Elettronica – Stella e triangolo - Dipartimento di Informatica

Elettronica – Stella e triangolo; generatori controllati;
generatore equivalente; sovrapposizione degli effetti
Valentino Liberali
Dipartimento di Fisica
Università degli Studi di Milano
[email protected]
Elettronica – Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti – 18 marzo 2015
Valentino Liberali (UniMI)
Elettronica – Stella, triangolo; gen. controllati, equivalenti – 18 marzo 2015
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Contenuto
1
Stella e triangolo
2
Generatori dipendenti
3
Generatori equivalenti di Thévenin e di Norton
4
Teorema del massimo trasferimento di potenza
5
Principio di sovrapposizione degli effetti
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1
2 / 40
Programma – parte 2
2
Circuiti in continua.
l.
m.
n.
o.
p.
q.
r.
s.
...
Collegamenti a stella e a triangolo di resistenze.
Generatori dipendenti e indipendenti.
Generatore equivalente di Thévenin.
Generatore equivalente di Norton.
Teorema del massimo trasferimento di potenza.
Principio di sovrapposizione degli effetti.
...
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Stella e triangolo (1/11)
A
B
Rab
A
RA
B
RB
Rac
RC
C
Rbc
C
COLLEGAMENTO
A STELLA (o a Y)
COLLEGAMENTO
A TRIANGOLO (o a ∆)
In generale, non sono riconducibili a serie e parallelo.
È possibile trasformare un collegamento a stella in uno equivalente a triangolo, e
viceversa.
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Stella e triangolo (2/11)
A
I1
RA
+
B
IA IB
V1
RB
IC
+
V2
RC
C
Applichiamo il generatore di tensione V1 tra i nodi A e C, e il generatore di
tensione V2 tra i nodi B e C.
KCL al nodo centrale: IC = IA + IB .
KCL al nodo A: I1 = −IA .
KVL alla maglia più a sinistra: V1 − RA IA − RC IC = 0.
KVL alla maglia più a destra: V2 − RB IB − RC IC = 0.
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Stella e triangolo (3/11)
A
I1
+
B
IA IB
RA
V1
RB
IC
RC
+
V2
C
Risolvendo, si ricava la corrente I1 :
I1 = V 2 ·
RC
RB + RC
− V1 ·
RA RB + RA RC + RB RC
RA RB + RA RC + RB RC
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Stella e triangolo (4/11)
I ab
A
I1
+
Rab
B
I ac
V1
+
Rac
Rbc
V2
C
Come per il collegamento a stella, applichiamo il generatore di tensione V1 tra i
nodi A e C, il generatore di tensione V2 tra i nodi B e C, e ricaviamo la corrente I1 :
V1 − V2
1
1
1
V1
−
= V2 ·
− V1 ·
+
I1 = −Iac − Iab = −
Rac
Rab
Rab
Rac
Rab
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Stella e triangolo (5/11)
I collegamenti a stella e a triangolo sono equivalenti se I1 è la stessa nei due casi.
Confrontando le equazioni:
RC
RB + RC
− V1 ·
RA RB + RA RC + RB RC
RA RB + RA RC + RB RC
1
1
1
I1 = V 2 ·
− V1 ·
+
Rab
Rac
Rab
I1 = V 2 ·
abbiamo le equivalenze:
RA RB + RA RC + RB RC
RC
RA RB + RA RC + RB RC
=
RB
Rab =
Rac
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Stella e triangolo (6/11)
A
B
Rab
A
RA
B
RB
Rac
RC
C
Rbc
C
RA RB + RA RC + RB RC
RC
RA RB + RA RC + RB RC
=
RB
RA RB + RA RC + RB RC
=
RA
Rab =
Rac
Rbc
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Stella e triangolo (7/11)
I ab
A
Rab
I ac
I1
B
I bc
Rac
Rbc
V1
I2
V2
C
Applichiamo il generatore di corrente I1 tra i nodi A e C, e il generatore di
corrente I2 tra i nodi B e C.
KCL al nodo A: I1 − Iab − Iac = 0.
KCL al nodo B: I2 + Iab − Ibc = 0.
KVL alla maglia più a sinistra: V1 = −Rac Iac .
KVL alla maglia più a destra: V2 = −Rbc Ibc .
KVL alla maglia esterna: V1 − V2 = −Rab Iab .
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Stella e triangolo (8/11)
I ab
A
Rab
I ac
I1
B
I bc
Rac
Rbc
V2
V1
I2
C
Risolvendo, si ricava la tensione V1 :
V1 = −I2 ·
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Rab Rac + Rac Rbc
Rac Rbc
− I1 ·
Rab + Rac + Rbc
Rab + Rac + Rbc
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Stella e triangolo (9/11)
A
B
IA IB
RA
I1
RB
I2
IC
RC
V1
V2
C
Come per il collegamento a triangolo, applichiamo il generatore di corrente I1 tra i
nodi A e C, il generatore di corrente I2 tra i nodi B e C, e ricaviamo la tensione V1 :
V1 = −RC · (I1 + I2 ) − RA I1 = −I2 · RC − I1 · (RA + RC )
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Stella e triangolo (10/11)
Confrontando le equazioni:
Rac Rbc
Rab Rac + Rac Rbc
− I1 ·
Rab + Rac + Rbc
Rab + Rac + Rbc
V1 = −I2 · RC − I1 · (RA + RC )
V1 = −I2 ·
abbiamo le equivalenze:
Rac Rbc
Rab + Rac + Rbc
Rab Rac
RA =
Rab + Rac + Rbc
RC =
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Stella e triangolo (11/11)
A
Rab
A
B
B
RA
Rac
RB
Rbc
RC
C
C
Rab Rac
Rab + Rac + Rbc
Rab Rbc
RB =
Rab + Rac + Rbc
Rac Rbc
RC =
Rab + Rac + Rbc
RA =
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Generatori dipendenti (1/6)
I generatori di tensione e di corrente visti finora sono generatori indipendenti:
generano grandezze elettriche costanti, indipendentemente da qualsiasi altra
grandezza presente nel circuito.
Un generatore dipendente (o generatore controllato) è un elemento che
genera una grandezza elettrica (tensione o corrente) il cui valore è funzione di
un’altra grandezza elettrica (tensione o corrente) presente nel circuito.
→ Esistono 4 tipi di generatori dipendenti:
sono “doppi bipoli”, cioè hanno una coppia di terminali di ingresso per la
variabile di controllo e una coppia di terminali di uscita per la grandezza generata.
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Generatori dipendenti (2/6)
generatore di tensione controllato in tensione
VCVS: voltage-controlled voltage source
generatore di corrente controllato in corrente
CCCS: current-controlled current source
generatore di corrente controllato in tensione
VCCS: voltage-controlled current source
generatore di tensione controllato in corrente
CCVS: current-controlled voltage source
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Generatori dipendenti (3/6)
Generatore di tensione controllato in tensione
VCVS: voltage-controlled voltage source
+
+
Vi
Vo = E V i
-
-
All’ingresso non assorbe corrente (circuito aperto)
E è il guadagno di tensione (adimensionale): E = Vo /Vi
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Generatori dipendenti (4/6)
Generatore di corrente controllato in corrente
CCCS: current-controlled current source
+
+
Ii
Io = F I i
-
-
All’ingresso non c’è caduta di tensione (cortocircuito)
F è il guadagno di corrente (adimensionale): F = Io /Ii
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Generatori dipendenti (5/6)
Generatore di corrente controllato in tensione
VCCS: voltage-controlled current source
+
+
Vi
Io = G V i
-
-
All’ingresso non assorbe corrente (circuito aperto)
G è dimensionalmente una conduttanza: G = Io /Vi
TRANSCONDUTTANZA (in siemens)
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Generatori dipendenti (6/6)
Generatore di di tensione controllato in corrente
CCVS: current-controlled voltage source
+
+
Ii
-
Vo = H I i
-
All’ingresso non c’è caduta di tensione (cortocircuito)
H è dimensionalmente una resistenza: H = Vo /Ii
TRANSRESISTENZA (in ohm)
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Esercizio
V0 = 9 V, R1 = 100 Ω, R2 = 3.9 kΩ, R3 = 250 Ω, F = 10.
Calcolare VAB .
R3
R2
F
+
Io =
F Ii
Ii
V0
+
A
VAB
R1
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B
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Generatore equivalente di Thévenin (1/4)
Dal punto di vista di due terminali di uscita A e B, una qualsiasi rete elettrica
contenente generatori e resistenze è equivalente ad un generatore di tensione Veq
in serie ad una resistenza Req .
V, I,
R,
E, F,
G, H
A
+
Req
A
Veq
-
B
B
Generatore equivalente di Thévenin
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Generatore equivalente di Thévenin (2/4)
La tensione del generatore di Thévenin Veq è la tensione di circuito aperto VAB ,
che si ottiene risolvendo il circuito:
Veq = VAB
V, I,
R,
E, F,
G, H
A
+
+
VAB
Req
A
Veq
-
-
B
B
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Generatore equivalente di Thévenin (3/4)
La resistenza del generatore di Thévenin Req è la la resistenza vista tra i terminali
A e B spegnendo tutti i generatori indipendenti.
Se non ci sono generatori dipendenti nel circuito, il calcolo della resistenza
equivalente è semplice:
bisogna spegnere tutti i generatori (V = 0 per i generatori di tensione, I = 0 per i
generatori di corrente) e calcolare la resistenza RAB applicando le formule per il
collegamento in serie e in parallelo di resistenze.
Req = RAB
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Esempio (1/2)
Calcolare la resistenza tra i terminali A e B.
R2
R1
+
A
V0
R3
R4
I0
B
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Esempio (2/2)
R2
R1
+
A
V0
=0
R3
I0
=0
R4
B
RAB = R2 //(R3 + (R1 //R4 ))
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Generatore equivalente di Thévenin (4/4)
Se nel circuito ci sono generatori dipendenti, bisogna spegnere tutti i generatori
indipendenti, collegare tra A e B un generatore di corrente Ix , trovare la tensione
Vx , e calcolare la resistenza Req :
A
+
R,
E, F,
G, H
Ix
Vx
B
Req =
Vx
Ix
Osservazione: si applica la CONVENZIONE DEGLI UTILIZZATORI al circuito di
cui si vuole calcolare la resistenza equivalente, NON al generatore Ix !
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Generatore equivalente di Norton (1/3)
Dal punto di vista di due terminali di uscita A e B, una qualsiasi rete elettrica
contenente generatori e resistenze è equivalente ad un generatore di corrente Ieq in
parallelo ad una resistenza Req .
V, I,
R,
E, F,
G, H
A
A
Ieq
Req
B
B
Generatore equivalente di Norton
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Generatore equivalente di Norton (2/3)
La corrente del generatore di Norton Ieq è la corrente di cortocircuito IAB (si
ottiene cortocircuitando i terminali A e B e risolvendo il circuito):
Ieq = IAB
V, I,
R,
E, F,
G, H
A
+
A
IAB
Ieq
Req
B
B
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Generatore equivalente di Norton (3/3)
La resistenza del generatore di Norton Req è la stessa del generatore di
Thévenin.
La corrente del generatore di Norton Ieq è legata alla tensione del generatore
di Thévenin Veq dalla relazione:
Veq = Req Ieq
Quindi è sufficiente calcolare DUE dei tre parametri (Veq , Ieq , Req ); il terzo si
ricava dagli altri due.
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Massimo trasferimento di potenza (1/6)
Ad un generatore di Thévenin è collegato un carico resistivo RL .
Vogliamo trovare il valore della resistenza di carico RL che assorbe la massima
potenza dal generatore.
+
A
Req
I
Veq
-
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RL
B
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Massimo trasferimento di potenza (2/6)
+
A
Req
I
Veq
-
B
Veq − Req I − RL I = 0
I =
(KVL)
Veq
Req + RL
2
P = RL I 2 = Veq
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RL
RL
(Req + RL )2
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Massimo trasferimento di potenza (3/6)
Dobbiamo trovare il valore di RL per cui P assume il massimo valore.
2
P = RL I 2 = Veq
RL
(Req + RL )2
Il valore massimo di P si ottiene calcolando il massimo rispetto alla variabile RL
della funzione:
RL
y=
(Req + RL )2
y è sempre positiva, tranne che per RL = 0 e RL → ∞, in cui y = 0; di
conseguenza, y deve avere un massimo.
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Massimo trasferimento di potenza (4/6)
2
P = Veq
RL
(Req + RL )2
P
Pmax
0
0
5 R eq
R eq
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RL
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Massimo trasferimento di potenza (5/6)
Nel punto di massimo si annulla la derivata prima della funzione:
y=
RL
(Req + RL )2
Quindi il valore cercato è soluzione dell’equazione:
dy
=0
dRL
(Req + RL )2 − 2(Req + RL )RL
=0
(Req + RL )4
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35 / 40
Massimo trasferimento di potenza (6/6)
Moltiplicando per (Req + RL )4 e semplificando, si ottiene:
2
Req
− RL2 = 0
che ha DUE soluzioni: RL = Req e RL = −Req .
La soluzione negativa non è fisicamente realizzabile (le resistenze hanno solo valori
positivi).
L’unica soluzione è:
RL = Req
Teorema del massimo trasferimento di potenza: La potenza trasferita al
carico è massima quando la resistenza di carico è uguale alla resistenza interna del
generatore equivalente.
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Sovrapposizione degli effetti (1/3)
Circuito con più generatori indipendenti di tensione e di corrente:
V1
R,
E, F,
G, H
Vn
I1
Im
Se il circuito è lineare, per ogni grandezza elettrica che dipende linearmente dalle
altre si ha:
f (V1 , V2 , . . . , Vn , I1 , . . . , Im ) =f (V1 , 0, . . . , 0) + f (0, V2 , 0, . . . , 0)+
+ . . . + f (0., . . . , 0, Im )
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Sovrapposizione degli effetti (2/3)
PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI:
Per un circuito lineare contenente più generatori indipendenti si può calcolare
separatamente l’effetto prodotto da ciascun generatore e poi calcolare la
somma degli effetti.
Si procede nel modo seguente:
1
si spengono tutti i generatori indipendenti tranne uno;
2
3
4
si calcolano le tensioni e le correnti risultanti;
si ripetono i passi 1 e 2 per ciascuno dei generatori indipendenti;
si sommano i risultati parziali ottenuti.
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Sovrapposizione degli effetti (3/3)
Ricordare sempre che:
il principio di sovrapposizione degli effetti si applica solo per circuiti lineari
(tutti gli elementi circuitali devono essere lineari);
il principio di sovrapposizione degli effetti vale solo per le grandezze che
dipendono linearmente dalle altre (ad esempio, non si può usare per calcolare
la potenza);
tutti i generatori dipendenti devono essere lasciati, come per il calcolo della
resistenza dei generatori equivalenti di Thévenin e di Norton.
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Esercizio
V0 = 5 V, I0 = 8 mA, R1 = 1 kΩ, R2 = 500 Ω, R3 = 500 Ω, R4 = 500 Ω.
Ricavare il circuito equivalente di Norton tra A e B.
R2
R1
+
A
V0
R3
R4
I0
B
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