Proporzionalità e miscugli di colori

Proporzionalità e
miscugli di colori
Un approccio sperimentale
a cura di Paola Bevilacqua
Seminario sul curricolo
verticale
Roma, 23/05/2014

Il ragionamento proporzionale, con le sue
numerose implicazioni per le scienze, è un
tema centrale nella scuola media.

L’insegnamento di regole e procedimenti
rischia di sovrapporsi, anziché sostituirsi,
al pensiero “ingenuo” di tipo additivo che
nei ragazzi di questa età spesso prevale
rispetto a quello di tipo moltiplicativo.
Considerazioni generali
Seminario sul curricolo verticale

Così il modello additivo può fare di nuovo la
sua comparsa quando l’alunno (o anche
l’adulto!) si viene a trovare in una situazione
problematica di tipo nuovo.

Pertanto: per un apprendimento significativo
non ci si può basare su un metodo che
comporti la sola memorizzazione di regole e
procedimenti e che comporti lo svolgimento
di esercizi spesso lontani dal vissuto degli
alunni.
Seminario sul curricolo verticale

Le numerose discussioni ed il confronto all’interno del
gruppo “laboratorio di matematica”;

La ricerca didattica attuale mette al centro la
discussione tra pari – coordinata dall’insegnante che faccia emergere un atteggiamento di ricerca negli
alunni per arrivare a costruire le strategie risolutive
adatte a risolvere problemi significativi per questa
età.

Si veda: A. Pesci “Lo sviluppo del pensiero
proporzionale nella discussione di classe” ed.
Pitagora, Bologna 2002;
Punto di partenza
Seminario sul curricolo verticale

Una classe seconda media, poco numerosa
ma talvolta problematica per la continua
conflittualità, specialmente tra gli alunni
maschi.

Le poche femmine hanno molta difficoltà a
prendere la parola.

Due alunni con differenti problemi cognitivi e
di relazione.
La classe
Seminario sul curricolo verticale

Alle lezioni frontali ho alternato le attività
laboratoriali.

Ciascuna attività propone una situazione
problematica su cui i ragazzi sono invitati a
ragionare individualmente scrivendo i propri
ragionamenti su una scheda.

Segue la lettura ad alta voce delle proprie
considerazioni e la discussione in cui ciascuno è
invitato a esprimere la propria opinione.

Ciascuno scrive le conclusioni a cui è arrivato al
termine della discussione.
Il percorso didattico
Seminario sul curricolo verticale

Le situazioni problematiche sono state
proposte agli alunni sotto forma di schede da
compilare individualmente:
n.1 - «I miscugli di colore»
n.2 - «Chi è il migliore in campo?»
n.3 - «Le età di due fratelli»
n.4 - «Pareggiare è bello»
Le schede proposte
Seminario sul curricolo verticale
1
Marco , Luisa e Piero vogliono dipingere con lo stesso esatto colorerei pannelli da portare a scuola.
Marco ha dipinto il suo pannello utilizzando un miscuglio ottenuto con
4 barattoli di blu e 6 barattoli di giallo
Luisa deve ottenere lo stesso colore, ed ha a disposizione 10 barattoli di blu. Di quanti barattoli di
giallo ha bisogno?
Piero ha 3 barattoli di giallo: di quanti barattoli di blu ha bisogno ?
Prima di rispondere colloca i dati nella tabella :
BARATTOLI DI BLU
MARCO
4
LUISA
10
PIERO
BARATTOLI DI GIALLO
6
3
Spiega il tuo ragionamento per completare la tabella:
per LUISA
Per PIERO
Seminario sul curricolo verticale
7 alunni su 17 riportano questi numeri:
MARCO
LUISA
PIERO
BARATTOLI DI BLU
4
10
1
BARATTOLI DI GIALLO
6
12
3
Le motivazioni di Matteo sono esemplificative del ragionamento additivo di questi alunni:
Per LUISA: “Perché Luisa ha 10 barattoli di blu e per fare il verde bisogna avere 2 tubetti di giallo
in più di quelli blu e ho addizionato 2 a 10”
Per PIERO: “Perché Piero ha 3 tubetti di giallo e per fare il verde devi avere 2 barattoli in meno e
ho sottratto 2 al 3”.
Seminario sul curricolo verticale
6 alunni su 17 riportano questi valori:
MARCO
LUISA
PIERO
BARATTOLI DI BLU
4
10
2
BARATTOLI DI GIALLO
6
15
3
Le motivazioni di Massimiliano sono le più articolate:
“Per Luisa ho calcolato il rapporto in frazioni dei numeri dei barattoli blu e gialli di Marco, poi ho
moltiplicato per 5 i numeri delle frazioni. Per Piero ho calcolato il rapporto in frazione dei barattoli
blu e gialli di Marco”
Seminario sul curricolo verticale
4 alunni infine non riescono a risolvere il problema, o utilizzano il metodo additivo in un caso e
quello moltiplicativo nell’altro, in quanto le due modalità risolutive sono contemporaneamente
presenti:
MARCO
LUISA
PIERO
BARATTOLI DI BLU
4
10
1o2
BARATTOLI DI GIALLO
6
più di 10
3
Seminario sul curricolo verticale
Prima della discussione
Dopo la discussione
Ragionamento additivo
7
2
Ragionamento proporzionale
6
9
Additivo e proporzionale
2
0
Non rispondono
2
6
Le risposte al problema
Seminario sul curricolo verticale
2
Martina, Federico, Carlo e Sofia sono giocatori della squadra di pallavolo della classe seconda M.
Durante l’anno scolastico hanno partecipato a diversi tornei ottenendo i seguenti risultati
individuali:
Martina
Federico
Carlo
Sofia
Punti ottenuti
15
20
28
48
schiacciate fatte
30
90
52
100
Puoi dire in base a questi dati chi tra loro è il più bravo? …………………………………………
Spiega qui sotto come sei arrivato alla tua conclusione. Se ti sembra utile puoi anche utilizzare
tabelle, schemi, segmenti
Seminario sul curricolo verticale

Le risposte a questa scheda sono piuttosto uniformi:
Carlo
Martina
Sofia
12
2
1

Valentina spiega: “Il migliore è Carlo, perché la metà
di 52 è 26, e su 52 ne ha fatte giuste più della metà’’.

Matteo spiega: “Basta fare i rapporti per ogni
giocatore usando come antecedente le schiacciate
fatte e come conseguente i punti ottenuti.’’
«Chi è il migliore in campo?»
Seminario sul curricolo verticale
3
Piero, di appena 2 anni, ha una sorella, Chiara, di 8 anni. Piero è molto contento di avere una sorella
e la guarda con occhi incantati. Ma quando i genitori comprano le patatine o la cioccolata per
Chiara e lasciano Piero a bocca asciutta (“tu sei troppo piccolo!” Piero non è più tanto contento di
avere una sorella grande. L’unica consolazione , in queste occasioni, è quella di pensare: “ Ora io
sono piccolo e lei è grande, ma prima o poi la raggiungerò e verrà il momento in cui io diventerò
grande come lei!”
Prova ora a rispondere a queste domande:
Cosa c’è di falso in quello che dice Piero?
Cosa c’è di vero in quello che dice Piero?
Per aiutarti a comprendere meglio la situazione completa le tabelle qui sotto:
Oggi
Tra 10 anni
Tra 20 anni
Tra 30 anni
……..
Età di Piero
2
12
Età di Chiara
8
Differenza di età
8–2=6
28
Che cosa noti riguardo alla differenza tra le età dei due fratelli?
Oggi
Tra 10 anni
Tra 20 anni
Tra 30 anni
……..
Età di Piero
Età di Chiara
2
12
8
Confronto come
Rapporto o frazione
28
Che cosa noti se confronti le età dei due fratelli con un rapporto tra le loro età?
Seminario sul curricolo verticale

Risultati: al termine della discussione tutti
concordano che “differenza di età” e
“rapporto tra le età” dei due fratelli hanno
significati diversi.
«Le età dei due fratelli»
Seminario sul curricolo verticale
4
Nella tabella che segue ci sono i risultati individuali ottenuti da diversi giocatori di una stessa
squadra di pallavolo.
Completa la tabella in modo che i giocatori si possano considerare ugualmente bravi (in base ai
punteggi riportati sulla tabella):
N. punti
realizzati
N. schiacciate
fatte
Claudio
Enzo
Anna
Marco
Elena
20
10
……
50
……
70
…….
105
…..
……
Spiega come hai fatto per trovare i numeri per completare la tabella.
Per Enzo:…………………………………………………………………………………………….
Per Anna…………………………………………………………………………………………….
Per Claudio ………………………………………………………………………………………….
Per Elena …………………………………………………………………………………………….
Seminario sul curricolo verticale

Risultati:
Rispondono correttamente: 14
Risponde in modo errato:
1
Non risponde:
1

Domenico aveva avuto difficoltà nelle prime schede, ora
spiega: “Per trovare la proporzione di Enzo vedendo che 20
era diventato 10 ho capito che anche 70 era da dividere e
così sono andato avanti per trovare i risultati ho fatto dei
rapporti partendo da 10 e 35.”

Vittoria, che aveva trovato difficoltà in tutte le situazioni
precedenti, spiega: «Per Enzo ho diviso i punti e le
schiacciate per uno stesso numero. Ho fatto lo stesso per
tutti gli altri.»
«Pareggiare è bello»
Seminario sul curricolo verticale

Attività conclusiva è stata una verifica sperimentale delle
due ipotesi - additiva o moltiplicativa - per i miscugli di
colore.

La classe è stata suddivisa in due gruppi sulla base delle
risposte iniziali alla prima scheda sui miscugli di colore
(“gruppo addizioni” e “gruppo rapporti”).

All’interno di ciascun gruppo ciascun alunno ha avuto un
compito definito: pesatori, pittori e coordinatore del
gruppo.

Anche il metodo da seguire è stato discusso nel dettaglio in
classe prima di intraprendere il lavoro, in modo che
ciascuno fosse consapevole di quanto si stava facendo.
La verifica sperimentale
Seminario sul curricolo verticale


Il lavoro viene in
seguito progettato
nei dettagli
all’inizio i ragazzi si
trovano ad affrontare
alcune difficoltà
tecniche
Si inizia l’attività
Seminario sul curricolo verticale
Le pesate vengono fatte con due strumenti diversi; la
bilancia a due piatti si è dimostrata, a discapito delle
previsioni, più comoda e affidabile di quella elettronica.
Seminario sul curricolo verticale
I colori vengono mischiati in
modo preciso nelle quantità
volute
Si dipingono i fogli per far
risaltare meglio le differenze
di colore
Seminario sul curricolo verticale
Gruppo addizioni: i primi
tre campioni in alto
mostrano tonalità molto
diverse tra loro
Gruppo rapporti: escluso
il primo campione dall’alto,
gli altri tre miscugli hanno
mostrato la stessa tonalità
I risultati dell’esperimento
Seminario sul curricolo verticale
La relazione di
Valerio
Seminario sul curricolo verticale

Validità dell’approccio che rende partecipi i ragazzi
nella costruzione delle proprie conoscenze.

Necessità di una scelta ben ponderata degli
argomenti centrali cui dedicare maggior tempo,
sacrificando altri argomenti non necessari.

E’ possibile ridurre il numero degli esercizi ripetitivi e
aumentare quelli significativi.

Utile nelle classi “problematiche” per favorire la
partecipazione di tutti e l’ascolto delle idee degli
altri.
Alcune riflessioni per concludere
Seminario sul curricolo verticale