AM310 - Istituzioni di Analisi Superiore Foglio di esercizi n. 3

Corso di laurea in Matematica - Anno Accademico 2013/2014
AM310 - Istituzioni di Analisi Superiore
Docente: Prof. Alfonso Sorrentino
Foglio di esercizi n. 3
1. Si consideri la misura di Lebsgue | · | su (Rn , L ).
a) Si dimostri che se E ∈ L , allora per ogni x0 ∈ Rn si ha che E + x0 := {x + x0 | x ∈ E} è
ancora misurabile e |E + x0 | = |E| (Invarianza per traslazione).
b) Si dimostri che se E ∈ L , allora per ogni λ > 0 si ha che λE := {λx| x ∈ E} è ancora
misurabile e |λE| = λn |E|.
c) Si dimostri che se (Rn , B(Rn ), µ) è uno spazio di misura tale che µ è invariante per traslazione ed è finita sui compatti (i.e. µ(K) < ∞ per ogni K ⊂ Rn compatto) allora µ = γ| · |
con γ > 0 (i.e. µ è proporzionale alla misura di Lebesgue). Trovare un’espressione per γ.
[Suggerimento: È sufficiente dimostrarlo per i cubi di lato 1/2N , per ogni N ≥ 0.]
2. Sia E ⊂ R un insieme Lebesgue-misurabile tale che |E| > 0. Si dimostri che l’insieme
E − E := {x − y| x, y ∈ E} contiene un intervallo (−δ, δ), per qualche δ > 0.
[Suggerimenti: 1) Si dimostri che esiste un aperto G ⊃ E tale che |G \ E| < 1/3|E|.
2) Si dimostri che G contiene un intervallo I = (a, b) tale che |b − a| ≤ 4/3|I ∩ E|.
3) Sia A = I ∩ E; si dimostri che (d + A) ∩ A 6= 0 per d ∈ (−δ, δ), per un qualche δ (procedere per assurdo).]
3. Sia E ⊂ R un insieme Lebesgue-misurabile tale che |E| > 0. Si dimostri che esiste A ⊂ E
non misurabile.
[Suggerimento: Si consideri l’insieme di Vitali V e si considerino gli insiemi Eq := E ∩ (q + V ) al variare di q ∈ Q. Usando l’esercizio 2, si
dimostri che almeno uno di questi Eq non può essere misurabile.]
4. [Insieme di Cantor con misura positiva] Si costruisca il seguente insieme à la Cantor. Sia
0 < δ ≤ 1/3 e sia C0 = [0, 1]. Al primo passo, si elimini l’intervallo aperto centrale di lunghezza
δ e si denoti il nuovo insieme con C1 . Al secondo passo, si elimini da ciascuna componente
connessa di C1 l’intervallo aperto centrale di lunghezza δ 2 . E così via... (al passo n-simo si
eliminino intervalli aperti centrali di lunghezza δ n ). Si definisca Cδ := ∩n≥0 Cn .
Si dimostri che Cδ è compatto, totalmente disconnesso, perfetto e più che numerabile. Si calcoli
la misura di Cδ (per quali valori di δ è positiva?).
5. Si ricordi la costruzione della Funzione di Cantor (o “scala del diavolo”). Si consideri la
seguente successione di funzioni su [0, 1]: f0 (x) = x per ogni [0, 1] e per n ≥ 1 si definisca
(induttivamente)

x ∈ [0, 1/3]
 1/2fn−1 (3x)
1/2
x ∈ (1/3, 2/3)
fn (x) =

1/2 + 1/2fn−1 (3x − 2) x ∈ [2/3, 1].
1
a) Si dimostri che per ogni n, fn è continua, monotona non-decrescente e tale che fn (0) = 0
e fn (1) = 1.
b) Si dimostri che per ogni n ≥ 0:
|fn+1 (x) − fn (x)| ≤
1
.
2n
c) Si deduca che {fn }n è una successione di Cauchy in (C([0, 1]), k · k∞ ) e che quindi fn
converge uniformemente ad una funzione F ∈ C([0, 1]).
La funzione F è detta Funzione di Cantor.
d) Si dimostri che F è continua, non-decrescente e F (0) = 0, F (1) = 1.
e) Si dimostri che se x ∈ [0, 1] \ C (dove C denota l’insieme di Cantor ternario), allora esiste
un intorno (x − δ, x + δ) su cui F è costante. Se ne deduca che F (C) = [0, 1] (F mappa
un insieme di misura nulla in un insieme di misura positiva!).
f) Si deduca che dF
dx (x) = 0 per ogni x ∈ [0, 1] \ C (la derivata esiste ed è nulla “quasi
ovunque”, cioè tranne che su un insieme di misura nulla). Si osservi (non abbiamo ancora
definito l’integrale!) che:
Z
0
1
dF
(x)dx = 0 6= 1 = F (1) − F (0),
dx
cioè F non soddisfa il teorema fondamentale del calcolo!
6. Si consideri la funzione φ : [0, 1] −→ [0, 2], definita da φ(x) = x + F (x) (F denota la funzione
di Cantor). Si dimostri che φ è continua, strettamente crescente e quindi invertibile (con inversa
continua).
a) Si dimostri che |φ(C)| > 0, dove C denota l’insieme di Cantor.
b) Si dimostri che φ(C) contiene un insieme non misurabile V (si veda esercizio 3).
c) Si dimostri che φ−1 (V ) ha misura nulla e quindi è Lebesgue misurabile. È boreliano?
[Suggerimento: se f : R −→ R è continua e B è boreliano, allora f −1 (B) è boreliano.]
2