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Probabilità e tassi
Giambattista Salinari
Dipartimento di Statistica di Firenze
Tutte le
informazioni
Prob. Eventi NONrinnovabili
Prob. Eventi
rinnovabili
Eventi
Tassi eventi NONrinnovabili
Alcune
informazioni
mancanti
(I categoria)
Tassi eventi
Rinnovabili
(II categoria)
Probabilità
Quando tutti gli aspetti del fenomeno
ci sono noti...
Struttura della
popolazione
Traiettorie complete
nell’intervallo [x, x+3];
Traiettorie incomplete
nell’intervallo [x, x+3].
s
c
Gx = Generazione
femminile al tempo x
Stato civile:
sposato/nubile
s
c
Vogliamo definire la probabilità di primo
matrimonio nell’intervallo temporale [x, x+1]
p_x
Celibe
Sposato
Primo tentativo (molto sbagliato)
Probabilità del sottoinsieme
di individui sposati all’età x+1
Probabilità della
Generazione all’età x
s
Probabilità di Sx+1 condizionata a
Gx. Probabilità di appartenere a
Sx+1 se si appartiene a Gx
c
s
c
Errori:
1) Non si tiene conto che alcuni individui
escono nell’intervallo [x, x+1]
2) Non si tiene conto del fatto che alcuni
individui erano già sposati all’età x
Secondo tentativo (sbagliato)
Probabilità di essere sposato all’età x+1
se si sopravvive all’intervallo [x, x+1]
s
c
s
c
Errore:
1) Non si tiene conto del fatto che alcuni
individui erano già sposati all’età x
Terzo tentativo (giusto)
Probabilità di essere sposato all’età x+1,
se si è celibi all’età x e si sopravvive
nell’intervallo [x, x+1]
Equivalente a
s
c
s
c
La nuzialità nell’intervallo [x, x+1] è
stata così depurata dai fenomeni
perturbatori dovuti alla mortalità e
alla nuzialità pregressa.
Un piccolo aggiustamento
Poiché Gx+1 è un
sottoinsieme di Gx allora:
Ma allora la formula:
Può essere riscritta :
Consideriamo il caso di un evento
rinnovabile
In questo caso NON si deve depurare il
fenomeno dalla fecondità pregressa,
perché la fecondità pregressa non
impedisce la fecondità attuale. Dunque:
1
0
1
0
Numero di figli avuti
nell’intervallo [x, x+1]
Molto spesso mancano le informazioni... Nel
caso di eventi NON- rinnovabili...
Conosciamo:
s
c
Ignoriamo:
s
c
Non possiamo calcolare:
Molto spesso mancano le informazioni... Nel
caso di eventi rinnovabili...
Conosciamo:
Numero di
bambini avuti
fra x e x+1
1
0
Ignoriamo:
1
0
Non possiamo calcolare:
Tassi
Quando alcuni aspetti del processo
sono ignoti...
Consideriamo il caso di un evento
rinnovabile
Da un punto di vista ideale..
=
1
0
1
0
Numero di figli avuti
nell’intervallo [x, x+1]
Stima sotto ipotesi di omogeneità:
Molto spesso però mancano le informazioni...
Nel caso di eventi rinnovabili...
Conosciamo:
Numero di
bambini avuti
fra x e x+1
1
0
Ignoriamo:
1
0
Non possiamo stimare:
Se
Nessun indivduo esce d’osservazione
Allora..
1
Numero di bambini
nati fra x e x+1
0
Dunque ancora per l’ipotesi di omogeneità:
Se
Alcuni individui escono d’osservazione
Allora..
Numero di bambini
nati fra x e x+1
1
0
Dunque:
1
0
Dobbiamo introdurre delle nuove
ipotesi!
Per definizione
Nascite da
Nascite in
= soprav. x+1
[x,x+1]
+
Una certa
frazione
di
Nscite da NON
soprav. x+1
Assunzione di omogeneità 1
Nacite da
soprav. X+1
=
Prob. di avere un
figlio in [x, x+1]
per
Numero
soprav. X+1
Assunzione di omogeneità 2
Nascite da NON
=
soprav. x+1
Prob. di avere
un figlio
Prima di uscire
dalla pop.
Dalle NON
soprav. x+1
Per =2  equidistribuzione
(Nell’insieme delle donne che escono (Ux) metà degli eventi nascita si producono
prima dell’uscita)
Sotto l’ipotesi di equidistribuzione un tasso specifico di fecondità è dato dal
numero di eventi in rapporto alla popolazione media.
Nuzialità( classe degli eventi NON rinnovabili)
Probabilità teorica
Se si conosce solo la distrib. della pop.
per età, sesso e stato civile :
s
c
s
c
Se si conosce anche la distribuzione
delle uscite e degli ingressi per età,
sesso e stato civile:
Mortalità
Probabilità teorica
Probabilità empirica
Se i decessi non sono
classificti per luogo d’origine
Prob. teoriche
Prob. empiriche
(ipotesi di omogeneità;
tutte le inform. Disp.
Non si conosce
l’anno di nascita del
deceduto
Tassi
(ipotesi di omogeneità +
ipoesi sulla distribuzione
degli eventi perturbatori
nel corso di [x, x+1]
Non si conosce il
numero di nascite
da donne sopravv.
Non si conosce il
numero di
matrimoni di donne
sopravv.
I tassi di seconda categoria
si possono sommare
Tasso di fecondità (II categoria)
Classificazione
dei tassi
Tasso di nuzialità di I categoria
Tasso di nuzialità di II categoria
I tassi di prima categoria
non si possono sommare