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EDEXCEL PURE MATHEMATICS P6 (6676) – JUNE 2004 MARK
EDEXCEL PURE MATHEMATICS P6 (6676) – JUNE 2004 Question number MARK SCHEME Scheme 1 2 æ dy ö ç ÷ = x0 − y0 = 1 − 0.4 10 è dx ø 0 1. Marks (= 0.6) (Possibly implicit) B1 æ dy ö y1 = 0.1ç ÷ + y0 = (0.1 × 0.6) + 2 = 2.06 è dx ø 0 M1 A1 1 2 1 æ dy ö 2 ç ÷ = x1 − y1 = 1.1 − (2.06) 10 10 è dx ø1 A1ft (= 0.67564) æ dy ö y2 = 0.1ç ÷ + y1 = 0.067564 + 2.06 = 2.13 è dx ø1 (2 d.p.) M1 A1 6 2. (a) f ′( x) = sec 2 x f ′′( x) = 2 sec x(sec x tan x) f ′′′( x) = 2 sec 2 x(sec2 x) + 2 tan x(2 sec 2 x tan x) (or equiv.) M1 A1 (or equiv.) A1 (3) A1(cso) (3) (2 sec 2 x + 6 sec 2 x tan 2 x) (2 sec 4 x + 4 sec 2 x tan 2 x) , (6 sec 4 x − 4 sec 2 x) , (2 + 8 tan 2 x + 6 tan 4 x) (b) tan π π = 1 or sec = 2 4 4 (1, 2, 4, 16) 2 B1 3 π ö æπ ö 1æ π ö æπ ö 1æ π ö æπ ö æπ ö æ tan x = f ç ÷ + ç x − ÷f ′ç ÷ + ç x − ÷ f ′′ç ÷ + ç x − ÷ f ′′′ç ÷ 4 ø è 4 ø 2è 4 ø è 4 ø 6è 4ø è4ø è4ø è 2 πö æ π ö 8æ πö æ = 1 + 2ç x − ÷ + 2ç x − ÷ + ç x − ÷ 4ø è 4 ø 3è 4ø è (c) x= 3π æ 3π π ö , so use ç − ÷ 10 è 10 4 ø M1 3 (Allow equiv. fractions) æ π ö ç= ÷ è 20 ø π æ π2 ö æ8 π3 ö π π2 π3 3π ÷ ç ÷ ç tan = 1+ + + + × ≈ 1+ + ç2× 10 10 è 400 ÷ø çè 3 8000 ÷ø 10 200 3000 M1 (*) A1(cso) (2) 8 1 EDEXCEL PURE MATHEMATICS P6 (6676) – JUNE 2004 Question number 3. MARK SCHEME Scheme (a) æ − 4ö ç ÷ AB = ç 3 ÷ ç − 4÷ è ø Marks æ 2 ö ç ÷ AC = ç − 2 ÷ ç 3 ÷ è ø M1 æ1ö ç ÷ AB × AC = − 4 3 − 4 = ç 4 ÷ A1: One value correct, A1: All correct ç 2÷ 2 −2 3 è ø M1 A1 A1 (4) (b) æ1ö æ 3 ö æ1ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ r .ç 4 ÷ = ç − 1÷ . ç 4 ÷ = 3 − 4 + 8 ç 2÷ ç 4 ÷ ç 2÷ è ø è ø è ø M1 A1ft (2) (c) AD . AB × AC i æ2ö æ − 2ö ç ÷ ç ÷ ç 3 ÷ or ç − 3 ÷ ç −1÷ ç 1 ÷ è ø è ø j k æ1ö ç ÷ r .ç 4 ÷ = 7 ç 2÷ è ø (Attempt suitable triple scalar product) M1 (if using AD) B1 æ 2 ö æ1ö 1ç ÷ ç ÷ 1 Volume = ç 3 ÷ . ç 4 ÷ = (2 + 12 − 2) = 2 6ç ÷ ç ÷ 6 è − 1ø è 2 ø M1 A1(cso) (4) 10 2 EDEXCEL PURE MATHEMATICS P6 (6676) – JUNE 2004 Question number 4. MARK SCHEME Scheme (a) ( Marks ) d x e cos x = e x cos x − e x sin x dx n = 1: (Use of product rule) 1 πö π π æ (cos x − sin x ) cosç x + ÷ = cos x cos − sin x sin = 4ø 4 4 2 è 1 πö d x æ e cos x = 2 2 e x cosç x + ÷ dx 4ø è ( ) True for n = 1 M1 M1 (c.s.o. + comment) A1 Suppose true for n = k. ù é d k +1 x ê k +1 e cos x ú û ë dx ( ) = d dx æ 12 k x kπ ö ö ç 2 e cosæç x + ÷ ÷÷ ç 4 è øø è M1 é kπ ö x æ kπ öù æ = 2 êe x cosç x + ÷ − e sin ç x + ÷ 4 ø 4 øúû è è ë 1 k 2 1 k 2 =2 e (b) A1 ( k +1) x kπ π ö πö æ æ + ÷ = 22 2 cosç x + e cosç x + (k + 1) ÷ 4 4ø 4ø è è 1 x M1 A1 ∴True for n = k + 1, so true (by induction) for all n. (≥ 1) A1(cso) π ö 1æ πö 1æ 3π ö 1 æ 1 + ç 2 cos ÷ x + ç 2 cos ÷ x 2 + ç 2 2 cos ÷ x 3 + (4 cos π )x 4 4ø 2è 2ø 6è 4 ø 24 è M1 (1) (0) 1 1 e x cos x = 1 + x − x 3 − x 4 3 6 (–2) (or equiv. fractions) (8) (–4) A2(1,0) (3) 11 3 EDEXCEL PURE MATHEMATICS P6 (6676) – JUNE 2004 Question number MARK SCHEME Scheme Marks æ 1 4 − 1öæ 1 3 a ö æ k 0 0 ö ç ÷ç ÷ ç ÷ MM = ç 3 0 p ÷ç 4 0 b ÷ = ç 0 k 0 ÷ ç a b c ÷ç − 1 p c ÷ ç 0 0 k ÷ è øè ø è ø T 5. (a) æ 3ö ç ÷ (1 4 − 1)ç 0 ÷ = 0 Þ p = 3 ç p÷ è ø (b) æ1ö ç ÷ (1 4 − 1)ç 4 ÷ = k Þ k = 18 ç − 1÷ è ø (c) 2 equations: (d) a + 4b – c = 0 (ft on their p, if used) 3a + 3c = 0 M1 A1 (2) M1 A1ft (2) M1 a and b in terms of c (or equiv.): a = – c 1 b = 2 c (ft on their p) M1 A1ft æaö æaö ç ÷ç ÷ Using ç b ÷ . ç b ÷ = 18 (a 2 + b 2 + c 2 = 18) : çc÷ çc÷ è øè ø a = 2√2, b = –√2, c = –2√2 M1 A2(1,0) (6) ⏐det M⏐= ⏐(3√2) – 4(–12√2) –1(–3√2)⏐ = 54√2 M1 A1(cso) (2) 12 Alternatives: (c) (d) æaö ç ÷ Require ç b ÷ parallel to çc÷ è ø æ 12 ö æ 1 ö æ 3ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç 4 ÷ × ç0÷ , = ç − 6 ÷ ç − 12 ÷ ç − 1÷ ç 3 ÷ è ø è ø è ø M1, M1 A1 (Then as in main scheme, scaling to give a, b and c.) M1 A2(1,0) (6) det (MM T ) = 183 , det M = det M T , ⏐det M⏐= 18√18 (=54√2) M1 A1 4 (2) EDEXCEL PURE MATHEMATICS P6 (6676) – JUNE 2004 Question number 6. MARK SCHEME Scheme (a) (3 − λ ) 2 − 1 = 0 det A = 0 λ2 − 6λ + 8 = 0 (b) Marks M1 (λ − 2)(λ − 4) = 0 λ = 2, λ = 4 A1 æ − 1ö Eigenvector çç ÷÷ è1ø λ = 2: æ1 1öæ x ö çç ÷÷çç ÷÷ = 0, è1 1øè y ø λ = 4: æ − 1 1 öæ x ö æ1ö çç ÷÷çç ÷÷ = 0, − x + y = 0, Eigenvector çç ÷÷ è 1 − 1øè y ø è1ø æ1 − 1ö ÷÷ P = k çç è1 1 ø x + y = 0, M: eigenvectors as columns, k = (or equiv.) M1 A1 (or equiv.) 1 2 A1 (5) M1, A1 ì −1 1 æ 1 1ö ü T ç ÷ý íP = P = 2 çè − 1 1÷ø þ î D = P −1 AP = (c) 1 æ 1 1ö æ 3 1 ö 1 æ1 − 1ö æ 4 0 ö çç ÷÷, çç ÷÷ çç ÷÷ = çç ÷÷ 2 è − 1 1ø è 1 3 ø 2 è1 1 ø è 0 2 ø π clockwise (about (0, 0)). 4 2. Stretch, × 4 parallel to x-axis, × 2 parallel to y-axis. π 3. Rotation of anticlockwise (about (0, 0)). 4 1. and 3. both rotation, or both reflection. Correct angles, opposite sense or correct lines (reflection). Stretch. All correct, including order. M1, M1 A1 (5) 1. Rotation of 5 M1 A1 B1 A1 (4) 14 EDEXCEL PURE MATHEMATICS P6 (6676) – JUNE 2004 Question number 7. MARK SCHEME Scheme (a) arg z = w= π 4 z = λ + λi Þ Marks (or putting x and y equal at some stage) (λ + 1) + λ i , and attempt modulus of numerator or denominator. λ + (λ + 1) i B1 M1 (Could still be in terms of x and y) (λ + 1) + λ i = λ + (λ + 1) i = (λ + 1) 2 + λ2 , (b) w= z +1 z +i z =1 zw + w i = z + 1 Þ Þ z= Þ 1 − wi = w − 1 For w = a + i b, 1 − wi w −1 A1, A1cso (4) M1 M1 A1 (1 + b) − a i = (a − 1) + i b M1 (1 + b) 2 + a 2 = (a − 1) 2 + b 2 b=–a ∴ w = 1 (*) M1 Image is (line) y = – x A1 (6) B1 B1 (2) (c) (d) z=i z=i marked (P) on z-plane sketch. Þ w= B1 1+ i i −1 1 1 = − i = 2i −2 2 2 marked (Q) on w-plane sketch. B1 (2) 14 6