Un esercizio per il modello principale$agente

Un esercizio per il modello principale-agente
Massimo A. De Francesco
Dipartimento di Economia politica e statistica
January 14, 2014
1
Le ipotesi
[AVVERTENZA: Gli esempi numerici che proponiamo qui sotto per discutere
il modello principale-agente hanno una struttura del tutto analoga all’"esempio
matematico" che si trova in Milgrom e Roberts, Microeconomia organizzazione
e management, Il Mulino, vol.1 (Appendice del capitolo 6).]
ESEMPIO 1
Un rivenditore di computer (il "principale") intende assumere un dipendente
da adibire alle vendite ("agente"). Come in Milgrom e Roberts, supponiamo per
semplicità che l’impegno che l’agente esercita in questa attività possa assumere,
a sua discrezione, due sole determinazioni, e = 1 ed e = 2 e che il ricavo del principale (R) dipenda dall’impegno secondo una relazione non deterministica (dato
l’operare di circostanze casuali, che pure in‡uiscono sul ricavo) rappresentata
nella tabella sottostante
R
e
R1 = 20 R2 = 60
e=1
4=5
1=5
e=2
1=2
1=2
Si noti come, rispetto a un impegno basso, un impegno elevato rende più
probabile il ricavo elevato (la probabilità di tale ricavo sale da 1/5 a 1/2).
Nel modello principale-agente si suppone che l’impegno sia oneroso (disutile)
per l’agente. Per questo motivo, l’agente tenderebbe, in assenza di incentivi
appropriati, a esercitare un impegno scarso. Questo fenomeno prende il nome
di azzardo morale dell’agente. Per formalizzare l’ipotesi di impegno oneroso
per l’agente, supponiamo che le sue preferenze
p siano rappresentabili mediante
la seguente funzione di utilità: U (w; e) = 2 w (e 1), dove w è il salario
percepito dall’agente.
E’importante osservare come una simile funzione di utilità (l’utilità è crescente e concava nel reddito) signi…chi che l’agente sia avverso al rischio: come
si può facilmente veri…care, a parità di impegno e, l’utilità attesa dell’agente
risulta maggiore se questi riceve un salario certo anziché un salario incerto con
valore atteso uguale al salario certo. Si suppone poi che il principale sia neutrale
1
al rischio per cui ciò che per lui o per lei conta è il livello atteso del pro…tto,
E( ) = E(R w) = ER Ew. E’importante …n d’ora osservare come, data
la diversa attitudine al rischio dei due contraenti - la neutralità al rischio del
principale e l’avversione al rischio dell’agente - una e¢ ciente condivisione del rischio inerente alla relazione principale-agente 1 richiederebbe che tutto il rischio
ricadesse sul principale.
Si suppone poi che i termini del contratto tra principale e agente vengano de…niti unilateralmente dal principale: questi fa cioè una proposta "prendere o lasciare". Indichiamo con EU l’utilità attesa dell’agente ove ri…utasse il contratto
proposto dal principale: possiamo chiamare EU l’utilità di riserva dell’agente.
In questo esempio, supponiamo EU = 4:
Una caratteristica importante del modello principale-agente è che il livello di impegno dell’agente non sia perfettamente osservabile dal principale
o che, quand’anche lo fosse, non possa essere veri…cato da una terza parte
(quale un tribunale incaricato di dirimere controversie legali tra principale e
agente). Ne consegue che il salario contrattuale non potrebbe essere collegato
all’impegno dell’agente, proprio perché non osservabile. Dalla non osservabilità dell’impegno discendono importanti conseguenze che analizzeremo in questa
lezione: in particolare, ne discende che parte del rischio dovrà necessariamente
ricadere sull’agente se questi deve essere incentivato a esercitare l’impegno elevato.
Nel frattempo, per …ni di comparazione, conviene tuttavia considerare il caso
ipotetico in cui l’impegno sia perfettamente osservabile dal principale.
2
Il caso ipotetico di impegno perfettamente osservabile dal principale
Laddove l’impegno fosse osservabile, vi sarebbe un semplice modo per indurre
l’agente ad esercitare l’impegno elevato. Il contratto proposto dal principale
dovrebbe prevedere un salario diverso a seconda che l’agente abbia esercitato
un impegno alto o un impegno basso. Indichiamo questa struttura salariale
come (we=1 ; we=2 ). Ciò che occorre è: 1) che we=2 sia su¢ cientemente elevato
rispetto a we=1 così da indurre l’agente (se accetta l’impiego) a impegnarsi
molto anziché poco; 2) che we=2 sia su¢ cientemente alto da far sì che l’agente
preferisca accettare l’impiego piuttosto che ri…utarlo, alternativa quest’ultima
che gli garantirebbe un’utilità attesa di 4. Alla luce di tutto questo, la prima
p
p
condizione può essere scritta nel modo seguente: 2 we=2 (2 1) 2 we=1
p
p
(1 1), cioè we=2
we=1 + 0; 5. Per esempio, se il principale stabilisce
1 Si noti che il ricavo è una grandezza incerta: quindi la grandezza che deve essere in qualche
modo ripartita tra i due contraenti è necessariamente una grandezza incerta: pertanto uno
dei due contraenti deve sostenere un rischio (il reddito di almeno uno dei due è una grandezza
incerta).
2
we=1 = 0 (se …ssa cioè pari a 0 il salario per l’agente quando questi si impegni
p
poco), la condizione diventa we=2 0; 5, da cui we=2 1=4.
Prendiamo ora in esame la seconda condizione: occorre che l’agente accetti
il contratto. Ciò accade se e solo se:
p
p
p
2 we=2 (2 1) 4 da cui si ricava facilmente we=2
5=2 e quindi
we=2 25=4 = 6; 25.
In…ne, notiamo che il principale ha interesse a pagare all’agente il minimo
we=2 che gli consente di soddisfare il vincolo, quindi we=2 = 6; 25:2 Così facendo,
25
il suo pro…tto atteso sarà E( ) = ER(e = 2) Ew = 12 20 + 12 60
4 =
40 6; 25 = 33; 75.
Si deve veri…care che e¤ettivamente al principale conviene incentivare il livello di impegno elevato. Laddove si accontentasse del basso livello di impegno,
non dovrebbe far altro che pagare un salario …sso (che indichiamo con w), cioè un
salario indipendente dall’impegno profuso dall’agente: in questo caso l’agente
eserciterebbe certamente il basso impegno, dato che l’impegno è per lui o lei
disutile. Quale sarebbe il minimo salario …sso che il principale dovrebbe allora
pagare all’agente? E’ evidentemente un salario tale che l’agente, accettando
l’impiego ed esercitando (per i motivi anzidetti) l’impegno basso, ottenga una
utilità esattamente uguale all’utilità attesa di 4 a sua
p disposizione se ri…uta il
contratto. Imponiamo tale condizione: deve essere 2 w (1 1) = 4 da cui si
ricava w = 4: Il pro…tto atteso del principale sarebbe E( ) = ER(e = 1) Ew =
4
1
4 = 28 4 = 24. Questo pro…tto atteso è minore del pro…tto atteso
5 20 + 5 60
che il principale ottiene incentivando l’impegno elevato. Quindi, nel nostro esempio, e¤ettivamente al principale conviene indurre il livello di impegno elevato.
Notiamo ancora come la perfetta osservabilità dell’impegno abbia permesso di
ottenere una e¢ ciente allocazione del rischio: in e¤etti, tutta l’incertezza viene
a ricadere sul principale, neutrale al rischio come sappiamo deve essere in base
al principio della condivisione e¢ ciente del rischio.
E’importante in…ne osservare come la perfetta osservabilità dell’impegno da
parte del principale abbia consentito la stipulazione di quello che in economia
chiamiamo un "contratto completo", un contratto cioè che prevede clausole contingenti alle diverse circostanze rilevanti per i contraenti: in e¤etti, il contratto
stabilisce che il salario corrisposto sia diverso a seconda del livello di impegno
che l’agente ha e¤ettivamente esercitato.
2 Se
we=2 = 6; 25 e we=1 = 0, l’agente è in realtà indi¤erente tra impegnarsi poco o molto
così come è indi¤erente tra accettare il contratto e non accettarlo. Tuttavia, basta che sia
we=2 = 6; 25 + (con > 0 e piccolo a piacere) per essere certi che l’agente accetterà il
contratto ed eserciterà l’impegno e = 2. Quindi, praticamente si ha we=2 = 6; 25:
3
3
Il caso di impegno non osservabile dal principale
La realtà della relazione principale-agente è meglio descritta se assumiamo che
l’impegno profuso dall’agente non sia perfettamente osservabile dal principale.
Sotto questa ipotesi, non avrebbe chiaramente senso, in un contratto, stabilire
che il salario sia determinato in funzione dell’impegno esercitato dall’agente.
In che modo, allora, il principale potrebbe incentivare il livello elevato di impegno? La risposta è: collegando il salario al "risultato". Nel nostro esempio,
il salario verrebbe determinato in funzione del ricavo ottenuto dal principale.
Formalmente, la struttura salariale sarebbe del tipo seguente: (wR=20 ; wR=60 ),
dove, evidentemente, verrà stabilito wR=60 > wR=20 . E’ abbastanza intuitivo
perché una struttura di salari di questo tipo costituisca un incentivo a impegnarsi: impegnandosi molto l’agente accresce il suo salario atteso in quanto rende
più probabile l’evento di un ricavo elevato; impegnandosi molto, l’agente riceverebbe il salario wR=60 (maggiore di wR=20 ) con probabilità 1/2, maggiore che
se si impegnasse poco (in questo secondo caso, wR=60 verrebbe ricevuto con
probabilità 1/5).
Vediamo ora come precisamente verrà determinata la coppia di salari (wR=20 ; wR=60 ).
Deve innanzitutto essere soddisfatto il "vincolo di compatibilità agli incentivi"
(VCI): vale a dire, l’agente deve preferire esercitare l’impegno elevato anziché
l’impegno basso: EU (e = 2) EU (e = 1). Ciò signi…ca che deve valere la conp
p
p
4
2 wR=20 (1 1) +
dizione 12 2 wR=20 (2 1) + 12 2 wR=60 (2 1)
5
p
1
(1 1) da cui con semplici passaggi si ricava
5 2 wR=60
VCI:
p
VP:
p
wR=60
p
wR=60
5
5
wR=20 + :
3
Deve essere poi soddisfatto il "vincolo di partecipazione": vale a dire, all’agente
deve convenire accettare il contratto. Dato che l’utilità attesa dell’agente se
ri…uta il contratto è 4, il vincolo di partecipazione stabilisce che EU (e = 2) 4;
p
p
vale a dire, 21 2 wR=20 (2 1) + 21 2 wR=60 (2 1)
4. Con semplici
passaggi, il vincolo di partecipazione si può esprimere nel modo seguente:
p
wR=20
E’utile rappresentare gra…camente i due vincoli nel piano cartesiano, ponendo
p
p
wR=20 sull’asse orizzontale e wR=60 sull’asse verticale. (si veda, in un altro
…le, la …gura relativa a questo ESEMPIO 1.) Esaminiamo innanzitutto il VCI.
p
p
Esso è soddisfatto da tutte le combinazioni ( wR=20 ; wR=60 ) che si trovano al
p
p
di sopra della retta di equazione wR=60 = wR=20 + 53 o lungo questa retta.
p
p
Analogamente, il VP è soddisfatto da tutte le combinazioni ( wR=20 ; wR=60 )
p
p
che stanno al di sopra della retta wR=60 = 5
wR=20 o lungo tale retta. La
prima retta (che è parte della "frontiera" della regione in cui il VCI è soddisfatto)
è la retta crescente con intercetta verticale pari a 35 e coe¢ ciente angolare pari
a 1. La seconda retta (che è parte della "frontiera" della regione in cui il VP è
soddisfatto) è la retta decrescente con intercetta verticale pari a 5 e coe¢ ciente
4
e¢ ciente angolare -1. E’evidente quale sia la regione in cui entrambi i vincoli
risultano soddisfatti.
p
p
Qual è, all’interno di questa regione, la combinazione ( wR=20 ; wR=60 )
che dà il massimo pro…tto atteso? Dimostreremo tra breve che la combinazione
in questione è quella corrispondente all’intersezione tra le due rette. Per determinare l’intersezione dobbiamo risolvere il sistema
p
wR=60
=
p
wR=60
=
p
5
wR=20 +
3
p
5
wR=20
p
p
Si ottiene facilmente che l’intersezione tra le due rette si ha per ( wR=20 ; wR=60 ) =
25 100
5 10
cioè per (wR=20 ; wR=60 ) = 9 ; 9 . In corrispondenza di questa strut3; 3
tura salariale, il pro…tto atteso è E( ) = ER(e = 2) Ew = 12 20+ 12 60 ( 12 25
9 +
1 100
125
)
=
40
=
40
6;
94
=
33;
05:
2 9
18
Vediamo di capire perché e¤ettivamente, fra tutte le combinazioni (wR=20 ; wR=60 )
che soddisfano i vincoli (in altri termini: tra tutte le combinazioni salariali che
inducono l’agente ad accettare il contratto ed esercitare il livello elevato di impegno), quella che massimizza il pro…tto atteso è proprio (wR=20 ; wR=60 ) =
25 100
9 ; 9 . Osserviamo attentamente, nella …gura, la regione in cui entrambi
i vincoli sono soddisfatti. In tale regione, ogni combinazione che si trova in
p
p
alto e a destra della combinazione ( wR=20 ; wR=60 ) = 35 ; 10
comporta
3
ovviamente un salario atteso maggiore e quindi un pro…tto atteso minore (il
ricavo atteso essendo comunque 40). Resta allora da dimostrare che la comp
p
binazione ( wR=20 ; wR=60 ) = 35 ; 10
comporta un salario atteso più basso
3
anche rispetto a ogni altra combinazione che si trovi in alto a sinistra lungo la
p
p
retta wR=60 = 5
wR=20 del VP. La cosa può essere facilmente dimostrarla
in modo formale, calcolando l’espressione del salario atteso Ew lungo tale segmento di retta e dimostrando che tale salario atteso risulta maggiore di 6; 94
p
quando wR=20 < 5=3.3 E’tuttavia ancora più interessante capire la logica sottostante a questo risultato. Va ricordato che nel segmento in oggetto,. l’utilità
attesa dell’agente è costante e pari a 4 (dato che stiamo esattamente lungo la
frontiera del VP, dove il lavoratore è indi¤erente tra accettare il contratto e non
accettarlo). Il punto cruciale è che l’agente è avverso al rischio. Al diminuire
p
di wR=20 (quindi, al diminuire di wR=20 ) si ha ovviamente un aumento di
p
wR=60 (quindi, di wR=60 ) a¢ nché l’utilità attesa dell’agente rimanga invariata
p
p
a 4. Quindi, ogni combinazione salariale lungo la retta wR=60 = 5
wR=20
p
e tale che wR=20 < 5=3 comporta una maggiore variabilità del salario rispetto
p
p
alla combinazione ( wR=20 ; wR=60 ) = 53 ; 10
3 . Chiaramente, il salario atteso
3 Ecco la dimostrazione. Scriviamo la funzione per il salario atteso quando e = 2; vale a
p
dire, Ew = 0; 5wR=20 + 0; 5wR=60 . In questa funzione, si tenga poi conto che wR=60 =
p
5
wR=20 (visto che stiamo muovendoci lungo la retta del VP). Con semplici passaggi, si
p
trova che Ew = 0; 5wR=20 +0; 5(5
wR=20 )2 . Derivando rispetto a wR=20 veri…chiamo che,
e¤ettivamente, il salario atteso aumenta al diminuire di wR=20 . Infatti si trova facilmente
che dEw=dwR=20 < 0 purché wR=20 < 25=4, il che è vero essendo wR=20 = 53 nel punto di
intersezione.
5
p
p
deve allora essere maggiore che per ( wR=20 ; wR=60 ) = 35 ; 10
3 : se infatti
fosse uguale o addirittura inferiore, l’utilità attesa dell’agente sarebbe inferiore
a 4, dato che egli è avverso al rischio.
In…ne, veri…chiamo come, in questo esempio, anche quando l’impegno non
è osservabile, al principale conviene comunque incentivare l’impegno elevato.
Supponiamo infatti che volesse accontentarsi del livello basso di impegno. In
questo caso, la struttura salariale sarebbe analoga a quella vista a suo tempo:
cioè, il principale pagherebbe un salario …sso (che indichiamo ancora con w),
cioè un salario indipendente dal livello del ricavo. Così facendo, l’agente eserciterebbe certamente il basso impegno, dato che l’impegno è disutile. Quale
sarebbe il minimo w che il principale dovrebbe allora pagare all’agente? Sarebbe
evidentemente tale che l’agente, accettando il contratto, ottenga una utilità esattamente uguale all’utilità attesa
p di 4 a sua disposizione se ri…uta il contratto.
Imponendo tale condizione, 2 w (1 1) = 4, si ricava w = 4: Il pro…tto atteso
del principale sarebbe E( ) = ER(e = 1) Ew = 45 20 + 15 60 4 = 28 4 = 24,
esattamente come visto sopra. Questo pro…tto atteso è minore del pro…tto atteso
che il principale ottiene incentivando l’impegno elevato, pari a 33; 05. Quindi,
nel nostro esempio, e¤ettivamente al principale conviene indurre il livello di
impegno elevato anche quando l’impegno non sia osservabile.
4
L’ine¢ cienza derivante dall’asimmetria informativa
E’particolarmente importante sottolineare come, quando l’impegno non sia osservabile, il pro…tto atteso del principale è minore di quello che otterrebbe laddove l’impegno fosse invece osservabile. Alla base di questo risultato vi è sempre il fatto che l’agente è avverso al rischio. Quando l’impegno è osservabile,
il salario può essere collegato direttamente al livello di impegno dell’agente e il
salario da questi e¤ettivamente ricevuto è perciò una grandezza certa. In altre
parole, l’agente non sostiene alcun rischio quando l’impegno è osservabile.
Invece, quando l’impegno non è osservabile, a¢ nché l’agente sia incentivato
a impegnarsi il suo salario deve essere determinato in funzione del ricavo non potendo essere collegato direttamente all’impegno. Quindi, l’incentivazione comporta stavolta che sull’agente ricadrà una parte del rischio. Ma poiché l’agente
è avverso al rischio e poiché il principale deve assicurare all’agente la sua utilità di riserva pari a 4, chiaramente il salario atteso dovrà essere superiore al
salario certo che l’agente riceverebbe laddove il suo impegno fosse osservabile
dal principale. Quindi il pro…tto atteso risulterà minore di quello ottenibile con
impegno osservabile.
In conclusione, dalla non osservabilità dell’impegno deriva comunque una ine¢ cienza, alla base della quale vi è il fatto che, a causa di questa inosservabilità,
non può aversi una ripartizione e¢ ciente del rischio. Una ripartizione e¢ ciente
del rischio richiederebbe infatti che tutto il rischio ricadesse sul principale, cioè
6
che l’agente avesse un salario certo. Se però così fosse, l’agente eserciterebbe il
livello basso di impegno.
Per riassumere possiamo dire che, nel modello principale-agente e data l’asimmetria
informativa, sono da contemperare due opposte esigenze: da una parte, il requisito che il rischio venga per lo più a gravare sul principale, data l’ipotesi
che questi sia neutrale al rischio (o comunque meno avverso al rischio rispetto
all’agente); dall’altra, il requisito che l’agente sia incentivato, il che implica necessariamente una certa variabilità del suo reddito in relazione ai risultati (dato
che questi risultati dipendono non solo dal suo impegno ma anche da circostanze
di natura casuale).
ESEMPIO 2
In questo esercizio si assumano tutti i dati dell’esempio precedente tranne la
funzione di utilità per l’agente: questa è, stavolta, U (w; e) = w (e 1).
(a) Si determini la struttura dei salari che verrebbe stabilita nel caso in
cui l’impegno dell’agente fosse osservabile e quale sarebbe il pro…tto atteso del
principale.
(b) Si determini quale struttura dei salari verrebbe stabilita nel caso di impegno non osservabile e quale sarebbe il pro…tto atteso del principale. Si rappresenti gra…camente.
(c) Si chiarisca perché il pro…tto atteso con impegno non osservabile è lo
stesso che con impegno non osservabile.
SOLUZIONE
Lo studente deve innanzitutto veri…care che questa volta l’agente è neutrale
al rischio. Ciò sarà utile per poter rispondere alla domanda (c).
(a) Seguendo lo stesso tipo di ragionamento che è stato svolto sopra per
l’ESEMPIO 1, lo studente troverà che, con impegno osservabile da parte del
principale, il contratto stabilirà (we=1 ; we=2 ) = (0; 5), se si vuole incentivare
l’impegno elevato. Pertanto il pro…tto atteso sarà E( ) = ER(e = 2) we=2 =
40 5 = 35. Si veri…ca poi agevolmente che al principale e¤ettivamente conviene incentivare l’impegno elevato. Se volesse accontentarsi dell’impegno basso,
pagherebbe un salario …sso pari a w = 4, dal che deriverebbe un pro…tto atteso
pari a E( ) = ER(e = 1) Ew = 45 20 + 15 60 4 = 28 4 = 24 < 35:
(b) Seguendo lo stesso tipo di ragionamento che è stato svolto sopra per
l’ESEMPIO 1, si trova che il VCI e il VP sono dati dalle seguenti disequazioni:
VCI:
wR=60
wR=20 +
10
3
e
VP:
wR=60
10
wR=20
Come sopra, si possono disegnare (si veda il …le contenente tale …gura) le
equazioni delle rette wR=60 = wR=20 + 10
wR=20 , stavolta
3 e wR=60 = 10
nel piano di coordinate (wR=20 ; wR=60 ) e determinare il punto di intersezione
7
20
tra queste rette, che risulta essere (wR=20 ; wR=60 ) = 10
3 ; 3 . Per tale combinazione salariale, il salario atteso è E(w) = 5 e il pro…tto atteso è E( ) =
ER(e = 2) Ew = 40 5 = 35: Questo è il massimo pro…tto atteso per il
principale.
In verità, va notato come questa volta il salario atteso risulterebbe comunque
pari a 5, per qualunque combinazione (wR=20 ; wR=60 ) lungo la retta del VP e
a sinistra del punto di intersezione. Il motivo è semplice: l’agente è neutrale
al rischio e quindi ciò che conta per lui o per lei è il livello atteso del salario
(dato un certo livello di impegno); un salario atteso pari a 5 è necessario e
su¢ ciente a¢ nché, impegnandosi in misura e = 2, l’utilità attesa dell’agente
risulti esattamente uguale a 4. Quindi, si deve concludere che, in questo caso,
10
ogni combinazione salariale tale che wR=60 = 10 wR=20 e wR=20
3 genera
per il principale il massimo pro…tto atteso (pari a 35).
(c) In questo caso, essendo l’agente neutrale al rischio, l’incentivazione non
comporta alcun costo sociale. E’vero che l’agente deve necessariamente sostenere
un rischio per poter essere incentivato (se il salario fosse …sso egli si impegnerebbe in misura e = 1). Ma egli è neutrale al rischio come il principale e
quindi qualunque allocazione del rischio tra i due contraenti risulta e¢ ciente.
8