Slides Lezione 5

Tests of Einstein Equivalence Principle (EEP)
1e-8
Eötvös
Uniquene
Renner
1e-9
1e-10
Free-Fall
Boulder
Princeton
1e-11
1e-12
Moscow
1e-13
Eöt–Wash
Eöt–Wash
LLR
Eöt–Wash
APOLLO
1e-14
MLR
MicroSCOPE
1e-15
POEMS, I.C.E., QUANTUS
1e-16
GG, STUFF
1e-17
STEP
1e-18
1900
1920
1940
LLR, APOLLO
1960
MLR
1980
2000
2020
2040
• Proposti
• Test della SEP
All bodies f
acc
Confrontation Between the Theory and Experiment
Tests of Local Lorentz Invariance (LLI)
1e-2
Michelson–Morley
JPL
Joos
1e-4
Local Lorentz Invar
TPA
Centrifuge
1e-6
1e-8
Cavities
Brillet–Hall
1e-10
Future experiment
1e-12
1e-14
Hughes–Drever
1e-16
NIST
1e-18
1e-20
Washington
Cavities
Harvard
1e-22
1e-24
GLAST
1e-26
1900
1920
1940
1960
1980
2000
2020
Test of one-way sp
2040
Tests of Local Position Invariance (LPI)
1e-1
1e-2
Pound–Rebka R&S
SolS
SolS
R&S
Pound–Snider
ms Pulsar
Dn
DU
= (1+ a ) 2
n
c
SolS
R&S Saturn
Null Redshift
Local Position Invariance:
1e-3
H–Maser
1e-4
Null Redshift
Risultato migliore:
Ashby el a., Phys.
Rev. Lett., 98
070802 (2007)
a=1.4 10-6
Null Redshift
1e-5
Null Redshift
1e-6
ACES
1e-7
1960
1970
1980
1990
2000
2010
2020
2030
La Congettura di Schiff
• WEP provata con grande accuratezza (10-13) con bilance di torsione.
• EEP verificato solo con un’accuratezza di 10-4 con esperimenti di redshift
gravitazionale.
Nel 1960 Schiff ha ipotizzato che qualsiasi teoria della gravità che sia invariante di
Lorentz e che obbedisca al principio debole obbedirebbe anche all’EEP (LLI e LPI).
Se questo fosse vero, l’EEP sarebbe provato con la stessa precisione del principio
debole, aumentando molto la solidità sperimentale della relatività generale.
Congettura: Ogni teoria completa ed autoconsistente della gravità che includa il WEP
necessariamente include il EEP
Difficilmente dimostrabile, ma plausibile essendo il formalismo di una teoria gravitazionale
unico, verificare il WEP potrebbe garantire anche la validità degli esperimenti sui clock, o
altro..
ARGOMENTI A FAVORE ED ALCUNI CONTROESEMPI (Contestati)
Decade da
AB
Fotone a frequenza n
H
supponiamo che un
sistema in caduta gA
emetta un fotone a
frequenza n quando è ad
altezza H perdendo
energia hn
FLOOR
la frequenza del fotone
e’ spostata a n quando
raggiunge terra, e la
variazione di energia
potenziale del sistema
nello stato B è
Ek=mBgBH
B
Fotone a frequenza n’
L’argomento proposto assume la conservazione dell’energia
H
FLOOR
Ek=mBgBH
H
Ricostruisco lo stato A
FLOOR
Fotone a frequenza n’
Per ricostruire lo stato devo fornire energia hne EB=mBgBH per cui affinchè si
conservi l’energia totale dopo il ciclo deve essere:
A
H
FLOOR
A
Posso riportarlo nella posizione originaria
solo se mBgBH + hn’ = hn+ mAgAH
H
(conservazione energia)
Violazione WEP:
æ
aE A ö
÷
g A = g çç1 +
2 ÷
è m Ac ø
FLOOR
æ
aE B ö
÷
g B = g çç1 +
2 ÷
è mB c ø
EB - EA = hn
Allora violi anche la LPI :
n ' -n
gH
DU
Z=
= (1+ a ) 2 = (1+ a ) 2
n
c
c
con DU = gH
Contro-esempio alla congettura di Schiff:
• un campo pseudoscalare che interagisce con il campo elettromagnetico
conducendo ad una violazione del EEP, pur obbedendo al WEP.
• il campo pseudoscalare produrrebbe una rotazione della polarizzazione, la
CPR (Rotazione della polarizzazione cosmica) o birifrangenza cosmologica.
La CPR, cioè una rotazione del piano di polarizzazione per una radiazione che viaggi per distanze
cosmologiche, è teoricamente prevista nel caso di violazione di alcuni principi fondamentali della
fisica. Il più noto di questi è il principio di equivalenza di Einstein (EEP), sul quale si basano tutte le
teorie metriche di gravitazione, inclusa la relatività generale.
La CPR, se esistesse, produrrebbe per accoppiamento un segnale anche nella polarizzazione B-mode
del CMB…
Limite superiore alla rotazione di circa un paio di gradi, usando la polarizzazione radio e ottica/UV
delle radio galassie e la polarizzazione E-mode del CMB.
Analisi con BICEP2 ma prima dei
dati di Planck!!

Lezione V
Teorie metriche della
gravitazione e confronti
sperimentali
Contenuto della Lezione V
1) Diverse Teorie Metriche
2) Tests della Relatività Generale
3) Il principio di Equivalenza Forte
Criteri di Attendibilità di una Teoria Gravitazionale
Condizioni Logiche
Completa: Dai principi primi devono essere derivate tutte le equazioni necessarie a
descrivere il comportamento dei corpi nel campo gravitazionale.
Autoconsistente: La predizione dei risultati di un dato esperimento, ottenuta con
metodi differenti, deve essere unica (Esempio: deflessione della luce calcolata
considerando le Equazioni di Maxwell o il moto di particelle di massa nulla).
Relativistica: Quando il campo gravitazionale è trascurabile le leggi fisiche si
devono ricondurre a quelle della Relatività Speciale.
Limite Newtoniano: Quando il campo gravitazionale è debole e le particelle si
muovono lentamente la teoria deve ritrovare le leggi della fisica Newtoniana.(*)
Verifiche Sperimentali
(*) L’ultima richiesta può sembrare superflua in quanto la meccanica relativistica, una volta raggiunta nell’ipotesi di campi deboli (vedi terzo
punto), di per se stessa, nel limite di basse velocità, si riduce alla meccanica Newtoniana. Non bisogna però dimenticare che le leggi della
gravitazione Newtoniana non sono compatibili con la Relatività Speciale. Chiedendo che queste siano verificate, chiediamo qualcosa di
aggiuntivo.
Teorie metriche della Gravitazione
L’unico campo che regola le equazioni del moto è la metrica g. Il ruolo degli altri
campi che la teoria può contenere è solo quello di contribuire a generare la metrica.
La materia crea questi campi che, insieme alla materia generano la metrica, ma la
materia risponde solo alla metrica.(*)
(*)
•
Le leggi della fisica sono espresse in forma covariante  la loro forma della relatività speciale viene generalizzata ad una
nuova forma che tenga conto della curvatura dello spazio.
•
La logica è quindi quella di scrivere le leggi della Relatività Generale nella forma della Relatività Speciale rimpiazzando
il tensore metrico pseudo-Euclideo con il tensore metrico g, le virgole in semi-colonne (derivate covarianti).
•
Le diverse teorie si differenziano sul modo in cui la metrica viene generata. Il meccanismo di cui sopra si applica ad una
qualunque teoria metrica, è solo la traduzione formale del EEP
•
Nella teoria della Relatività Generale esiste un unico campo gravitazionale generato dal tensore energia-impulso
che contiene sia la materia che gli altri campi.
•
Nella teoria di Branse-Dicke-Jordan la materia ed i campi generano un campo scalare f che insieme a materia e
campi generano la metrica.
•
Nella teoria di Ni è supposto che esista una metrica piatta in tutto l’Universo dove esiste un tempo proprio. Il
tensore metrico h coopera con la materia ed il campo scalare alla creazione della metrica g a cui la materia è
accoppiata
Theoretical Landscape of the 20th Century:
Competing Theories of Gravity
o
Panorama del 20 secolo … non completo
Newton 1686 Poincaré 1890
Einstein 1912 Nordstrøm 1912 Nordstrøm 1913 Einstein & Fokker 1914 Einstein 1915
Whitehead 1922 Cartan 1923 Kaluza & Klein 1932 Fierz & Pauli 1939 Birkhoff 1943
Milne 1948 Thiry 1948 Papapetrou 1954 Jordan 1955 Littlewood & Bergmann 1956
Brans & Dicke 1961 Yilmaz 1962 Whitrow & Morduch 1965 Kustaanheimo & Nuotio 1967
Page & Tupper 1968 Bergmann 1968 Deser & Laurent 1968 Nordtvedt 1970 Wagoner 1970
Bollini et al. 1970 Rosen 1971 Will & Nordtvedt 1972 Ni 1972 Hellings & Nordtvedt 1972
Ni 1973 Yilmaz 1973 Lightman & Lee 1973 Lee, Lightman & Ni 1974 Rosen 1975
Belinfante & Swihart 1975 Lee et al. 1976 Bekenstein 1977 Barker 1978 Rastall 1979
Coleman 1983 Logunov 1987 Hehl 1997 Overlooked (20thcentury)
Complete
•
•
•
Alcuni autori proposero più di una teoria, per
esempio Einstein, Ni, Self-consistent
Lee, Norvedt,
Papapetrou, Yilmaz, etc…
Alcune teorie sono variazioniRelativistic
di altre
Anni più attivi 20/30 e anni 60/70
Theory must be
Competing Theories of Gravity
Newton 1686 Poincaré 1890
Theories that fail already
Einstein 1912 Nordstrøm 1912 Nordstrøm 1913 Einstein & Fokker 1914 Einstein 1915
Whitehead 1922 Cartan 1923 Kaluza & Klein 1932 Fierz & Pauli 1939 Birkhoff 1943
Milne 1948 Thiry 1948 Papapetrou 1954 Jordan 1955 Littlewood & Bergmann 1956
Brans & Dicke 1961 Yilmaz 1962 Whitrow & Morduch 1965 Kustaanheimo & Nuotio 1967
Page & Tupper 1968 Bergmann 1968 Deser & Laurent 1968 Nordtvedt 1970 Wagoner 1970
Bollini et al. 1970 Rosen 1971 Will & Nordtvedt 1972 Ni 1972 Hellings & Nordtvedt 1972
Ni 1973 Yilmaz 1973 Lightman & Lee 1973 Lee, Lightman & Ni 1974 Rosen 1975
Belinfante & Swihart 1975 Lee et al. 1976 Bekenstein 1977 Barker 1978 Rastall 1979
Coleman 1983 Logunov 1987 Hehl 1997 Overlooked (20thcentury)
All’interno del sistema solare la luce segue traiettorie rettilinee e i corpi di test si
muovono seguendo le leggi della fisica Newtoniana con approssimazioni di una
parte su 105
a = ÑU
Ñ U = -4pr, U ( x, t ) =
2
dove
ò
r ( x¢, t )
x - x¢
d 3 x¢
dove a è l’accelerazione di un corpo e U il potenziale generato dalla densità di
massa a riposo r.
In una teoria Metrica l’accelerazione di un corpo a riposo in un campo gravitazionale
statico si deduce a partire dall’equazione delle geodetiche
a
b
d 2 xm
m dx dx
+ Gab
=0
2
dt
dt dt
dx i
con g 00,0 = 0,
= vi = 0
dt
Þ
d2xk
1
a = 2 = -G k00 = g kj g00, j
dt
2
k
e dt dt = cost
(*)
(campo statico, massa di test a riposo)
(*)la
virgola indica la derivazione ordinaria
Poichè il campo è statico e debole possiamo pensarlo come una perturbazione al
primo ordine della metrica piatta di Minkowsky:
gmn = hmn + hmn
æ
ç
hmn = ç
ç
ç
è
ì a = ÑU
ï
í k 1 kj
ï a = g g00, j
î
2
-1
0
0
0
Þ
0
1
0
0
hmn << 1
0
0
1
0
0
0
0
1
ö
÷
÷
÷
÷
ø
gik » d ik , g 00 = -1+ 2U
Che a grandi distanze dalla sorgente diviene la metrica piatta
In questa approssimazione valgono le equazioni di Eulero della Fluidodinamica
valide nella fisica Newtoniana e (con buona approssimazione) nel sistema solare
¶r
+ Ñ × ( r v) = 0
¶t
dv
r = rÑU - Ñp
dt
con
d ¶
= +v×Ñ
dt ¶t
Quindi il tensore energia-impulso per un fluido perfetto assume la forma:
T00 = r, T 0j = rv j, T jk = rv jv k + pd ik
e le equazioni di Eulero sono equivalenti a
T;nmn @ T,nmn + G m00T 00 = 0
avendo tenuto conto solo dei termini in v 2 » U » p r del secondo ordine in v (O(2))
LIMITE NEWTONIANO DI UNA TEORIA METRICA
E’ LO SVILUPPO AL PRIMO ORDINE NELLE QUANTITA’ MENZIONATE
U < 10-5
In tutto il sistema solare
Le velocità dei pianeti, legate ad U dal teorema del
viriale, sono piccole
La pressione p all’interno dei pianeti è più piccola della densità di
energia gravitazionale rU
(p/r circa 10-5 nel sole e 10-10 sulla terra)
Altre forme di energia (termica, elastica, radiativa) sono piccole:
• densità specifica di energia P=u/rc2 (densità di energia fratto energia a riposo)
P<U
P~10-5 per il sole, ~ 10-10 per la terra
Il limite Newtoniano è valido per descrivere la fisica nel sistema solare con
una precisione dell’ordine di una parte su 105. Già l’avanzamento del
perielio di Mercurio è un effetto su scala inferiore (5 x 10-7 rad su ogni
orbita)….
In altre parole, negli anni ’70 il limite Newtoniano (cioè lo sviluppo al
primo ordine era sufficiente a descrivere le osservazioni)
Attualmente per lo studio di fenomeni ove è più forte la gravità non basta
fermarsi al primo ordine ed in casi particolari addirittura va abbandonata
la tecnica perturbativa
Il limite Newtoniano si può vedere come uno sviluppo della metrica troncato
all’ordine O(2) = e2
ricordiamo infatti che v2 ~ U ~ p r ~ e 2
L’azione ING da cui si deriva l’equazione delle geodetiche per una singola massa
neutra si può scrivere
æ
dx m dxn ö
= - m0 ò ç -gmn
÷ dt
dt dt ø
è
12
I NG
= - m0 ò (-g00 - 2g0 j v - g jk v v ) dt
j
i k 12
per cui l’integrando è la Lagrangiana di una singola particella in un campo
gravitazionale metrico che nel limite Newtoniano si scrive:
L = (1- 2U - u 2 )1 2
Lo sviluppo post-Newtoniano include i termini di ordine successivo a O(2)=e2.
I termini di ordine dispari O(1) e O(3) contengono un numero dispari di fattori
velocità o derivate temporali, per cui non rispettano la conservazione dell’energia
(dissipazioni, assobimento)…sono quindi vietati per rispettare il limite Newtoniano
v~e
Uv ~ e 3
¶ ¶t
¶ ¶x
U2 ~ e 4
»e
¶
essendo
» v×Ñ
¶t
Oltre O(4) possono esserci e dare diverse predizioni a seconda
della teoria.
• O(5) vietata dalla RG per la conservazione dell’energia
• O(7) può esserci ed è legata alla perdita di energia per
emissione di onde gravitazionali
Lo sviluppo Post-Newtoniano si ferma all’ordine (e4)
L = {1-U - u - g00 [O(4)] - 2g0 j [O(3)] u - g jk [O(2)] u u
2
j
j
}
k 12
Ciascuna teoria deve fornire gli sviluppi a questi ordini della metrica
Ciascuna teoria potrebbe presentare la sua “versione particolare”
La metrica PN più generale è data da una lineare di vari funzionali di variabili che descrivono le proprietà
della materia (potenziali PN). I coefficienti della combinazione possono dipendere dal tipo di modello
cosmologico.
La teoria è però obbligata a rispettare delle regole:
ordine dello sviluppo, assenza di dimensioni, termini che vanno a zero almeno per 1/r,
le correzioni siano date da prodotti delle grandezze di cui sopra, etc, etc, etc..
(Gravitation Par.39.8)
w preferred frame parameters
Le teorie si distinguono una dall’altra dai valori
assunti dai parametri Post-Newtoniani
Termini che regolano la dipendenza dalla metrica
dalla velocità del sistema di riferimento rispetto
ad un sistema di riferimento Universale
x è non zero in tutte quelle teorie che predicono una
dipendenza dalla posizione rispetto ad un sistema di
riferimento privilegiato  anisotropia di G
•
•
Teorie Semi-Conservative (conservazione globale
dell’impulso)
Totalmente Conservative (oltre all’impulso,
conservazione del momento angolare su scala
globale)  nullità di effetti dipendenti dalla
velocità del sistema di riferimento  a=0.
PPN in General Relativity
Per i dettagli del calcolo vedereC.Will Par.5.2
PPN in Brans-Dicke
PPN in Brans-Dicke
Per i dettagli del calcolo vedere C.Will ,Par.5.3
Limiti sperimentali dei parametri PN
• Relazioni fondamentali sulla base delle quali si
deducono i limiti ai parametri PN per i test
classici della Relatività Generale
• Deflessione della luce
• Ritardo della luce
• Precessione del perielio di Mercurio
Equazioni del moto per i fotoni
t=xo
(1)
(2)
Equazioni del moto per i fotoni
(1)
(2)
Soluzione Newtoniana (0 order)
br
b
alla direzione di propagazione
imperturbata della luce
(1)
(2)
Potenziale gravitazionale generato
dal sole di massa m
la (2) integrata
origine delle coordinate sul centro del sole
Deflessione della Luce
Un osservatore sulla
terra riceve il fotone
dalla sorgente e da una
stella di riferimento in xr
Deflessione della Luce
æ 2M Ä ö
1
dq = (1+ g )ç
÷ [(1+ cosJ o )]
è b ø
2
Traiettorie dei Fotoni nello sviluppo Post-Newtoniano
Osservatore

b
Posizione
apparente
sole
Posizione
vera
GRAZING PHOTONS
b » bQ
1
dq » (1 + g )1"75
2
Deflessione della Luce
Prima ossevazione: Eddington (1919)
Eclisse Solare: Misura della Posizione delle stelle prima e durante.
30% di Errore sugli 1.75 secondi d’arco previsti.
Misure Ottiche successive (‘70) pongono limiti al 10%
Very-Long-BaseLine Radio
Interferometry
Ogni anno il Sole raggiunge la minima
distanza dalla linea visiva che
congiunge
la terra a gruppi di quasar.
(Accuratezza di 100 arcsec)
(1 + g )
= 0.99997 ± 0.00016
2
Deflessione della Luce da parte di Giove:
300 microarcsec
verificate con accuratezze del 50%
Ritardo dell’eco radar
dall’equazione del
moto del fotone:
Ritardo di arrivo della luce (Shapiro delay)
Alla deflessione e’ associato anche un ritardo
che è massimo quando il pianeta o la stella
sorgente è in congiunzione superiore con il
sole.
Calcolato da Irwin Shapiro all’inizio degli
anni ’60.
é
æ b 2 öù
1
dt » (1+ g )ê240m s - 20m s ln ç ÷ú
2
è r øû
ë
Se si manda un segnale radar ad un pianeta (o ad una sonda artificiale) che
passi vicino al Sole, e lo si riceve indietro, si può misurare questo ritardo ...
3 Differenti tipi di misure basate sull’eco radar
I. Vengono utilizzati pianeti come Venere o Mercurio come riflettori passivi di
segnali radar. Una delle maggiori difficoltà è legata alla scarsa conoscenza della
topografia planetaria  errori (~ 5 s).
II. Utilizzo di satelliti artificiali come riflettori attivi (Mariner 6 e 7). Errori
legati ad accelerazioni spurie, ai sistemi di controllo dell’assetto, al vento solare e
alla pressione di radiazione (~ 50 m).
Le migliori misure dello “Shapiro time delay” sono state fatte usando la sonda
Mariner 6 (inviata verso Marte) durante 2 congiunzioni superiori con la Terra che
delloe “Shapiro
(II)approvò questi
ebbero luogo il 31Misura
Marzo 1970
10 Maggio time
1970. delay”
La NASA
esperimenti solo l’8 dicembre 1969, pochi mesi prima che le 2 congiunzioni si
verificassero.
Le migliori misure dello “Shapiro time
delay” sono state fatte usando la
sonda Mariner
(inviata
verso Marte)
Disporre
di una6sonda
artificiale
è
importante
perché ha a superiori
bordo uncon
durante 2 congiunzioni
“transponder”,
però i disturbi
la Terra che ebbero
luogo il dovuti
31 Marzo
ai
razzetti
per controllare
suo
1970
e 10usati
Maggio
1970. La ilNASA
assetto
la qualità solo
dellal’8
approvòdegradano
questi esperimenti
misura.
I pianeti
non hanno
questi che
dicembre
1969, pochi
mesi prima
disturbi,
ma non si dispongono
le 2 congiunzioni
verificasserodi!!!
“transponder”.
cosa migliore è di “ancorare” la sonda al pianeta, in modo da
nsponder senza i disturbi quindi usare un “orbiter” (attorno a
III. La cosa migliore è di “ancorare” la sonda al pianeta, in modo da avere il
eglio ancora un “lander” (sulla superficie di Marte). E infatti
transponder senza i disturbi... quindi... usare un “orbiter” (attorno a Marte) o
etè l’esperimento nel 1972 con il Mariner 9 e nel 1976 con il
meglio ancora un “lander” (sulla superficie di Marte). E infatti Shapiro ripetè
der
l’esperimento nel 1972 con il Mariner 9 e nel 1976 con il Viking Lander.
e di Marte
nel cielo,di
vicino
al Sole,
durantevicino
la congiunzione
superiore
Le traiettorie
Marte
nel cielo,
al Sole, durante
la con
congiunzione
riner 9 (dal 30 Agosto al 15 Settembre 1972) e quella con il Viking (dal 15
superiore con Mariner 9 (dal 30 Agosto al 15 Settembre 1972) e quella con il
Novembre al 4 Didcembre 1976)
Viking (dal 15 Novembre al 4 Dicembre 1976)
(1+g)/2 misurato con accuratezze dello 0.1%
Il parametro g
g»
1+ w
2 +w
w > 3500
Ruolo ridotto del campo scalare
Migliore misura con sonda Cassini
g = 1+(2.1±2.3)10-5
che descrive lo
spazio-tempo
attorno a massa
sferica M
che rappresenta un moto armonico per u=r
-1 con
una piccola perturbazione
Terra: Requat. e Rpolare differiscono di 1 parte su mille
Sole: Requat. e Rpolare differiscono di 1 parte su 105
Sottraibile con ottima accuratezza
Effetto dovuto alla Relatività Generale o teorie alternative
Perturbazione dal moto dei pianeti: 500” per secolo
Perturbazione dal momento di quadrupolo del sole
Perturbazione dovuto al rapporto delle masse dei corpi
(nullo in teorie puramente conservative)
Nella prima lezione avevamo discusso come misurare il momento
di quadrupolo del sole…
Dicke e Goldberg (1961): misura dell’intensità della radiazione solare sulla
superficie  J = Q/2MR3 = 2 x 10-5 (errore al 10%)
Questo valore di J genererebbe un avanzamento del perielio
pari a 3 sec arco per secolo rendendo le osservazioni
compatibili con la teoria di Brans-Dicke .
Hill e Stebbins (1975): Stessa tecnica – smentirono la misura
J = Q/2MR3 = 1 x 10-6 (errore al 400%)
Anni ’80: Misura delle oscillazioni solari
J = Q/2MR3 = 2 x 10-7 (errore al 10%)
Brown et al.(1989): Misura più accurata
J = Q/2MR3 = 1.5 x 10-7 (errore al 10%)
Avanzamento per ciascuna orbita
æ R2 öù
æ 6p m öé 1
1
m
w =ç
÷ú
÷ê (2 + 2g - b ) + (2a1 - a 2 + a3 + 2V 2 ) + J2 ç
6
m
è p øë 3
è 2mp øû
m=m1+m2

R
C-A
J2 =
2
m1 R
Massa totale
Massa ridotta
Raggio medio del sole
C ed A sono i momenti di inerzia rispetto
all’asse di rotazione e all’asse equatoriale
J 2 » 1×10-7
p = amaggiore (1 - e )
2
m
m
»
mmerc
» 2 ×10 -7
msun
Trascurabile comunque
é1
- 4 æ J 2 öù
y = 42".98ê (2 + 2g - b ) + 3 ×10 ç -7 ÷ú
è 10 øû
ë3
Avanzamento per secolo
Sotto l’errore sperimentale
L’errore sperimentale dell’osservazione Radar di
Mercurio (dal 1966) è circa una parte su mille
1
(2 + 2g - b ) » 1 ± 10 -3
3
-3
2
g
b
2
<
3×10
(
)
Il SEP estende i concetti di LLI e LPI agli esperimenti con una forte
componente autogravitante. Nella RG il SEP è valido.
Nel caso di violazione di SEP un corpo di massa m caratterizzato da
energia Wg autogravitante cade in un campo U con accelerazione:
æ mp ö
æ
Wa ö
a = ç ÷ ÑU = ç1- h ÷ ÑU
ma ø
è mI øa
è
r* è la densità del corpo
Effetti legati alla violazione del SEP
• Effetti di preferred frame e location nelle misure di G
• Variazioni di G su scale cosmologiche
Nel formalismo PPN dimostra che un corpo massivo in generale può
violare il principio di Unicità del Free-Fall
æ
Wa ö
a = ç1- h ÷ ÑU
ma ø
è
10
2
2
1
h = 4 b - g - 3 - x - a1 + a 2 - z 1 - z 2
3
3
3
3
L’effetto Nordvedt: crescente polarizzazione dell’orbita Terra-Luna
per effetto del Sole rispetto al quale Terra e Luna hanno una diversa
energia autogravitante
Misurabile in sistemi con rapporto Wa/ma grandi
Wa
£ 10-27
ma
Laboratory-size objects
Wa
£ 10 -5
ma
Sun
Wa
£ 4.6 ×10-10
ma
Earth
Wa
£ 0.2 ×10 -10
ma
Moon
Polarizzazione dell’orbita lunare
verso il sole
dr » 13.1 h cos (w0 - wS ) t
wo frequenza di rotazione Luna-Terra
ws frequenza di rotazione Terra-Sole
Lunar Laser Ranging Experiments
Apollo 11 ha piazzato nel 1969 dei retro-riflettori sulla
superficie lunare. Un laser manda impulsi di 1018 fotoni
della durata di 200 ps. 1 fotone ogni qualche secondo
viene rivelato.
Accuratezze dell’ordine del cm (50 ps) sull’orbita lunare.
Calcolo delle Maree, Perturbazioni da altri pianeti, postNewtonian Gravitational Effects,….etc..
h = 0.00 ± 0.03
h = 0.001 ± 0.015
(Williams et al., 1976)
(Shapiro et al., 1976)
Materiale Didattico
TESTI FONDAMENTALI
Cap.4 dello Will per capire la logica complessiva dello sviluppo Post-Newtoniano e delle diverse
teorie metriche.
C.Will: “The Confrontation Between General Relativity and Experiment”, sul sito web.
Capitolo 39 del Gravitation.
TESINE POSSIBILI
I 3 test standard della Relatività Generale (problematiche sperimentali)
Approfondire il quadro Generale sui limiti per i vari parametri post-Newtoniani