Diapositive prodotti notevoli

Istituto di Istruzione Secondaria Superiore “
G.G. Adria”
Lavoro di gruppo
Prodotti notevoli
Prof.ssa Erminia Conti
Prof.ssa Caterina Piccione
Prof.ssa Dora Giacalone
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
1
I Prodotti Notevoli






Quadrato di binomio
Cubo di binomio
Quadrato di polinomio
Potenza n-esima di binomio
Somma per differenza
Altri prodotti notevoli
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
2
Quadrato di un Binomio





Cerchiamo la regola
La regola
Il significato geometrico
Esempi
Esercizi proposti
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
3
Quadrato di binomio:
significato algebrico
(a+b)2 = (a+b) (a+b) =
= a2+ab+ab+b2 =
= a2+2ab+b2
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
4
Quadrato di binomio:
la regola
(a+b)
2
=a
2
+ 2ab + b
2
Il quadrato di un binomio è un trinomio avente per
termini:
• il quadrato del 1° monomio
• il doppio prodotto del 1° monomio per il 2°
• il quadrato del 2° monomio
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
5
Quadrato di binomio:
significato geometrico
(a + b)2
(a + b)
a
ab
b2
a2
ab
b
(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
6
Quadrato di binomio:
esempi
(2a+b)2 = (2a)2+2(2a)(+b)+(+b)2 = 4a2 + 4ab + b2
(2a - b)2 = (2a)2+2(2a)(-b)+(-b)2 = 4a2 - 4ab + b2
(3a+2b)2 = (3a)2 +2(3a)(+2b) +(+2b)2 = 9a2 +12ab +4b2
(3a -2b)2 = (3a)2 +2(3a)(-2b) +(-2b)2 = 9a2 - 12ab +4b2
(-3a -2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(-2b)+(-2b)2 = 9a2 +12ab +4b2
(-3a+2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(+2b)+(+2b)2 = 9a2 -12ab+4b2
2
2
5  1 
1 2 5
25 2
1
 1  5   5 
y
 x  y    x   2 x   y     y   x  xy 
2  3 
9
3
4
3
 3  2   2 
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
7
Quadrato di binomio:
esercizi









(3a + 5)2 =
(2a - 3b)2 =
(-2a – 3b)2 =
(x2 + 3y)2 =
(5x – 3y)2 =
(5a2 + 2b2)2 =
(-3x3 – 2y2)2 =
(2xy – 3y)2 =
(7ab – 2a)2 =
9a2 + 30 a + 25
4a2 - 12 ab + 9b2
4a2 + 12 ab + 9b2
x4 + 6 x2y + 9y2
25x2 – 30xy + 9y2
25a4 + 20 a2b2 + 4b4
9x6 + 12 x3y2 + 4y4
4x2y2 - 12 xy2 + 9y2
49a2b2 - 28 a2b + 4a2
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
8
Quadrato di binomio:
esercizi
2
1 2
a  3ab  9b 2
4

1

 a  3b  
2


3

 a  3b  
2


1 
3
 a  b 
5 
2
2
1 
3
 a  b 
5 
5

2
2
2

1 
5
 a  b 
3 
3

1 
1
 a  ab  
3 
3

2 2 1 2
 a  b  
2 
3
2
2
9 2
a  9ab  9b 2
4
9 2 3
1
a  ab  b 2
4
5
25
9 2 6
1
a 
ab  b 2
25
25
25
25 2 10
1
a  ab  b 2
9
9
9
1 2 2 2
1
a  a b  a 2b 2
9
9
9
4 4 2 2 2 1 4
a  a b  b
9
3
4
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
9
Cubo di un Binomio





Cerchiamo la regola
La regola
Il significato geometrico
Esempi
Esercizi proposti
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
10
Cubo di binomio:
significato algebrico
(a+b)3 = (a+b)2 (a+b) =
= (a2+2ab+b2) (a+b) =
= a3+a2b+2 a2b+2ab2+ab2+b3=
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
11
Cubo di binomio:
la regola
(a+b)
3
=a
3
+ 3a2b + 3ab2 + b
3
Il cubo di un binomio è un quadrinomio avente per
termini:
• il cubo del 1° monomio
• il triplo prodotto del quadrato del 1° per il 2°
• il triplo prodotto del 1° per il quadrato del 2°
• il cubo del 2° monomio
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
12
Cubo di binomio: significato
geometrico
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
13
Cubo di binomio:
esempi
(2a+b)3 = (2a)3 +3(2a)2(+b) +3(2a)(+b)2 +(+b)3 =
= 8a3 + 12a2b + 6ab2 + b3
(2a - b)3 = (2a)3+3(2a)2(-b)+3(2a)(-b)2 +(-b)3 =
= 8a3 - 12a2b + 6ab2 - b3
(-3a -2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (-2b)+3(-3a)(-2b)2 +(-2b)3 =
= -27a3 - 54a2 b - 36ab2 - b3
(-3a +2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (+2b)+3(-3a)(+2b)2 +(+2b)3
= -27a3 + 54a2 b - 36ab2 + b3
3
3
2
2
3
5 
1 3 5 2
25 2 25 3
1
1 
 1   5   1  5   5 
a  a b
ab  b
 a  b    a   3 a    b   3 a   b    b  
2 
27
6
4
4
3
3 
 3   2   3  2   2 
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
14
Cubo di binomio:
esercizi








8a3+12a2+6a+1
(2a + 1)3 =
27a3-27a2b+6ab2-b3
(3a - b)3 =
(-2x - 3y)3 = -8x3-36x2y-54xy2-27y3
a6+9a4 b+27a2b2+27b3
(a2 + 3b)3 =
8a3-36a2 b+54ab2 -27b3
(a - 3b)3 =
(a2 + 2b2)3 = a6+6a4 b2+12a2b4+8b6
(3a3 - 2b2)3 = 27a9-54a6b2+36a3b4-8b6
(2ab - 3b)3 = 8a2b2-36a2 b3+54ab3-27b3
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
15
Cubo di binomio:
esercizi
3

1

 a  3b  
2


3

 a  3b  
2


1 
3
 a  b 
3 
2

1 
1
 a  b 
3 
5

1 
2
 a  b 
3 
3

1

 a  ab  
3


1 2 1 2 
 a  b  
2 
3
1 3 9 2
27 2
a  a b
ab  27b 3
8
4
2
3
27 3 81 2
81
a  a b  ab 2  27b 3
8
4
2
3
3
3
27 3 9 2
1
1
a  a b  ab 2  b 3
8
4
2
27
1 3 1 2
1
1 3
a 
a b  ab 2 
b
125
25
15
27
8 3 4 2
2
1
a  a b  ab 2  b 3
27
9
9
27
3
1 3 1 3
a  a b  a 3b 2  a 3b 3
27
3
3
1 6 1 4 2 1 2 2 1 6
a  a b  a b  b
27
6
4
8
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
16
Quadrato di un
Polinomio





Cerchiamo la regola
La regola
Il significato geometrico
Esempi
Esercizi proposti
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
17
Quadrato di polinomio:
significato algebrico
(a+b+c)2 = (a+b+c) (a+b+c) =
= a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2 =
= a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
18
Quadrato di polinomio:
la regola
(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi
di termini è un polinomio avente per termini:
• il quadrato di tutti i termini
• il doppio prodotto (con il relativo segno) di
ciascun termine per tutti quelli che lo seguono
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
19
Quadrato di polinomio:
significato geometrico
(a+b+c)2
(a+b+c)
a
b
ac
bc
c2
ab
b2
bc
a2
ab
ac
c
(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
20
Quadrato di polinomio:
esempi
(2a + b + 3c)2 =
=(2a)2+(+b)2+(+3c)2+2(2a)(+b)+2(2a)(+3c)+2(+b)(+3c)
= 4a2 + b2 + 9c2 + 4ab + 12ac + 12bc
(2a - b - c)2 =
= (2a)2+(-b)2+(-c)2+2(2a)(-b)+2(2a)(-c)+2(-b)(-c)=
= 4a2 + b2 + c2 - 4ab - 4ac + 2bc
(-3a - 2b + c )2 =
=(-3a)2+(-2b)2+(+c)2+2(-3a)(-2b)+2(-3a)(+c)+2(-2b)(+c)
= 9a2 + 4b2 + c2 + 12ab - 6ac - 4bc
2
2
2
5
1

1   5 
 1  5   1 
 5 
2
 x  y  1   x     y    1  2 x   y   2 x  1  2  y  1 
2
3

3   2 
 3  2   3 
 2 
1 2 25 2
5
2
x 
y  1  xy  x  5 y
9
4
3
3
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
21
Quadrato di polinomio:
esercizi

(2a + 2b + 7)2 =
4a2+4b2+49+8ab+24a+24b

(3a - 4b - 2c)2 =

(-2x - 3y + 1)2 =
9a2+16b2+4c2-24ab-12ac+16bc
4x2+9y2+1+12 xy - 4x - 6y

(a2 + 3b - c)2 =
a4+9b2+c2 + 6a2b - 2a2c - 6bc

(5a + 2b + c)2 =
25a2+4b2+c2 +20ab+10ac+4bc

(-3a3+2b2+1)2 =

(2ab - 3b - 2)2 =
9a6 +4b4+1 - 12a3b2- 6a3+4b2
4a2b2 +9b2+4-12ab2-8ab+12b

(7xy - 2x -
1)2
=
49x2y2+4x2+1- 28 x2y -14xy+4x
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
22
Potenza n-esima di
Binomio





Cerchiamo la regola
Triangolo di Tartaglia
La regola
Esempi
Esercizi proposti
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
23
Potenza n-esima di binomio:
cerchiamo una regola
(a+b)0 =
(a+b)1 =
(a+b)2 =
(a+b)3 =
(a+b)4 =
(a+b)5 =
(a+b)6 =
1
a+b
a2+2ab+b2
a3+3a2b+3ab2+b3
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
» lo sviluppo di (a+b)n contiene sempre n+1 termini
» i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono
uguali
» in ogni termine dello sviluppo gli esponenti della lettera a decrescono da an ad
a0=1 e gli esponenti della lettera b crescono da b0=1 a bn
» i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema detto “ Triangolo di
Tartaglia”
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
24
Potenza n-esima di binomio:
Triangolo di Tartaglia
(a+b)0 =
1
(a+b)1 =
1
(a+b)2 =
1
(a+b)3 =
1
(a+b)4 =
1
(a+b)5 =
(a+b)6 =
1
1
2
3
4
5
6
1
15
1
3
6
10
20
1
4
10
1
5
15
1
6
1
In questo prospetto:
* ogni riga inizia e termina con 1
* ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti
della riga precedente
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
25
Potenza n-esima di binomio:
la regola
(a+b)n = an+nan-1b + ……. + nabn-1+bn
La potenza n-esima di un binomio è un polinomio
omogeneo di grado n, ordinato e completo secondo
le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui
coefficienti si ottengono dal Triangolo di Tartaglia.
In pratica, si procede nel seguente modo:
• si scrive la parte letterale di ogni monomio tenendo conto che è di grado
n e le potenze di a decrescono (da n fino a 0) e di b crescono(da 0 ad n)
• si calcolano i coefficienti di ogni monomio con il Triangolo di Tartaglia
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
26
Potenza n-esima di binomio:
esempi
(a + b)4 = (a)4+4(a)3(+b)+6(a)2(+b)2+4(a)(+b)3+(+b)4 =
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a - b)4 = (a)4+4(a)3(-b)+6(a)2(-b)2+4(a)(-b)3+(-b)4 =
= a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4
(2a+b)5 =
=(2a)5+5(2a)4(b)+10(2a)3(b)2+10(2a)2(b)3 +5(2a)(b)4+(b)5
=32a5+5(16a4)(b)+10(8a3)(b2) +10(4a2)(b3) +5(2a)(b4)+b5
=32a5 + 80a4b + 80a3b2 + 40a2b3 + 10ab4 + b5
(3a-2b)4 =
=(3a)4 +4(3a)3(-2b)+6(3a)2(-2b)2+4(3a)(-2b)3+(-2b)4 =
=81a4 +4(27a3)(-2b)+6(9a2 )(+4b2)+4(3a)(-8b3)+16b4=
= 81a4 - 216a3b + 216a2b2 - 96ab3 + 16b4
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
27
Potenza n-esima di binomio:
esercizi








(2a - b)4 = 16a4 - 32a3b + 24a2b2 - 8ab3 + b4
(a +b)7 = a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7
(a - b)7 = a7-7a6b+21a5b2-35a4b3+35a3b4-21a2b5+7ab6-b7
(a - b)6 = a6- 6a5b +15a4b2 - 20a3b3+15a2b4 - 6ab5+ b6
(a +2b)4 = a4 + 8a3b + 24a2b2 + 32ab3 + 16b4
(a - 2b)4 = a4 - 8a3b + 24a2b2 - 32ab3 + 16b4
(a +2b)5 = a5 +10a4b + 40a3b2+ 80a2b3 +80ab4+32b5
(-x - y)5 = - x5 - 5x4 y - 10x3y2 - 10x2y3 - 5xy4 - y5
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
28
Somma per differenza




Cerchiamo la regola
La regola
Esempi
Esercizi proposti
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
29
Somma per differenza:
significato algebrico
(a+b) (a-b) =
= a2 - ab + ab - b2 =
= a2 - b2
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
30
Somma per differenza:
la regola
(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
Il prodotto della somma di due termini
per la loro differenza è uguale al
quadrato del primo termine meno il
quadrato del secondo termine
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
31
Somma per differenza:
esempi
(2a+b) (2a+b) = (2a)2 - (b)2 = 4a2 - b2
(2a - 5b) (2a + 5b) = (2a)2 - (5b)2 = 4a2 - 25b2
(3a+2b) (3a-2b) = (3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2
(-a +2b) (-a - 2b) = (-3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2
(4a + b) (- 4a + b) = (b)2 - (4a)2 = b2 - 16a2
(-3b+2a) (+3b+2a) = (2a)2 - (3b)2 = 4a2 - 9b2
2
2
5  1
5  1  5 
1 2 25 2
1
y
 x  y  x  y    x    y   x 
2  3
2  3  2 
9
4
3
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
32
Somma per differenza:
esercizi







(2a + 7)(2a - 7)=
(3a - 4b)(3a+ 4b) =
(-2x - 3y)(-2x+3y) =
(a2 + 3b)(a2 - 3b) =
4a2 - 49
9a2 - 16b2
(5a - 3b)(5a+ 3b) =
(5a2+2b2)(5a2 -2b2)
=
(-3a3+2b2)(-3a3-2b2)
=
25a4 - 4b4
4x2 - 9y2
a4 - 9b2
25a2 - 9b2
9a6 - 4b4
9b2 - 4a2
4x2 - 49x2y2
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
33
Somma per differenza:
esercizi

1
 1

 a  3b  a  3b  
2
 2

1 2
a  9b 2
4

3
 3

 a  3b  a  3b  
2
 2

9 2
a  9b 2
4

1  3
1 
3
 a  b   a  b  
5  2
5 
2
1 2 9 2
b  a
25
4

1  3
1 
 3
  a  b   a  b  
5  5
5 
 5
9 2 1 2
a  b
25
25

[(a+b) - 1] [(a+b) +1] = (a+b)2 - 1

prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
34
Altri Prodotti Notevoli





Somma di cubi
Differenza di cubi
La regola
Esempi
Esercizi proposti
prof.sse: Conti - Piccione - Giacalone
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Somma di Cubi:
significato algebrico
(a+b) (a2 - ab + b2 ) =
= a3 - a2b + ab2 + a2b- ab2 + b3 =
= a3 + b3
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Differenza di Cubi:
significato algebrico
(a - b) (a2 + ab + b2 ) =
= a3 + a2b + ab2 - a2b- ab2 - b3 =
= a3 - b3
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Somma o differenza di cubi:
la regola
(a+b)(a2 - ab + b2 ) = a3 + b3
Il prodotto della somma di due termini per il
trinomio formato dal quadrato dei due termini e
dalla differenza del loro prodotto è uguale al cubo
del primo termine più il cubo del secondo termine
(a - b)(a2 + ab + b2 ) = a3 - b3
Il prodotto della differenza di due termini per il
trinomio formato dal quadrato dei due termini e
dalla somma del loro prodotto è uguale al cubo del
primo termine meno il cubo del secondo termine
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Somma o Differenza di Cubi:
esempi
(2a + b)(4a2 - 2ab + b2) = (2a)3 + (b)3 = 8a3 + b3
(2a - b)(4a2 + 2ab + b2) = (2a)3 - (b)3 = 8a3 - b3
(3a+2b)(9a2- 6ab +4b2)= (3a)3 + (2b)3 = 27a3 +
8b3
(3a - 2b)(9a2+ 6ab +4b2)= (3a)3 - (2b)3 = 27a3 - 8b3
3
3
3
3
3  1 2 1
9 2  1   3 
1 3 27 3
1
a 
b
 a  b  a  ab  b    a    b  
3
4
9
4
16
3
4
27
64


    
3  1 2 1
9 2  1   3 
1 3 27 3
1
a  b
 a  b  a  ab  b    a    b  
3
4
9
4
16
3
4
27
64


    
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Somma o Differenza di Cubi:
esercizi

(2a + 7)(4a2 - 14ab + 49)=

(3a - 4b)(9a2+12ab+16b2) =

(2x - 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) =

(a2 + 3b)(a4 +9b2 - 3a2b ) =

(5a - 3b)(25a2+15ab+9b2) =
8x3 - 27y3
a6 + 27b3
125a3 - 27b3

(x2 + 2y2)(x4 - 2x2y2 + 4y4) =
x6 + 8y6

(3a3+ b2)(9a6- 3a3b2 + b4) =
27a9 + b6

(2a + 3b)( 4a2 - 6ab+9b2) =

(x - 2y)( x2 +2xy + 4y2) =
8a2 + 27b2
x3 - 8y3
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8a3 + 343
27a3 - 64b3
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