Lezione N. 14

Lezione 14
1
Funzioni di trasferimento
Lezione 14
2
Introduzione
Lezione 14
3
Cosa c’è nell’Unità 4
• In questa sezione si affronteranno:
– Introduzione
– Uso dei decibel e delle scale logaritmiche
– Diagrammi di Bode
Lezione 14
4
Funzione di trasferimento
• Si consideri una rete con ingresso s(t) ed
un uscita y(t)
• Si lavori nel dominio delle frequenze
• Si definisce funzione di trasferimento il
rapporto tra la trasformata di Fourier
dell'uscita e quella dell'ingresso:
Lezione 14
Y (ω )
H ( jω ) =
S (ω )
5
Esempio
• Si consideri la rete nel dominio di Fourier
ingresso: e(t)
uscita: v(t)
funzione di trasferimento
H ( jω ) =
Lezione 14
V (ω )
1
=
E (ω ) 1 + jω RC
6
Introduzione
Lezione 14
7
Filtro passa basso 1/3
• Importanza funzioni trasferimento
• È molto difficile prevedere nel tempo quale
potrebbe essere l'andamento dell'uscita v(t)
facendo variare l'ingresso e(t).
• Lavorando però nel dominio delle frequenze si hanno
relazioni algebriche. Tutto diventa semplice
Lezione 14
8
Filtro passa basso 2/3
• Per elevati valori della frequenza la funzione di
trasferimento tende ad annullarsi
• La rete filtra, cioè lascia passare solo le
frequenze più basse contenute nel segnale e(t).
• La banda del segnale di uscita si riduce rispetto
a quella dell'ingresso nel senso che sono
praticamente eliminate tutte
Lezione
9
le14frequenze superiori ad un certo valore.
Filtro passa basso 3/3
• Il circuito si comporta quindi come un filtro passa
basso.
H ( jω ) =
Lezione 14
1
1 + jω RC
10
Filtri passa alto e passa banda
1/2
• Tutte le reti dinamiche hanno proprietà filtranti.
• Il circuiti indicato a sinistra rappresenta un filtro
passa alto.
Il circuito a destra un filtro passa banda.
Lezione 14
11
Filtro passa alto e passa banda
2/2
• Il comportamento di un filtro dipende da come si
comporta al variare della frequenza il modulo
della funzione di trasferimento ossia dalla sua
banda
• La banda della funzione di trasferimento è
costituita dagli intervalli di frequenza dove il suo
modulo è convenzionalmente significativo
Lezione 14
12
Introduzione
Lezione 14
13
Significato 1/2
• La funzione di trasferimento rappresenta l’uscita
della rete quando l’ingresso è il segnale
impulsivo:
– La funzione di trasferimento è una trasformata di
Fourier
– Nel dominio del tempo la funzione di trasferimento è
un segnale
•
Lezione 14
Conseguenza:
H (− jω ) = H * ( jω )
14
Significato 2/2
– Il modulo della funzione di trasferimento è funzione
pari della frequenza
– La fase della funzione di trasferimento è funzione
dispari della frequenza
Lezione 14
15
Notazione più semplice
• Per rendere più evidenti le proprietà delle
funzioni di trasferimento conviene introdurre la
pulsazione complessa s = jω
• La funzione di trasferimento viene quindi scritta
H ( jω ) = H ( s)
• Esempio per il filtro passa basso:
Lezione 14
1
H ( s) =
1 + sRC
16
Dominio dei fasori 1/2
• Per le reti in regime sinusoidale con
pulsazione ωo , indicando con Y il fasore
associato all’uscita e con S il fasore
all’ingresso vale la seguente proprieta:
Y
= H ( jωo )
S
Lezione 14
17
Dominio dei fasori 2/2
• Se l’ingresso è somma di due o più sinusoidi
non isofrequenziali:
s (t ) = S1m cos(ω1t + ϕ1 ) + S 2 m cos(ω2t + ϕ 2 ) + ...
• A regime l’uscita vale:
jϕ1
y (t ) = Re[ H ( jω1 ) S1m e e
Lezione 14
jω1 t
jϕ2
] + Re[ H ( jω2 ) S 2 m e e
jω2 t
] + ...
18
Esempio 1
1/3
• Nel filtro passa basso con R= 1 k ohm, C=1 nF,
l’ingresso vale:
e(t ) = 0.5 + 0.5 cos(1000 t ) + 10 cos(106 t )
determinare l’uscita v(t) a regime
Lezione 14
19
Esempio 1
2/3
• Risulta: RC=10-6,
ω1 = 0, S1m = 0.5, ϕ1 = 0,
1
H ( jω1 ) = H (0) =
=1
−6
1 + j10 × 0
ω2 = 1000, S2 m = 0.5, ϕ2 = 0,
1
1000000
1000
H ( jω2 ) = H ( j1000) =
=
−j
−6
1 + j10 ×1000 1000001
1000001
Lezione 14
20
Esempio 1
3/3
e(t ) = 0.5 + 0.5cos(1000 t ) + 10 cos(106 t )
ω3 = 106 , S3m = 10, ϕ3 = 0,
1
1
1
H ( jω3 ) = H ( j10 ) =
= −j
6
−6
1 + j10 ×10
2
2
6
y (t ) = Re[ H ( jω1 ) S1m e jϕ1 e jω1 t ] + Re[ H ( jω2 ) S2 m e jϕ2 e jω2 t ] + ... =
= 0.5 + 0.5cos(1000 t ) + 0.0005sin(1000 t ) +
+5cos(106 t ) + 5sin(106 t )
Lezione 14
21
Esempio 2
•
1/2
In una rete si abbia la seguente funzione di
trasferimento:
s 2 + 3s + 1
H (s) = 3
2
s + 6 s + 11s + 6
Lezione 14
22
Esempio 2
2/2
• L’ingresso della rete sia dato da: s (t ) = 3sin(4t )
determinare l’uscita y(t) a regime: regime
sinusoidale con ωo = 4
il fasore associato all’ingresso è: S = − j 3
il fasore associato all’uscita risulta:
s 2 + 3s + 1
99
207
Y = H ( jωo ) S = H ( j 4)(− j 3) = 3
( − j 3) = −
−j
2
s + 6 s + 11s + 6 s = j 4
260
260
uscita:
Lezione 14
99
207
y (t ) = −
cos(4t ) +
sin(4t )
260
260
23
Esempio 3
•
In una rete si abbia la seguente funzione di
trasferimento:
s 2 + 3s + 1
H (s) =
•
s 3 + 6s 2 + 11s + 6
L’ingresso della rete sia dato da:
s (t ) = 30 + 10 cos(2t )
Determinare l’uscita y(t) a regime utilizzando la
formula generale
y (t ) = 30 H (0) + Re[ H ( j 2) 10 e
Lezione 14
j 2t
69
33
] = 5 + cos(2t ) + sin(2t )
26
26
24
Dominio di Laplace 1/2
• Per le reti inizialmente scariche, indicando con
S(s) la trasformata di Laplace dell’ingresso e
con Y(s) la trasformata di Laplace dell’uscita
vale la seguente proprietà:
Y (s)
= H ( s)
S ( s)
• Poichè la funzione di trasferimento rimane
sempre la stessa nel dominio dei fasori, nel
dominio di Fourier e nel dominio di Laplace, si
parla di H(s) definita nel dominio delle
frequenze
senza
ulteriori
specificazioni
Lezione 14
25
Dominio di Laplace 2/2
• La funzione di trasferimento rappresenta l’uscita
della rete quando l’ingresso è il segnale
impulsivo:
– La funzione di trasferimento H(s) è una trasformata di
Laplace
– H(s) è una funzione analitica che possiede un
semipiano destro di regolarità dove essa ha crescita
lenta
– Per reti stabili l’ascissa che definisce il semipiano di
regolarità non può essere negativa
– In generale i poli di H(s) coincidono con i poli della
rete
Lezione 14
26
Proprietà 1/2
• Nelle reti a parametri concentrati:
– La funzione di trasferimento H(s) è una funzione
razionale fratta in s
– I coefficienti dei polinomi che definiscono il
numeratore ed il denominatore di H(s) sono reali
• se esiste uno zero (polo)di H(s) complesso,
esiste anche lo zero (il polo) complesso
coniugato.
– Gli zeri del denominatore costituiscono i poli della
funzione di trasferimento
Lezione 14
27
Proprietà 2/2
– Gli zeri del numeratore costituiscono gli zeri della
funzione di trasferimento
– Per reti stabili l’ascissa che definisce il semipiano di
regolarità non può essere negativa
• In una rete stabile, i poli della funzione di
trasferimento hanno parte reale non positiva
• Gli zeri di una funzione di trasferimento
possono avere parti reali positive (reti a fase
non minima)
• In generale i poli della funzione di
trasferimento non dipendono né dall’ingresso,
né dall’uscita considerate
Lezione 14
28
Esempio
• La funzione:
1 − 3ω 3
jω (ω 2 − 9)
non è una funzione di trasferimento
• Infatti posto s = jω ⇒ ω = − j s
si ha:
Lezione 14
1 − 3ω 3
1 − 3 j s3
=− 2
2
jω (ω − 9)
s ( s + 9)
29
Introduzione
Lezione 14
30
Esempio 1
•
1/4
Nel circuito in figura
a) calcolare la funzione di trasferimento H(s)=I/E
b) posto L=0.1 H, C=2F, R=1 ohm, alfa=6,
calcolare i poli e gli zeri di H(s)
Lezione 14
31
Esempio 1
2/4
• Rete nel dominio delle frequenze
– Sovrapposizione degli effetti:
sL +
1
sC
sC E + ( s 2 LC + 1) α I x
Ix =
α Ix =
+
1
1
1
R + sL +
R + sL +
R + sL +
sC
sC
sC
E
Lezione 14
32
Esempio 1
3/4
• Risolvendo rispetto Ix:
sC
Ix =
E
2
(1 − α ) s LC + sRC + 1 − α
ne consegue:
(1 − α ) sC
I = (1 − α ) I x =
E
2
(1 − α ) s LC + sRC + 1 − α
Risposta a:
Lezione 14
I
(1 − α ) sC
H (s) = =
E (1 − α ) s 2 LC + sRC + 1 − α
33
Esempio 1
4/4
• Con i dati indicati
10 s
H (s) = 2
s − 2s + 5
Risposta b:
– zero in zo =0
– poli in p1,2= 1 ± j 2
• Rete instabile
Lezione 14
34
Esempio 2
•
1/3
Il circuito in figura è nel dominio delle frequenze
– calcolare la funzione di trasferimento H(s)=V/E
Lezione 14
35
Esempio 2
•
2/3
Circuito equivalente
• Applicando Millman:
E
V
+
(1 + s ) E + (1 + 2 s )V
1 1|| (1 + 1/ s )
V1 =
=
2
1
1
s
+ 4s + 2
+s+
1
1|| (1 + 1/ s )
Lezione 14
V1 V
+
V + sV
= V− = V+ = 0
V2 = 1 1/ s = 1
1 1
s +1
+
1 1/ s
36
Esempio 2
•
V1 + sV
=0
L’equazione V2 =
s +1
•
porge:
V1 = − sV
• Sostituendo in
si ottiene:
3/3
V1 =
(1 + s ) E + (1 + 2 s )V
s 2 + 4s + 2
1+ s
1
V =− 3
E=− 2
E
2
s + 4s + 4s + 1
s + 3s + 1
1
• Funzione di trasferimento: H ( s ) = − 2
s + 3s + 1
Lezione 14
37
Esempio 3
•
1/4
Il circuito in figura è nel dominio delle frequenze
– calcolare la funzione di trasferimento H(s)=V/E
Lezione 14
38
Esempio 3
2/4
• Circuito equivalente
• Applicando Millman:
E
V
+
1 (1/ s ) || (1 + 1/ s )
V1 =
1 1
1
+ +
1 1 (1/ s ) || (1 + 1/ s )
Lezione 14
V
V
+ 1
V + sV1
V2 = 1 1/ s =
= V− = V+ = 0
1 1
s +1
+
1 1/ s
39
Esempio 3
• L’equazione
porge:
V2 =
3/4
V + sV1
=0
s +1
1
V1 = − V
s
• Sostituendo in
si ottiene:
V =−
E
V
+
1 (1/ s ) || (1 + 1/ s )
V1 =
1 1
1
+ +
1 1 (1/ s ) || (1 + 1/ s )
s
E
2
s + 2s + 2
•Lezione
Funzione
di
trasferimento:
14
s
H (s) = − 2
s + 2s + 2
40
Esempio 3
Procedimento con il metodo dei nodi
nodo 1 :
4/4
E − V1
V1
= s (V1 − V ) + + sV1
1
1
s
E
⇒V = − 2
s + s +1
nodo 2 :
Lezione 14
V
sV1 + = 0
1
41
Esempio 4
Lezione 14
42
Altro metodo per l’esempio 4
Lezione 14
43
Introduzione
Lezione 14
44
Risuonatori
• I circuiti risuonatori sono particolari circuiti che
hanno una funzione di trasferimento che
presenta una banda molto stretta nell'intorno
di una pulsazione che prende il nome di
pulsazione di risonanza.
Risuonatori
Risuonatori
parallelo
serie
Lezione 14
45
Risuonatore parallelo 1/4
•
Funzione di trasferimento
H ( jω ) =
1
1
1
+
jω C +
jω L R
V ( s)
1
 1 
H (s) =
= R || ( sL) || 
=
A( s )
 sC  sC + 1 + 1
sL R
Lezione 14
46
Risuonatore parallelo 2/4
• Funzione di trasferimento:
H ( jω ) =
1
1
1
+
jω C +
jω L R
=
R
 ω ωo 
1+ j Q  − 
 ωo ω 
• Parametri del risuonatore parallelo:
– pulsazione di risonanza:
– fattore di qualità:
Lezione 14
ωo =
1
LC
Q = ωo RC
47
Risuonatore parallelo 3/4
• Spettro di ampiezza della funzione di
trasferimento
– la banda è centrata nella pulsazione di risonanza.
– al crescere di Q diminuisce la banda
Lezione 14
48
Risuonatore parallelo 4/4
• Larghezza di banda (a 3 dB) della funzione di
trasferimento
– la banda viene definita dall’intervallo di pulsazione
dove lo spettro risulta nel margine di 3 dB dal valore
massimo
– per valori elevati di
Q risulta:
B≈
Lezione 14
ωo
Q
49
Espressione generale di Q
• In un risuonatore arbitrario che funziona in
regime sinusoidale alla pulsazione di risonanza
– la somma W della energia sul condensatore e
dell’energia sull’induttore non varia nel tempo
– in un periodo viene dissipata una energia che è pari
alla potenza attiva moltiplicata il periodo
•
Il fattore di qualità Q è espresso anche dalla
formula:
W
Q = 2π
energia dissipata in un periodo
Lezione 14
50
Esempio
• Valutare il fattore di qualità di un risuonatore
che lavorando alla frequenza di fo= 1 MHz
abbia un banda di Bf= 1 kHz
– Risulta:
Lezione 14
ωo
f o 106
=
= 3 = 1000
Q=
B B f 10
51