INTRODUZIONE ALL`ANALISI FUNZIONALE 1. Esercizi Esercizio

INTRODUZIONE ALL’ANALISI FUNZIONALE
6 MARZO 2003
1. Esercizi
Esercizio 1.1. Si dimostri che lo spettro di un operatore compatto su uno
spazio di dimensione infinita deve sempre contenere lo zero.
Esercizio 1.2. Sia H uno spazio di Hilbert. Sia T : H → H un operatore
lineare continuo autoaggiunto, ovvero tale che T = T ∗ . Si faccia vedere che
gli autovalori di T sono reali e che autovettori associati ad autovalori distinti
sono tra loro ortogonali.
Esercizio 1.3. Sia 0 < α ≤ 1 e sia C 0,α ([0, 1]) lo spazio delle funzioni
α-Hölderiane definite sull’intervallo [0, 1], ovvero lo spazio delle funzioni
continue f : [0, 1] → C tali che
hα (f ) =
|f (y) − f (x)|
< +∞.
|y − x|α
0≤x<y≤1
sup
Si faccia vedere che hα verifica la disuguaglianza triangolare ma non è una
norma. Si provi che C 0,α ([0, 1]) è uno spazio di Banach rispetto alla norma
kf kC 0,α = max |f (x)| + hα (f ).
0≤x≤1
Si dimostri che le immersioni
J1 :C 0,α ([0, 1]) → C([0, 1]),
J2 :C([0, 1]) → L∞ ([0, 1]),
J3 :L∞ ([0, 1]) → L2 ([0, 1]),
J4 :C 0,α ([0, 1]) → L∞ ([0, 1]),
J5 :C ( [0, 1]) → L2 ([0, 1]),
J6 :C 0,α ([0, 1]) → L2 ([0, 1]).
dove Jk (f ) = f , sono continue e si determini quali di esse sono compatte.
Esercizio 1.4. Si consideri l’insieme
Z π
G = g ∈ C([0, π]) : g(x) =
sin(xy)f (y) dy, per qualche f ∈ C([0, π]) con max |f (x)| ≤ 1 .
0
Si provi che G è relativamente compatto in C([0, π]). Si provi che G è
relativamente compatto anche come sottoinsieme di L1 ([0, π]).
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Esercizio 1.5. In ciascuno dei seguenti casi si dimostri che l’operatore T :
X → X è continuo, si dica se è compatto e si determini il suo spettro.
X = `2 ,
X = `2 ,
X = L2 (−π, π),
xn
;
n
T x = (x1 , 0, x3 , 0, x5 , 0, . . . ) ;
Z π
∞
X
sin(ny)f (y) dy;
T f (x) =
sin(nx)
(T x)n =
−π
n=1
Z x
X = C([0, 1]),
T f (x) =
yf (y) dy;
0
Z
X = C([0, 1]),
T f (x) =
0
X = L1 (R),
Z
x
f (y)
√ dy;
y
+∞
T f (x) =
e−|x−y| f (y) dy.
−∞
Esercizio 1.6. Sia I un intervallo compatto di R e sia K ∈ L2 (I ×I) il nucleo
dell’operatore lineare T : L2 (I) → L2 (I) definito da
Z
T f (x) = K(x, y)f (y) dy.
I
Si dimostri che T è compatto. [Suggerimento: si approssimi T con una
successione di operatori di rango finito mostrando prima che il nucleo K
può essere approssimato in L2 con dei polinomi.]
Esercizio 1.7. Sia T : C([0, 1]) → C([0, 1]) l’operatore di moltiplicazione
definito da T f (x) = xf (x). Si dimostri che:
•
•
•
•
•
T è continuo;
T non ammette autovalori;
se λ ∈ [0, 1] l’immagine di T − λI non è densa in C([0, 1]);
se λ ∈ C \ [0, 1] l’operatore T − λI è invertibile;
lo spettro di T è il segmento [0, 1].
Esercizio 1.8. Sia λ 6= 0 un autovalore dell’operatore compatto T . Si dimostri che il nucleo dell’operatore T − λI è un sottospazio di dimensione
finita.
Esercizio 1.9. Sia [a, b] un intervallo compatto di R e sia k una funzione continua sul triangolo {(x, y) : a ≤ y ≤ x ≤ b}. Consideriamo l’operatore
integrale di Volterra,
Z x
T f (x) =
k(x, y)f (y) dy.
a
Si provi che T è compatto sia come operatore su C([a, b]) che come operatore
su L2 ([a, b]) e che in entrambi i casi lo spettro di T contiene solo lo zero.
Esercizio 1.10. Sia H uno spazio di Hilbert separabile e sia (en )n∈N un
sistema ortonormale completo in H. P
Un operatore T : H → H lineare e
continuo si dice di Hilbert-Schmidt se n kT en k2 < ∞.
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• Si provi che se (fn )n∈N è un altro sistema ortonormale completo in
H e T ∗ è l’operatore aggiunto di T allora
X
X
kT en k2 =
kT ∗ fn k2 .
n
n
• Si dimostri che la definizione di operatore di Hilbert-Schmidt non
dipende dalla scelta del sistema ortonormale completo.
• Si dimostri che ogni operatore di Hilbert-Schmidt è compatto.
Esercizio 1.11. Sia H uno spazio di Hilbert complesso e sia (en )n∈N una successione ortonormale in H. Sia (λn )n∈N una successione di numeri complessi.
Definiamo
X
Tx =
λn hx, en ien
n
per tutti gli x per cui la serie converge in H. Si provi che:
• l’operatore T è definito e continuo da H in H se e solo se (λn ) ∈ `∞ ;
• T è compatto se e solo se limn λn = 0;
• T è un operatore di Hilbert-Schmidt se e solo se (λn ) ∈ `2 .
Esercizio 1.12. Sia H uno spazio di Hilbert separabile e sia (en )n∈N un
sistema ortonormale completo in H. Sia Vn il sottospazio di H di dimensione
n generato dai vettori e1 , e2 , . . . , en . Sia T un operatore lineare e continuo
da H in H. Per ogni n poniamo
αn = sup {kT xk : x ⊥ Vn , kxk = 1} .
Si provi che se limn αn = 0 allora T è compatto.
Esercizio 1.13. Sia H uno spazio di Hilbert e sia V un suo sottospazio chiuso
non vuoto e non coincidente con H. Sia P la proiezione ortogonale di H su
V . Si determini lo spettro di P . Si determini una condizione necessaria e
sufficiente su V affinché P sia un operatore compatto.
Esercizio 1.14. Sia T : `∞ → `2 l’operatore lineare definito da
xn
(T x)n = n .
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Si provi che T è compatto. Si provi che kxk] = kT xk`2 definisce una norma
in `∞ . Lo spazio X = `∞ , k·k] è completo? Si provi che l’insieme delle
successioni che assumono solo valori in {0, 1} è compatto in X.
Esercizio 1.15. Sia X uno spazio di Banach. Sia (Tn )n∈N una successione di
operatori compatti su X convergenti ad un operatore (compatto) T . Si provi
che se (λn )n∈N é una successione di numeri complesso tale che λn appartiene
allo spettro di Tn e limn λn = λ, allora λ appartiene allo spettro di T .
Esercizio 1.16. Si verifichi che gli operatori S, T : L2 (R) → L2 (R) definiti
da
f (x)
Sf (x) = f (x + 1),
T f (x) =
1 + |x|
sono continui ma non compatti. Si trovino gli eventuali autovalori e si
determini lo spettro di S e T .