Lez5-2005

MOMENTO ANGOLARE
del corpo rigido
definizione
1
Momento angolare del corpo rigido
momento angolare infinitesimo dell’elemento
di massa dm, nel punto A
    
 
dL  r  dp  r  vdm  r  v dV
dL  r sin vdV

dL
O
r sin 

r


v
A dm
momento angolare totale del corpo
rigido


L   dL 
 
 
 
 r  dp   r  v dm   r  v dV
l’integrazione va estesa atutto il volume del corpo rigido
rotazione piana
momento angolare rispetto
all’asse di rotazione
3
    
 
dL  r  dp  r  v dm  r  v dV


 
L   dL  volume r  v dV
volume
Lz  L sin   
volume
dLz  dL sin 
r sin vdV

r sin  r sin  dV
volume

 
r sin  r sin  dV
volume


r sin   dV
volume
volume
 
22
momento di inerzia del
corpo rigido rispetto a z
x
v  r sin 
  
v  r
z


A
 
dp  v dm
r sin 

dL

O

r
y
Lz  I
rotazione piana di un corpo rigido attorno all’asse z
4
osservazione
Lz  I
• questa equazione è scalare
• essa vale indipendentemente dalla
forma del corpo
• essa vale solo per la componente Lz del
momento angolare L
• essa vale per tutto L solo quando asse
di rotazione e momento angolare L
sono paralleli
• generalmente il momento angolare
risultante non è diretto come l’asse di
rotazione
5
Momento angolare di una lastra piana che ruota attorno ad un asse
perpendicolare

z

dp


O
r
A
 rdp  rvdm
L   dL   dI    dI

L
  
dL  r  dp

 
dL   r  dp
 dI


L  I
nel caso di un corpo rigido piatto (una lamina) il momento
angolare e la velocità angolare hanno la stessa direzione e
vale la relazione :


L  I
Nel caso di un corpo rigido qualsiasi , in genere
momento angolare e velocità angolare formano una
angolo. È però sempre vera la relazione
Lz  I
Questa è una scalare. Essa vale indipendentemenuna te
dalla forma del corpo..
Assi principali
• Si può dimostrare che per ogni corpo
esistono almeno tre direzioni mutuamente
perpendicolari rispetto le quali il
momento angolare è parallelo all’asse di
rotazione.
• Esse sono dette assi principali di inerzia,
ed i momenti corrispondenti sono detti
momenti di inerzia principali.
• Tali assi costituiscono un sistema di
riferimento solidale con il corpo e
ruotante con esso
• Quando il corpo ha qualche simmetria, gli
assi coincidono con gli assi di simmetria
• Quando il corpo ruota attorno ad una
asse principale:
L  I
8
Assi Principali
• Per una sfera qualsiasi
asse passante per il centro
• Per cilindro, l’asse di
simmetria e qualsiasi asse
perpendicolare ad esso e
passante per il cm.
• Per un blocco rettangolare
i tre assi principali sono
perpendicolari alle tre
facce e passano per il
centro
9
corpo rigido ruotante attorno ad un asse principale
per un corpo rigido che
ruota attorno ad un asse
principale, il relativo
momento principale di
inerzia è costante


L  I

dL
se il corpo rigido ruota
attorno ad una asse
principale, valgono le
seguenti relazioni:

d
I
dt
dt

dL
dt

dL
dt

 I

  net
10
osservazione
Se il corpo non ruota attorno ad un asse
principale ed il momento meccanico è
uguale a zero, allora L è costante, ma 
non è costante,
In questo caso non vale la

L=I .
11
Energia cinetica rotante
Lz  I
Lz

I
Relazione con validità generale
1 2 1  Lz 
K  I  I  
2
2  I 
2
2

L
1 z
K
2  I




12
È importante distinguere tra rotazioni attorno ad un asse
principale ed un asse qualsiasi. Se I è un momento di inerzia
principale vale la relazione L=I
Principio di Inerzia per il moto
rotatorio
d I 

dt
d
I

dt
I  
Equazione del moto per il corpo rigido,
valida per rotazioni attorno ad un asse
principale
La velocità angolare di un corpo rigido attorno ad un asse principale
è costante in assenza di un momento meccanico esterno applicato
d
I
 0    cos t
dt
13
Conservazione del momento angolare

dL 
  net
dt
Se il momento netto delle forze agenti su un
sistema è nullo,allora il momento angolare si
conserva,indipendentemente dai cambiamenti
che avvengono all’interno del sistema
Per un sistema isolato

L  cos t
 
Li  L f
Se una componente del momento netto delle
forze agenti su un sistema è nullo,allora la
componente del momento angolare lungo la
stessa direzione rimane invariata

dL
0
dt
Se un sistema isolato ruota
ridistribuendo la sua massa:
I i i  I f  f
ATTENZIONE: in questo caso il
corpo NON è rigido, ma 14
ridistribuisce la sua massa
La conservazione del momento
angolare in assenza di momento
meccanico esterno è un principio
generale che vale anche per corpi non
rigidi
15
Momento angolare interno e orbitale
• Si definisce momento angolare interno


o di spin di un sistema di particelle o
Lint  LCM
di un corpo rigido il momento angolare
riferito al centro di massa del sistema
• Si definisce momento angolare orbitale
di un sistema di particelle o di un



corpo rigido rispetto all’origine del
Lorb  rCM  PCM
sistema di riferimento il momento
angolare del centro di massa del
sistema.
• Dato che il moto di un sistema può
sempre essere ottenuto come la
sovrapposizione del moto attorno al
CM, e del moto del CM stesso, si ha
che:
• Il momento angolare di un corpo può



sempre essere espresso come la somma
L  Lint 16 Lorb
dei momenti angolari interno e orbitale
Momento angolare interno e orbitale
• Quando una persona lancia una palla che ruota
attorno al propio asse il momento angolare dovuto
alla rotazione è Lint, mentre il momento angolare
relativo alla persona dovuto al moto orbitle della
oalla è Lorb
• La Terra si muove attorno al sole e al tempo stesso
ruota attorno al proprio asse NS. La Terra ha un
momento angolare orbitale attorno al sole ed un
momento angolare interno (o di spin)
• Similmente, in un atomo, un elettrone ruota
attorno al nucleo ma ha anche uno spin
17
Il momento angolare
di un corpo può
sempre essere
espresso come la
somma del momento
angolare interno e
orbitale
dm
O

r
DIMOSTRAZIONE
Rispetto ad O,un punto fisso in un
sistema di rierimento inerziale, il
momento angolare elementare è:

r'
CM

v
Il momento angolare totale è
 
LO   r  v dm 

r CM



 
LO  rCM   v dm   r 'v dm
vol

 
dLO  r  v dm
vol
vol


 rCM  r ' v dm
vol


 
 rCM  P   r 'v 'vCM dm
vol


 
 

 
LO  rCM  PCM   r 'v ' dm    r ' dm   vCM
vol
 vol

 

LO  Lorb  LCM
18
Moto di un corpo rigido attorno al suo
centro di massa
• Come ruota attorno al suo centro di massa un
corpo soggetto solo al proprio peso?
• Consideriamo un corpo soggetto ad un’unica
forza,il suo peso, applicato al centro di massa.
• Rispetto al centro di massa  =0, e quindi
L=costante
• Un corpo soggetto solo al proprio peso ruota
con un momento angolare costante rispetto al
proprio centro di massa
19
Direzione del momento angolare e direzione
dell’asse di rotazione in un corpo rigido simmetrico
• Quando un corpo ha un asse di
simmetria, allora il momento
angolare rispetto all’asse di
simmetria è diretto come l’asse di
simmetria.
• Per ogni punto materiale del corpo
rigido, si può scomporre il momento
angolare L nelle componenti lungo
l’asse z e giacenti sul piano xy.
• Le componenti giacenti sul piano xy
si elidono a due due, data la
simmetria del corpo, e le
componenti parallele a z si
sommano.
z
L1
L2
r1
r2
y
x
20
d 

dt
 

r F   0


d
 0    cos t
dt
Forze centrali
Se il momento meccanico  è nullo
allora il momento angolare è costante .
Se la linea di azione di F passa
sempre per il centro delle forze, allora
r ed F giacciono sulla stessa retta. F è
una forza centrale. Il momento
angolare rispetto al centro delle forze
è costante: si conserva
Quando un corpo si muove sotto l’azione di una forza
centrale, il momento angolare relativamente al centro21di
forza è una costante del moto
TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA
Il lavoro produce una variazione di energia cinetica. Se cambia
solo l’energia cinetica, il lavoro W è:
1 2 1 2
W  K  K f  K i  I f  Ii
2
2
Se la forza che agisce su un corpo è conservativa (forza di
gravità, forza elastica di una molla),il lavoro è uguale
all’opposto della variazione dell’energia potenziale.
1
E  U  I 2  cos t
2
1
1
U1  I12  U 2  I 22
2
2
1 2 1 2
 U 2  U1  I 2  I1
2
2
22
ESEMPI
• Il metro rigido
• Una struttura...
• Un disco rigido..
• Una ragazza
accucciata .....
23
Momento angolare interno e orbitale
 

  r ' dm 


 vol

questo termine viene
cancellato perchè nel
sistema di riferimento
del CM, per definizione
di CM coincide con
l’origine e quindi è
uguale a o
24