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insieme N - smseurope.org
• In matematica usiamo molti insiemi numerici .
• Le invenzioni di nuovi sistemi numerici e algoritmi
sono in ogni tempo correlate a precise esigenze
pratiche e legate al progresso generale della
conoscenza e della tecnologia .
2^ PUNTATA
insieme N
L’INSIEME DEI NUMERI NATURALI NEL NOSTRO SISTEMA DI NUMERAZIONE
SI INDICA CON
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}
N è un insieme infinito
I numeri naturali, abbiamo visto, si possono
ordinare uno di seguito all’altro in modo molto
intuitivo e la successione ha un primo elemento
ma non ha termine.
Tutte le volte che un insieme ha la stessa
‘numerosità’ dei i numeri naturali diremo che è
numerabile.
N è un insieme discreto
• Tra due numeri naturali o non vi è nessun
numero naturale o ce ne sono in numero
finito.
Operazioni con i naturali
• Con i Naturali fin dalla prima elementare
abbiamo imparato a fare confronti e fare con
loro alcune operazioni: addizione,
sottrazione, moltiplicazione e divisione.
• Sottrazione e divisione le posso
considerare come le operazioni inverse
della addizione e della moltiplicazione. Esse
però hanno la caratteristica che non sono
sempre eseguibili in N
1
• La sottrazione in N la posso eseguire solo
quando il minuendo (il primo numero) è
maggiore o uguale al sottraendo (il secondo)
a – b = c eseguibile solo se a ≥ b
Le proprietà delle operazioni
fondamentali che abbiamo visto in N
saranno determinanti per stabilire più
avanti di chiamare numeri anche cose
strane, molto, molto strane…
• La divisione in N la posso eseguire solo se il
dividendo (il primo numero) è multiplo del
divisore (il secondo), con comunque divisore ≠0
a : b = c eseguibile solo se a=b*nєN
Concetti matematici importanti
trovati la scorsa lezione
OPERAZIONE IN UN INSIEME
IN QUALUNQUE INSIEME NUMERICO DIVISORE
SEMPRE DIVERSO DA ZERO
SOTTOINSIEME PROPRIO DI UN INSIEME
CORRISPONDENZA BIUNIVOCA
INSIEME INFINITO
NUMERABILITA’
Un giochino per scaldarsi
• Trovatemi l’errore in questa dimostrazione che 2=1 !!!
Considero a=b, moltiplico entrambi i termini per a
allora a2 = ab
aggiungo a2 ad entrambi i membri
a2 + a2 = ab+ a2
2 a2 = ab+ a2 sottraggo 2ab
2 a2 -2 ab = a2 + ab -2ab
2 a2 -2 ab = a2 – ab
2 (a2 - ab) = 1(a2 – ab) divido per a2 - ab
2= 1
.
Esigenza dell’introduzione di un
nuovo insieme numerico
Due precise situazioni ci spingono ad ampliare l'insieme N:
una di carattere pratico, un'altra di carattere più teorico.
i numeri naturali non sono adatti a risolvere molte situazioni:
quando ad esempio misuriamo la temperatura, il livello di un
terreno sul mare, ecc... abbiamo bisogno anche di numeri
negativi.
D'altra parte nell'insieme N non era possibile effettuare la
sottrazione tutte le volte che il minuendo era minore del
sottraendo.
Origini storiche
•
In realtà fino all’epoca moderna, la matematica ‘ufficiale’ in tutte le culture
conosciute negò allo zero e ai negativi la dignità di numero, (classificandoli
‘absurdi’ o ’impossibili’); solo i mercanti li usavano tranquillamente per
indicare le perdite o gli ammanchi
•
In Occidente i numeri negativi fanno la prima comparsa nell'Arithmetica di
Diofanto attorno al 275 d.C. e precisamente si afferma
che c'e una soluzione che rende vera l'equazione 4x + 20 = 4 ma è
assurda.
I numeri negativi furono introdotti, per registrare debiti, da indiani e cinesi.
Questi ultimi indicavano i numeri positivi in rosso e quelli negativi in nero,
con un'associazione cromatica che si è tramandata (invertita) fino ai nostri
giorni.
Gli indiani invece li indicavano con la sovrapposizione di un punto o di una
stella Gli Indiani riescono anche a superare i progressi di Diofanto e
dimostrano che una quadrica ha sempre due radici.
•
Si procede, quindi, ad ampliare l'insieme numerico dei
naturali aggiungendo anche dei nuovi numeri .
2
Ma è con fatica che accettano che una di esse possa essere
negativa. Infatti, Bhaskara nel XII sec. d.C. scrive che
l'equazione x2 - 45x = 250 ha come radici x = 50 ed x = -5
ma il secondo valore non deve essere considerato in quanto
è inadeguato
Nel Liber Abaci di Fibonacci (XIII sec.) è presente la nozione
di numero negativo associata all'idea di debito, proprio come
nella cultura da cui li ha importati, tuttavia ancora nel 1545,
Cardano, nella sua Ars Magna, ottenendo per un'equazione
radici negative, le chiama fittizie mentre chiama reali quelle
positive.
Fino al XIV secolo, nonostante sia ormai chiaro che i numeri
negativi esistono al pari di quelli positivi, non si verifica una
loro accettazione.
altra noterella storico-’fisica’
• Un aneddoto narra che quando il fisico tedesco G.
Fahrenheit, propose nel 1724 la sua scala
termometrica scelse come 0 la temperatura che
corrisponde nella nostra scala termometrica a -32°C,
perché essendo la temperatura più bassa raggiunta
durante un inverno particolarmente rigido, riteneva
fosse difficilmente raggiungibile o addirittura
superabile. In tale modo non ci sarebbe stato bisogno
di usare temperature negative
• E in effetti la temperatura dell'aria al suolo nella
maggior parte delle aree abitate del pianeta tende a
rimanere tra 0 °F e 100°F: perciò, la scala Fahrenheit
permette di indicare la temperatura con due sole cifre
senza bisogno del segno.
Ampliamento numerico
INSIEME Z
O
INSIEME DEI NUMERI INTERI RELATIVI
viene indicato con Z perché è la lettera iniziale di
"Zahl" che in tedesco significa numero
Il segno " - " .
E' importante notare che il segno "-" , per come lo usiamo in Z , viene a
compendiare ben tre significati diversi!
→ Infatti usiamo il segno meno per indicare i numeri negativi , come
-5 , -4, -3 ... e cioè quei "nuovi numeri" che con il passare a considerare Z,
abbiamo aggiunto ai naturali. In questa accezione il segno "-" non è usato
per indicare un' operazione, ma solo una specie di "segnaposto", per
caratterizzare i nuovi numeri .
→ Poi "-" è usato come simbolo dell'operazione di sottrazione, e questa è
la prima accezione in cui lo abbiamo incontrato, già in N ,
→ ed infine il segno meno si usa per indicare "l'opposto di " :
- (-7) = " l'opposto di -7 ";
(in quel "- (-7)" , il primo ed il secondo simbolo "meno" hanno due significati
diversi: il primo sta per "l'opposto di", mentre il secondo è quello che
abbiamo già notato, il "segnaposto" dei numeri negativi).
È possibile immaginare Z come ripartito nei tre sottoinsiemi:
• formato dal solo 0;
• formato dai numeri interi negativi (numeri <0);
• formato dai numeri interi positivi (numeri >0).
In questo modo possiamo vedere i numeri naturali come un
sottoinsieme dei numeri interi, anche se sarebbe più esatto
dire che c’è un sottoinsieme di Z che si comporta come N.
Queste diverse funzioni logiche del segno "meno" sono spesso
passate sotto silenzio nell'introduzione scolastica dei numeri
relativi;, è importante aver chiaro "cosa c'è sotto" logicamente,
in quanto le difficoltà nell'imparare ad usare (e ad "accettare",
prima di tutto) i numeri negativi vengono alle volte anche dalla
vera e propria complessità di questo concetto, che non è poi
così "naturale" come talvolta si tende a cercare di far credere.
La ‘riunificazione’ dei simboli ha però il vantaggio di
semplificare notevolmente i calcoli.
Basta infatti ricordare la convenzione che il segno “+” davanti
parentesi consente di toglierla lasciando il segno inalterato,
mentre il segno “-” cambia il segno.
(Se poi entro la parentesi ci sono più addendi, il segno “-”
davanti la parentesi, cambia il segno di tutti i termini all’interno
della parentesi stessa)
3
Piccola nota
Gli interi
• Spesso per comodità omettiamo di
mettere il segno + davanti agli interi
positivi.
• Anche se formalmente è sbagliato,
operativamente arriviamo allo stesso
risultato
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Alcune definizioni
• Numeri concordi:numeri che hanno lo stesso
segno
ad esempio i numeri +3, +5 sono concordi
• Numeri discordi:numeri che hanno segno diverso
ad esempio i numeri -3, +5 sono discordi
• Valore assoluto:il numero senza segno
ad esempio
il valore assoluto di +5 è 5 e si scrive |+5|=5
il valore assoluto di -5 è 5 e si scrive |- 5|=5
• Numeri opposti numeri con lo stesso valore
assoluto, ma con segno diverso (cioè discordi).
L'ordine è compatibile con le operazioni:
• se a < b e c < d, allora a + c < b + d
• se a < b e c >0, allora ac < bc
• se a < b e c < 0, allora ac > bc
Quest’ultima proprietà è spesso causa di errori!!
Ricordiamoci che se moltiplichiamo ambedue i
membri di una diseguaglianza per un numero
negativo, cambia il verso della diseguaglianza
Es.
2<5
Ma
-2 > -5
ordinamento
• Z è un insieme totalmente ordinato
• L'ordine di Z è dato da
... < -2 <-1 < 0 < 1 < 2 < ...
-Ovvero se ho due numeri entrambi positivi è
maggiore quello con valore assoluto maggiore,
- se sono entrambi negativi è maggiore quello con
valore assoluto minore,
- se sono discordi è sempre maggiore quello
positivo
A differenza di N , l'insieme Z non possiede un primo
elemento
Alcune caratteristiche di Z
• Anche l'insieme dei numeri interi è infinito
e discreto.
• Facciamo vedere che è numerabile
0
|
0
1 2 3 4 5
|
|
|
|
|
+1 -1 +2 -2 +3
6
|
-3
7
|
+4
8 …
|
-4 …
4
Addizione
La definizione di addizione in Z deve essere tale da
essere compatibile con la stessa operazione in N,
perciò:
(+2) + (+3) = +5,
per arrivare agli altri casi conviene lavorare sulla
rappresentazione degli Z sulla retta
• se sono due numeri concordi la loro somma è un
numero ancora concorde con valore assoluto uguale alla
somma dei valori assoluti
• se sono due numeri discordi la loro somma è un numero
con il segno concorde con quello col valore assoluto
maggiore e valore assoluto uguale alla differenza dei
valori assoluti
Proprietà dell’addizione
l’addizione è un'operazione interna a Z.
•
Valgono le seguenti proprietà
1. proprietà commutativa :
Per qualsiasi a,b є Z:
a+b=b+a .
2. proprietà associativa
Per qualsiasi a,b,c є Z:
(a+b)+c=a +(b+c).
3. esistenza dell’ elemento neutro
l'elemento neutro per l'addizione è lo 0, infatti per esso vale:
Per qualsiasi a є Z:
a+0=a.
4. Esistenza dell’opposto
Per qualsiasi a є Z, esiste un altro numero a’ є Z: tale che
a + a’ = 0 .
ovvero per ogni numero intero esiste il suo opposto
Sottrazione
• In Z è un’operazione sempre possibile.
• La differenza tra due numeri interi viene
definita come somma del primo numero
con l’opposto del secondo.
perciò (+5) – (+2) = +5 + (-2) = +3
A questo punto non distinguiamo più fra le
due operazioni e parliamo genericamente
di somma algebrica, per la quale valgono
le solite proprietà
Proprietà della moltiplicazione
Moltiplicazione
Anche questa è un’operazione sempre possibile in Z
La definizione di moltiplicazione in Z deve essere tale da
essere compatibile con la stessa operazione in N e con le
proprietà che vogliamo valgano ancora in Z, perciò:
(+2) * (+3) = +6,
(-3)* (+2) = -3+ (-3) = - 6
ma per la pr. Commutativa
(+2)*(-3) = -6
e poi -[(-2) *(-3) ]= -6 perciò [(-2) *(-3) ]= +6
Dunque il prodotto di due numeri concordi è positivo,
discordi è negativo
1.
2.
3.
proprietà commutativa :
Per qualsiasi a,b є Z:
proprietà associativa
Per qualsiasi a,b,c є Z:
a*b=b*a .
(a*b)*c=a*(b*c)
esistenza dell’ elemento neutro;
Per qualsiasi a є Z:
a*1=a.
4.
legge di annullamento del prodotto:
se moltiplichiamo un qualsiasi numero intero per 0, il prodotto è nullo
e viceversa.
a*0= 0*a= 0
5.
proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:
(a+b)*c = a*c + b*c
5
Algoritmo di Euclide
Divisione
• Si può fare solo quando il valore assoluto
del dividendo è multiplo di quello del
divisore e con comunque il divisore è ≠0.
• Per quanto riguarda i segni valgono le
stesse regole del prodotto
• Anche se la divisione ordinaria non è
definita su Z, è possibile usare l’algoritmo
di Euclide per effettuare una divisione con
resto: dati due interi a e b con b ≠ 0,
esistono e sono unici due interi q e r tali
che
–
• dove |b| è il valore assoluto di b. L'intero q
è chiamato il quoziente e r è chiamato il
resto, risultanti dalla divisione di a con b.
• L'algoritmo di Euclide ,che non è un’operazione matematica
nel senso che noi abbiamo definito, ci permette di calcolare un
quoziente approssimato quando la divisione esatta non
possibile.
• È uno degli algoritmi più antichi conosciuti, essendo presente
negli Elementi di Euclide (300 a.C.).; tuttavia non è stato
probabilmente scoperto da Euclide ma potrebbe essere stato
conosciuto anche 200 anni prima. Certamente era conosciuto
da Eudosso di Cnido e Aristotele.
• Ci consente inoltre di trovare il MCD tra due numeri interi,
senza ricorrere alla scomposizione in fattori primi
• Dati due numeri interi a e b, si controlla se b è zero. Se lo è, a
è il MCD. Se non lo è, si divide a / b e si assegna ad r il resto
della divisione). Se r = 0 allora si può terminare affermando
che b è il MCD cercato altrimenti occorre assegnare a: = b e
b:= r e si ripete nuovamente la divisione fino a che non si
trova r=0
Proprietà delle potenze
(continuano a valere le stesse di N)
•
•
•
•
•
prodotto di potenze di uguale
base
anam=an+m
quoziente di potenze di uguale
base
an : am=an-m
potenza di una potenza
(an)m=anm
prodotto di potenze con uguale
esponente
anbn=(ab)n
quoziente di potenze con uguale
esponente
an : bn=(a : b)n
Elevamento a potenza
E’ un' operazione che associa ad una coppia di
numeri a e n - detti rispettivamente base ed
esponente
• se n>1
an = a*a*a …..*a (per n volte)
• se n = 1 , per ogni a
a1 = a,
• se n = 0 , per ogni a≠0
a0 = +1,
• se n < 0 , non si può eseguire
Un giochino
• Troverò la data del vostro compleanno (non
l’anno)!
Numerate ogni mese con 1 = gennaio, 2=
febbraio, etc…
• Moltiplicate il numero del vostro mese per 5,
aggiungete 7, moltiplicate per 4, aggiungete 13,
moltiplicate per 5 e aggiungete il giorno e ditemi
il numero che avete trovato
• io vi dirò la data!
data
6
giustificazione
Supponiamo sia il giorno G del mese M
((5*M+7)*4+13)*5 +G=
(20*M+28+13)*5 +G =
100*M +205 +G
se io dal numero che mi avete detto tolgo
mentalmente 205 ottengo di seguito mese
e giorno….
esempio
• 25 aprile
5*4+7=27
27*4 +13=121
121*5=605
605 +25 = 630
630 -205 = 425
Esercizi di traduzione dal
matematichese in italiano e
viceversa
Le espressioni
Abbiamo ‘tradotto’ le richieste del giochino espresse in
lingua italiana, in una espressione matematica ovvero
espresso in ‘matematichese’
[(5*M+7)*4+13]*5 +G
Come in tutte le lingue bisogna seguire delle regole
• Se non ci sono parentesi si eseguono prima gli
elevamenti a potenza, poi moltiplicazioni e divisioni e poi
le somme algebriche
• Ogni parentesi aperta deve essere chiusa
• Si eseguono prima le operazioni entro le tonde, poi entro
le quadre e così via
• [ -5*(-3)] 2 -(-1)
• -5*(-3) 2 -(-1)
• Moltiplicare la somma fra i quadrati di -2 e
+3 per l’opposto di -4
• Moltiplicare il quadrato della somma tra -2
e +3 per l’opposto di -4
Qualche strana uguaglianza
1+2 =3
4+5+6 =7+8
9+10+11+12=13+14+15
Oppure
32 +42= 52
102+112+122= 132+142
212+222+232+242= 252+262+272
bibliografia
•
•
•
•
G.Spirito La costruzione matematica Ed. Oberon
Courant-Robbins Che cos’è la matematica? Boringhieri
Glenn-Johnson Divertimenti matematici Zanichelli
M.Gardner L’incredibile Dr. Matrix
Zanichelli
•
•
http://math.unipa.it/~grim/FP_FondMatI_05.pdf
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/info/Numeri/Set06/Nu
meri.htm
http://progettomatematica.dm.unibo.it/insieminumerici/insiemey.htm
http://www.racine.ra.it/lcalighieri/pescetti/ricerca_infinito_2004_05/so
mm_cardinal/transfin.htm
•
•
Continuate voi la sequenza di uguaglianze…
uguaglianze….
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