ANOVA a blocchi

Analisi della varianza (2)
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
1
ANOVA a blocchi
Esempio: Si vogliono confrontare due metodi per predire
la resistenza al taglio di una lamina di una trave di acciaio.
Trave
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Met. A
1.186
1,151
1,322
1,339
1,2
1,402
1,365
1,537
1,559
Met. B
1,061
0,992
1,063
1,062
1,065
1,178
1,037
1,086
1,052
Test t: due campioni accoppiati per medie
NB: le prove per i
due metodi vengono
effettuate in condizioni
di omogeneità.
Media
Varianza
Osservazioni
Correlazione di Pearson
Differenza ipotizzata per le medie
gdl
Stat t
P(T<=t) una coda
t critico una coda
P(T<=t) due code
t critico due code
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
Variabile 1 Variabile 2
1,340111 1,066222
0,021325 0,002438
9
9
0,382167
0
8
6,081939
0,000148
1,859548
0,000295
2,306006
2
1
Un t-test può essere visto come un metodo che riduce il “rumore
di fondo” nell’esperimento, impedendo la diffusione dell’effetto
di un fattore di disturbo.
Nell’esempio, il fattore di disturbo è la tipologia di campione
di trave utilizzato (ogni trave ha una propria resistenza al
taglio).
1HOPRGHOORDEORFFKLLOLYHOOL WUDWWDPHQWLYHQJRQR
DSSOLFDWLDGXQDXQLFDXQLWjFDPSLRQDULD LQPDQLHUD
UDQGRP1HOO·HVHPSLRFLzVLJQLILFDFKHLO0HW$,OLY
HLO0HW%,,OLYVRQRVWDWLDSSOLFDWLDGXQDVWHVVDWUD
YHO·XQLWjFDPSLRQDULDVXIILFLHQWHPHQWHOXQJDGD
FRQVHQWLUHO·XVRGLHQWUDPELLPHWRGL
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
3
La procedura di campionamento associata ad un esperimento
a blocchi consiste nel selezionare b blocchi (=unità sperimentali) e nel sottoporre ogni blocco a tutti e a i trattamenti (=livelli) scegliendo la tipologia di trattamento a caso.
Yij = µ + τ i + β j + ε ij
i = 1,2,..., a
j = 1,2,..., b
Effetto livello
Effetti fissi
a
n
i =1
j =1
∑τ i = 0, ∑ β j = 0
Effetto blocco
Effetti casuali
τ i ≈ N (0, σ τ2 ) β j ≈ N (0, σ β2 )
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
4
2
H 0 : β1 = = β b = 0
H 0 :τ1 = = τ a = 0
H 1 : ∃j : β j ≠ 0
H 1 : ∃i : τ i ≠ 0
+
+
H 0 : σ τ2 = 0
H 0 : β1 = = β b = 0
H1 : σ τ2 > 0
H 1 : ∃j : β j ≠ 0
H 0 :τ1 = = τ a = 0
H 0 : σ β2 = 0
H 1 : ∃i : τ i ≠ 0
+
2
H0 :σ β = 0
H1 : σ β2 > 0
+
H 0 : σ τ2 = 0
H1 : σ β2 > 0
H1 : σ τ2 > 0
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
5
Scomposizione della variabilità totale
SSLiv
SSTOT
∑∑ (y
a
2
n
i =1 j =1
ij
SSBlocchi
2
2
− y•• ) = b∑ ( yi• − y •• ) + a ∑ (y • j − y •• )
a
i =1
b
j =1
2
+ ∑∑ (yij − y • j − y i• + y •• )
a
b
i =1 j =1
SSER
SS TOT = SS LIV + SS BLOC + SS ERR
GdL = (a − 1) + (b − 1) + ( a − 1)(b − 1) = ab − 1
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
6
3
STIMATORI
Effetti fissi
b
a
a ∑ β 2j
b∑ τ i2
 SS 
E  Liv  = σ 2 + i =1
(a − 1)
 ( a − 1) 
 SS

j =1
E  Blocchi  = σ 2 +
(
1
)
(
−
− 1)
b
b




SS Err
=σ2
E

 (b − 1)(a − 1) 
Livelli
Blocchi
Effetti casuali
 SS 
E  Liv  = σ 2 + bσ τ2
 ( a − 1) 
 SS

E  Blocchi  = σ 2 + aσ β2
 (b − 1) 
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
TEST SUI LIVELLI
Quantile
Quantile
SS Liv
a −1
≈ F (a − 1, (b − 1)(a − 1))
SSErr
(b − 1)(a − 1)
f α , a −1,( a −1)( b −1)
TEST SUI LIVELLI
7
2
Var. σˆ τ =
MS LIV − MS ERR
b
SSBlocc
b −1
≈ F (b − 1, (b − 1)(a − 1))
SSErr
(b − 1)(a − 1)
f α ,b −1,( a −1)(b −1)
Var. σˆ β2 =
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
MS BLOC − MS ERR
a
8
4
Esempio: e’ stato realizzato un esperimento per determinare l’effetto
di 4 composti chimici, utilizzati in una pressa fissa alla fine di un processo. Sono stati selezionati a caso 5 campioni di fabbrica, ciascuno
dei quali è stato trattato a caso con i 4 composti chimici nella pressa.
Tipo
1
2
3
4
Som_Bloc
Media Bloc
1
1.3
2.2
1.8
3.9
9.2
2.3
2
1.6
2.4
1.7
4.4
10.1
2.53
3
0.5
0.4
0.6
2
3.5
0.88
4
1.2
2
1.5
4.1
8.8
2.2
5
1.1
1.8
1.3
3.4
7.6
1.9
Som_Tr Media
5.7
1.14
8.8
1.76
6.9
1.38
17.8
3.56
39.2
Effetti fissi sui livelli = composti chimici
Effetti casuali sui blocchi = campioni di fabbrica
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
9
Blox-plot
5
4
3
2
1
0
1
σˆ β2 =
2
3
4
MS BLOC − MS ERR 1.67 − 0.07
=
a
4
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
10
5
A nalis i varianz a: a due fattori s enz a replic a
R IE P ILO G O
R iga 1
R iga 2
R iga 3
R iga 4
C olonna
C olonna
C olonna
C olonna
C olonna
C onteggio
5
5
5
5
S om m a
5,7
8,8
6,9
17,8
Media
1,14
1,76
1,38
3,56
V arianz a
0,163
0,628
0,227
0,893
4
4
4
4
4
9,2
10,1
3,5
8,8
7,6
2,3
2,525
0,875
2,2
1,9
1,273333
1,689167
0,569167
1,713333
1,086667
1
2
3
4
5
A N A LIS I V A R IA N ZA
rigine della variaz ion S Q
R ighe
18,044
C olonne
6,693
E rrore
0,951
Totale
gdl
25,688
MQ
3 6,014667
4
1,67325
12
0,07925
F
re di s ignific a F c rit
75,89485 4,52E -08
3,4903
21,11356 2,32E -05
3,25916
19
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
11
3
2
1
0
-2
-1
-1 0
1
Residui sui
livelli
-2
-3
3
Residui sui
blocchi
2
1
0
-2
-1
-1 0
1
2
3
-2
-3
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
12
6
Analisi della varianza a 2 fattori senza repliche
A1
y11
B 2 Bb
y12 y1b
Aa
y a1
y a 2 y ab
B1
FATTORE A – livelli 1,2,…,a
FATTORE B – livelli 1,2,…,b
SS TOT = SS A + SS B + SS ERR
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
TEST SUI LIVELLI A
Quantile
Quantile
SSLIVA
a −1
≈ F (a − 1, (b − 1)(a − 1))
SSErr
(b − 1)(a − 1)
f α , a −1,( a −1)( b −1)
TEST SUI LIVELLI B
13
2
Var. σ̂ A =
MS LIVA − MS ERR
b
SSLIVB
b −1
≈ F (b − 1, (b − 1)(a − 1))
SSErr
(b − 1)(a − 1)
f α ,b −1,( a −1)(b −1)
Var. σ̂ B2 =
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
MS LIVB − MS ERR
a
14
7
Analisi della varianza a 2 fattori con repliche
1
2
y
y
y
y
y
1
2
y111
y 211
y112
y 212
a
a11
a12
11n
21n
a1n
b
y y
y y
y y
y
y
y121
y 221
y122
y 222
a 21
a 22
FATTORE A – livelli 1,2,…,a
y
y
y
y
12 n
1b1
22 n
2 b1
y1b 2
y 2b 2
a 2n
ab1
ab 2
1bn
2bn
abn
FATTORE B – livelli 1,2,…,b
y • j • = media campionaria livelli fattore B
y i•• = media campionaria livelli fattore A
y ••• = media campionaria totale
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
15
Le interazioni tra fattori
Esempio: un ingegnere chimico vuole indagare gli effetti del tempo
di reazione e della temperatura di reazione in un certo processo
chimico. Se ritiene importanti due livelli di tempo (1 ora e 1,5 ora)
e due livelli di temperatura (120 F e 150 F), una sperimentazione
fattoriale consiste nell’effettuare una o più prove per ciascuna delle
quattro combinazioni possibili.
Approccio classico: cambiare i fattori uno alla volta
4
B2
A1
B1
x11k
A2
x 21k
x 22 k
12 osserv.
∑x
4
11k
effetto A =
k =1
4
−
4
effetto B =
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
∑x
k =1
4
∑x
21k
k =1
4
4
21k
−
∑x
22 k
k =1
4
16
8
Approccio fattoriale: la sperimentazione viene fatta per ogni coppia
di livelli. In tal caso sono sufficienti 2 osservazioni per coppia per ottenere
la media su 4 unità sperimentali.
2
2
2
2
∑∑ x1 jk ∑∑ x2 jk
B1
x11k
x 21k
A1
A2
B2
x12 k
x 22 k
j =1 k =1
effetto A =
8 osserv.
2
effetto B =
2
2
2
∑∑ x jjk
effetto AB =
j =1 k =1
4
−
−
4
2
∑∑ x
j =1 k =1
4
2
i1k
i =1 k =1
4
−
2
∑∑ x
i 2k
i =1 k =1
4
2
∑ x21k + ∑ x12k
k =1
k =1
4
Effetto Interazioni
La sperimentazione fattoriale è il corretto piano di campionamento
che consente di individuare le interazioni tra fattori.
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
17
Esempio
120F
150F
1 ora
1,5 ora
22,1; 17,4 21,5; 19,5
27,6; 32,5 28,6; 33,7
120F
150F
Dati
1 ora
1,5 ora
19,75
20,5
30,05
31,15
Medie
40
30
20
10
0
1 ora
1,5 ora
Non ci sono interazioni
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
18
9
45
40
35
30
25
B basso
20
B alto
15
10
5
0
A - basso
A - alto
35
30
25
20
B basso
15
B alto
10
5
0
A - basso
A - alto
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
19
Esempio: La prima mano di vernice sulla superficie di alluminio
della carlinga di un aereo viene effettuata in due modi: per spray e per
immersione. Lo scopo della prima verniciatura è migliorare l’adesione
della vernice al metallo. Il gruppo responsabile di questa operazione
vuole verificare se le due tecniche di verniciatura hanno effetti diversi
sulla adesione della vernice e per questo motivo selezionano tre superfici diverse alle quali applicano sia la verniciatura a spray che quella
ad immersione.
Imm
Spray
1
4
4.5
4.3
5.4
4.9
5.6
2
5.6
4.9
5.4
5.8
6.1
6.3
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
3
3.8
3.7
4
5.5
5
5
20
10
1
2
3
4,266667
5,3 3,833333
5,3 6,066667 5,166667
Imm
Spray
8
6
IMM
4
SPRAY
2
0
1
2
3
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
21
Modello matematico
Yij = µ + τ i + β j + (τβ )ij + ε ijk
Livelli del
fattore A
Var. Totale
∑∑∑ (y
a
b
i =1 j =1 k =1
Var. Fattore A
2
n
ijk
Livelli del
fattore B
Interazioni tra
Fattore A e B
Var. Fattore B
− y ••• ) = bn∑ ( yi•• − y••• ) +an∑ (y• j • − y••• ) +
a
2
i =1
b
2
j =1
2
+ n∑∑ (yij • − yi•• − y • j • + y••• ) + ∑∑∑ (y ijk − yij • )
a
b
2
i =1 j =1
Var. Interazioni Fattore A/B
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
a
b
n
i =1 j=1 k =1
Var. Errore
22
11
H 0 :τ1 = = τ a = 0
I livelli del Fattore A non
producono effetti.
H 1 : ∃i : τ i ≠ 0
H 0 : β1 = = β b = 0
I livelli del Fattore B non
producono effetti.
H 1 : ∃j : β j ≠ 0
H 0 : (βτ )11 = = (βτ )ab = 0
Sono assenti le interazioni.
H 1 : ∃i, j : (βτ )ij ≠ 0
b
a
an∑ β 2ji
bn∑ τ i2
 SS 
E  LivA  = σ 2 + i =1
(a − 1)
 a −1 
 SS 
j =1
E  LivB  = σ 2 +
−
− 1)
b
b
1
(


b
STIMATORI
a
n∑∑ (τβ )ij
2


SS Int
j =1 i =1
=σ2 +
E

(a − 1)(b − 1)
 (a − 1)(b − 1) 
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
 SS Err 
=σ2
E

 ab(n − 1) 
23
H 0 : τ 1 = = τ a = 0
⇒
H 1 : ∃i : τ i ≠ 0

SS LivA
a − 1 ≈ F [a − 1, ab(n − 1)]
SS Err
ab(n − 1)
H 0 : β 1 = = β b = 0
⇒
H 1 : ∃j : β j ≠ 0

SS LivB
b − 1 ≈ F [b − 1, ab(n − 1)]
SS Err
ab(n − 1)
H 0 : (βτ )11 =
= (βτ )
H 1 : ∃i, j : (βτ )ij ≠ 0
ab
SS Int
= 0
( a − 1)(b − 1)
≈ F [( a − 1)(b − 1), ab( n − 1)]
⇒
SS Err

ab( n − 1)
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
24
12
Procedura del Test
1) Test sulle interazioni
2) Se il test sulle interazioni rigetta l’ipotesi nulla, l’effetto dei
livelli dei fattori non ha molto significato.
3) Se il test sulle interazioni non rigetta l’ipotesi nulla, allora va
effettuato il test sui singoli fattori.
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
25
Esempio:
RIEPILOGO
1
2
3 Totale
Imm
Conteggio
Somma
Media
Varianza
3
12,8
4,266667
0,063333
3
3
9
15,9
11,5
40,2
5,3 3,833333 4,466667
0,13 0,023333
0,48
Spray
Conteggio
Somma
Media
Varianza
3
3
3
9
15,9
18,2
15,5
49,6
5,3 6,066667 5,166667 5,511111
0,13 0,063333 0,083333 0,246111
Totale
Conteggio
Somma
Media
Varianza
6
6
28,7
34,1
4,783333 5,683333
0,397667 0,253667
y• j• = ?
y i •• = ?
y • •• = ?
6
27
4,5
0,576
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
26
13
ANALISI VARIANZA
Variazione
SQ
Campione
4,908889
Colonne
4,581111
Interazione
0,241111
In
0,986667
Totale
gdl
1
2
2
12
10,71778
MQ
F
Val sign
F crit
4,908889 59,7027 5,36E-06 4,747221
2,290556 27,85811 3,1E-05 3,88529
0,120556 1,466216 0,269342 3,88529
0,082222
17
8
6
4
2
0
Imm
Spray
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
27
Esempio: In 3 successive sedute di un esame universitario, 15 studenti
sono assegnati a caso a 3 professori diversi, che li devono esaminare.
Si vuole verificare se esistono differenze di giudizio tra i 3 professori
(fattore A), se il numero d’ordine dell’esame ha effetto sul voto (fattore B) e tale eventuale effetto varia con il docente (interazione).
Prof A
1 studente
2 studente
3 studente
4 studente
5 studente
Prof B
24
30
29
27
23
28
25
25
25
30
28
21
26
29
26
Prof C
23
22
21
26
25
24
26
22
26
18
25
21
30
23
23
24
21
30
26
30
26
30
26
18
24
30
20
26
24
30
a=5, b=3, n=3
Fattore A: ordine in cui viene
esaminato lo studente
Fattore B: docente
Repliche: sedute di esame
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
28
14
RIEPILOGOProf A
Prof B
Prof C
Totale
1 studente
Conteggio
3
Somma
83
Media
27,66667
Varianza 10,33333
3
66
22
1
3
9
75
224
25 24,88889
21 14,11111
2 studente
Conteggio
Somma
Media
Varianza
3
78
26
7
3
3
9
75
82
235
25 27,33333 26,11111
1 5,333333 4,361111
3 studente
Conteggio
Somma
Media
Varianza
3
3
3
9
75
74
74
223
25 24,66667 24,66667 24,77778
0 5,333333 37,33333 10,69444
y13• = 25
y 21• = 26,
y12• = 25,
y13• = 27,3
y 31• = 25,
y12• = 24,6, y13• = 24,6
y 41• = 26,3, y12• = 21,3, y13• = 24,6
y 51• = 27,
4 studente
y12• = 25,3, y13• = 26,6
y •1• = 26,4 y •2• = 23,6 y •3• = 25,6
Conteggio
3
3
3
9
Somma
79
64
74
217
Media
26,33333 21,33333 24,66667 24,11111
Varianza 22,33333 12,33333 25,33333 19,86111
y1•• = 24,8 y 2•• = 26,1 y3•• = 24,7,
y 4•• = 24,1 y 5•• = 26,3
5 studente
Conteggio
Somma
Media
Varianza
y11• = 27,6, y12• = 22,
3
3
3
9
81
76
80
237
27 25,33333 26,66667 26,33333
3 16,33333 9,333333
7,75
Totale
Conteggio
15
15
15
Somma
396
355
385
Media
26,4 23,66667 25,66667
Varianza 6,971429 8,095238 15,38095
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
ANALISI VARIANZA
Origine della variazione
Campione
Colonne
Interazione
In
SQ
32,08889
60,04444
40,17778
354
Totale
486,3111
SS LivA = 32.08
SS LivB = 60.04
SS Iter = 40.17
SS Err = 354
SS Tot = 486,31
gdl
29
MQ
F
Val Sig
F crit
4 8,022222 0,679849 0,61134 2,689632
2 30,02222 2,544256 0,095355 3,315833
8 5,022222 0,425612 0,89633 2,266162
30
11,8
44
1) Test sulle interazioni
Non si rigetta l’ipotesi nulla
2) Test sull’effetto Fattore A
Non si rigetta l’ipotesi nulla
3) Test sull’effetto Fattore B
Non si rigetta l’ipotesi nulla
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
30
15
3,$1,
,'
',
,&
& $ 0 3 ,2 1 $ 0 ( 1 7 2
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
31
Si definisce piano di campionamento una strategia (= algoritmo)
creata ad hoc per selezionare unità dalla popolazione sotto esame.
(a) Lo sperimentatore ha già specificato i livelli.
Vantaggio: Test sulle medie
I parametri τ i (effetti del trattamento) sono ritenuti costanti.
(Modello a effetti fissi)
Limite: Le conclusioni non possono essere estese a trattamenti o
livelli che non siano stati inclusi nella analisi.
(b) Lo sperimentatore decide di campionare i livelli da una
popolazione piuttosto larga di livelli.
Gli effetti dei trattamenti τ i sono considerate variabili aleatorie
indipendenti.
Vantaggio: Test sulla variabilità della popolazione dei livelli.
(Modello a effetti random)
Limite: la conoscenza di quelli sotto indagine non è importante.
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
32
16
Cosa accade quando i fattori sono più di 1?
PIANO DI CAMPIONAMENTO FATTORIALE
Sperimentazione fattoriale= un piano di campionamento tale che per
ogni livello del fattore in esame vengono effettuate una o più
sperimentazioni.
Effetto del fattore = il cambiamento indotto nella sperimentazione
da un cambiamento di livello del fattore.
3LDQRFIFRPSOHWDPHQWHFDVXDOL]]DWR si assegnano a caso le unità sperimentali (supposte omogenee) ai trattamenti
(ossia le combinazioni dei livelli dei fattori in esame)
3LDQRFIFDVXDOL]]DWR DEORFFKL
le unità sperimentali sono suddivise a blocchi (differenti giorni - localizzazioni operatori)
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
33
3LDQRIDWWRULDOHA
Esempio: Si vuole investigare l’effetto della concentrazione del reagente e della quantità di catalizzatore sulla resa di un processo chimico. Indichiamo con A la concentrazione del reagente che può assumere due livelli 15% e 20% e indichiamo con B la
quantità di catalizzatore che può essere alta (2 pounds) o bassa (2 pounds). L’esperimento viene ripetuto tre volte:
15%
20%
Rappresentazione geometrica
a
(1)
1 pound 2 pound
28;25;27 18;19;23
36;32;32 31;30;29
ab
b
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
A
-1
1
-1
1
B
-1
-1
1
1
1
28
36
18
31
2
25
32
19
30
3 Convenzione
27
(1)
32
a
23
b
29
ab
34
17
3LDQRIDWWRULDOHA
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
35
3LDQRIDWWRULDOHA
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
36
18
3LDQRIDWWRULDOHA
Una azienda di imbottigliamento di bevande è interessata ad ottenere una maggiore uniformità
del livello del liquido all’interno delle bottiglie prodotte. Le macchine dovrebbero riempire le
bottiglie fino ad un certo livello ritenuto standard, ma è stata riscontrata una variazione intorno
a questo standard e si desidera comprendere il motivo di tale variazione. Vengono individuate
così 3 variabili che possono essere controllate durante il processo:
(A) la percentuale di anidride carbonica;
(B) la pressione del dispositivo di riempimento;
(C) la quantità di bottiglie prodotte in un minuto.
Si scelgono due livelli significativi:
per il fattore A 10% e 12%
per il fattore B 25 psi e 30 psi;
per il fattore C 200 b/m e 250 b/m.
I dati sono riportati in tabella. Analizzare
gli effetti dei fattori e delle interazioni.
A
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
B
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
C
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
I prova
-3
0
-1
2
-1
2
1
6
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
A
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
B
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
C
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
I prova
-3
0
-1
2
-1
2
1
6
II prova
-1
1
0
3
0
1
1
5
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
II prova
-1
1
0
3
0
1
1
5
37
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
38
19
Piano fattoriale completo a 3 fattori (A,B,C) e due livelli (-1,+1)
xijk = µ + α i + β j + γ k + ε ijk
i = 1,2; j = 1,2; k = 1,2
Unità sperimentale
Ogni coppia di colonne del
piano sperimentale compare
lo stesso numero di volte.
La scelta dei livelli di ciascun
fattore non è correlata con la
scelta dei livelli di nessuno
dei rimanenti.
Condizioni Sperimentali
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8
A -1 -1 -1 -1 1 1 1 1
B -1 -1 1 1 -1 -1 1 1
C -1 1 -1 1 -1 1 -1 1
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
39
9DQWDJJLRGHL3LDQLIDWWRULDOLANRUWRJRQDOLWj
Strategia da mettere in atto
quando si cerca di individuare
i fattori maggiormente significativi nella sperimentazione
Completamento di piani fattoriali
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
40
20
T1 T3 T5 T7
A -1 -1 1 1
B -1 1 -1 1
C 1 -1 -1 1
Coppie (-1,-1) e (1,1) associate a 1 di C
Coppie (-1,1) e (1,-1) associate a –1 di C
Si confonde la stima dell’interazione tra A e B
con la stima dell’effetto di C.
Pertanto se si ritiene che l’interazione tra A e B sia forte, nell’utilizzare
il piano fattoriale non dobbiamo assegnare nessun livello a C.
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
A
B
C
D
Condizioni Sperimentali
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8
-1 -1 -1 -1 1 1 1 1
-1 -1 1 1 -1 -1 1 1
-1 1 -1 1 -1 1 -1 1
-1 1 1 -1 1 -1 -1 1
1 -1 -1 1 -1 1 1 -1
41
Regola del prodotto
Cambio del segno
Piano fattoriale completo ridotto a metà
A
B
Condizioni Sperimentali
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8
-1 -1 -1 -1 1 1 1 1
-1 -1 1 1 -1 -1 1 1
Costruire il piano fattoriale
a metà a due livelli e 3
fattori con la regola del
prodotto
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
42
21
PIANO DI CAMPIONAMENTO COMPL: CAS:
Quadrati latini
Tutti i fattori devono avere medesimo numero di livelli.
Il terzo fattore è quello rappresentato nelle celle e deve avere
lo stesso numero di fattori (oggetto cui sono applicati i fattori).
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
43
Esempio: prove condotte su una autovettura con l’impiego di
piloti al fine di valutare se sia significativo o meno l’effetto dello stile di guida sulle caratteristiche d’inquinamento atmosferico
dell’autovettura.
stile di guida e inquinamento atmosferico
tecnica di guida - prestazioni auto.
‡ 8QLWjVSHULPHQWDOH autovettura.
‡ 7UDWWDPHQWRGLSURYD diversi piloti impiegati.
‡ )DWWRULVHFRQGDUL giorno di prova, stato di usura, regolazione
apparecchiature di prova .
‡ 3LDQRGLFDPSLRQDPHQWR ogni giorno vengono provati
tutti i piloti su una stessa autovettura in ordine casuale (quadrato latino).
‡ )DWWRUL
‡ /LYHOOLGHOIDWWRUH
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
44
22
Quadrati greco-latini
Il terzo fattore e il quarto fattore vengono rappresentati
nelle celle con abbinamenti diversi.
Le lettere latine devono comparire una sola volta per riga (e sulla
colonna), stessa regola per le lettere greche, abbinamenti lettere
greche e latine devono comparire una sola volta.
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
45
Esempio
Un gruppo di ingegneri sta lavorando ad un nuovo
processo per saldare componenti elettronici in un
circuito stampato su una tavola. Più precisamente
il gruppo lavora su una nuova macchina saldatrice
che dovrebbe ridurre il numero di difetti nei punti
di saldatura preriscaldando il circuito e utilizzando
poi un particolare, liquido per mettere in contatto i vari punti.
Il processo ha molte variabili, alcune delle quali non troppo importanti.
Il gruppo comincia a fare una lista di quelle che
ritiene significative in base all’esperienza acquisita e alle informazioni tecniche sul processo.
Sente il parere del personale operaio che ha lavorato con diverse tipologie di macchine saldatrici
a fluido.
Alla fine il gruppo ritiene controllabili le seguenti variabili:
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
46
23
- La temperatura di saldatura
- La temperatura del preriscaldamento
- La velocità del nastro trasportatore
- Il tipo di liquido
- Il coefficiente di gravità del liquido
- La profondità dell’onda della saldatura
Ci sono poi altri fattori che non possono essere facilmente controllati,
una volta che la macchina è installata nella catena di montaggio:
- lo spessore del circuito stampato
- il tipo di componente usato nella tavola
- la disposizione dei componenti sulla tavola
- l’operatore
- i fattori ambientali
- i coefficienti di produzione
- eventuali “rumori” casuali
Il gruppo può costruire degli esperimenti per stimare la grandezza e
la direzione degli effetti dei fattori (sperimentazione di monitoraggio).
Compl. Prob. & Stat. - a.a. 04/05
ANOVA a 2 fattori
47
24