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Esempi di Grandezze derivate: area (A) m2 volume (V) m3 velocità (v) m · s-1 La maggior parte delle grandezze derivate sono una moltiplicazione o una divisione di grandezze di base. Alcune di esse hanno nomi particolari. In questo modo, non solo si vede immediatamente la relazione che intercorre tra due grandezze, ma, con un controllo dimensionale, è facile verificare la possibile correttezza del proprio lavoro. Equazione dimensionale: [G] = [L]a [T]b [M]c [I]d.... Esempio: Forza= m·a = massa·accelerazione Eq. dimensionale: [F] = [M]1 [L]1 [T]-2 N = kg · m · s-2 kg m 1N 1 s2 Esercizi analisi dimensionale Esercizio 1: Supponiamo di scrivere la posizione di una particella che si muove con accelerazione costante al tempo t con l’espressione: x kam t n dove k è una costante adimensionale a)Mostrare con l’analisi dimensionale che tale espressione è corretta se m=1e n=2. b) Può tale analisi dare il valore di k? a) La grandezza x (cioè la posizione della particella ) ha le dimensioni di una lunghezza => L Il termine a (accelerazione) ha le dimensioni di una lunghezza per un tempo alla -2 => [LT-2] Il termine t che rappresenta il tempo ha naturalmente la dimensione di un tempo => [T] Il termine k è adimensionale ( non compare nell’equazione dimensionale) Dimensionalmente si ha quindi che l’espressione x kam t n diventa: L = [LT-2 ]m [T]n che può anche essere riscritta come : L1T0 = Ln Tn-2m Le potenze di L e T devono essere le stesse per entrambi i lati dell’espressione: 1) L1 = Lm 2) T0 = Tn-2m => => m=1 n-2∙m = n-2 = 0 => n =2 Quindi abbiamo dimostrato che l’espressione x kam t n con m =1 ed n=2 è corretta. b) L’analisi dimensionale dell’espressione in studio non può dare informazioni sul valore numerico della costante adimensionale. Esercizio 2 Considerata l’espressione m = rV dove m ha le dimensioni di una massa, V le dimensioni di un volume, determinare le dimensioni di r e l’unita’ di misura nel sistema SI. r, simbolo che rappresenta la densità di volume, ha le seguenti dimensioni: r m / V=> [r]=[M]∙[L]-3 Quindi nel sistema internazionale SI l’unità di misura della densità di volume è : Kg/m 3. Esercizio 3: Dato un tronco di cono di raggi R1ed R2, ed altezza h, associate le seguenti espressioni i) 1/3 πh (R12+ R22+ R1 R2) ii) 2π (R1+ R2) iii) π (R1+ R2) [h2+( R1- R2)2]1/2 apotema alle corrispondenti grandezze misurate: a) la circonferenza delle facce piane di base b) il volume c) l’area delle superficie curva Ricordiamo che: Circonferenza => ha le dimensioni di una lunghezza L Area => ha le dimensioni di una lunghezza al quadrato L2 Volume => ha le dimensioni di una lunghezza al cubo L3 Analizziamo ora le dimensioni delle 3 espressioni, tenendo presente che R1 , R2 ed h hanno le dimensioni di una lunghezza e che π è una costante adimensionale: i) Questa espressione ha le dimensioni di un volume infatti: (R12+ R22+ R1 R2) => [L]2 => h∙(R12+ R22+ R1 R2) => [L]∙[L]2 = [L]3 ii) Quest’espressione ha le dimensioni di una lunghezza => L infatti: (R1+R2) => [L] iii) Quest’espressione ha le dimensioni di un’area infatti: (R1+R2) (R1-R2) h2 => [L] => [L] => [L]2 quindi π R 1 R 2 2 2 h2+( R1- R2)2 => [L]2 => h R 1 R 2 => [L] h 2 R 1 R 2 2 L L L2 In conclusione, effettuando l’analisi dimensionale delle tre espressioni possiamo dire che l’espressione i) è associata alla risposta b) l’espressione ii) è associata alla risposta a) l’espressione iii) è associata alla risposta c) Cifre significative Il numero di cifre con il quale si esprime una misura dipende dalla precisione della misura stessa ed è una indicazione indiretta dell’entità dell’errore. Misurando la lunghezza di un tavolo con una riga millimetrata, non si potrà ottenere un valore del tipo: 1803,3 mm (non si può misurare la lunghezza con una precisione del decimo di millimetro) nella moltiplicazione e nella divisione di due numeri il risultato va dato con il numero di cifre significative del numero che ne ha di meno nella somma e nella sottrazione di due numeri il risultato va dato con il numero di cifre decimali del numero che ne ha di meno Esercizio 1: Area di un piatto: Un biologo sta riempiendo un piatto rettangolare con una coltura in crescita ed ha bisogno di conoscere l’area del piatto. La lunghezza del piatto misura 12.71 cm e la larghezza misura 7.46 cm. Si trovi l’area del piatto. Area= l1 × l2 = A (quante cifre significative?) Se per calcolare l’area usiamo la calcolatrice il risultato che otteniamo è => 12.71 × 7.46= 94.8166 (6 cifre significative!!!!) Ma questo numero così preciso nella realtà della misura non ha molto senso. Noi conosciamo le due lunghezze con una precisione di al massimo 0.01 cm non è quindi possibile ottenere da queste due misure una misura dell’area con una precisione di 0.0001 cm2. La regola che bisogna applicare è quella di considerare nel risultato di una moltiplicazione un numero di cifre significative pari al più piccolo numero di cifre significative dei fattori. Quindi: 12.71 => 4 cifre significative 7.46 => 3 cifre significative => questo sarà il numero di cifre significative del prodotto A=94.8 cm2 ( 3 cifre significative) Esercizio 2: Un’asta di legno viene costruita incollando assieme tre pezzi, il primo di lunghezza l1 =20,26 cm, il secondo l2 = 12,4 cm e il terzo l3 = 6,164 cm. Qual è la lunghezza dell’asta? L= l1+l2+l3 la calcolatrice dà: L =38.824 , ma in numero di cifre decimali del totale non può essere superiore a quello della lunghezza misurata con meno precisione (l2). Quindi il numero di cifre decimali del risultato non può essere maggiore di 1. L=38.8 e le cifre significative sono 3 Operazioni con i vettori b 1) Somma r = a+b Proprietà commutativa r a b r=a+b=b+a a b Proprietà associativa r=(a+b)+c=a+(b+c) c b a c b c b r’‘ r’ r r a a r= (a+b)+c =r’+c = a+(b+c) = a+r’’ La somma di due o più vettori è ancora un vettore. Durante l’operazione di somma tra vettori non è importante l’ordine degli addendi (proprietà commutativa) nè il modo in cui gli addendi vengono raggruppati (proprietà associativa). a 1) Differenza r= b-a= b+(-a) -a -a a b b -a b r b r r a a Coordinate cartesiane Vengono utilizzate per descrivere la posizione di un punto su un piano (2 dimensioni) o nello spazio (3 dimensioni) Vettori unitari (moduli i=j=k=1) diretti rispettivamente lungo gli assi cartesiani x,y,z Versori cartesiani: Ogni vettore può essere descritto mediante le sue componenti cartesiane. Cx= C cos q Cy= C sin q y C = Cx î + Cy ĵ Modulo: Cy ĵ Direzione: C C C 2x C 2y tan θ Cy Cx q x Cx î Un vettore C in un piano xy che forma un angolo q arbitrario con l’asse delle x può essere espresso in termini delle sue componenti ortogonali Cx ed Cy. La componente Cx rappresenta la proiezione di C lungo l’asse delle x mentre la componente Cy rappresenta la proiezione di C lungo l’asse delle y. Le componenti del vettore che sono grandezze scalari possono essere sia negative che positive. Il modulo del vettore è dato dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle due componenti. Esercizio 1: Un piccolo aereoplano decolla da un aereoporto in una giornata nuvolosa e viene avvistato più tardi a 215 km, in una direzione che forma un angolo di 22° verso est rispetto al nord. A che distanze verso nord e verso est si trova l’aereo quando viene avvistato? Per trovare le componenti di d considero l’angolo θ = 90°-22°=68° da cui si ottiene: d x d cos θ 215Km cos 68 81Km d y d sin θ 215Km sin 68 199 Km L’aereo è quindi localizzato 199 km verso nord e 81 km verso est, rispetto all’aereoporto. Esercizio 2: Dati i seguenti vettori: A di modulo 12 m in direzione ovest B di modulo 18 m inclinato di 60° rispetto all’asse positivo delle x C di modulo 15 m inclinato di 330° rispetto all’asse positivo delle x Calcolare il vettore somma S=A+B+C - Il vettore A ha solo componente lungo x e tale componente è negativa in quanto rivolto verso ovest (e quindi lungo le x negative) A x 12m A y 0m - Il vettore B ha componenti: B x B cos 60 18m 0.5 9m B y B sin 60 18m 0.87 15.6m - Il vettore C ha componenti: C x C cos 330 15m 0.87 13m C y C sin 330 15m 0.5 7.5m La somma dei tre vettori è data da: NB : cos330°=cos (2p-30°)=cos30° sin330°=sin (2p-30°)=-sin30° S Sx i Sz j S x A x B x C x 12m 9m 13m 10m S y A y B y C y 0m 15.6 7.5m 8.1m La direzione del vettore somma è definita dall’angolo che tale vettore forma con l’asse delle x e tale angolo è dato da: Sy 10m θ arctg arctg 51 8.1m Sx Esercitazioni di Fisica (2010) Dr.ssa Alessia Fantini 30 Marzo 2010 Corso di Laurea in Scienze Biologiche M-Z Vettori, cinematica del punto (moti rettilinei) Operazioni con i vettori 1) Prodotto di uno scalare per un vettore r ,che ha : r ca vettore Numero reale È un vettore modulo pari al prodotto delvalore assoluto di c per il modulo di a direzione pari a quella di a verso pari a quello di a se c>0 o opposto a quello di a se c<0 2) Prodotto scalare tra due vettori s a b ab cos θ scalare È uno scalare s, il cui valore è definito dall’espressione |a||b| cosq dove q è l’angolo formato dai due vettori a e b Proprietà commutativa: a b Proprietà distributiva: a b ba c abac In particolare: a b 0 Tra due vettori ORTOGONALI (q=90°) a b ab Tra due vettori PARALLELI (q=0°) 3) Prodotto vettoriale tra due vettori È un vettore r,che ha : r ab vettore modulo r ab sin θ dove q è l’angolo minore compreso tra direzione ortogonale al piano definito dai due vettori ae b a b e verso definito dalla regola della mano destra (vite destrorsa) Con le dita della mano destra si fa girare il vettore a verso il vettore b . Il pollice indica la direzione del vettore r . In particolare: a b ab Tra due vettori ORTOGONALI (q=90°) a b 0 Tra due vettori PARALLELI (q=0°) a a 0 a b b a Esercizio 1: Qual’è l’angolo compreso tra i vettori: Sappiamo che: a 3î 4 ĵ b 2î 3k̂ y a b ab cos θ ˆj ab cos θ ab î x k̂ z q a Dove q è l’angolo compreso tra i due vettori e b a Calcoliamo i moduli dei due vettori : a a 2x a 2y a 2z 3 2 (4) 2 9 16 b b 2x b 2y b 2z (2) 2 3 2 49 25 5 13 Poichè sappiamo che il prodotto scalare di due vettori è dato dalla somma del prodotto delle componenti dei due vettori: a b a x bx a yby a zbz Possiamo scrivere: a b a x b x a y b y a z b z 3 2 4 0 0 3 6 0 ab 6 cos θ 0.333 ab 5 13 0 θ a cos0.333 110 Esercizio 2: Dimostrare l’equivalenza tra le due formule relative al prodotto scalare: a b a xbx a yby a zbz a b ab cos θ dove θ è l' angolo tra a e b Per semplicità consideriamo i due vettori entrambi giacenti sul piano xy (cioè az =bz =0) θ φa a x a a y b x b b y a cos φ a φb b a b a x b x a y b y ab cos φ a cos φ b ab sin φ a sin φ b a sin φ a a cos φ b ab cos φ a cos φ b sin φ a sin φ b a sin φ b Ma per una nota proprietà trigonometrica: Quindi: a cos φ a cos φ b sin φ a sin φ b cosφ a φ b a b ab cos φ a φ b Poichè nella formula a b ab cos θ Ritroviamo la formula: q è l’angolo tra i due vettori cioè q=fa-fb a b ab cos θ Abbiamo quindi dimostrato l’equivalenza: a b a x b x a y b y a z b z ab cos θ Esercizio 3: Dati 3 vettori coplanari 1) a b c 0 2) a b c 0 3) a b // c 4) a b c a, b, c , quali delle seguenti affermazioni è vera: NB: tre vettori si dicono coplanari se giacciono tutti e tre su uno stesso piano Andiamo ad analizzare le possibili risposte una ad una: 1) Non è necessariamente vera, facciamo un esempio banale Prendiamo b 2a, a bc a 2a 3a 6a 0 c 3a Quindi la 1) non è vera 2) a b È un prodotto vettoriale, è quindi un vettore che è perpendicolare al piano determinato dai due vettori a e b Sappiamo che c giace sullo stesso piano di a e b , quindi è anch’esso perpendicolare al vettore a b Poichè però il prodotto scalare tra due vettori ortogonali è nullo si avrà che a b c 0 Quindi la 2) non è vera ed ho risolto anche l’esercizio in quanto ho appena dimostrato che a b c corrispondente alla risposta 4) => la risposta giusta è la 4) Esercizio 4: a Siano dati i vettori , b, c , come rappresentati in figura, con moduli: a=4, b=3, c=5. Si calcolino i seguenti prodotti scalari a b , a c , b c . Il risultato esatto e: 1) 2) 3) 4) 0, -16, -9 0, 16, 9 0, 12, -15 0, 12, 15 a c b a a b c -c y b a b 0 a c a b c b a b a a a b a a b b b a b b x 2 16 2 9 La risposta giusta è la 1) Cinematica del punto materiale Esercizio 1: Un leopardo parte da fermo a t0= 0s e corre lungo una direzione rettilinea con accelerazione costante fino a t3= 3s. La distanza percorsa tra t1= 1s e t2=2s è: 1) 2) 3) 4) Il doppio della distanza percorsa nel primo secondo Uguale alla distanza percorsa nel primo secondo 4 volte la distanza percorsa nel primo secondo 3 volte la distanza percorsa nel primo secondo moto uniformemente accelerato a=costante Dx1 a t a vt v 0 at at x t x v t 1 2 at 2 1 2 at 2 0 0 Dx2 x0 x1 Dx3 x2 a x3 Lo spazio percorso nel primo secondo è dato dalla differenza tra le posizioni x 1 ed x0 negli istanti t1 e t0 Δx 1 x 1 x 0 x 1 1 2 1 at 1 a (s 2 ) 2 2 Lo spazio percorso tra i due istanti t1 e t2 è dato dalla differenza tra le posizioni x2 ed x1 in cui si trovava il leopardo agli istanti t2 e t1 Δx 2 x 2 x 1 1 2 1 1 1 3 at 2 at 12 a (2 2 12 )s 2 a (4 1)s 2 a s 2 3Δx 1 2 2 2 2 2 Si ha quindi la distanza percorsa tra t1= 1s e t2=2s è 3 volte la distanza percorsa nel primo secondo, e la risposta giusta è la n. 4) Esercizio 2: Una pietra viene lanciata verticalmente dall’origine verso l’alto con una velocità iniziale v0. Trascurando l’attrito dell’aria, la quota massima raggiunta dalla pietra è pari a: v0 g 2v 0 2) g 1 3) 2gt 2 1) 4) Soluzione: Moto uniformemente accelerato con accelerazione rivolta verso il basso di modulo pari a g. Scegliendo come riferimento l’asse delle y crescenti verso l’alto, l’equazione oraria si scrive: v 02 xt x 0 v 0 t 2g 1 2 1 gt v 0 t gt 2 2 2 Nell’istante tmax in cui la pietra raggiunge la quota massima, la sua velocità è nulla (il moto sta cambiando verso, la pietra arrivata al massimo della sua salita si ferma e comincia a cadere). vt v 0 gt vt max 0 v 0 gt max Posso quindi riscrivere tmax:come: t max v0 g Sostituendo tmax al posto di t nell’equazione oraria, ottengo quanto vale la quota massima (cioè l’altezza che la pietra raggiunge all’istante t=tmax) xt max x max v 0 t max v2 v2 v 1 2 1 v2 1 v 02 1 v 02 gt max v 0 0 g 02 0 0 2 g 2 g g 2 g 2 g 2g La risposta giusta è la n. 4) NB: questo esercizio si poteva risolve anche con un’analisi dimensionale L’espressione deve rappresentare una lunghezza => [L], analizziamo le varie possibilità: v LT1 1 T 1) 0 LT 2 T1 g La 1) rappresenta un tempo => NO 2v v 2) 0 0 T g g La 2) rappresenta un tempo => NO 1 1 1 3) L1 2 2 2 L LT T 2gt v 02 v 02 L2 T2 4) L LT 2 2g g La 3) rappresenta l’inverso di una lunghezza => NO La 4) rappresenta una lunghezza => OK unica possibile Esercizio 3: Due treni viaggiano in direzioni opposte venendosi incontro. Il primo treno viaggia con una velocità di 72 Km/h, il secondo con una velocità di 144 Km/h. I due conducenti si vedono quando sono ad una distanza reciproca di 950 m. A questo punto i due treni cominciano a frenare con un’accelerazione costante di 1m/s2. I due treni riescono a fermarsi in tempo o si scontrano? Se si scontrano a che velocità relativa avviene l’urto? Se non si scontrano a che distanza riescono a fermarsi? V1 =72 Km/h = 72/3.6 m/s = 20 m/s V2 = 144 Km/h = 144/3.6 ms = 40 ms Equazioni orarie istante t=0 s corrispondente all’istante in cui i due treni cominciano a decelerare. 0 950 m 1 2 x 1 x 10 20m / s t 2 at x 0 20m / s t 0.5m / s 2 t 2 1 2 2 1 x 1 950m 40m / s t 0.5m / s t x 2 x 20 40m / s t at 2 2 v1 20m / s 1m / s 2 t v1 v10 at 2 v 2 v 20 at v 2 40m / s 1m / s t v 20m /s t 1f 10 20s v 0 v at 2 1f 10 1f a 1 m / s t 1f t 2f v /s v 2f v 20 at 2f t 2f 20 40m 40s a 1m / s2 Agli istanti t1 e t2 (diversi) in cui i due treni si fermerebbero, se camminassero su due binari paralleli ma diversi, essi si troverebbero rispettivamente: v 220 v10 1 1 2 x 0 v a x 0 v t a t 1f 10 10 1f 1f 1f a 2 a2 2 2 1 v10 v 20 1 x 2f 950m v 20 t 2f a t 22f x 950m v 20 a 2 2f 2 a 2 a 1 v 220 x 1f x 200m x 200m 2 a 1f 1f 2 1 v10 x 2f 950m 800m x 2f 150m x 950m 2 f 2 a 200 m URTO!!!!!!!!!!!!!!!!! 0m 950 m 150 m 800 m I due treni quindi si scontrano, ma a che velocità relativa? Il treno 2 dopo quanto tempo dall’istante dell’avvistamento raggiunge la posizione in cui si ferma il treno1?: x 2 950m 40m / s t 0.5m / s 2 t 2 200m t 2 80s t 1500s 2 t 40 1600 1500 s t 40 10s 30s solo la prima soluzione(t minore) Il treno 2 raggiunge il treno 1 quando questo è oramai fermo, la velocità relativa è quindi quella del treno 2 nel momento dell’impatto: v 2 urto v 20 at 2urto 40m / s m / s 2 30s 40 30m / s 10m / s In km/h la velocità relativa all’istante dell’urto è quindi: v urto 10 3.6Km / h 36Km / h Esercizio 4: Facendo riferimento al grafico trovare 1) la velocità media da t=0sec a t= 10sec (da A a B) 2) La velocità media da t=20 sec a t=40 sec (da C a E) . 3) la velocità istantanea ai tempi t=5sec, t=15sec, t=25sec, t=35sec. 49 Tracciare il grafico della velocità in funzione del tempo. FIG:1 Ricordiamo che: B 100 C F 50 spazio (m) G H 0 E A -50 I D -100 0 10 20 30 tempo (sec) Analizziamo il grafico: Da A a B moto rettilineo uniforme, Da B a C il corpo è fermo (al passare del tempo la posizione non varia) Da C a D moto rettilineo uniforme con direzione della velocità verso le x negative Da D ad E moto rettilineo uniforme 40 Da A a B: xa x( 0s ) 0m x xa Δx 100 Vab b m s 10 m s Δt tb t a 10 xb x( 10s ) 100m Da B a C: xb x( 10s ) 100m x xb Δx 0 Vbc c m s 0 m s L’oggetto è fermo Δt tc tb 10 xc x( 20s ) 100m Da C a D xc x( 20s ) 100m x xc Δx 100 100 200 Vcd d ms m s 20 m s Δt td tc 30 20 10 xd x( 30s ) 100m Da D a E xd x( 30s ) 100m x xd Δx 0 100 100 Vde e ms m s 10 m s Δt te td 40 30 10 xe x( 40s ) 0m Da C a E x c x (20s) 100m x xc Δx 0 100 100 Vce e ms m s 5 m s x x ( 40 s ) 0 m Δ t t t 40 20 20 e c e Risposta 1) Risposta 2) Velocità istantanea nel punto F (t=5s) : Il punto F si trova nel tratto compreso tra A e B del piano xt che corrisponde ad un moto rettilineo uniforme. In tale tratto la velocità è costante e quindi la velocità istantanea coincide con la velocità media Vab (la curva che passa per F è una retta di pendenza Dx/Dt media e quindi la tangente in F a tale curva è la retta stessa) VF Vab 10 m s Velocità istantanea nel punto G (t=15s) : Il punto G si trova nel tratto compreso tra B e C del piano xt che corrisponde ad un periodo in cui l’oggetto è fermo. La velocità istantanea in ogni punto del tratto BC (compreso il punto G) ha quindi velocità istantanea nulla. VC Vbc 0 m s Velocità istantanea nel punto H (t=25s) : Il punto H si trova nel tratto compreso tra C e D del piano xt che corrisponde ad un moto rettilineo uniforme. In tale tratto la velocità è costante e quindi la velocità istantanea coincide con la velocità media Vcd (la curva che passa per H è una retta di pendenza Vcd =Dx/Dt e la tangente in H a tale curva è la retta stessa, quindi VH= dx/dt|x=xh= Vcd ) VH Vcd 20 m s Velocità istantanea nel punto I (t=35s) : Il punto I si trova nel tratto compreso tra D e E del piano xt che corrisponde ad un moto rettilineo uniforme. In tale tratto la velocità è costante e quindi la velocità istantanea coincide con la velocità media Vde (la curva che passa per I è una retta di pendenza Vde =Dx/Dt e la tangente in I a tale curva è la retta stessa, quindi VI= dx/dt|x=xi= Vde ) VI Vde 10 m s v (m/sec) 20 10 0 10 -10 -20 40 50 t (sec) Esercizio 5: Un’automobile parte da ferma al tempo t=0 e accelera come indicato nel grafico. Trovare la velocità al tempo t=10sec e t=30sec. Disegnare il grafico della velocità in funzione del tempo. B 4 3 2 FIG. 2 1 2 a (m/sec ) Dal grafico si vede che: A Nel tratto AB l’automobile viaggia con un moto uniformemente accelerato con accelerazione aab= 4 m/s2 C D 0 -1 -2 Nel tratto BC l’automobile viaggia con moto rettilineo uniforme => abc= 0 m/s2 -3 -4 0 Nel tratto CD l’automobile torna indietro con un’accelerazione costante pari a: acd= -2 m/s2 10 20 30 40 t (sec) All’istante t=10s la velocità della macchina è data da: v(t ) v(0s) a ab t 0 4 m s 2 t v(10s) 4 m s 2 10s 40 m s e tale velocità rimane costante fino a t = 20s (in quanto tra t=10s e t= 20s a=0) La velocità della macchina all’istante t=30s è data quindi da: v(30s) v(20s) a cd 10s 40 m s 2 m s 2 10s v(30s) 40 m s 20 m s 20 m s v(t ) v(0s) a ab t 4 m s 2 t per t 10s v (m/sec) v(t ) 40 m s per 10s t 20s 40 v(t ) 40 m s 2 m s 2 t per 20s t 40s 30 20 10 0 10 x(m) 20 30 40 50 x ( t ) x (20s) v(20s) t t (sec) 1 a bc t 2 600m 40 m s t 1 m s 2 t 2 2 2 2m s 20s per t 40s x ( t ) x (10s) v(10s) t 1 a bc t 2 200m 40 m s t 0 2 0 10s per t 20s x ( t ) x (0s) v(0s) t 1 a ab t 2 2 m s 2 t 2 2 t 10s t(s)