strutturale e verifiche
Classificazione delle sezioni
Influenza dei fenomeni di instabilità
L acciaio è un materiale con legame costitutivo simmetrico a trazione e
compressione, ma un elemento in acciaio può però avere una risposta globale
non simmetrica a causa dei fenomeni di instabilità che si possono manifestare
nelle sue parti compresse.
L instabilità che interessa i profili in acciaio può essere distinta in:
INSTABILITA GLOBALE: che interessa l elemento in tutta la sua lunghezza;
INSTABILITA LOCALE: che interessa le parti compresse della sezione trasversale
dell elemento.
Esiste anche una instabilità detta DISTORSIONALE, caratterizzata dal fatto che la
sezione, nella configurazione deformata, non mantiene più la forma iniziale ma
risulta distorta (tipica dei profili sottili classe 4).
Inserire figura instabilità distorsionale
Analisi strutturale e verifiche
Classificazione delle sezioni
Le sezioni trasversali degli elementi strutturali si classificano in funzione
della loro capacità rotazionale Cθ definita come:
Classe 1: quando la sezione è in grado di sviluppare una cerniera plastica avente
la capacita rotazionale richiesta senza subire riduzioni di resistenza Cθ≥3.
Classe 2: quando la sezione è in grado di sviluppare il proprio momento resistente
plastico, ma con capacità rotazionale limitata Cθ≥1,5.
Classe 3: quando nella sezione le tensioni calcolate nelle fibre esterne compresse
possono raggiungere la tensione di snervamento, ma l instabilità locale impedisce lo
sviluppo del momento resistente plastico.
Classe 4: quando, per determinare la resistenza flettente, tagliante o normale, è
necessario tener conto degli effetti dell instabilità locale in fase elastica nelle parti
compresse che compongono la sezione. In tal caso nel calcolo della resistenza la
sezione geometrica effettiva può sostituirsi con una sezione efficace.
Analisi strutturale e verifiche
Classificazione delle sezioni
Relazione momento-curvatura
per le diverse classi di sezioni
trasversali.
Analisi strutturale e verifiche
Classificazione delle sezioni
Analisi strutturale e verifiche
Classificazione delle sezioni
Analisi strutturale e verifiche
Stati limite ultimi:
- Stato limite di equilibrio: al fine di controllare l
equilibrio globale della struttura e
delle sue parti durante tutta la vita nominale comprese le fasi di costruzione e di
riparazione;
- Stato limite di collasso:
corrispondente al raggiungimento della tensione di
snervamento oppure delle deformazioni ultime del materiale e quindi della crisi o
eccessiva deformazione di una sezione, di una membratura o di un collegamento.
- Stato limite di fatica:
controllando le variazioni tensionali indotte dai carichi
ripetuti in relazione alle caratteristiche dei dettagli strutturali interessati.
Stati limite di esercizio:
- Stato limite di deformazione e/o spostamento.
- Stato limite di vibrazione.
- Stato limite di plasticizzazioni locali.
- Stato limite di scorrimento dei collegamenti ad attrito.
Analisi strutturale e verifiche
METODI DI ANALISI GLOBALE
Metodo elastico:
si valutano gli effetti delle azioni nell ipotesi che il legame tensione
deformazione del materiale sia indefinitamente lineare. Il metodo è applicabile a strutture
composte da sezioni di classe qualsiasi. La resistenza delle sezioni può essere valutata
con il metodo elastico, plastico o elasto-plastico per le sezioni compatte (classe 1 o 2),
con il metodo elastico o elasto-plastico per le sezioni snelle (classe 3 o 4).
Metodo plastico:
gli effetti delle azioni si valutano trascurando la deformazione
elastica degli elementi strutturali e concentrando le deformazioni plastiche nelle sezioni
di formazione delle cerniere plastiche. Il metodo è applicabile a strutture interamente
composte da sezioni di classe 1.
Metodo elasto-plastico:
gli effetti delle azioni si valutano introducendo nel modello
il legame costitutivo tensione-deformazione di tipo bilineare o più complesso. Il metodo è
applicabile a strutture composte da sezioni di classe qualsiasi.
Analisi strutturale e verifiche
CAPACITA RESISTENTE DELLE SEZIONI
La capacità resistente delle sezioni deve essere valutata nei confronti
delle sollecitazioni di trazione o compressione, flessione, taglio e
torsione, determinando anche gli effetti indotti sulla resistenza dalla
presenza combinata di più sollecitazioni
Metodo elastico: si assume un comportamento elastico lineare del materiale, sino al
raggiungimento della condizione di snervamento. Il metodo può applicarsi a tutte le
classi di sezioni, con l avvertenza di riferirsi al metodo delle sezioni efficaci o a metodi
equivalenti, nel caso di sezioni di classe 4.
Metodo plastico:
si assume la completa plasticizzazione del materiale. Il metodo può
applicarsi solo a sezioni di tipo compatto, cioè di classe 1 e 2.
Metodo elasto-plastico:
si assumono legami costitutivi tensione-deformazione del
materiale di tipo bilineare o più complessi. Il metodo può applicarsi a qualsiasi tipo di
sezione.
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE AGLI STATI LIMITE ULTIMI
Resistenza di calcolo
Rd =
Rk
γM
Resistenza delle membrature
Verifiche in campo elastico
σ x, Ed + σ z , Ed − σ z , Ed ⋅ σ x, Ed + 3 ⋅τ Ed ≤ ( f yk / γ M 0 )
2
2
2
2
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE ELEMENTI TESI
La capacità portante dell elemento teso è condizionata dalla sua area
netta, ossia dell area effettivamente reagente dell elemento nella
sezione d attacco. Nel caso in cui la trasmissione del carico avvenga
in corrispondenza dell asse baricentrico, l area netta della sezione è
pari alla sua area lorda opportunamente ridotta per la presenza di fori e
aperture.
Se i fori sono disposti in modo sfalsato, l area effettiva deve essere la
minima tra quella della sezione retta e quella di sezioni passanti per i
fori e depurate degli stessi.
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE ELEMENTI TESI
Verifica a trazione
N Ed
≤1
Nt ,Rd
Resistenza plastica della sezione lorda N pl , Rd =
A ⋅ f yk
γM0
Resistenza a rottura della sezione netta, Anet, in corrispondenza dei fori
per i collegamenti
N u , Rd =
0.9 ⋅ Anet ⋅ f tk
γM2
Qualora si debba rispettare la gerarchia delle resistenze (in zona
sismica)
N pl , Rd ≤ N u , Rd
Nu,Rd = resistenza a rottura delle sezioni indebolite dai fori per i collegamenti
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE ELEMENTI TESI
Considerando angolari tesi collegati su una sola ala, semplici o accoppiati,
l area efficace da considerare deve essere valutata tenendo conto del fatto che
il collegamento interessa una sola componente dell elemento (EC3).
Angolare con 1 bullone N u , Rd =
2 ⋅ (e2 − 0.5 ⋅ d 0 )⋅ t ⋅ f u
γM2
Angolare con 2 bulloni N u , Rd =
β 2 ⋅ Anet ⋅ f u
γM2
Angolare con 3 o più bulloni N u , Rd =
β 3 ⋅ Anet ⋅ f u
γM2
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE ELEMENTI TESI
Qualora i fori per i dispositivi di giunzione siano tra loro sfalsati, la crisi si può
manifestare lungo una spezzata, ossia con una linea di rottura non ortogonale
all asse dell elemento(EC3).
L area totale da dedurre all area lorda per la valutazione dell area netta Anet
deve essere assunta pari al valore maggiore tra:
- La somma delle aree delle sezioni dei fori Af in qualunque sezione trasversale
ortogonale alla membratura;
- La somma delle aree delle sezioni di tutti i fori lungo qualsiasi diagonale o
spezzata che si estenda progressivamente attraverso la membratura o di una
sua parte ridotta del termine s2t/(4p) per ogni tratto diagonale nella linea dei
fori
s2 ⋅ t
t ⋅ n ⋅ d0 − ∑
4⋅ p
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE ELEMENTI COMPRESSI
Un elemento è considerato compresso se è soggetto ad una azione assiale
centrata oppure se è presso-inflesso e l eccentricità è comunque
estremamente ridotta. Nella corrente pratica progettuale l eccentricità si
considera trascurabile se è inferiore a 1/1000 della lunghezza dell elemento
stesso.
Verifica a compressione
N Ed
≤1
N c, Rd
Per le sezioni di classe 1,2 e 3
Per le sezioni di classe 4
N c, Rd =
N c , Rd =
A ⋅ f yk
γM0
Aeff ⋅ f yk
γM0
Non è necessario detrarre l area dei fori per i collegamenti bullonati o
chiodati
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A FLESSIONE MONOASSIALE RETTA
Flessione monoassiale (retta)
M Ed
≤1
M c , Rd
Per le sezioni di classe 1 e 2 M c , Rd = M pl , Rd =
Per le sezioni di classe 3
Per le sezioni di classe 4
M c, Rd = M el , Rd =
M c, Rd =
W pl ⋅ f yk
γM0
Wel ,min ⋅ f yk
γM0
Weff ,min ⋅ f yk
γM0
Negli elementi inflessi caratterizzati da giunti strutturali bullonati, la presenza dei fori
nelle piattabande dei profili può essere trascurata nel calcolo del momento resistente
se è verificata la seguente relazione:
0.9 ⋅ Af ,net ⋅ f tk
γM2
≥
Af ⋅ f yk
γM0
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A FLESSIONE MONOASSIALE RETTA
1) Momento resistente elastico
2) Momento resistente plastico
h 2
h2 ⋅ b
1) M el = σ ⋅ ⋅ b ⋅ ⋅ h = σ ⋅
4 3
6
h h
h2 ⋅ b
2) M pl = σ ⋅ ⋅ b ⋅ = σ ⋅
2 2
4
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A FLESSIONE MONOASSIALE RETTA
Fattore di forma delle
sezioni
M pl
σ ⋅Wpl Wpl
ψ=
=
=
M el σ ⋅Wel Wel
Il fattore di forma esprime
il guadagno in resistenza
per effetto del
superamento del limite
elastico
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TAGLIO
Verifica a taglio
VEd
≤1
Vc , Rd
Vc , Rd =
Av ⋅ f yk
3 ⋅γ M 0
Per profili ad I e ad H
Av = A − 2 ⋅ b ⋅ t f + (t w + 2 ⋅ r )⋅ t f
Per profili a C e ad U
Av = A − 2 ⋅ b ⋅ t f + (t w + r )⋅ t f
Per profili a I e ad H caricati nel piano delle ali
Av = A − ∑ (hw ⋅ tw )
(
Per profili a T caricati nel piano dell anima Av = 0.9 ⋅ A − b ⋅ t f
Per profili rettangolari cavi
Per sezioni circolari cave
Av = A ⋅ h / (b + h) Carico parallelo all
)
altezza del profilo
Av = A ⋅ b /(b + h) Carico parallelo alla base del profilo
Av = 2 ⋅ A / π
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TAGLIO
Riduzione della resistenza al taglio in presenza di torsione, per sezioni a
doppio T e a H.
Vc, Rd ,red = Vc, Rd ⋅ 1 −
τ t , ED
(
1.25 ⋅ f yk / 3 ⋅ γ M 0
)
Riduzione della resistenza al taglio in presenza di torsione, per sezioni cave.
Vc , Rd ,red

τ t , ED
= 1 −
 f yk / 3 ⋅ γ M 0
(

 ⋅Vc , Rd

)
Verifica a taglio condotta in termini tensionali (verifica elastica)
τ Ed
≤1
f yk / 3 ⋅ γ M 0
(
)
Tensione tangenziale
VEd ⋅ S
τ Ed =
I ⋅t
Verifica all instabilità dell anima soggetta a taglio e priva di irrigidimenti.
hw 72 235
> ⋅
t η
f yk
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE
Per gli elementi soggetti a torsione, quando possano essere
trascurate le distorsioni della sezione, la sollecitazione torcente di
progetto, TEd , deve soddisfare la relazione:
TEd
≤1
TRd
La torsione agente TEd può essere considerata come somma di due
contributi:
TEd = Tt , Ed + Tw, Ed
Tt,Ed = torsione uniforme.
Tw,Ed = torsione non uniforme (per ingobbamento impedito).
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE
Comportamento fortemente influenzato dalla geometria del profilo caratterizzato da
spessori sottili.
La teoria di De St. Venant sottovaluta la resistenza dei profili metallici in quanto
trascura l effetto di ingobbamento della sezione. Occorre per questo utilizzare la:
TEORIA DELLE AREE SETTORIALI (TORSIONE NON UNIFORME)
Nell analisi del comportamento torsionale delle travi a parete sottile mediante la
teoria delle aree settoriali, occorre suddividere il flusso delle tensioni tangenziali
provocato dal momento torcente in due parti:
-  FLUSSO PRIMARIO: dovuto alla torsione pura (teoria di De St. Venant);
- FLUSSO SECONDARIO: dovuto alla torsione da ingobbamento (tensioni
tangenziali legate alle tensioni normali dovute all ingobbamento).
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE
Ingobbamento: tensioni normali autoequilibrate in ciascuna ala
tensioni tangenziali (momento torcente)
Bimomento: forza generalizzata (F L2) caratterizzante la sezione
= (momento flettente su un ala)x(distanza ali)
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE (Torsione Pura o Uniforme)
Angolo unitario di torsione
dθ
TT
θ '= =
dz G ⋅ I T
IT = momento d inerzia torsionale ≤ I0 = momento d inerzia polare
Sezioni circolari IT = I0
Sezioni sottili allungate a profilo aperto
Sezioni composte da n elementi sottili
1 3
I T = ∫ t ds
3s
1 n
3
I T = ∑ bi ⋅ ti
3 i =1
Quindi noto IT, la massima tensione tangenziale in ogni sezione
vale:
dθ TT
τ max = Gt = ⋅ t
dz I T
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE (Torsione Pura o Uniforme)
Influenza di raccordi o bulbi sul momento d inerzia torsionale
La presenza di raccordi o bulbi nel
profilo conduce ad un aumento di
IT, che può essere talora sensibile.
4
ΔI T = [(K1 + K 2 ⋅ α )⋅ t ]
Il momento d inerzia torsionale si
ottiene aggiungendo ΔIT al valore
calcolato per la sezione depurata
dai raccordi o bulbi.
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE (Torsione Pura o Uniforme)
Le tensioni tangenziali corrispondenti allo stato tensionale di torsione pura variano
linearmente nello spessore di ciascun elemento costituente la sezione, hanno direzione
parallela al suo asse mediano e sono eguali ed opposti rispetto ad esso.
Profili chiusi
TT
τT =
2⋅ A⋅t
Formula di BREDT
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE (Torsione da ingobbamento impedito)
Vincoli Torsionali:
- APPOGGIO TORSIONALE: impedisce la rotazione ϑ, non impedisce gli
spostamenti longitudinali W.
- INCASTRO TORSIONALE: impedisce sia la rotazione ϑ, che gli spostamenti
longitudinali W e dunque l ingobbamento.
α=
θh θ ' h
=
2L 2
La ripartizione sezione per sezione della torsione tra i due modi di resistere
dipende dal carico e dalle condizioni di vincolo.
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE (Torsione da ingobbamento impedito)
In una trave a sezione costante sottoposta a torsione la componente W dello
spostamento secondo Z (ingobbamento) è legata all angolo unitario di torsione
dalla seguente relazione:
Area settoriale
dθ
W =ω
dz
= ωθ '
ω = ω(s) = ω(x, y )
La funzione ω (s) rappresenta, a meno
di una costante, il doppio della
superficie generata dal raggio vettore
CM, quando M descrive la linea media
della sezione.
s
ω (s ) = ∫ rt (s )ds
0
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE (Torsione da ingobbamento impedito)
Nella torsione pura o uniforme, ϑ = lineare
ϑ = costante
Nella torsione non uniforme, W = W(z)
W= costante
ϑ = ϑ (z)
A causa di :
- Momento torcente variabile;
-  vincoli che impediscono W(z)
A causa di W(z), nascono in ogni sezione trasversale delle componenti di
deformazione secondo z:
ε z ,ω
dw
= = ωθ ' '
dz
σ z ,ω = E ⋅ ε z = Eωθ ' '
Alle tensioni normali σzw si accompagnano delle tensioni tangenziali:
τ z ,ω
E ⋅ Sω
=−
⋅θ ' '
t
Sω (s ) = ∫ ωdA
Momento statico settoriale
A
Il momento torcente secondario Tω è espresso come:
Tω = − EIωθ ' ' '
Iω = ∫ ω 2 dA
A
Momento d inerzia settoriale
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE (Torsione da ingobbamento impedito)
Torsione mista
T = TT + Tω
Quadro riassuntivo dello stato tensionale completo τT, τw, σzw
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE (Torsione da ingobbamento impedito)
Torsione mista
T = TT + Tω
Quadro riassuntivo dello stato tensionale completo τT, τw, σzw
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE (Torsione da ingobbamento impedito)
Ripartizione del momento torcente nella torsione mista
La ripartizione è notevolmente influenzata dalle caratteristiche della sezione.
Sezioni piene o a cassone:
TT >> Tω
Sezioni aperte a pareti sottili:
TT < Tω
TT << Tω
TORSIONE PRIMARIA
TT = GITθ '
T = TT + Tω
TORSIONE SECONDARIA
Tω = − EI ωθ ' ' '
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE (Torsione da ingobbamento impedito)
Ripartizione del momento torcente nella torsione mista
Sia t(z) il momento torcente applicato alla trave per unità di lunghezza.
t (z ) = q(z )⋅ e(z )
La condizione di equilibrio per l elementino dz di trave è espressa da:
dT
 dT 
− T + t (z ) +  T + dz  = 0 ⇒ − = t (z )
dz 
dz

Dove sostituendo le espressioni:
Si ottiene:
T = TT + Tω TT = GITθ '
Tω = − EI ωθ ' ' '
EI ωθ ' −GITθ ' ' = t (z )
∨
Equazione differenziale del quart ordine a coefficienti costanti che regge il
problema della torsione mista nelle travi in parete sottile.
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE (Torsione da ingobbamento impedito)
Ripartizione del momento torcente nella torsione mista
Analogia con l equazione che regge il problema della trave con carico trasversale
q(z) in presenza di sforzo normale di trazione N.
EI ωθ '∨ −GITθ ' ' = t (z )
EIv ' − Nv ' ' = q(z )
∨
La rigidezza torsionale primaria GIT assume un ruolo di irrigidimento simile a quello
dello sforzo normale nella flessione.
GIT
K = L⋅
EI ω
Lunghezza adimensionale caratteristica
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE (Torsione da ingobbamento impedito)
Con la posizione:
GIT
K = L⋅
EI ω
L equazione della torsione diventa:
2
K
t (z )
∨
θ ' − 2 θ ''=
L
EI ω
Il suo integrale generale può esprimersi nella forma:
z
K
K
θ = θ 0 + C1 + C2 + C3 sh z + C4ch z
L
L
L
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE (Torsione da ingobbamento impedito)
Grandezze fondamentali:
z
K
K
θ (z ) = C1 + C2 + C3 sh z + C4ch z + θ 0 (z )
L
L
L
C2
K K
K K
θ ' (z ) = + C3 ch z + C4 sh z + θ 0 ' (z )
L
L
L
L
L


K
K
L2
M ω (z ) = −GIT C3 sh z + C4ch z + 2 θ 0 ' ' (z )
L
L
K




L2
T (z ) = GIT C2 / L + θ 0 ' (z ) − 2 θ 0 ' ' ' (z )
K


Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE (Torsione da ingobbamento impedito)
Integrali particolari:
Momento torcente concentrato
t (z ) = 0
θ0 (z ) = 0
Momento torcente distribuzione
parabolico
Momento torcente distribuzione uniforme
t (z ) = t = qe
t z2
θ 0 (z ) = − ⋅
2 GI T
z2
t (z ) = e 2
L
EI ω z 2
t
1 z4
θ 0 (z ) = − ⋅
⋅ 2 −t⋅
⋅ 2
2
12 GI T L
(GIT ) L
Momento torcente distribuzione triangolare
z
t (z ) = t
L
t 1 z3
θ 0 (z ) = − ⋅ ⋅
6 L GI T
Momento torcente distribuzione trapezia
z
e

t (z ) = e q1 + q2  θ 0 (z ) = −
6GI T
L

3


z
⋅  3q1 z 2 + q2 
L

Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE (Torsione da ingobbamento impedito)
COSTANTI C1, C2, C3, C4; condizioni al contorno:
Appoggio torsionale d estremità:
Estremo libero:
θ = 0 θ ' = 0 Mω = 0
T = 0 θ ' ' = 0 Mω = 0
Incastro torsionale d estremità:
θ = 0 θ '= 0
W =0
Stato tensionale nella flesso-torsione
Te n s i o n e σ = M x ⋅ y + M y ⋅ x + M ω ⋅ ω
z
Ix
Iy
Iω
normale
Tensione tangenziale
primaria
TT
τ T = t (s )
IT

Ty
Tω
1 Tx
Te n s i o n e
τ (s ) =
 ⋅ S x (s ) + ⋅ S y (s ) + ⋅ Sω (s )
tangenziale
t (s )  I x
Iy
Iω

Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE (Torsione da ingobbamento impedito)
Ripartizione della torsione nelle situazioni tipiche
Il coefficiente K caratterizza i singoli casi K = L ⋅ GIT
EI ω
0<K<0.5 puro ingobbamento:
piegati a freddo, lastre ortotrope.
0.5<K<2 prevale ingobbamento:
volte sottili cilindriche e impalcati
da ponte a sezione aperta.
2<K<5 torsione mista: profili
laminati a caldo.
5<K<20 torsione alla De St.
Venant :sezioni a profilo tozzo,
sezioni cave a profilo chiuso.
20<K<∞ torsione pura alla De
St. Venant :sezioni compatte.
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A TORSIONE (Torsione da ingobbamento impedito)
Ripartizione della torsione nei profili a doppio T e a H
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A FLESSIONE E TAGLIO
Flessione e Taglio
VEd ≤ 0.5 ⋅Vc , Rd
Si può trascurare l influenza del taglio
sulla resistenza a flessione
Relazione non
verificata
Tensione di snervamento ridotta
Per le sezioni ad I o ad H di classe 1
e 2 doppiamente simmetriche
(1 − ρ )⋅ f yk
M y ,V , Rd
 2 ⋅VEd 
ρ=
− 1
 Vc , Rd 
2
2

ρ ⋅ Av 
W pl , y −
 ⋅ f yk
4
⋅
t
w 
=
≤ M y ,c, Rd
γM0
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A PRESSO O TENSO FLESSIONE RETTA
Presso o tenso flessione retta
M N , z , Rd = M Pl , z , Rd per n ≤ a
M N , y , Rd = M Pl , y , Rd ⋅ (1 − n )/ (1 − 0.5 ⋅ a ) ≤ M Pl , y , Rd
Sezioni ad I o ad H di classe 1 e 2
doppiamente simmetriche, sollecitate nel
piano dell anima
M N , z , Rd
  n - a 2 
= M Pl , z , Rd ⋅ 1 - 
  per n > a
  1 - a  
Sezioni ad I o ad H di classe 1 e 2
doppiamente simmetriche, sollecitate nel
piano delle ali
n = N Ed / N pl , Rd
a = (A − 2 ⋅ b ⋅ t f )/ A ≤ 0.5
Sezioni generiche di classe 1 e 2 la verifica si conduce controllando che il momento di
progetto sia minore del momento plastico di progetto, ridotto per effetto dello sforzo
normale di progetto MN,y,Rd
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A PRESSO O TENSO FLESSIONE BIASSIALE
Sezioni ad I o ad H di classe 1 e 2 doppiamente simmetriche, soggette
a presso o tenso flessione biassiale.
2
2n
 M y , Ed   M z , Ed 

 +
 ≤1

M
 M
N
,
y
,
Rd
N
,
z
,
Rd


 
Con n≥0.2 essendo n=Ned/Npl,Rd, nel caso in cui n<0.2 e comunque per
sezioni generiche di classe 1 o 2, la verifica può essere condotta
cautelativamente controllando che:
 M y , Ed   M z , Ed 

+
 ≤1

M
 
 N , y , Rd   M N , z , Rd 
Per le sezioni di classe 3 è prescritta una verifica tensionale: definita
σx,Ed la massima tensione normale dovuta a momento flettente e
azione assiale, deve verificare:
σ x, Ed ≤
fy
γM0
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE A PRESSO O TENSO FLESSIONE BIASSIALE
Con i profili in classe 4 viene richiesto che siano soddisfatte le
seguenti relazioni:
σ x, Ed ≤
fy
γM0
M y ,Sd + N Ed ⋅ eNy M z ,Sd + N Ed ⋅ eNz
N Ed
+
+
≤1
Aeff ⋅ f y
Weff , y ⋅ f y
Weff , z ⋅ f y
γM0
γM0
γM0
In cui i termini eNy e eNz rappresentano le eccentricità tra il baricentro
della sezione nominale e quello della sezione efficace.
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO – DEFORMABILITA
Deformabilità.
I controlli sulla deformabilità sono prevalentemente associati alla
condizione di utilizzo.
v ≤ vLim
L abbassamento dell elemento inflesso in campo elastico dovrebbe
essere sempre considerato come somma di due contributi, uno legato
alla deformabilità flessionale, vF, e uno legato al contributo tagliante,
vT.
v = vF + vT
Il contributo vT può essere stimato mediante il principio dei lavori
virtuali. Nel caso di trave isolata di lunghezza L, può essere utilizzata
l espressione:
L
χT ⋅ T (x ) 1
vT = ∫
⋅ T (x )⋅ dx
G⋅ A
0
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO – DEFORMABILITA
Il fattore di taglio χ è un coefficiente adimensionale che dipende dalla
forma della sezione.
y′′
2
A S
χT = 2 ⋅ ∫ i dy
I y′ bi
Formulazione approssimata per
profili a doppio T
χT =
A
Aw
A = area totale;
Aw = area anima.
Il contributo associato all azione tagliante è sempre concorrente nel definire la
deformata della trave e la sua trascurabilità dipende dalla condizione di carico
e dalla lunghezza delle trave rapportata alla sua altezza.
Con riferimento a travi in semplice appoggio con carico uniformemente
distribuito si ha:
- Profili IPE vT varia dal 24% al 30% di vF
- Profili HEA e HEB vT varia dal 23% al 58% di vF
- Profili HEM vT varia dal 23% al 49% di vF
Per elementi di luce pari a 6
volte l altezza della trave
(L=6H)
- Profili IPE vT varia dal 6% al 7% di vF
- Profili HEA e HEB vT varia dal 6% al 15% di vF
- Profili HEM vT varia dal 6% al 12% di vF
Per elementi di luce pari a
12 volte l altezza della trave
(L=12H)
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO – DEFORMABILITA
Spostamenti verticali, punto 4.2.4.2.1 delle NTC08
δc: monta iniziale della trave
δ1: freccia carichi permanenti
δ2: freccia carichi variabili
δ tot = δ1 + δ 2 δ max = δ tot − δ c
Frecce riferite alle combinazioni caratteristiche delle azioni
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO – DEFORMABILITA
Spostamenti verticali, punto 4.2.4.2.1 delle NTC08
Spostamenti laterali delle colonne
riferite alle combinazioni caratteristiche
delle azioni
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO – VIBRAZIONI
Stato limite di vibrazione, punto 4.2.4.2.4 delle NTC08
Le vibrazioni possono creare problemi legati all utilizzo dell opera soprattutto
nel caso di elementi orizzontali con campate di medie e grandi dimensioni.
L approccio seguito per la verifica allo stato limite di vibrazione consiste nello
stimare la frequenza naturale di vibrazione f0 dell elemento strutturale e
controllare che superi un valore minimo legato all utilizzo dell opera, in modo
da evitare il fenomeno di risonanza.
E: modulo elastico;
Caso di vibrazione libera per
trave di luce L.
E⋅I
f0 = K ⋅
m ⋅ L4
Il termine K risulta esplicitato come:
K=
(
)
α
2 ⋅π
I: momento d inerzia;
M: massa per unità di superficie;
K: coeff. Dipendente dalle
condizioni di vincolo
α = 9.869 (K = 1.57) Trave semplicemente appoggiata
α = 22.37 (K = 3.56) Trave doppiamente incastrata
α = 14.538 (K = 2.45)Trave appoggiata-incastrata
α = 3.516 (K = 0.56)
Trave a mensola
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO – VIBRAZIONI
Stato limite di vibrazione, punto 4.2.4.2.4 delle NTC08
Nella prassi progettuale si preferisce evitare il calcolo di f0 e basarsi invece
sulla valutazione diretta dell abbassamento. Nel caso di un elemento in
semplice appoggio di luce L si ha:
5 ⋅ (m ⋅ g )⋅ L4
δm =
384 ⋅ E ⋅ I
Esplicitando il termine (mL4) dalle precedenti relazioni si ottiene, esprimendo
lo spostamento in millimetri, la frequenza f0:
f0 =
17.75
18
≈
δ max
δ max
Nel caso di solai caricati regolarmente da persone, la frequenza naturale più
bassa del solaio non deve in generale essere inferiore a 3 Hz.
Nel caso di solai soggetti a eccitazioni cicliche, la frequenza naturale più bassa
del solaio non deve in generale essere inferiore a 5 Hz.
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO – DEFORMABILITA
Deformabilità di travi reticolari
Lo spostamento trasversale, nel caso di travi reticolari, può essere
determinato con i metodi classici della scienza delle costruzioni, oppure con
trattazioni semplificate (metodo dell anima equivalente).
L abbassamento della trave può essere stimato scorporando il contributo
deformativo relativo alla flessione da quello del taglio, sulla base delle formule
valide per le travi a parete piena:
v = vm + vv
In cui vm è la freccia di una trave ideale ad anima piena avente momento di
inerzia pari a quello dato dalla sezione con due masse concentrate
rappresentate dai correnti.
In cui vv è il contributo dovuto alla deformabilità a taglio, dove nel caso di trave
in semplice appoggio è esprimibile come:
M0
vv =
G ⋅ Aw
M0: momento sezione di mezzeria;
G: modulo di elasticità tangenziale;
Aw: area dell anima equivalente.
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO – DEFORMABILITA
Deformabilità di travi reticolari
Aw = 2.6 ⋅
cot gθ1 + cot gθ 2


1
1
+
 A sin 3 θ A sin 3 θ 
1
d2
2
 d1
Due casi estremamente ricorrenti sono quelli di traliccio a V simmetrico e di
traliccio a N:
Traliccio a V simmetrico
Se θ1 = θ2 = θ
Ad1 = Ad2 = Ad
Se θ = 45°
Traliccio a N, con Am area del montante
Aw = 2.6 ⋅ Ad ⋅ sin θ ⋅ cosθ
2.6 ⋅ Ad ⋅ cot gθ
A
=
Se θ1 = 90° e θ2 = θ w
Ad
1
+ 3
Am sin θ
Aw = 0.919 ⋅ Ad
Se θ = 45° e Ad = Am
2
Aw = 0.679 ⋅ Ad
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO – DEFORMABILITA
Deformabilità di strutture reticolari bullonate
La principale causa di deformazione è costituita dagli scorrimenti foro-bullone.
Una stima di questo contributo tipicamente anelastico, può essere ottenuta
come somma di un aliquota dovuta agli assestamenti dei giunti dei correnti,
vC, ed una dovuta a quelli agli estremi delle diagonali, vD.
v = vC + vD
Freccia anelastica totale
n L
vC = ⋅ ⋅ (φ − d )
6 h
L Ld
vD = ⋅ ⋅ (φ − d )
P h
Contributo correnti
Contributo diagonali
Analisi strutturale e verifiche
VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO – DEFORMABILITA
Deformabilità di strutture reticolari bullonate
Risultati numerici per diversi valori di L/h e per (φ-d) = 1 mm
Rapporti v/L
Le frecce anelastiche risultano
indipendenti dalla luce L della
trave ed avranno quindi
un importanza maggiore quanto
più piccola è la luce stessa.