disequazioni di primo grado e problemi di scelta

DIGI SCUOLA
I.P.S.S.C.T.P.
Sandro Pertini
Crotone
DISEQUAZIONI
DI PRIMO GRADO
E
PROBLEMI DI SCELTA
Tutor prof.ssa Anna ALFIERI
Docenti : Gavino CERRELLI – Abramo GENTILE – Enrico PANICONI
Citazioni sulla matematica
Walter Robert Fuchs (1937-1976)
La matematica
è un grandioso e vasto paesaggio
aperto a tutti gli uomini
a cui il pensare arrechi gioia,
ma poco adatto a chi
non ami la fatica del pensare.
Alfréd Rényi
Se mi sento triste,
faccio matematica per essere felice.
Se sono felice,
faccio matematica per restare felice
Prerequisiti
Contenuti
Operazioni in R
Operazioni fondamentali del calcolo letterale
Equazioni lineari
Risoluzione problemi di primo grado
Intervalli numerici
Disequazioni: definizione, soluzioni, grado
Classificazione
Disequazioni equivalenti
Principi di equivalenza
Risoluzione di disequazioni lineari
Rappresentazione grafica delle soluzioni
Problemi riconducibili a disequazioni lineari
Sapere
Saper
fare
Definire una disequazione
Il significato dell’aggettivo lineare
Enunciare i dei due principi di equivalenza
Distinguere tra disequazioni sempre verificata
e disequazione impossibile
Applicare i principi di equivalenza
Eseguire la verifica delle soluzioni
Risolvere disequazioni lineari
Rappresentare graficamente le soluzioni
Rappresentare sotto forma di intervallo le soluzioni
Risolvere problemi applicando disequazioni lineari
MODULO :disequazioni di primo grado
e problemi di scelta
UD-1- Introduzione alle disequazioni.
Disequazioni: definizione,grado,classificazione
UD-2- Principi di equivalenza e loro conseguenze
UD-3- Risoluzione di disequazioni di primo grado
Rappresentazione grafica e simbolica delle soluzioni
UD-4- Risoluzione di problemi riconducibili a disequazioni
di primo grado
ANDIAMO AD
INCOMINCIARE
Incontro delle disequazioni
nella vita quotidiana
La tua velocità
non deve
superare
I 50 km orari
Velocita  50 Km / h
Visione consentita
Età  18 anni
VIETATO AI MINORI
DI 18 ANNI
VIETATO AI MINORI
DI 18 ANNI
A cosa servono le disequazioni?
Le disequazioni servono a risolvere
un gran numero di problemi
Problema 1 - Uno studente ha riportato nei primi tre compiti
di matematica i seguenti voti 4,5; 5,5; e 7.
Quale voto deve conseguire per ottenere una
media aritmetica superiore a 6 ?
Problema 2 - Un automobilista si ferma ad un distributore
per mettere nel motore mezzo litro di olio, che
costa €16,00 al litro e della benzina che costa
€ 1,40 al litro.
Quanti litri riesce a mettere al massimo nel
serbatoio se possiede solo € 36,00 ?
Disequazioni e problemi di scelta
Io ho
scelto la
ragazza
PROBLEMA 3
Per effettuare delle telefonate, due gestori
telefonici offrono le seguenti tariffe:
Gestore 1)
Canone mensile di abbonamento € 12,00
Costo al minuto di conversazione 10 cent
Gestore 2)
Nessun canone di abbonamento
Costo al minuto di conversazione 20 cent
Quale gestore conviene scegliere ?
Disequazioni e problemi di scelta
scuola 2
Scuola 1
PROBLEMA 4
Due amici vogliono imparare a ballare. Nella loro città ci sono
due scuole di ballo che si possono frequentare alle seguenti condizioni:
Scuola 1 - € 320,00 annue di iscrizione più € 5,00 per ogni ora di utilizzo
Scuola 2 - € 240,00 annue di iscrizione più € 6,00 per ogni ora di utilizzo
Quale scuola conviene scegliere ?
Disuguaglianze
Due espressioni numeriche, di diverso valore, separate da
un segno di disuguaglianza, formano una disuguaglianza numerica
Esempi di disuguaglianze
Simboli di disuguaglianza sono:
3  25

17  2
4 0

Maggiore od uguale

Minore od uguale
Maggiore
 Minore
Definizione disequazione
Si definisce disequazione in una sola incognita una disuguaglianza tra due
espressioni, di cui una almeno letterale, verificata solo per particolari valori
attribuiti all’incognita
Esempi
di
disequazioni
1)
4x  7  2x
2)
x  2
3)
2  x  1  3x
4)
x3
1
2 x
x
4
2
 3x  x  3  x 
Soluzioni di una disequazione
Si dice SOLUZIONE di una disequazione ogni numero che sostituito
all’incognita rende vera la disuguaglianza
Esempio: data la disequazione  x  1  x  7
x  2 e x  5 rappresentano delle soluzioni
2
VERIFICA
x  1
2
 x2  7
VERIFICA
2
x  12
verificare se
 x2  7
x5
x2
2  1
2
 22  7
5  12
 52  7
32  4  7
94 7
57
6 2  25  7
36  25  7
11  7
FALSO
VERO
x2
NON E’ SOLUZIONE
x5
E’ SOLUZIONE
Grado di una disequazione
Si definisce grado di una disequazione razionale intera il
massimo esponente con cui compare l’incognita
Esempi
1)
x25
2)
3x  2 x  0
3)
2 x  3x  4
Disequazione di primo grado
2
5
2
Disequazione di secondo grado
Disequazione di quinto grado
Le disequazioni 1° GRADO si dicono anche disequazioni LINEARI
Classificazione
delle disequazioni
TIPO disequazione
Intera
E’ chiaro o devo
ripetere
Disequazione con
Incognita solo al numeratore
Fratta
Incognita almeno al
denominatore
Numerica
Letterale
Coefficienti numerici
Determinata
Indeterminata
Impossibile
Soluzioni coincidenti con
Non ha soluzioni
2 x  1  3x  4
x2  3
 x5
x 1
2x 2  x  5  0
Coefficienti letterali
Soluzioni sottoinsieme di
ESEMPI
R
R
ax 3  bx  c
x7
 x  3  0
2
 x  3  0
2
Disequazioni EQUIVALENTI
Due disequazioni si dicono EQUIVALENTI
se possiedono le stesse soluzioni
esempio
1) 3x  2  4
soluzioni
2) 4x 1  9
soluzioni
Facile!
x
x2
x2
Pertanto, qualsiasi numero
più grande di 2 soddisfa
sia la prima che la seconda disequazione perciò esse
si dicono equivalenti
Utilità
dei principi di equivalenza
I principi di equivalenza,
applicati
alle
disequazioni,
consentono di trasformare una
disequazione
in un’altra più
semplice
avente
le
stesse
soluzioni
Primo Principio
di equivalenza
• ADDIZIONANDO o SOTTRAENDO ai due membri di una
disequazione la stessa espressione si ottiene una disequazione
EQUIVALENTE a quella data
Addizione
2x  3  x
2x  3  5  x  5
Sottrazione
Disequazioni
equivalenti
7 x  2x  1
7 x  x  2x  1  x
Conseguenze del
Conseguenze
del
PRIMO
Primo PRINCIPIO
Principio
1)
Regola del trasporto
Si può trasportare un termine da un membro
all’altro di una disequazione purché gli venga
cambiato il segno
(Tale regola viene impiegata per trasportare le incognite al
primo membro ed i numeri al secondo membro)
Esempio
4 x  1  3x  2
4 x  3x  2  1
x3
Conseguenze del
Primo Principio
2) Regola della cancellazione
a) se uno stesso termine figura in entrambi i membri può essere
cancellato
Esempio
2x  5  x  5  x
2x  5  5
b) se due termini opposti si trovano nello stesso membro essi
possono essere cancellati
Esempio
4x  7  7  5  x
4x  5  x
Che
bello!!
Secondo Principio
di equivalenza
a)
Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per
uno stesso numero positivo si ottiene una disequazione
equivalente alla data
Esempio:
3x  2  x  5
4  3x  4  2  4  x  4  5
Disequazioni
equivalenti
b)
Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per
uno stesso numero negativo, si ottiene una disequazione
equivalente a quella data solo se si inverte il verso della
disuguaglianza
maggiore
VERSO
Esempio:
Disequazioni
equivalenti
INVERTITO


3x 2  x 5
minore
 4 3x  4 2   4 x   4 5
Conseguenze del
Secondo Principio
1)
Eliminazione di denominatori numerici
E’ possibile eliminare i denominatori numerici di
disequazione moltiplicando tutti i termini per il loro m.c.m.
Esempio
Disequazione con
denominatore
Disequazione senza
denominatore
1
3
x2 x
3
2
3
2 1
3
6 x  62  6 x  6
3
2
2 x  12  6 x  9
una
m.c.m = 6
Conseguenze
Conseguenze del
del
SECONDO
PRINCIPIO
Secondo Principio
2)
Eliminazione del coefficiente dell’incognita
E’ possibile liberare l’incognita dal suo coefficiente dividendo
primo e secondo membro della disequazione per tale
coefficiente
Esempio
Coefficiente
dell’incognita
5 x  2
5
2
x
5
5
2
x
5
Conseguenze del
Secondo Principio
3) Regola del cambiamento del segno
Il segno di un termine di una disequazione si può cambiare solo
quando si cambiano i segni dei restanti termini e si inverte il verso
della disequazione
Esempio
MAGGIORE
 4x  2  x  5
4x  2  x  5
MINORE
Risoluzione di disequazioni
di primo grado:
Per risolvere le disequazioni lineari si procede nel modo seguente:
1) Si eseguono le operazioni che vengono indicate
nella disequazione ( potenze, moltiplicazioni,
divisioni,addizioni e sottrazioni )
2) Quando al primo ed al secondo membro
non
è
più
possibile
eseguire
operazioni, si passa all’applicazione
delle conseguenze dei principi di
equivalenza (cancellazione,trasporto,
cambiamento
di
segno,ecc.)
per
passare a disequazioni equivalenti
sempre più semplici
Sembra
tutto
facile
Risoluzione guidata di disequazioni
• Esempio 1
x  1
2
 3  x   x  1  16
Operazioni indicate (potenza,prodotto)
x 2  2 x  1  3  x 2  x  16
2 x  4   x  16
2 x  x  16  4
3 x  12
3
12
x
3
3
x4
1° principio (cancellazione)
1° principio (Trasporto)
Operazioni indicate (somma e differenza)
2° principio (Eliminazione coefficiente dell’incognita)
Operazioni indicate (divisioni)
Soluzioni della disequazione
Risoluzione guidata di disequazioni
•
Esempio 2
2
1

5

  x   x    x   1 Operazioni indicate (potenza-prodotto)
2

4

1
5
2
1° principio (cancellazione)
xx 
x  x2 1
4
4
1
5
x
x  1 2° principio (Eliminazione denominatore numerico)
4
4
1
5
4   4  x  4  x  4  1 Operazioni indicate (divisioni-prodotti)
4
4
1  4 x  5x  4
1° principio (Trasporto)
Operazioni indicate (differenze)
4 x  5x  4  1
x3
x  3
2° principio (cambiamento di segno)
Soluzioni della disequazione
Prova tu
Risolvi le disequazioni


1) x  x  1  x  2  x  x  6
2
2
2) 2 x  6  x  3  x  x  4
2
3)  5  2 x  2  4  3x  6  4  x  7   2x  3
1 x
4) x 
 2x  1
3
6x  5
4x  1
5)
1 
3
2
1
Rappresentazione GRAFICA
delle soluzioni: retta orientata
rappresentare graficamente le soluzioni di una
disequazione si fa uso di una retta orientata i cui punti
corrispondono a numeri reali.
Per


I due simboli
(meno infinito) e
(più infinito)
posti agli estremi della retta non rappresentano nessun numero reale,
essi stanno solo ad indicare che la retta risulta illimitata (senza fine) sia a
sinistra che a destra.

. . . . . . .
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3
ORIGINE

2
Rappresentazione GRAFICA
delle soluzioni: convenzioni
Per rappresentare graficamente le soluzioni di una disequazione si
fa uso delle seguenti convenzioni:
1.
linea continua
per rappresenta l’insieme delle soluzioni della
)
disequazione (
2. linea tratteggiata
sono soluzioni (
3. cerchietto pieno
soluzione
(
per indicare che il valore corrispondente è una
)
4. cerchietto vuoto
una soluzione.(
per rappresenta l’insieme dei valori che non
)
)
per indicare che il valore corrispondente non è
3
Rappresentazione GRAFICA
delle soluzioni: procedimento
Per la rappresentazione si procede nel modo seguente
1) Si scrive l’equazione associata alla disequazione e si determina il
valore che l’annulla
2) si riporta tale valore sulla retta orientata
3) da esso si riporta un segmento verticale al cui estremo si disegna
un cerchietto vuoto quando non fa parte delle soluzioni
4) si traccia la linea continua in corrispondenza dei valori che
costituiscono l’insieme delle soluzioni e dalla parte opposta una
linea tratteggiata a rappresentare l’intervallo dei numeri che non
sono soluzioni
prof. non ho
capito
Non ti preoccupare
gli esempi
chiariranno tutto
Rappresentare graficamente
le soluzioni della disequazione x > 2
Esempio 1

Equazione associata alla disequazione
X=2
. . . 0. . 2. .
Linea tratteggiata
NON SOLUZIONI
2 escluso dalle
Soluzioni
CERCHIO
VUOTO

x2
Linea piena
SOLUZIONI
Rappresentare graficamente le soluzioni
della disequazione x < - 3
Esempio 2
Equazione associata alla disequazione

x  3
Linea piena
SOLUZIONI
X = -3
-3
. . . 0. . . .
-3
incluso nelle
soluzioni
CERCHIO
PIENO
Linea tratteggiata
NON SOLUZIONI

Definizione di Intervallo numerico
Dati due numeri a e b con a < b, si
definisce INTERVALLO NUMERICO,
l’insieme di tutti i numeri compresi
tra a e b.
I numeri a e b prendono il nome di
ESTREMO INFERIORE ed ESTREMO
SUPERIORE dell’intervallo e possono
Intervallo numerico
2
3
4
5
6
7
8
9
a
b
Estremo
inferiore
Estremo
superiore
o meno appartenere all’insieme
Per la rappresentazione simbolica degli intervalli numerici si
fa uso di parentesi tonde e quadre entro cui vengono scritti gli
estremi inferiore e superiore a e b separati da punto e virgola
Il tipo di parentesi ci indica se l’estremo risulta incluso
oppure escluso dall’intervallo
Parentesi tonda estremo escluso. Parentesi quadra estremo incluso
Esempi
Rappresentazione simbolica
di intervalli numerici
La rappresentazione simbolica
gli estremi
-2 e 7 fanno
 2;7 indica che
 2;7 indica che
-2 e 7 sono esclusi
La rappresentazione simbolica
-2 è escluso
-2
7
-2
7
-2
7
dall’intervallo
 2;7
indica che
mentre 7 è incluso nell’intervallo
La rappresentazione simbolica
-2 è incluso
7
parte dell’intervallo
La rappresentazione simbolica
gli estremi
-2
 2;7 indica che
mentre 7 è escluso dall’intervallo
Rappresentazione grafica
Utilizzo di simboli diversi
per gli stessi concetti
Alcuni testi di matematica per rappresentare simbolicamente
un intervallo numerico usano esclusivamente parentesi quadre,
rivolte verso l’esterno per indicare che l’estremo non appartiene
all’insieme, rivolte verso l’interno per esprimere che l’estremo fa
parte dell’insieme.
 3;10
 3;10
 3;10
Stesso
significato
 3;10  3;10
 3;10  3;10
 3;10  3;10
 3;10
 3;10
 3;10
Chi vuol
provare
Rappresentare graficamente le soluzioni delle disequazioni
e scriverle anche sotto forma di intervallo
1)
x0

esempio
0

 ;0
esercizi
2)
x6
3)
7
x 
4
4)
1  x  4
PROBLEMI DI SCELTA
PROBLEMA
Per effettuare delle telefonate, due gestori telefonici
offrono le seguenti tariffe:
Gestore 1)
Canone mensile di abbonamento € 5,00
Costo al minuto di conversazione 10 cent
Gestore 2)
Nessun canone di abbonamento
Costo al minuto di conversazione 20 cent
Quale gestore conviene scegliere ?
Il problema verrà risolto secondo le tre fasi:
 FASE 1: dal problema alla disequazione
 FASE 2: risoluzione della disequazione
 FASE 3: rappresentazione grafica delle soluzioni
FASE 1: dal problema alla disequazione
FASE 2: risoluzione della disequazione
FASE 3: rappresentazione grafica delle soluzioni
Indichiamo con X i minuti di conversazione
Calcoliamo quanto ci costa Wind
COSTO WIND = canone + costo conversazione =
Calcoliamo quanto ci costa Vodafone
COSTO VODAFONE = costo conversazione =
5  0,1  X
0,2  X
Per risultare più conveniente Wind rispetto a Vodafone deve accadere che:
COSTO WIND deve essere MINORE del COSTO VODAFONE
5  0,15  X  0,2  X
Espressione che traduce in disequazione il problema dato
FASE 1: dal problema alla disequazione
FASE 2: risoluzione della disequazione
FASE 3: rappresentazione grafica delle soluzioni
Risolviamo la
disequazione
prof. mi esce
X maggiore
di 120
e’ giusto?
6  0,15  X  0,2  X Trasporto
0,15  X  0,2  X  6
 0,05  X  6 Cambiamento di segno
0,05  X  6
0,05
6
X 
0,05
0,05
X  120 soluzioni
Eliminazione del coefficiente
dell’incognita
Il risultato ci dice che la scelta di Wind risulta conveniente solo se
facciamo più di 120 minuti di telefonate mensili
FASE 1: dal problema alla disequazione
FASE 2: risoluzione della disequazione
FASE 3: rappresentazione grafica delle soluzioni
0
20
40
60
80
X  120
Intervallo di convenienza
VODAFONE
100
120
140
Minuti di
conversazione
X  120
Intervallo di convenienza
WIND
PROBLEMA
Due amici vogliono imparare a ballare. Nella loro città ci sono
due scuole di ballo che si possono frequentare alle seguenti condizioni:
Scuola 1 - € 320,00 annue di iscrizione più € 5,00 per ogni ora di utilizzo
Scuola 2 - € 240,00 annue di iscrizione più € 6,00 per ogni ora di utilizzo
Quale scuola conviene scegliere ?
Va bene prof.
ci provo io
ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI
COMMERCIALI, TURISTICI E DELLA PUBBLICITA’
“ S. PERTINI “ – CROTONE
Classe 2a Sezione A
A.S. 2007/2008
1)Cognome e nome ______________________________
Data ________
VERIFICA DI MATEMATICA
(Argomento: disequazioni)
1) Della seguente disequazione, verificare se i valori a lato sono soluzioni.
5
1
x

0
x

2
x

x

1  2x  0
2
3
2) Per la seguente disequazione scrivi le disequazioni ad essa equivalenti
ottenute operando come indicato a lato.
4  6x  10  3x
1) sottrai 4
2) aggiungi 3 x
3) moltiplica per
4) dividi per 3
1
3) Risolvi la disequazione e rappresenta graficamente e simbolicamente le soluzioni.
x  12  3x  x  3  x  3
4)
Risolvi il problema
Il noleggio di una macchina costa 50 € al giorno più 40 cent per ogni Km
percorso, quanti Km si riescono a percorrere ogni giorno se non si vuole spendere
più di 200?
Collegamenti ipertestuali
1. Copertina
2. Citazioni
3. Prerequisiti - contenuti
4. Sapere – Saper fare
5. Unità didattiche
6. Inizio modulo
7. Disequazioni nella vita
8. Impiego disequazioni
9. Problema 3
10. Problema 4
11. Disuguaglianze
12. Definizione disequazione
13. Soluzioni disequazioni
14. Grado disequazioni
15. Classificazione
16. Disequazioni equivalenti
17. Utilità principi di equiv.
18. Primo principio
19. Regola del trasporto
20. Regola cancellazione
21. Secondo principio
22. Eliminazione denominatore
23. Eliminazione coefficiente
24. Cambiamento di segno
25. Risoluzione disequazioni
26. Esempio 1
27. Esempio 2
28. Prova tu
29. Retta orientata
30. Convenzione
31. Rappresentazione grafica
32. Esempio 1
33. Esempio 2
34. Definizione intervallo
35. Rappresentazione intervallo
36. Utilizzo simboli diversi
37. Prova tu
38. Problema di scelta
39. Fase 1
40. Fase 2
41. Fase 3
42. Prova tu
43. Verifica
44. Collegamenti ipertestuali