17-sforzo normale eccentrico

SOLIDO DI SAINT-VENANT
Si definisce «Solido di Saint-Venant» un solido prismatico ottenibile dalla
traslazione in direzione z di una figura piana. La frontiera del solido è
rappresentata da una superficie pressoché cilindrica detta superficie laterale e
dalle sezioni terminali dette basi.
Il solido è considerato libero nello
spazio. Ne segue che i carichi ad esso
SB
SL
applicati devono costituire un sistema in
equilibrio.
V
z
SB
y
x
In particolare si ipotizza:
•Assenza di forze di volume:
f = 0 in V
•Assenza di forze di superficie applicate
alla superficie laterale:
p = 0 su S L ; p ¹ 0
•Si ricorda che:
su S B
p = s n = C nT s
1
SOLIDO DI SAINT-VENANT
Nello spirito del metodo semi-inverso, la soluzione del problema dell’elasticità è
stata ottenuta da Saint-Venant ipotizzando che sui piani paralleli all’asse
baricentrico passanti per un qualunque punto interno siano nulle le componenti
normali dello sforzo e quelle tangenziali ortogonali all’asse (σx = σy = τxy = 0) .
T
n= éê 0 0 1ùú
ë
û
T
n= éê0 0 -1ùú
ë
û
V
x
z
y
• equazioni indef. di equilibrio:
• equazioni costitutive:
τxz
Componenti
non nulle
σz
τxz τyz
σy τ
xy
σx
τxy
Componenti
nulle
¶τ zy
¶ τ zx
¶σ z
= 0;
+
+
= 0.
¶z
¶x
¶y
¶z
τ zy
ν
σz
τ
εx = ε y = - σz ; εz =
; γ xy = 0; γ zy =
; γ zx = zx .
E
E
G
G
¶ τ zx
= 0;
¶z
¶τ zy
τyz
¶u y
¶u x
¶u z
¶ux ¶u y
εx =
; εy =
; εz =
; γ xy =
+
= 0.
¶x
¶y
¶z
¶y
¶x
• equazioni indef. di compatibilità:
¶u y ¶u z
¶u
¶u
γ zy =
+
; γ zx = x + z ;
¶z
¶y
¶z
¶x
2
SOLIDO DI SAINT-VENANT
Postulato di Saint-Venant: se ad un insieme di forze
agenti su una piccola parte della superficie del solido se
ne sostituisce un altro equivalente distribuito in modo
diverso sulla medesima superficie, allora gli effetti dei
due sistemi di forze sono identici ad una distanza dalla
superficie di applicazione maggiore della massima
dimensione lineare della superficie di applicazione delle
forze.
3
SOLIDO DI SAINT-VENANT
In virtù del Postulato di Saint-Venant, le basi del solido prismatico possono
essere caricate da forze qualunque purché tra loro equivalenti.
Mz
G
Mx
N
z
Tx
dV
My
dx
z
σz
τzx
x
τzy
x
Ty
y
y
Sforzo normale:
ò σ dA
= ò τ dA
= ò τ dA
N=
z
Momento torcente:
Tx
zx
Ty
zy
A
zy
zx
A
Momento flettente X:
Mx
A
Taglio secondo Y:
ò (τ x - τ y)dA
= ò σ ydA
= -ò σ xdA
4
Mz =
A
Taglio secondo X:
dA
z
A
Momento flettente Y:
My
z
A
SOLIDO DI SAINT VENANT: SFORZO NORMALE E FLESSIONE
La particolarità del problema di Saint-Venant consente di determinare in modo
semplice le soluzioni del problema dell’equilibrio elastico.
Nel caso di Sforzo Normale e Momento Flettente si è in uno stato di sforzo
tensionale monoassiale.
σz ¹ 0; σ x = σy = τxy = τ xz = τ yz = 0
N
G
Mx
z
σz
My
x
z
x
y
y
Applicando il metodo di soluzione alle tensioni del problema dell’equilibrio
elastico, si ha:
¶ σz
= 0 equazione indefinita di equilibrio:
¶z
2
2
2
¡Ds =0
Þ
¶ σz ¶ σz
¶ σz
=
=
=0
2
2
¶x
¶y
¶x ¶y
La soluzione sarà del tipo: σz
= ax + by + c
5
SOLIDO DI SAINT VENANT: SFORZO NORMALE E FLESSIONE
Ø Componenti speciali della tensione, soluzione del problema:
σz = ax + by + c;
σ x = σy = τ xy = τ xz = τ yz = 0
Ø Componenti speciali della deformazione conseguenti:
εx = εy = -
ν
σ z;
E
εz =
1
1
σ z = [ax + by + c ];
E
E
γ xy = γ zx = γ zy = 0
ØComponenti dello spostamento, a meno di moti rigidi, in quanto il corpo non è
vincolato, soluzione delle equazioni indefinite di equilibrio:
a 2 ν éa 2
ù
2
ux = z - ê (x - y ) + bxy + cx ú
úû
2E
E êë 2
b 2 νé
b 2
ù
2
uy = z - êaxy + (y - x ) + cy ú
úû
2E
E êë
2
1
u z = (ax + by + c ) z
E
6
SFORZO NORMALE ECCENTRICO
AZIONE COMBINATA: FLESSIONE + SFORZO NORMALE
(anche detto: Flessione composta o pressoflessione o tensoflessione)
.
Soluzione Saint Venant: σz = ax + by + c
N=
ò σ dA = ò (ax + by + c )dA = aS
z
A
+ bS x + cA
A
ò σ ydA = ò (ax + by + c )ydA = aI + bI + cS
= -ò σ xdA = -ò (ax + by + c )xdA = -aI - bI - cS
Mx =
xy
z
A
My
y
x
x
A
x
z
A
A
xy
y
7
SFORZO NORMALE ECCENTRICO
SEZIONE RETTANGOLARE
Pe
y
Ix
Centro di sollecitazione
x
y
x
h
y
b
ρ2x
asse neutro : σ z = 0 Þ y = e
P Pe
P æç
e ö÷
Soluzione : σz = - ±
y = - ç1 m 2 y ÷÷
A Ix
A çè
ρx ø÷
8
SFORZO NORMALE ECCENTRICO
rappresentazione piana
P æç
e ö÷
σz = - ç1 m 2 y ÷÷
A çè
ρx ø÷
2
x
ρ
y =e
σz = +
σz (y = 0) = σmed = -
Pey
σz = -
P
A
Wx
σz = -
P
A
Pey
Wx
9
SFORZO NORMALE ECCENTRICO
Nocciolo centrale d’inerzia:
luogo dei centri di sollecitazione a cui
corrispondono assi neutri secanti o
tangenti alla sezione.
x
S: centro di sollecitazione
n-n: asse neutro
10
SFORZO NORMALE ECCENTRIC0
Nocciolo centrale d’inerzia sezione rettangolare
equazione asse neutro nei casi :
a) ex = h / 2, ey = 0.
b) ex = 0; ey = b / 2. Si ottiene :
Terzo medio =
nocciolo centrale
d’inerzia sezione
rettangolare
x
2ρy
2ρ2x
h
b
a)y = = ; b)x = =
h
6
b
6
2
σmed
x
y
Sforzo normale <0
11
SFORZO NORMALE ECCENTRIC0
Nocciolo centrale d’inerzia sezione rettangolare
equazione asse neutro nei casi:
x
a) ex = h / 2, ey = 0.
b) ex = 0; ey = b / 2. Si ottiene :
2ρy
2ρ2x
h
b
a)y = = ; b)x = =
h
6
b
6
2
Terzo medio =
nocciolo centrale
d’inerzia sezione
rettangolare
Sforzo normale >0
σz
σz
σz
σz
σmed = N / A
σz
Centro di
sollecitazione
interno al
nocciolo
Centro di
sollecitazione
asse neutro
esterno al nocciolo
ma interno alla
σz
sezione
12
SFORZO NORMALE ECCENTRICO: Pressoflessione deviata
z
x ed y assi centrali d'inerzia
Soluzione: σz =
N M cos α
Msenα
+
yx
A
Ix
Iy
Mx
x
y
My
x
Mx
13
TENSOFLESSIONE DEVIATA - x e y assi baricentrici qualunque
σz
Ass
en
eut
ro
x
G
ne
azio
ecit
soll
N
e di
Ass
y
Mx I y + My Ixy
MxI xy + MyI x
N
a =;
b
=
;
c
=
I xIy - Ixy2
I xIy - Ixy2
A
M x I xy + M y I x
N M x I y + M y I xy
σz =
+
yx
2
2
A
I x I y - I xy
I x I y - I xy
14
PRESSOFLESSIONE SOLIDI NON REAGENTI A TRAZIONE
Si definiscono solidi non reagenti a trazione quei materiali
(ad esempio la muratura) che hanno una resistenza a
trazione molto bassa che in pratica si trascura del tutto.
sezione rettangolare
P æ 6 e ö÷
σz,min = - çç1 +
÷
bh è
h ø
P æ 6 eö
Diagramma tensione-deformazione: σ
çç1 - ÷÷ £ 0
z,max = solido non reagente a trazione
bh è
h ø
h
la sezione si parzializza se e > Þ h * = 3d
6
h
d = -e
2
ne segue
d
3d=h*
σz,min = σz,max = 0
2P
bh *
15
ARCO TEATRO ODEION EFESO (Turchia)
Curva delle pressioni: luogo dei punti di
applicazione dello sforzo normale eccentrico
Le sezioni tra un concio e l'altro risultano soggette a
sforzo normale eccentrico.
eA = 0.048 H, eB =-0.096 H, eC = 0.199 H >
H
,
6
Rif. bibliografico: C. Comi, L. Corradi Dell’Acqua. Introduzione alla meccanica strutturale. McGraw-Hill. 2003
16
TORRE di PISA
Schema semplificato : mensola
Dati Torre:
a) peso complessivo: P = 144 MN;
b) altezza torre » 56 m;
c) inclinazione anni 90: α = 5°33¢;
d) quota baricentro hG ; 24 m;
e) area base A ; 145.5 m2;
f) momento d'inerzia base I x ; 2674 m4;
c) eccentricità e = hG tan α @ 2.33 m.
-0.02MPa = σz,max
ï
P æç
e ÷ö ì
σz = - ç1 + 2 R÷÷ = ï
í
÷
ç
1.96MPa = σz,min
Aè
ρx ø ïï
î
Rif. bibliografico: C. Comi, L. Corradi Dell’Acqua. Introduzione alla meccanica strutturale. McGraw-Hill. 2003
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