Inversione di Formule - Chi ha paura della matematica?

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INVERSIONE DI FORMULE
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COS’È UNA “FORMULA”? E’ un’uguaglianza che lega fra loro due o più lettere,
indicanti quantità le quali possono essere variabili o costanti.
Esempi: s = vt (spazio = velocità ⋅ tempo) ; S = π r 2 (formula per l'area del cerchio)
Una “formula” può anche essere considerata come una “equazione”, perché è un’uguaglianza
che è verificata solo per certe combinazioni di valori delle lettere che in essa compaiono.
CAPITA SOVENTE DI AVERE UNA FORMULA E DI VOLERLA “INVERTIRE”,
cioè di voler isolare una delle lettere contenute nella formula stessa.
Si dice anche “risolvere rispetto a una lettera”, o “esprimere una lettera in funzione delle altre”.
A tale scopo, si possono applicare le tecniche già viste per la risoluzione delle equazioni …
… ma si possono anche utilizzare degli altri “trucchi” che, spesso,
♥ permettono di realizzare l’inversione della formula in modo molto più rapido e comodo:
1) quando la lettera da isolare è a 2° membro, può essere utile “scambiare fra loro i due membri”
(il che è diverso dal trasportare i termini da un membro all’altro cambiandoli di segno);
2) se due numeri non nulli sono uguali, allora lo sono pure i loro reciproci;
3) quando si vuole moltiplicare o dividere l’uguaglianza per uno stesso numero
(o lettera o espressione), il moltiplicatore o il divisore non deve per forza coincidere
col denominatore comune o col coefficiente dell’incognita
a+b =
ESEMPIO
c
m+k
c
= a+b
m +k
m +k
1
=
c
a+b
c
m +k =
a+b
c
−k
m =
a+b
ESERCIZI
FORMULA
x '− x
1) v =
t '− t
F1 F2
=
2)
s1 s2
3)
x ' = k ( x − vt )
4)
ab
=1+ c
r
9)
1 1 1 1
+ = +
a b c d
RISOLVERE RISPETTO A m
(tecnica 1: scambio dei due membri, per portare m a 1° membro)
(tecnica 2 : passaggio ai reciproci, per portare m a numeratore)
(tecnica 3 : moltiplicazione dei due membri per c)
(trasporto)
Risolvi rispetto a
x ', x, t ', t
F1, F2 , s1, s2
t
a, b, r , c
FORMULA
Gmm '
(r > 0)
5) F =
r2
1
6) K = mv 2 (v ≥ 0)
2
7) q = m1v1 + m2v2
8)
a
a'
=
x + y x '+ y '
NOTA: QUANDO PASSI AI RECIPROCI,
vedi
d → NOTA
ricorda che “il reciproco di una somma
a destra NON è uguale alla somma dei reciproci!!!”
x '− x
x '− x
t = t '−
v
v
1
x'
3) t = ⎛⎜ x − ⎞⎟
v⎝
k⎠
4)
6)
8)
m, r
m, v
m1, v1
x ', a '
1
1 1
≠ +
x+ y x y
♥ INDICI E APICI
Si usano per poter utilizzare
una stessa lettera più volte,
F
F
s
s
F1 = s1 2 F2 = s2 1 s1 = F1 2 s2 = F2 1
per
indicare oggetti o quantità
s2
s1
F2
F1
distinte, della stessa natura.
r
r
ab
ab
Fr 2
Gmm '
Ad esempio due velocità
a = (1 + c ) b = (1 + c ) r =
c=
− 1 5) m =
r=
b
a
1+ c
r
Gm '
F
potrebbero essere indicate con:
q − m2v2
q − m2v2 v1, v2 (leggi: v uno, v due: “indici”, in basso a destra);
2K
2K
m= 2 v=
7) m1 =
v1 =
o v ', v '' (v primo, v secondo: “apici”, in alto a destra).
m
v1
m1
v
L’indice, o l’apice,
a '( x + y )
a ( x '+ y ')
1
9) d =
x' =
− y' a' =
è
come
se
fosse
“fuso con la propria lettera”,
1 1 1
a
x+ y
+ −
a
formare
un
nuovo
simbolo, unico e indivisibile.
a b c
RISPOSTE 1) x ' = x + v ( t '− t ) x = x '− v ( t '− t ) t ' = t +
2)
Risolvi rispetto a
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ALTRI ESERCIZI
10) Considera le formule seguenti, e risolvi ciascuna rispetto a una delle sue lettere.
Per verificare la correttezza della formula inversa ottenuta, puoi risostituirne il 2° membro
al posto della lettera nella formula di partenza per vedere se l’uguaglianza così ottenuta è esatta.
1
(2° principio
a) f =
(relazione fra periodo e frequenza)
b) F = ma
della dinamica)
T
s
c) v = (definizione di velocità nel moto uniforme)
d) F = −kx (forza elastica)
t
ρ 2 (principio dei vasi comunicanti;
h
(velocità in un moto
e) v = v0 + at
f) 1 =
" ρ " si legge "rho")
uniformemente accelerato)
h2 ρ 1
h) s = s0 + v ( t − t0 ) (legge del moto rettilineo uniforme)
g) Fm ⋅ m = Fr ⋅ r (legge della leva)
i) a =
h
A
2
l) pV = U (equazione di Joule-Clausius)
3
g (accelerazione su di
un piano inclinato)
T1 (rendimento massimo di una macchina
termica; "η" si legge "éta")
T2
9
n) F = C + 32 (formula che lega la temperatura
Celsius alla Fahrenheit)
5
m1x1 + m2 x2 (ascissa del centro di massa di
m1 + m2 un sistema di due punti materiali)
1 1
1
(due resistenze in parallelo)
q) = +
R R1 R2
v 2 (forza centripeta in un moto
r circolare uniforme; v > 0)
1 1
2 (legge dei punti coniugati
r) + = −
p q
r per uno specchio convesso)
m) η = 1 −
p) F = m
o) x =
11) (risposte in fondo alla pagina; le quantità in gioco sono tutte positive)
a3
a) Risolvi rispetto a T:
= K (Terza legge di Keplero)
T2
A (periodo di un pendolo)
b) Risolvi rispetto a g : T = 2π
c) Risolvi rispetto a c :
γ=
g
1
v2
1− 2
c
(fattore di Lorenz)
Dal sito www.regentsprep.org
Solution:
Steps:
12) Shoe sizes and foot length
are related by the formula
S = 3 F − 24
add 24 to both sides
S + 24 = 3F
divide both sides by 3
S = 3F − 24 ,
where S represents the shoe size
and F represents
the length of the foot, in inches.
Solve the formula for F.
13) Sam says that the following equations
are two ways to write the SAME formula.
Decide whether or not you agree with Sam.
Explain how you made your decision.
S + 24 = 3F
3
3
S + 24 = F
3
s=
simplify
Done.
n
n+1
s
=n
s −1
RISPOSTE all’esercizio 11
11a)
3
3
a3
T2 1
2= a ; T = a
K
;
;
T
=
=
K
K
T2
a3 K
11b) T = 2π
11c)
1−
A ; 2π A = T ;
g
g
A = T ; A = T 2 ; g = 4π2 ; g = 4π2A
g 2π g 4π 2 A T 2
T2
2
v 2γ 2
v 2γ 2
vγ
v2 1
v2 1 v2
1 c2
1
v2
2= v
=
;
1
−
=
;
=
1
−
;
=
;
c
=
=
;
c
=
=
2 −1
1 γ2 −1 γ2 −1
c2 γ
c2 γ 2 c2
γ 2 v2 1 − 1
γ
γ2 −1
1− 2
2
2
γ
γ
γ